ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕРМОМЕХАНИКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2023, Т. 165, кн. 3 С. 246-263

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ УДК 539.3

doi: 10.26907/2541-7746.2023.3.246-263

ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕРМОМЕХАНИКИ

С. А. Лурье, П. А. Белов, А. В. Волков

Институт прикладной механики Российской академии наук (ИПРИМ РАН),

г. Москва, 125040, Россия

Аннотация

Для построения динамических вариационных моделей термомеханики сплошной среды предложено рассматривать 4Б-пространственно-временной континуум. Для идентификации физических постоянных в обратимых процессах сформулированы физически обоснованные гипотезы: парности пространственных касательных напряжений, классической зависимости импульса от скорости, потенциальности теплового потока (обобщение закона Максвелла-Каттанео). Предполагается, что обобщенный закон Дюамеля-Неймана имеет классический вид. В представленной модели обобщенные законы Максвелла-Каттанео и Дюамеля-Неймана не вводятся феноменологически, а получены как уравнения совместности при исключении термического потенциала из уравнений закона Гука для температуры, теплового потока и давления. Даны определения каналов диссипации как простейших, линейных по вариациям аргументов, неинтегрируемых вариационных форм. В результате получил развитие вариационный принцип, обобщающий вариационный принцип Л.И. Седова. Он является следствием принципа возможных перемещений и определяется как разность вариации лагранжиана обратимых термомеханических процессов и алгебраической суммы каналов диссипации. Доказано, что для классических термомеханических процессов с разрешающими дифференциальными уравнениями второго порядка возможно существование всего шести каналов диссипации. Два из них определяют диссипацию в распадающейся системе - в уравнениях движения и уравнении баланса тепла. Оставшиеся четыре канала определяют эффекты связанности в связанных задачах диссипативной термомеханики.

Ключевые слова: термоупругость, тепловой баланс, процессы термомеханики, обратимость и диссипативность, обобщенный закон Максвелла-Каттанео, обобщенный закон Дюамеля-Неймана, идентификация модулей термомеханических свойств

Исследование связных проблем термомеханики с учетом особенностей процессов механического деформирования и теплопереноса чрезвычайно востребованы в настоящее время в связи с развитием современных технологических процессов и необходимостью прогнозировать поведение материалов в условиях воздействия интенсивных физических полей. Эти проблемы представляются весьма сложными и не нерешенными в полной мере до настоящего времени. Например, известно, что классическая теория теплопереноса становится недостаточной для описания распространения тепла при низких температурах [1], а также для понимания термоупругих свойств малоразмерных систем [2,3], для случаев моделирования нано-структурных микроэлектронных компонентов и различных термоэлектрических устройств [4].

Введение

Связные проблемы тепломассопереноса требуют привлечения более общих моделей типа Максвелла-Каттанео [5], которые свободны от противоречий моделей теплопереноса диффузионного типа. Эта составляющая общей проблемы моделирования термодинамического процесса деформирования до настоящего времени является объектом тщательных исследований и обобщений. При этом следует иметь в виду, что, как правило, закон теплопроводности Фурье и его обобщения связаны с необратимыми термодинамическими процессами. Отметим, например, работы [6,7], где было показано, что время релаксации в законе теплопроводности Максвелла-Каттанео может определяться вязкоупругими свойствами сред, и это, конечно, не исключает других причин, приводящих не к диффузионным, а к волновым механизмам передачи тепла. Необходимым является учет связности полей деформирования и тепловых полей в динамических процессах термомеханики в рамках и обратимых, и необратимых процессов. В связи с этим отметим, что весьма эффективной для построения обобщенной динамической термоупругости оказалась идея рассмотрения пространственно-временного континуума (4Б-среда), трансверсально-изотропного в отношении временной координаты [8,9]. Установлено, что законы Максвелла-Каттанео и Дюамеля-Неймана в рамках таких обобщенных моделей не вводятся феноменологически, а могут быть построены как уравнения совместности [10-13]. В работах [10,14] отмечена и важность учета масштабных эффектов при моделировании термомеханических процессов. Доказано, что масштабные эффекты существенно влияют на процессы теплопереноса, в частности, на переход от диффузионного механизма к волновому.

