CC BY
33
применение алгоритмов в области идентификации, автоматического управления и других областях, где необходимо решать задачи минимизации функции нескольких переменных.
Библиографический список
1. Когут, А.Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления: монография / А.Т. Когут. — Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003. — 244 с.
УДК 519.95
2. Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. — М.: Высш. шк., 2000. — 266 с.
ОКИШЕВ Андрей Сергеевич, аспирант кафедры «Радиотехнические и управляющие системы». Адрес для переписки: е-шаП: [email protected]
Статья поступила в редакцию 31.03.2010 г.
© А. С. Окишев
Н. В. МЕЛЕНЬЧУК А. В. ЗЫКИНА
Омский государственный технический университет
ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА СО СВЯЗАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ В МОДЕЛИ ДЕФИЦИТА РЕСУРСОВ____________________________________
В работе предлагается и обосновывается сходимость двухшагового экстраградиентного метода решения вариационных неравенств со связанными ограничениями. Предложенный метод является эффективным инструментом для решения сложных прикладных задач, возникающих в социально-экономических системах. В качестве примера рассмотрена модель планирования производства, в которой внешняя рыночная стоимость ресурсов совпадает с внутренними объективно обусловленными оценками ресурсов.
Ключевые слова: вариационное неравенство, экстраградиентный метод, оптимизация, сходимость.
Введение
Современные экономические модели, как правило, содержат связанные ограничения, возникающие для задач, у которых наряду с внутренними параметрами имеются внешние параметры, выражающие влияние управляющих воздействий внешней среды на процесс принятия решений. При классическом подходе к теории двойственности решение двойственной задачи вместе с решением прямой задачи определяется для каждого фиксированного набора внешних параметров. В этом случае затруднено определение равновесия между внутренними объективно обусловленными оценками и внешними управляющими воздействиями. В статье предложено решение этой проблемы — использование вариационных неравенств со связанными ограничениями как наиболее общей формы записи для таких задач. Структура полученных математических конструкций принципиально отличается от классических конструкций двойственности для задач оптимизации, поэтому эффективное использование таких задач требует разработки новых методов для нахождения решений этих задач.
Рассмотрим задачу выпуклого программирования (ВП)
min {/0О) | f1(x)<b1, fm(x)< bm, хеХ }, (1)
где выпуклое множество XiRn, /0, /р...,fm: X®R — выпуклые функции.
Общепринятая экономическая интерпретация задачи ВП — это модель производства, в которой требуется выбрать интенсивности x=(xv .,хп) работы предприятия такие, чтобы обеспечить выпуск про-
дукции в соответствии с технологическим процессом Г(х)=(/1(х),^ ,/т(х)) из ограниченных запасов ресурсов Ь = (Ь1,...,Ьт) с минимальными издержками/^*).
В соответствии с классической теорией двойственности каждому виду ресурса ге(1,...,т} соответствует внутренняя объективно обусловленная оценка и>0, ге (1,...,т), по Л.В. Канторовичу (множители Лагранжа), причем более дефицитные ресурсы имеют большие оценки, и наоборот, ресурсы, имеющиеся в избытке, получают нулевые оценки. Очевидно, что если объемы ресурсов, (компоненты в векторе Ь) неограниченно увеличивать, то их дефицитность будет уменьшаться, соответственно, будут уменьшаться объективно обусловленные оценки и = (и1,.,ит), и издержки предприятия/0(х) по выпуску продукции. Но неограниченный объем ресурсов в реальности не существует, поскольку ресурсы — это либо продукция некоторого другого производства, либо сырье, существующее в ограниченном количестве. Следовательно, чем больше расходуется ресурсов для производства, тем больше спрос на эти ресурсы и тем больше их рыночная стоимость. В связи с этим возникает проблема согласования дефицитности ресурсов с их внешней рыночной стоимостью. Решение этой проблемы приводит к различным равновесным конструкциям, таким, как задачи о вычислении неподвижных точек, обратные задачи оптимизации и др. [1]. В предлагаемой статье рассмотрим обобщение таких постановок.
Постановка задачи
Существенным недостатком модели экономической системы (1) является неизменность самой системы по отношению к внешним управляющим воздействиям в течение заданного периода времени.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010
26
Для устранения этого недостатка введем в задачу ВП (1) параметрыy=(y1,...,ym), характеризующие рыночную стоимость ресурсов, тогда объемы запасов ресурсов b естественно рассматривать как функцию от параметров y. Кроме того, издержки производства свяжем покоординатно с ресурсами, что тоже вполне естественно, так как с каждым видом ресурса могут быть связаны свои производственные затраты. Итак, пусть
Fo(x)=(f0l(x),---f0m(x)l F1(x)=(fn(x),■■■f1m(x)), P(x)=(Pl{x)
,...pm(x)), xeX, XcRn, X — выпуклое множество, yeRm+ , f0i(x) e fu(x), i=\,...,m, — выпуклые скалярные функции. Функции f0i(x), i=\,...,m, задают издержки производства на единицу рыночной стоимости y. для каждого вида ресурса, при возрастании стоимости yi увеличиваются и издержки yif0i(x), сумма которых задает суммарные издержки. Функцииfu(x), i=1,...,m, определяют технологический процесс или расход ресурсов на производство с интенсивностями x=(x1,.,xn), функции p(y), i=\,...,m, — запасы ресурсов в зависимости от их рыночной стоимости y=(y1,...,ym).
