Вариационные неравенства в моделировании задачи оптимального резервирования возобновляемых ресурсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.863 Д. Н. ЗАПОРОЖЕЦ

А. В. ЗЫКИНА О. Н. КАНЕВА

Омский государственный технический университет

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА В МОДЕЛИРОВАНИИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ ВОЗОБНОВЛЯЕМЫХ РЕСУРСОВ_____________________________________

В работе предлагается и обосновывается метод математического моделирования в задачах оптимального резервирования возобновляемых ресурсов. Предложенный метод основан на использовании аппарата вариационных неравенств в моделировании двухуровневых оптимизационных задач. В качестве практического примера использования метода рассмотрена задача резервирования семенного фонда в сельскохозяйственной отрасли.

Ключевые слова: математическое моделирование, вариационное неравенство, двухуровневая оптимизация.

Исследование выполнено при поддержке РФФИ, проекты №12-01-31360, №12-07-00326.

Вариационные неравенства и смежные задачи.

Актуальность использования вариационных неравенств, как современного инструмента моделирования и численного решения оптимизационных задач, обусловлена их универсальностью и применимостью при решении задач исследования операций в экономике, логистике, технике и других областях. Целью данной работы является использование аппарата вариационных неравенств и равновесного программирования в моделировании двухуровневых оптимизационных задач.

Рассмотрим постановку вариационного неравенства. Решить вариационное неравенство — значит найти вектор гей, удовлетворяющий условиям:

{Н(г'), г — г*}>0, > гей, (1)

где выпуклое, замкнутое множество йеЯ', монотонный оператор Н: Я‘®Я‘.

Рассмотрим вариационные неравенства со связанными ограничениями, которые являются обобщением вариационного неравенства (1). Связанные ограничения возникают для задач, у которых наряду с внутренними параметрами имеются внешние параметры, выражающие влияние управляющих воздействий внешней среды на процесс принятия решений.

Решить вариационное неравенство со связанными ограничениями — значит найти такой вектор у ей, что

{Н(у* ), м—у*}>0, > мей, С(у*,м)<0. (2)

Отличие вариационных неравенств со связанными ограничениями (2) от вариационных неравенств (1) заключается в наличии ограничений С(у,м)<0, которые связывают решение у ей и переменные ме й вариационного неравенства. Связанные ограничения усложняют задачу и ее решение, однако математические модели содержательных задач часто их содержат [1]. Решение этой проблемы связано с различными равновесными конструкциями, такими как

задачи о вычислении неподвижных точек, обратные задачи оптимизации и др. [2]. Рассмотрим одну из таких постановок: задачи равновесного программирования. Аппарат равновесного программирования формализует ситуации, связанные с поиском компромисса противоположных интересов сторон конфликта. Рассмотрим формулировку задачи равновесного программирования в следующей форме.

Найти неподвижную точку у ей, которая удовлетворяет экстремальному включению с функциональными ограничениям

уеАгдтт {Ф (у‘, м) | д(м)<0, мей}. (3)

Функция Ф(у, м) определена на произведении пространств ЯпхЯп и й — выпуклое замкнутое множество, йсЯп. Предполагается, что функция Ф(у, м) выпуклая по переменной ме й при любом уе й. Векторная функция д(м) имеет размерность т, причем каждая ее компонента выпуклая для всех меЯп. Переменная уей в (3) играет роль параметра, а мей — переменная оптимизации. Предполагается также, что экстремальное отображение

м(у) = агдтт{Ф(у, м) | д(м)<0, мей}

определено для всех уе й, а множество решений йсй исходной задачи не пусто [3].

Задачи двухуровневой оптимизации. Двухуровневые оптимизационные задачи возникают в тех ситуациях, когда лицо, принимающее решение, учитывает поведение другой стороны, которая действует по своему критерию.

Рассмотрим задачу двухуровневой оптимизации в следующем виде:

х*е Агд тт {.РДх, у ) | хеX , д1(х, у*)<0}, где у — решение задачи (4)

уеАтд тт ^2(х*, у) | уеГ , д2(х*, у)<0}.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

29

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

30

Будем предполагать выполнение условий:

— в качестве целевой функции задачи верхнего уровня выступает функция F1: Я+мхЯ+м®Я — выпуклая, дифференцируемая по х для любого у,

— в качестве целевой функции задачи второго уровня выступает функция _Р2: Я+мхЯ+м®Я — выпуклая, дифференцируемая по у для любого х,

— д1 (х, у) — выпуклая по х функция для любого у,

— д2(х, у) — выпуклая по у функция для любого х,

— X, У — выпуклые компакты.