Наиболее сложной является проблема полноты сформулированных моделей, их согласованности с физическим смыслом и непротиворечивости экспериментальным данным. Эти вопросы возникают при решении проблемы идентификации физических параметров моделей в рамках обратимых и необратимых процессов. С формальной точки зрения построение согласованных физических моделей сводится к формулировке корректных разрешающих уравнений, краевых и начальных условий для процессов, в которых эффекты взаимовлияния механических и тепловых полей могут быть существенными и которые сопровождаются диссипацией. При этом вариационным методам моделирования, вероятно, нет альтернативы. Развитие вариационных моделей 4Б-сред показало, что использование вариационного метода Л.И. Седова [15,16] при построении моделей позволило построить замкнутый вариант связной модели теплопереноса и термоупругости, согласованный термодинамикой необратимых процессов [9-13].

В настоящей работе модель пространственно-временного континуума использована, чтобы развить наиболее полный вариант вариационной модели для связных необратимых динамических процессов теплопереноса и термомеханики деформируемых сред и с наибольшей полнотой учесть связные эффекты в отношении пространственных и временных координат. Предложена процедура идентификации параметров вариационной модели из условий согласования формально построенной модели с известными физическими соотношениями в механике сред и теории теплообмена. Идентификация характеристик диссипативных составляющих моделируемых процессов сведена к формулировке возможных каналов диссипации.

1. Вариационная 4В-постановка связанной задачи для обратимых термомеханических процессов

Будем рассматривать динамическое силовое и тепловое состояние изотропной среды. Деформированное состояние будем определять 3Б-вектором перемещений т, а тепловое состояние - термическим потенциалом К. Определим 4Б-вектор

перемещений К следующим разложением:

К N

Ъ=П + {сЖг, П = КХг, Д= (1)

гс

Здесь 5ц - 4Б-тензор Кронекера (5ц 5ц =4); 5Ц = 5 ц — N^Nj - 3Б-тензор Кро-некера (5Ц 5Ц = 3), Nj - орт времени, с - нормирующий множитель размерности скорости, г = \/—1 - мнимая единица. Индексы пробегают значения от 1 до 4.

Для определения силовой модели используем принцип возможных перемещений, считая, что список аргументов определяется тензором обобщённых 4Б-дисторсий Кц и вектором 4Б-перемещений К (см. (1))

5А — / (ац5КЦ + (ц5Кг)<1У4 = 0,

(2)

У (ц — <Л + Р?4 )5К<1У4 — I (Р?4 — ац Пц )5К1<Еа = 0. Здесь А = / Р?КдУ4 + / Р?4К^ - работа внешних 4Ю объёмных сил Р? :

Р?4 = Р? + Р? (гс)-1т,р? = Р?4 = (гс)Р?4 N;

и внешних 4Б поверхностных сил Р?4 :

Р?4 = р? + р? (гс)-1^,р? = Р?4 5Ц ,р? = (гс)Р?4 N

на 4Б-перемещениях К. Под объёмом "4 будем понимать односвязное множество пространственно-временных событий, а под гиперповерхностью ^4 - кусочно-гладкую поверхность, ограничивающую выбранный объём.

1.1. Достаточные условия обратимости термомеханических процессов. Достаточные условия обратимости термомеханических процессов определяются формулами Грина

ди?4 ди?4

= "адГ' ^ = (3)

Подставив (3) в (2), получим формулировку вариационного принципа Лагранжа для обратимых термомеханических процессов в 4Б-среде:

5Ь = 0, Ь = А — У и ?4 <У4. (4)

Принцип Лагранжа (4) позволяет интерпретировать потенциал и ?4 как 4Б-плот-ность потенциальной энергии.

1.2. Необходимые условия обратимости термомеханических процессов. Необходимые условия обратимости термомеханических процессов определяются условиями Коши-Римана путем исключения из (3) потенциала и ?4 :

д(?г дат _ ^ ( дац _ дат = ^

дКт дК IдКт дКщ

да г датп | дац да„

=0

дКт,п дКг I дКт,п дрц

Перепишем (5) в виде, удобном для определения нелинейных тензоров модулей обратимых свойств второго , третьего , и четвертого рангов Е^тп :

д(Тг дат _ Г доц _ дат _ —

(6)

dRm - dR, - J dRm dRij гзт

dcTj _ датп _ ^ j доц _ датп _

dRi ' ^ dRmn dRij ljmn

Исключив в (6) производные от силовых факторов, получим свойства симметрии нелинейных тензоров модулей обратимых свойств

{Е- — Е ■ \~Ё ■ — Е ■■

Е- — ~Ё I Е- ■ — Е

J-^imn — ^mnii y^ijmn — ^mnij-

Обратим внимание, что условия (7) приводят к тому, что из двух тензоров третьего (нечетного) ранга Eimn, Eimn независимым остается только один Eimn.