В результате получаем задачу параметрического выпуклого программирования
min {yTF0(x) I Fi(x) < P(y), xeX }, yeRm+ , (2)
содержательно состоящую в минимизации суммарных издержек yTF0(x) производства из ограниченных объемов запасов ресурсов P(y) при меняющейся рыночной стоимости y eRm+ ресурсов и заданном технологическом процессе F1(x). Задача (2) может иметь общую форму, а именно
min { F(xy) I F1(x)<P(y), xeX }, y eRm+, (3)
где целевая функция F :RnxRm+®R, характеризующая издержки производства, выпукла по переменной x для каждого фиксированного параметра y.
Наличие отображения P: Rm+®Rm+ позволяет трансформировать одни единицы ресурсов в другие. Так, если y измеряется в денежных единицах, то P(y) дает количественное представление ресурсов, если же F1(x) затраты производства, имеющие денежное выражение, то P(y) имеет то же измерение, и тогда параметр y задает количество используемых ресурсов.
Для решения поставленной задачи (3) (или (2)) введем дополнительные условия в виде параметрической по параметру x нелинейной задачи дополнительности
P(yT>F,(x), f>0, yT(P(y) - F1(x))=0, (4)
или, что эквивалентно, в виде вариационного неравенства
6у — y, F1(x) — P(y)<0, \/y>0,
где
x*eArg min { F(x,y*) | F1(x) < P(y*), xeX }, или для задачи (2)
x*eArg min { (y*)T F(x) | F1(x) < P(y*), xeX }.
Введенное дополнительное условие yT (P(y) — F1(x))=0 есть условие дополняющей нежесткости для ограничений исходной задачи F1(x)<P(y) и внешних управляющих воздействий y>0. Это условие придает внешним параметрам задачи (3) (или (2)) свойства ее двойственных переменных.
Для разработки методов решения задачи (3), предположим, что при каждом значении y>0 задача ВП (3) разрешима и удовлетворяет некоторым условиям регулярности, следовательно, при каждом значении y>0 существует седловая точка (x(y),u(y)) функции Лагранжа
L(x,u,y)= F(x,y)+ uT(F1(x)-P(y)),xeX, ueRm+ , (6)
задачи ВП (3). В этом случае рассмотрим при фиксированном параметре у>0 седловую точку (x*,u*) = =(x(y),u(y)) функции Лагранжа L(x,u,y), для которой y = u . Учитывая определение седловой точки, получаем систему неравенств
L(x*,u,u* )< L(x*,u*,u* )< L(x,u*,u*), V xeX,УueRm+ ,
или, подставляя выражение функции Лагранжа (6), получаем, что 'tfxeX, \fueRm+ выполняются неравенства
F(x*,u* )+uT(Fl(x* )-P(u ))< F(x*,u* )+(u* )T (Fl(x* )-P(u* ))<
<F(x,u*) + (u* )T (Fl(x) - P(u*)). (7)
В результате из первого неравенства (7) получаем вариационное неравенство
(u - и, F1(x*) - P(u*))<0, V u>0. (8)
Полагая в (8) сначала u=2u*, затем и=0, получим задачу дополнительности (4) при значении параметра
x=x*
P(u )>Fl(x*), u >0, (u )T(P(u ) - Fl(x* ))=0.
Из второго неравенства (7) получаем в точке х' условие минимума функции Лагранжа (6) на множестве X при u = u и у = u
F(x*,u*) + (u* )T(F1 (x*) - P(u* ))<F(x,u *) + (u* )T (Fl(x) -P(u*)) V' xeX,
что эквивалентно задаче ВП (3) при значении параметра у = u
min { F(x,u*) | F1(x)<P(u*), xeX }.
В результате получили, что решением обратной задачи (3) является седловая точка (x(y),u(y)) функции (6), для которой координаты параметра у являются множителями Лагранжа задачи ВП (3).
Вариационное неравенство
Перепишем задачу дополнительности (4) для (3) в несколько ином виде
max {yT (Fi(x*) -P(y)) F^x*)< P(y),yeRm+ }, (9)
где x' — решение соответствующей задачи
min { F(x,y*) I Fl(x)<P(y*), xeX}. (10)
В таком виде пару задач (9), (10) можно рассматривать как задачу со связанными ограничениями. Здесь в роли решаемой задачи выступает (10), а в роли связанного ограничения — оптимизационная задача (9).
Запишем эту задачу со связанными ограничениями в виде вариационного неравенства со связанными ограничениями. Введем для этого функции
H(v,w)=F(x1,y2) - (x2,F1(y1) -p(x2)), G(v,w)=F1(x1) -p(y2) + +F&J - P(x1),
где v = [yry2], w = [xv x2], v,weW= XxRm+. В терминах этих функций сформулируем новую задачу: найти вектор v*eW такой, что
v*eArg min { H(v*,w) | G(v*,w)<0, weW }. (11)
Покажем, что решение задачи (11) будет решением и исходной задачи (9), (10).