При указанных условиях задача (4) может быть редуцирована к вариационному неравенству следующими преобразованиями:

— формулируем двухуровневую задачу как задачу равновесного программирования;

— задачу равновесного программирования записываем в терминах вариационного неравенства.

Рассмотрим эти преобразования более подробно. Пусть для начала ограничения не зависят от параметра, то есть д1(х, у‘) = д1(х) и д2(х*, у) = д2(у). Тогда представим задачу (4) в виде задачи равновесного программирования (3) следующими преобразованиями.

Пусть у=[х1, у1], м=[х2, у2], у, меХхУ. Построим нормализованную функцию вида Ф(х1, у1, х2 , у2) = =.Р1(х2, у1 )+-Р2(хи у2). Тогда задача (4) может быть записана в виде

(х*, у)єЛгд тіп {Ф (х*. у, х, у ) | хє X , уєУ, д1(х)<0, д2(у)<0 }.

(5)

Далее покажем, каким образом задачу (5) записать в виде вариационного неравенства (1). Для этого положим г=[х1, у1, х2, у2],

Стоит отметить, что задачи типа (4) можно отнести к игровым моделям с равновесием по Нэшу или по Штакельбергу. Такие задачи имеют многочисленные применения не только при моделировании экономических процессов, но и при решении дискретных задач размещения: задача размещения предприятий, складов и магазинов, размещение узлов связи, станций обслуживания и других [4]. Однако преимущества формулировки двухуровневых задач оптимизации (4) с использованием аппарата вариационных неравенств состоит в том, что для решения вариационных неравенств (1) или (2) можно использовать градиентные и экстраградиентные методы [5, 6], а также основанные на них алгоритмические реализации итерационных методов с памятью [1].

Пример содержательной задачи. Рассмотрим метод решения задач оптимального резервирования семенного фонда в сельскохозяйственной отрасли, сводящийся к использованию вариационных неравенств в задаче двухуровневой оптимизации.

Одним из примеров содержательной задачи в рамках предложенных схем моделирования (1) (или (2)) является задача оптимального краткосрочного планирования производства возобновляемых ресурсов в сельском хозяйстве. Для ее решения была составлена математическая модель планирования воспроизводства семян возделываемых сортов мягкой яровой пшеницы различных репродукций при оптимизации посевных площадей под ними с целью максимизации дохода.

В качестве оптимизационной задачи верхнего уровня выступает оптимизационная задача поиска оптимального размера посевных площадей х‘ под г-й сорт к-й репродукции пшеницы с целью максимизации дохода от продажи семян:

г = ХхУх{(х, у ) | д 1(х)<0, д2(у)<0 }.

В качестве оператора вариационного неравенства Н(г) примем

Н (хи у^ х 2, у 2) =

= [Ф х,,у 1(x1, Уl, х 2, у 2), -Ф х2,у2(хЬ Уl, х 2, у 2)] , (6)

Ф х,,у,(хі.уі,х 2,у 2)-^^й) + ЇЇ2ІМ2І

11 ду1 дх1

(7)

Ф (х у х у ) д^1(х2.уі) . д^2(х1. у2) , г

Фх2,у2 (х1'у1.х2.у2) - ----дх------ -----ду------ ' (8)

ду2

х* є Лгд тахI £ £ рк(скх:к [ к=1і -1

' у к )І х є Х(у *)

X (у *) Ч££х,

- 5,

£ £ хк £ 0,к.

к - 1,т,хк > — ^ О

і - 1. п

Рассмотрим теперь общий случай двухуровневых задач оптимизации, когда хеХ(у), уеУ(х). При указанных условиях задача (4) может быть редуцирована к вариационному неравенству со связанными ограничениями (2) с помощью следующих преобразований:

— формулируем двухуровневую задачу как задачу равновесного программирования;

— задачу равновесного программирования записываем в терминах вариационного неравенства со связанными ограничениями.

Оператор вариационного неравенства Н(г) совпадает с (6) — (8), множество X задается следующим образом: г=ХхУ хХхУ, а связанные ограничения задаются следующими неравенствами:

д1(х2 , у*)<0 , д2(х*, у2)<0.

где хг — посевная площадь, занятая семенами г-го сорта к-й репродукции, га; рк — цена реализации семян г-го сорта к-й репродукции, руб/ц; ск — урожайность г-го сорта к-й репродукции, ц/га; ук — оптимальный семенной фонд г-го сорта к-й репродукции, который необходимо заготовить, ц; 5 — общая посевная площадь, га; 1к — подмножество номеров сортов, 1к е , ..., 1[ к } ; Я1к, О'к. — мини-

мальная и максимальная допустимая посевная площадь под группу сортов 1к к-й репродукции, га соответственно; Б — норма высева, ц/га.