В результате установлено, что тензор модулей упругости третьего ранга в общем случае не ограничен никакими условиями симметрии.

Необходимые условия обратимости термомеханических процессов (1)—(5) сводятся в итоге к условиям симметрии тензоров модулей четного ранга

Eim — Emii Eijmn — Emnij • (8)

С учетом трансверсальной изотропности пространства событий в соответствии с (1) тензорный базис для тензоров модулей обратимых свойств второго ранга состоит из двух тензоров S*m и NiNm, а разложение в этом базисе тензора Eim имеет вид

Eim — Ei5*m + E2(tc)-2NiNm. (9)

Разложение (9) тождественно удовлетворяет условиям симметрии (8). Тензорный базис для тензоров модулей обратимых свойств третьего ранга состоит из четырех тензоров, являющихся тензорным произведением 3Б-тензора Кронекера, орта времени и трех ортов времени, а разложение в этом базисе тензора Eimn имеет вид

Eimn — E3(tc)S*mNn + E4(tc)-1SmnNi + E5(tc)-1SniNm + E6(tc)-1NiNmNn. (10)

Ещё раз отметим, что единственный тензор модулей обратимых свойств третьего ранга не должен удовлетворять никаким условиям симметрии. Тензорный базис для тензоров модулей обратимых свойств четвертого ранга строится из десяти тензоров, являющихся тензорными произведениями двух 3Б-тензоров Кронекера, одного 3Б-тензора Кронекера, двух ортов времени и, наконец, тензорного произведения четырёх ортов времени. Разложение в этом базисе тензора Eijmn имеет вид

Eijmn — E7Sij S*mn + E8SimS*nj + E9SinSjm + E7Sij S*mn + E8SimS*nj + E9SinSjm +

+ EioSj NmNn + EiiSimNj Nn + EuSinNmNj + Eij NnNi +

ij m^-'n^ im j n * ^12"inlym+"j ^ J-^13wjm1

mnNiNj

+ EUS*nNmNi + E15S*mnNiNj + E16 NiNj NmNn.

(11)

Условия симметрии (8) сокращают число модулей в тензоре (11) с десяти до восьми:

I Е1 0 — Е1 5 =0, { 10 15 (12) Ею — Е13 = 0.

Тензор (11) приобретает вид

Eijmn = E7S*j S*mn + EgS*m S*nj + Ед S*nS*m+

+ (EW + E15)(S*j NmNn + S*mnNiNj )/2 + (El2 + E13)(S*nNmNj + S*mj NiNn)/2+

+EnS*mNj Nn + EuS*nNmNi + E^NiNj NmNn-

(13)

1.3. Достаточные условия диссипативности термомеханических процессов. Структура тензоров модулей упругости диссипативных процессов. Положим, что условия (5) нарушаются и уравнения системы (5) становятся неоднородными:

d<Tj дат ( дац _ дат _ —

\дпт ни,,

dffi датп I дац датп _ о п

— I —— ТГ-^ — ZJJi-imn,.

dRm,n dRi

Неоднородные условия (14) можно трактовать как достаточные условия диссипативности процессов деформирования.

Установим свойства симметрии для модулей упругости необратимых, диссипативных процессов. Так же, как ранее при анализе (7), из двух тензоров третьего (нечетного) ранга Dimn, Dimn один Dimn является независимым. Тензор третьего ранга диссипативных свойств, следовательно, может быть произвольным в отношении симметрии, т. е. не обладает свойствами симметрии относительно перестановок первого индекса и оставшейся пары индексов.

Отметим, что доказанное свойство отсутствия какой-либо симметрии из-за условий интегрируемости/неинтегрируемости является справедливым для модулей и обратимых, и необратимых процессов. По-видимому, это утверждение доказано впервые для обобщенных моделей сред [14].

Нетрудно видеть, что из условий (14) следуют свойства антисимметрии для тензоров модулей диссипативных свойств четного ранга:

Dmi — Dim 7 Dmnij — Dijmn • (15)

Воспользуемся базисами тензоров второго, третьего и четвертого рангов, чтобы последовательно исследовать структуру тензоров диссипативных свойств.