Задача (11) соответствует выполнению неравенства
^ ) - P(y* )> <Р(х, у* ) +( у, ^(х*) - P(y)>
для всех х и у, удовлетворяющих неравенству
^(лО - Р(у*) + Е1(х*) - P(y) < о, xеX, yеRm+ .
Для дальнейших рассуждений важно отметить, что 0(у", V*)<0; в исходных обозначениях это гарантирует выполнение следующего неравенства
^1(х* ) - Р(у* )<0. (12)
Т еперь зафиксируем у*, при этом неравенства останутся верными для всех хеХ, в этом случае задача преобразуется в следующую
Е(х*, у* )^(х, у* )
для хе X, удовлетворяющих неравенству
^(х ) - р1(х* )<0. (13)
Очевидно, оптимальный вектор х' удовлетворяет этому неравенству, но оно отличается от неравенства в исходной постановке задачи и может задавать иную область поиска решений. В разрешении этой проблемы поможет неравенство (12), если построить двойное неравенство на основе (12) и (13), то получится ^(х ) - р1(х* )<Р(у* ).Это же неравенство гарантирует, что область поиска решений не больше, чем область поиска решений исходной задачи. Из чего можно сделать вывод, что, решая задачу (11), мы найдем решение задачи (10). Аналогичные рассуждения приводят к задаче (9), если закрепить х*.
В случае, когда целевая функция Н^,щ) дифференцируема, поставленную задачу можно представить в виде вариационного неравенства со связанными ограничениями
(УщН^*, V*), щ - у’)> 0, VЩ еО, 0^*,щ)<0, где У^ Н(у, V) = УщН(у, ш) |^.
Двухшаговый экстраградиентный метод для решения вариационных неравенств со связанными ограничениями
Для решения вариационных неравенств в работах [2 — 3] предложен двухшаговый экстраградиентный метод. Для решения вариационных неравенств со связанными ограничениями применим его модификацию при условии дифференцируемости связанного ограничения. Схема метода будет выглядеть следующим образом:
Щ = (щк + ак°(щк,щк))+ ,
Vk = РП (Vk - ак( У wH(Vk’Vk) + У щG(Vк^Vк)Wк) -
Щк = (Щк + ак0(ЩкЩк))+ ,
П Р ^к - ак(У щН(^^к) + У щС(Ук,Ук)Щк) ,
Щ +1 = (Щк + акС(Щк’Щк))+ ,
П+1 = Р0 (Vk - ак(У щН(~к,~к) + У wG(Vk’Vk)Wk)-
где Рп и ( )+— операторы проектирования на множества Кт+ и О соответственно. Сформулируем условия сходимости этого метода в следующей теореме.
Теорема. Пусть для вариационного неравенства ( Ущ Н^*, V*), щ - V* >>0 со связанным ограничением О^*, щ)<0 на выпуклом множестве О выполняются следующие условия:
а) множество решений задачи не пусто;
б) оператор Ущ Н^*, V*) монотонный;
в) функция О^,щ) симметричная, дифференцируемая и выпуклая по ш для любого vеQ;
г) выполняется равномерная оценка ||ук||<С для всех кеЫ;
д) сужение О^,щ)\= на диагонали квадрата выпуклая функция.
Тогда существует последовательность {ак}кеИ параметров такая, что {Vк}кеН сходится монотонно по норме к одному из равновесных решений.
Требования, необходимые для сходимости мето дана первый взгляд могут показаться обременительными, но заметим, что даже в такой общей формулировке условия в) и д) будут выполняться автоматически для исходной задачи. Условие г) выполняется в силу сходимости метода монотонно по норме, как по прямым, так и по двойственным переменным. Условие б) гарантирует существование решения.
Заключение
Построенные конструкции являются новыми и представляют собой вариационные неравенства, содержащие задачу дополнительности в качестве связанного ограничения. С другой стороны, если в паре задач (3), (4) (или (2), (4)) исходной считать задачу дополнительности (4), то задача (3) (или (2)) будет связанным ограничением к задаче дополнительности (4).
Библиографический список
1. Зыкина, А.В. Обратная дополнительность в модели управления ресурсами [Текст] / А. В. Зыкина // Журнал вычислительной математики и математической физики, — 2008,—Т, 48.-№ 11. — С. 1968-1978.
2. Меленьчук, Н.В. Двухшаговый экстраградиентный метод для решения седловых задач [Текст] / Н. В. Меленьчук // Омский научный вестник.-2009.-№ 3(83).-С. 33-36.
3. Зыкина, А.В. Двухшаговый экстраградиентный метод для вариационных неравенств [Текст] / А.В. Зыкина, Н.В. Меленьчук // Известия вузов. Математика.-Казань: КГУ, 2010.-№ 9.-С. 82-85.
МЕЛЕНЬЧУК Николай Владимирович, аспирант кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.
ЗЫКИНА Анна Владимировна, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующая кафедрой прикладной математики и фундаментальной информатики.
Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 15.09.2010 г.
© Н. В. Меленьчук, А. В. Зыкина
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