Ограничения задачи верхнего уровня: на общий размер посевной площади, а также минимально и максимально допустимый размер посевных площадей для групп сортов к-й репродукции.

Оптимизационная задача нижнего уровня заключается в нахождении оптимального семенного фонда у‘, который необходимо оставить с целью минимизации затрат при закупе семян:

у * є Лгд тіп і ££ак (Охк - ук )| у є ¥(х) { к-1і-1

т п

к

У(х*) = ак(Пхк - ук) < Б1к,

Ье1к

1к е 1,0 < у* < Бхк,г = 1п,к = 1т

где агк — цена семян г-го сорта к-й репродукции, руб/ ц; хгк — оптимальная посевная площадь, занятая семенами г-го сорта к-й репродукции, га; Б/ — бюджет организации на сорта с номерами /к, руб.;

I = {1^,...,,к = 1,т}, — множество подмножеств номеров сортов.

Ограничения задачи нижнего уровня следующие. Первое ограничение — затраты на покупку семян не должны превышать бюджета организации на сорта с номерами 1к. Второе ограничение — неотрицательность переменных, задающих семенной фонд, и семенной фонд не превышает количества семян, необходимого для засева.

Полученную модель задачи оптимального резервирования можно записать в виде вариационного неравенства со связанными ограничениями (2).

Заключение. Приведенная в данной работе конструкция для решения задачи оптимального резервирования является новой и представляет большой интерес для использования, важным аспектом которого является применимость существующих методов решения вариационных неравенств для её разрешения и построение новых. Представление задачи оптимального резервирования в виде вариационного неравенства со связанными ограничениями позволяет применять к решению этой модели многошаговые экстраградиентные методы [5, 6] и экстрагра-диентные методы с памятью [1], допускающие эффективную для параллельной реализации вычислительную схему.

Теоретическая значимость полученных результатов состоит в том, что разработанный метод моделирования задачи оптимального резервирования развивает теорию математического моделирования и может быть использован для качественного и численного исследования моделей на основе вариационных неравенств.

1. Запорожец, Д. Н. Двухшаговый экстраградиентный метод с памятью для решения вариационных неравенств со связанными ограничениями [Текст] / Д. Н. Запорожец, А. В. Зыкина // Омский научный вестник. Серия : Приборы, машины итехнологии. - № 3(113). - 2012. - С. 274-277.

2. Зыкина, А. В. Обратная дополнительность в модели управления ресурсами [Текст] / А. В. Зыкина // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2008. - Т. 48. - № 11. - С. 1968-1978.

3. Антипин, А. С. Равновесное программирование: методы градиентного типа [Текст] / А. С. Антипин // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 8. - С. 125-137.

4. Береснев, В. Л. Экстремальные задачи стандартизации [Текст] / В. Л. Береснев, Э. Х. Гимади, В. Т. Дементьев. -Новосибирск : Наука, 1978. - 336 с.

5. Зыкина, А. В. Двухшаговый экстраградиентный метод для вариационных неравенств [Текст] / А. В. Зыкина, Н. В. Ме-леньчук // Известия вузов. Математика. - Казань : КГУ, 2010. - № 9. - С. 82-85.

6. Запорожец, Д. Н. Сравнительный анализ экстрагради-ентных методов решения вариационных неравенств для некоторых задач [Текст] / Д. Н. Запорожец, А. В. Зыкина, Н. В. Меленьчук // Автоматика и телемеханика. - 2012. -№ 4. - С. 32-46.

ЗАПОРОЖЕЦ Дмитрий Николаевич, ассистент кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.

ЗЫКИНА Анна Владимировна, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующая кафедрой прикладной математики и фундаментальной информатики.

КАНЕВА Ольга Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент (Россия), доцент кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.

Адрес для переписки: e-mail: avzykina@mail.ru

Статья поступила в редакцию 10.12.2013 г.

© Д. Н. Запорожец, А. В. Зыкина, О. Н. Канева

Книжная полка

Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие для бакалавров вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии. В 2 ч. / В. Н. Земсков [и др.] ; под ред. А. С. Поспелова. - М. : Юрайт, 2012.

В сборнике содержатся задачи по основам математического анализа, векторной алгебре и аналитической геометрии, линейной алгебре, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, кратным интегралам и дифференциальным уравнениям. Приведенные краткие теоретические сведения, иллюстрируемые большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения, а также для самостоятельной работы студентов. Соответствует государственному образовательному стандарту нового поколения.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