Так как в разложении тензора второго ранга по базисным тензорам Dim — D1S*im + D2(ic)-2 NiNm оба базисных тензора второго ранга S*m и NiNm не удовлетворяют свойству антисимметрии, то, следуя (15), можно утверждать, что не существует в 4D тензора диссипативных свойств второго ранга D. В результате следует принять Di — D2 — 0.

Структура тензора диссипативных свойств третьего ранга не ограничена условиями антисимметрии, потому можно по аналогии с (10) записать

Dimn — D3(tc)S*mNn + D4(ic)-iSmnNi + D5(ic)-isniNm + D6(ic)-iNiNmNn. (16)

Следовательно, тензоры диссипативных свойств третьего ранга определяются четырьмя модулями D3, D4, D5, Dq .

Тензор модулей диссипативных свойств четвертого ранга в общем виде, как и в (11), имеет структуру

Dijmn = ErS*j 5*mn + D8Aim 5*nj + D9 Ain Aj m +

A * N N + П,о„ .

jm

+ Dw6*j NmNn + DnS*mNj Nn + D12S*nNmNj + D13S*m NnNi + (17)

+ DU5*nNmNi + Dl5Ö*mnNiNj + D16Ni Nj NmNn.

Условия антисимметрии по первой и второй парам индексов ограничивают число модулей, поэтому на основании (15) следует потребовать

D7 — Ds — D9 — (Dw + D15)/2 — (D12 + D13)/2 = Dn — Du — D16 = 0. (18)

Соответственно, следуя (17) и (18), получим, что тензор четвертого ранга Dijmn определяется двумя модулями Gi и G2 и имеет вид

Dijmn — Gi(SjNmNn - S*mnNiNj)/2 + G2(StnNmNj - S*mNiNn)/2. (19)

Таким образом, предлагаемая физическая модель наделяет 4Б-среду в общем случае двадцатью физическими параметрами. Четырнадцать из них (2+4+8=14) определяют свойства среды при обратимых процессах, а шесть (0+4+2=6) - свойства среды при диссипативных процессах. В общем случае для физически нелинейных процессов эти физические параметры являются функциями всех кинематических переменных.

1.4. Определяющие соотношения. Рассмотрим соотношения (6). Их можно трактовать как общее решение однородной алгебраической системы (5) относительно производных от силовых факторов. Чтобы найти решение неоднородной алгебраической системы (14), достаточно построить частное решение этой неоднородной системы уравнений. Нетрудно проверить непосредственной подстановкой, что общее решение системы (14) будет иметь вид

^--Е- +D- Í^L-E - -D ■■

OKm I dRm

да i „ „ | да i.

(20)

— Eimn + Dimn: I . , ,, — E^jmn + Dijmn •

imn imn

dRm.n V дRm

Представление (20) является дифференциальной формой определяющих уравнений для физически нелинейных сред, справедливых и для обратимых, и для необратимых процессов. Равенства (20) можно представить в виде, удобном для интегрирования в квадратурах,

да да

— 7ГЁ> ^Ит ~Ь ТГтт (Жт>п — (Е^т ~Ь Е^т^^^тп ~Ь (Е^тп ~Ь (^1)

д^т д^т,п

'^/у — . . . . 'М'т + ~7Т~> ■п — (íEmij I+ (Е^тп + I^/ут п )'М'т .п •

д^т д^т,п

При гипотезах линейности физических уравнений и ненапряженного начального состояния из (21) вытекают линейные уравнения закона Гука

ai — (Eim + J^im^ Rm + (Eimn + Dimn)Rm:nj (22)

aij — (Emij Dmij )Rm + (Eijmn + Dijmn )Rm,,n'

Здесь модули упругости Ет, Emij и Е^тп соответствуют обратимой части процессов термомеханического деформирования (10), (11) и (13), а модули - необратимой части этих процессов (см. (15)-(19)). Запишем определяющие соотношения (22) в более подробном виде, учитывая структуру тензоров модулей упругости (9), (10), (13) и (16), (19). Уравнения закона Гука для обобщенных внутренних сил а1 в 4Б принимают вид

ai — (E3 + D3)n + Eiri + (E5 + D5)Rí+

+ [(E4 + DA)rm,m + E2R + (Еб + D6 )R](ic)-1Ni.

