CC BY
27
При дальнейших экспериментальных исследованиях деформируемых образцов необходимо для увеличения информативности измерений повысить коэффициент излучения поверхности образца, например ее зачернением, теплоизолировать поверхность образца, а измерение температур в наиболее нагретых зонах параллельно с ИК-термографированием проводить с помощью пленочных и других термопар.
В Ы В О Д
Разработана методика исследования процесса зарождения и развития разрушения в деформируемых растяжением элементах арматурных изделий с использованием теплоты механического деформирования, и выполнен термографический анализ работы различных типов арматурных изделий.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Инфракрасное излучение, возникающее при деформации и разрушении металлов / К. В. Абрамова [и др.] // Журнал технической физики. - 1988. - Вып. 4, т. 58. -С. 817-821.
2. Экспериментальная механика: в 2 кн. / под ред. А. Кобаяси. - М.: Мир, 1990. - Кн. 2. - 552 с.
3. Мейз, Дж. Теория и задачи механики сплошных сред / Дж. Мейз; пер. с англ. под ред. М. Э. Эглит. - М.: Мир, 1974. - 319 с.
4. Мойсейчик, Е. А. Определение расчетного сопротивления статически нагруженных элементов стальных конструкций с учетом эффекта термомеханического деформирования материалов / Е. А. Мойсейчик // Меха-ника-99: II Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике, 29-30 июня 1999 г. - Минск: БелНИИС, 1999. - С. 82-88.
5. Мойсейчик, Е. А. Энергетическая характеристика разрушения металлических конструкционных материалов / Е. А. Мойсейчик, М. К. Балыкин // Актуальные проблемы расчета зданий, конструкций и их частей: теория и практика. - Минск: Технопринт, 2002. - С. 112-117.
6. Термомеханические эффекты при деформировании конструкционных материалов: отчет о НИР / Е. А. Мой-сейчик [и др.] // № ГР 2001315. - Минск: БНТУ, 2002. -162 с.
Поступила 07.07.2008
УДК 624.072.21.7
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ ПОДХОД В РЕШЕНИИ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО НЕОДНОРОДНОГО ОСНОВАНИЯ. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА*
ЧАСТЬ 2
Докт. техн. наук, проф. БОСАКОВ С. В., КОЗУНОВА О. В.
Белорусский национально-технический университет, Белорусский государственный университет транспорта
Вначале решается задача в линейной постановке. По вычисленным значениям перемещений 7-й узловой точки мг (х), (у) с помощью геометрических уравнений (4) и конечно-разностных соотношений (11) определяются
* О к о н ч а н и е. Начало см. «Вестник БНТУ» № 1 с. г.
интенсивность деформаций (3) и интенсивность напряжений в центрах ячеек (2).
Имея значения напряжений и перемещений, полученные в результате решения задачи в первом приближении, определяем касательный
модуль деформации (5) для каждой ячейки и решаем задачу во втором и последующих приближениях. Итерационный процесс заканчивается, как только разница между последующим и предыдущим приближениями будет соответствовать требуемой точности решения задачи.
Критерием сходимости служит условие, чтобы максимальная поправка д г по искомой
функции f (x, y) за один обход сетки не превосходила малой величины , зависящей от шага сетки и полной осадки штампа. Для нашей задачи критерий сходимости имеет следующий вид:
Лп) _ Лп-1)
bf - -/max ■!()()%< ç = 1 %, (34)
f J m
max
где /тах, Утах _ максимальные значения искомой функции (n) и (n - 1) итераций.
Для реализации указанного подхода составлена программа на языке Mathematica 6.0 и проведена ее числовая апробация для двухслойных оснований. В численный счет использовались следующие исходные параметры:
1-й слой основания (песок средней плотности) - ctvi = 0,2 МПа; Vi = 0,3; E0l = 25 МПа;
2-й слой основания (суглинок) — gV2 = 0,25 МПа; v2 = 0,33; Е02 = 30 МПа; железобетонная плита (бетон марки В15) - Р = 90000 Н; / = 1,2 м; h = = 0,5 м; Е5 = 2,35 • Ю10Па.