(23)

-1

Уравнения закона Гука для напряжений aij в 4D запишем в следующей форме

ац = (E3 - Ds)(ic)Njп + (E4 - D4)SjR+

+ (Es - D5)(ic)-1Nirj + (Еб - D6)NiNjR + E7S¡jrm,m + Esr^ + Egj + + (E10 + Ei5 + Gi)S*jR/2 + (E10 + Ei5 - Gi)NiNjrm¡m/2+ (24)

+ (E12 + Ei3 + G2)(ic)NjR¿/2 + (Eu + E13 - G2)(ic)-1Nirj/2+ + E11 (ic)-1Nj h + E14 (ic)NiRj + Ei6 NiNj R.

Исследуем физические свойства тензора напряжений aij в (24), установив соответствие компонент этого тензора с силовыми факторами, известными в механике твёрдого тела. Использовав определение силовых факторов различной тензорной размерности в 3D как физических величин, совершающих работу на соответствующих кинематических переменных, дадим определения 3D-тензора пространственных напряжений а*ь, 3D-вектора импульса pa, 3D-вектора теплового потока qa и 3D-скаляров давления p и температуры T:

а* ь = aij S*aS*b = E7 Sabrm,m + Egra,b + E9 r^a+

+ (E10 + Ei5 + Di)S*ьR/2 + (E4 - D4)S*abR;

P = aij Sij /3 =

= (Er + E8/3 + Eg/3)rm,m + (E10 + Ei5 + Gi)R/2 + (EA - DA)/R; (25)

Pa = -aijS*aNj/(ic) = -Eii(ic)-2ra - (E3 - D3)ra - (E12 + E13 + G2)R,a/2;

qa = aijNiS*a(ic) = (E12 + Ei3 - G2)r-a/2 + (Es - D5)ra + Ei4(ic)2Ra;

T = aij NiNj = (E10 + Eis - Gi )rm,m/2 + EWR + (E6 - D6)R.

1.5. Идентификация параметров модели. Будем полагать, что идентификацию параметров модели следует осуществлять отдельно для обратимых и необратимых процессов, так как отмеченные процессы дополняют друг друга. Рассматривая обратимые процессы, далее следует принять равными нулю все дис-сипативные модули Da = 0, а = 1:6 или Gi = G2 = 0, D3 = D4 = D5 = Dq = 0.

Идентификацию модулей обратимых свойств начнем с закона Гука для 3D-тензора-девиатора пространственных напряжений. Из уравнений (25) имеем

<ь = а**ь/2 + aba/2 - ^к/3 = (Es + E9)(rafi/2 + rb,a/2 - rKkS*b/3). (26)

Уравнения закона Гука для 3D-тензора-девиатора пространственных напряжений (26) полностью совпадают с классическими. Единственная комбинация модулей легко отождествляется с удвоенным модулем сдвига:

E8 + Eg = 2р. (27)

Уравнение закона Гука для антисимметричной части 3D-тензора касательных напряжений (см. (25)) имеет вид

(a*aь - ala)/2 = (Es - Eg)(rafi - rb,a)/2.

В соответствии с классической «гипотезой парности касательных напряжений» третий коэффициент Ламе должен быть равен нулю:

(Es - Eg) = 2x = 0.

(28)

В совокупности с определением первых двух коэффициентов Ламе гипотеза парности дает (см. (26)-(28))

Е7 = X, Е8 = Е9 = (29)

Таким образом, определены три исходных модуля (29) через два коэффициента Ламе X, л и третий, неклассический коэффициент Ламе х, который в силу гипотезы парности следует считать равным нулю. Уравнение закона Гука для температуры содержит три исходных модуля обратимых свойств (25)

Т = (Е1о + Е^ )ттт/2 + Е^ + Е1?Л (30)

Введем для двух линейных комбинаций исходных модулей следующие обозначения:

(Е10 + Е15)/2 = -{К~Кт\ Е16=тЕ6. (31)

Кт а

Уравнение закона Гука для температуры (30) с учетом (31) приобретает вид

Кта

Из уравнения закона Гука для температуры (32) следует определение оператора температуры 1(...):

¿(Д) = Д6(Д + тД)=Г + {К~Кт)гт,т. (33)

Кта

Подействуем на уравнение закона Гука (25) для теплового потока оператором температуры (33) и найдем

Ча + тЧа = -ку

Т+К-Ктг

^ < Т^ 171,171

Кт а

Е\2 + Е\з .. +---тга +

Е\2 + Е\з

+ Е5т

2

+

(34)

Га + Е5Га.

Полученное уравнение является обобщением закона теплопроводности Максвелла-Каттанео. Оно построено как уравнение совместности путем исключения термического потенциала R из уравнений закона Гука для температуры и теплового потока. Это уравнение полностью совпадает с классическим законом Максвелла-Каттанео при справедливости «ослабленной гипотезы Фурье» - тепловой поток должен быть потенциальным векторным полем и не содержать вектор перемещений и его производные по времени, иначе поле перемещений будет иметь вихревую составляющую, что противоречит экспериментальным данным о потенциальности теплового потока. Полученное обобщение закона теплопроводности Максвелла-Каттанео (34) содержит пять линейных комбинаций исходных модулей. Три модуля, в соответствии с классическими представлениями, выражаются через время т релаксации теплового потока, коэффициент теплопроводности ку при постоянном объёме и комбинацию известных термомеханических параметров (К — Кт)/(Кта), где К , Кт - соответственно адиабатический и изотермический модули объёмной деформации, а - коэффициент температурного расширения.

Ещё две комбинации исходных модулей можно принять равными нулю на основании «ослабленной гипотезы Фурье»:

= о, е5 = о. (35)

а

Подействуем на уравнение закона Гука для давления (25) оператором температуры и найдем

р + тр = Обозначим

К +

ЕА К -Кт

Ев Кт а

+ —Т +

пг,пг ~ 77 ~

Ев

(Ею + Е15) (К - Кт)

2Ев

Кт а

+ Кт

Е4 = -Кт аЕв.

(36)

В результате с учетом (35) и (36) получим

р + тр =

= Кт (тт,т - аТ) +

(Ею + Е15) (К - Кт)

2Ев

Кт а

+ Кт

{Е10 + Е15)- (37) 2 Ек

Полученное обобщение закона Дюамеля-Неймана является уравнением совместности - результатом исключения из уравнений закона Гука (25) для температуры и давления термического потенциала. Оно полностью совпадает с классическим законом Дюамеля-Неймана в предельном случае затухания всех термомеханических переходных процессов, когда слагаемыми, содержащими производные по времени в (37), можно пренебречь по сравнению со слагаемыми, содержащими сами функции.

Наконец, рассмотрим уравнение закона Гука (25) для импульса

Ра = -Еп('1в) 2Га - ЕзГа -

Е12 + Е 1з 2

Е.а.

(38)

Оно не должно противоречить классическому определению импульса. Поэтому из трех модулей, входящих в выражение для импульса, один будет определяться через плотность среды р, а оставшиеся две комбинации следует положить равными нулю:

т? 2 т? п Е12 + Е13 п Еп = рс , Е3 = 0, --- = 0.

(39)

В случае условий (39) уравнение закона Гука для импульса принимает классический вид ра = рга.

Из принципа возможных перемещений (2) с учетом (23), (25) и условий (29), (31), (35) следуют 4Б-уравнения равновесия:

ЯЦ.З - + рУ =

(К - Кт)

= (2р + А)гт,тг + р(Ап - - рп - КТаЕ6Н---Кл+

Кт а

+

-ку Ев АН. + тЕвК - Е2Н - Кт аЕвтт.т -

(К-КТ).

Кт а У

(40)

(го)-1К^+

+ РУ4 = 0.

Положим, что в уравнении (40) использована «гипотеза отсутствия винклеров-ских оснований». В результате получим (см. (40) и (21))

Е1 =0, Е2 = 0.

(41)

Разделим (40) на пространственную и временную части и учтем (41). Пространственная часть полученных равенств даст 3Б-уравнения движения с учетом теплообмена

(2р+\)гт,тк + р{Агк - гт,тк)~ ргк-КтаЕвКк-^К Кк+Р^5*к = 0. (42)

УЧЛИ

Уравнения движения в смешанной форме (в 3Б-перемещениях и температуре) получим, подействовав на уравнения движения (42) оператором температуры (33):

(2л + Хт )тт,тк + ¡(Атк — тт,тк) — рГк + Ру 5*к — Кт аТ,

+

+ т

(2р + Х)тт,тк + ¡(АГк — тт,тк) — р'т к + Ру 5*к

(43)

(К - Кт)

Кт аЕб

Т+{К-Кт)гп Кт а

= 0.