На рис. 7-9 приведены результаты расчета осадок основания и плиты, распределение реактивных давлений в контактной зоне плиты и вертикальных напряжений в верхнем слое основания под плитой для первых трех итераций. Из графиков следует, что итерационный процесс сходится быстро, особенно при расчете напряжений: а) результаты 1-й и 2-й итераций расчета вертикальных напряжений практически совпали (8а = 0,58 %); б) реактивные напряжения имеют самую малую поправку в критерии сходимости (8^ = 0,18 %), практически полное совпадение результатов (линейный расчет) и последующих итераций, что отличается от сходимости осадок (5v = 0,93 %).
Отметим, что несложно по найденным значениям вертикальных перемещений узловых
(п-1).
тах
точек наити внутренние усилия в сечениях плиты.
-0,01055
s
g -0,0110 !
э
о
о
-0,0115 î
Линейный ¡расчет 1
2
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0 х, м
Рис. 7. Осадки основания и плиты в контактной зоне (линейный расчет): 1 - первая итерация; 2 - вторая итерация
Ру, Па"
-100000'
-2002000000
-300000'
0 5 1 Линейный 0 1, расчет 5 0 х, м
\
\
Рис. 8. Эпюра реактивных давлении в контактной зоне (линейный расчет)
-50050000
а$. Па
-100000
-150000
0,5
1,0
1,5
22,.00 х, м
Линейны шрасчет
Рис. 9. Эпюра вертикальных напряжений в верхнем слое основания (Л = Ду/2) под подошвой плиты (линейный расчет)
Результаты вычислений внутренних усилий приведены на рис. 10. Эпюра Qy кососиммет-рична и достигает максимума под крайними внешними силами, действующими на плиту. Эпюра Мх симметрична и максимальна под средней внешней силой. Вид и характер эпюр
полностью соответствуют результатам теоретических расчетов [1, 2].
а
150000
ву, Н 100000
50000 -50000 --100000 -150000
:
0 ,5 1 ,0 2,0 х
б
0 5 11.,0 0 1, 22.0, х 0
\
Х
Рис. 10. Эпюры внутренних усилий в сечениях плиты: а - поперечная сила; б - изгибающий момент
На рис. 11 и 12 в сравнении показано распределение вертикальных напряжений (вторая итерация) в верхнем слое основания под плитой по ее ширине на разной глубине основания. С ростом глубины основания максимальные к
напряжения о уменьшаются и опасные сечения в горизонтальном срезе под плитой перераспределяются.
Рис. 11. Эпюры напряжений (вторая итерация) под подошвой плиты на глубине: а) А = Ду/2; б) /г = ЗДу/2; в) А = 5&у/2
-60000
О V • Па
-100000 120000
-140000
/ 3 ^ /
2
— -г
1
0,0
0,5
1, 0
1,5
2,0
Рис. 12. Объединенная эпюра напряжений под подошвой плиты на глубине: 1 - А = Ду/2; 2 - /г = ЗЛ>>/2; 3 - /г = 5Ау/2
Распределение вертикальных напряжений (рис. 13) по глубине расчетной области подтверждает то, что с ростом глубины основания значения напряжений уменьшаются. На рис. 13 наблюдается резкое изменение значений напряжений на границе слоев: а) о7 =
88339 Па, 099 = 59562 Па (на 48,8 % по сравнению с аналогичным в упругих слоях); б) 1-й слой о43=104525 Па, о71 = 88339 Па (на 18,3
%);
в) 2-й слой о99 = 59362 Па, о^27 = 53144 Па (на 11,7 %).
-100000 О* . Па -140000
-60000
О* . Па
-100000 12001 20000 0
-60000
О* . Па
-100000
1-й ряд (12-17)
2-й ряд (40-45)
3-й ряд (68-73)
0,0
0,5
1,0
1,5 х, м 2,0
у, м -1
4000000
80000 100000, С* Па
Рис. 13. Эпюра напряжений по глубине расчетной области (вторая итерация): вертикальный срез, к = 15, 43, 71, 99, 127, 155
На рис. 14 и 15 в сравнении показано распределение вертикальных напряжений в упругих слоях основания по ширине расчетной области (вторая итерация). С ростом глубины основания происходит трансформация эпюры
х, м
а
б
в
вертикальных напряжений от выпуклой вверх (седлообразной) до выпуклой вниз (параболической), что подтверждается экспериментами
[2, 3].
а
О* . Па -50000
-100000
15001,00000 0
0*у . Па
-50000
100000
15001,000000
<4-Па
-500,00000 0
1-й ряд (1-28)
8 10 х, м
2-й ряд (29-56)
-100000,
3-й ряд (57-84)
4 8 1 00 х, м
\ --
Рис. 14. Эпюры напряжений в верхнем слое основания по ширине расчетной области (вторая итерация) на глубине: а) /г = Ду/2 ; б) /г = ЗДу/2 ; в) Ь = 5Ау/2
Графики на рис. 12, 13 демонстрируют наличие распределительной способности грунта, т. е. деформации и напряжения возникают не только под нагруженными участками, но и в соседствующих с ними. Эта способность полностью соответствует гипотезе упругого полупространства, подтверждается экспериментами и строительным опытом.
Касательный модуль деформации (рис. 16) по глубине расчетной области уменьшает свои значения в верхнем упругом слое основания и незначительно, но увеличивает в нижнем слое. На границе слоев наблюдается скачок в сторону увеличения в связи исходными зна-
чениями начальных модулей деформаций. В верхнем слое основания итерационный процесс сходится медленнее (дБ = 0,41 %), чем в нижнем (б^ = 0,02 %).
а
о*. Па
-50000
-100000
о V • Па
: 1-й ряд (85-112)
6 0 х,
-50000
-100000
2-й ряд (113-140)
1100 х, м
1 X--- /1/11 1 /ГО\
а$. Па
-50000
1100 х, м
Рис. 15. Эпюры напряжений в нижнем слое основания по ширине расчетной области (вторая итерация) на глубине: а) /г = 7Ду/2; б) /г = 9Ду/2 ; в) /г = 11Ду/2
у, м
-11
-22 -3
/А" 1
................
Касательный модуль, х10\ Па
Рис. 16. Касательный модуль деформации (вертикальный срез): 1 - линейный расчет
На рис. 17 построена обратная зависимость между осадками плиты и реактивными давлениями основания, которая объясняется наличием нереально больших краевых давлений и указывает на недостатки модели упругого полупространства.
0,01165 0,01160 0,01155 0,01150 0,01145 0,01140
б
6
б
в
в
4
100000 150000 200000 250000 300000
Ру, Па
Рис. 17. Зависимость между осадками и реактивными давлениями в контактной зоне основания (вторая итерация) В Ы В О Д Ы
Вычисления показали, что:
• применение вариационного подхода в решении контактной задачи вместе с физическими итерациями по А. А. Ильюшину приводит к быстрой сходимости расчета (максимум - три итерации), особенно в напряжениях;
на скорость сходимости итерационного процесса влияет правильный выбор модели основания и вида функциональной зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций;
• с увеличением глубины упругого слоя основания происходят видоизменение эпюры напряжений и перераспределение опасных сечений в горизонтальных срезах;
• наличие распределительной способности грунта очевидно и неоспоримо, поэтому в инженерных расчетах необходим учет этой спо-
собности, особенно в условиях плотной застройки города;
характер и вид эпюр внутренних усилий в сечениях линейно-упругой плиты полностью
соответствуют гипотезам и допущениям теории упругости. Наряду с этим в силу нелинейности упругого основания нарушается прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями, и возникает не прямая, а обратная нелинейная зависимость. Это объясняется тем, что на краю плиты наблюдается так называемый «краевой эффект»: при меньших осадках -нереально большие напряжения.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Симвулиди, И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании / И. А. Симвулиди. - М.: Высш. шк., 1973. - 480 с.
2. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Ма-ликова, В. И. Соломин. - М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.
3. Федоровский, В. Г. Жесткий штамп на нелинейно-деформируемом связном основании (плоская задача) / В. Г. Федоровский, С. Е. Кагановская // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1975. - № 1. - С. 41-44.
Поступила 09.09.2008