Оставшуюся неопределенной константу формально выразим через другую константу I:

ку( 2М + А)

6 Р (КтаУ ' 1 ;

В результате с учетом (44) уравнения движения (43) примут вид

(2л + Хт )тт,тк + ¡(Атк — гт,тк) — рГк + Ру 5*к — Кт аТ,к

+

+ т

(2л + Х)тт,тк + ¡(АГк — тт,тк) — р'г к + Ру

(45)

V К-КТ

ку 2л + X

Кт аТ +(К — Кт )т„

= 0.

,к

Временная часть уравнения (45) даст скалярное уравнение нестационарного баланса тепла

— ку АR + тИ — (Кт а)тт,т —

I2 (Кта)(К — Кт) .

--Г г

ку 2л + X

г +

(46)

Уравнение нестационарного баланса тепла в смешанной форме (46) при действии на него оператором температуры (33) приобретет вид

- куАТ + тТ - ку ДГт т -

ку 2л + X

КТа

Кт а

тт,т + (Ру + тРу )({сЩ = 0.

тку (2/х + А) (К - Кт)

I2 Кт а

Кт а

(47)

Таким образом, дана идентификация всем модулям обратимых свойств в 4Б-термомеханике обратимых процессов. Из четырнадцати исходных модулей семь выражены через известные физические константы материала л^^т ,а,р,ку ,т, шесть модулей Е\, Е2, Е3, Е5, (Е& — Ед)/2, (Е12 + Е\з)/2 приняты равными нулю в силу сформулированных физически обоснованных гипотез и один в силу определения (44) выражен через неизвестную физическую константу I, которая будет идентифицирована ниже:

Е\ = Е2 = Е3 = 0, Е4 = —Кт аЕб, Е5 = 0,

Ей =

1 (2М) + А )ку Р {Кта)2 '

Е7 = X, Е8 = Ед = ¡л,

Ею + Е\5 (К — Кт)

2

Е12 + Е13 2

Кт а

Еп = рс2,

= 0, Е14 = ку Еве

Е16 = тЕв

к

к

к

т

УЧЛИ

2

С учётом равенства (48) уравнения закона Гука примут вид

а*аЬ = 2р(та,ь/2 + ть,а/2 - тт,т6*аь/3+ +

(о /ч, тл К-КТЪ ку 2М + А р

с*

даЫ

ю /ч, тл К-Ктъ ку 2М + А

р = (2/х/З + А)гт,т - Я - — Я,

Ра = рТа,

(49)

а

ку 2^+А

К -Кт ку2р + Х ■

Т = ~Кт^~Гт'т + ~Р ТК^аГ^'+ТЯ)-

2. Вариационная постановка связанной задачи для диссипативных

термомеханических процессов

Сформулируем обобщенный вариант вариационного принципа для диссипативных процессов, согласно которому вариационное уравнение принципа возможных перемещений представляется в виде разности вариации лагранжиана обратимой части и суммы каналов диссипации различных рангов (третьего и четвертого рангов (см. раздел 1.2.). Учитывая (2), получим

51 - Ш = 0 1 2

1 Г

_£/ — А — I

_ 1 г ^

= — / \DimlRm5Ri — Нг6Кт) + 2Атп(Дт,п<^Дг — Иг^Ет,п) +

+

Суммарный дифференциальный порядок каждого из слагаемых лагранжиана не должен превышать двух (для рассматриваемой модели) так же, как и суммарный дифференциальный порядок каждого из слагаемых в каналах диссипации. При этом каналы диссипации могут быть классифицированы по рангу тензоров диссипативных модулей. Для «классических» моделей, рассматриваемых в работе, каналы диссипации ограничены каналами третьего и четвертого рангов. Для градиентных моделей связанных постановок алгоритм построения вариационной модели остаётся прежним, но суммарный дифференциальный порядок каждого из слагаемых лагранжиана не должен превышать четырех, причем каналы диссипации дополнительно могут содержать каналы диссипации пятого и шестого рангов, и суммарный дифференциальный порядок каждого из слагаемых в любом канале диссипации не должен превышать четырех.

Каналы диссипации, построенные на аргументах соответствующих билинейных слагаемых плотности энергии, с учетом уравнений закона Гука и структуры тензоров модулей диссипативных свойств, в общем случае имеют вид

Г

Dijmn

= 511 \ + Зи2 + 6И3 + би4 + 6И5 + би6,

би1 = ¡С^-г^Щ^ би2 = I

Зи3 = ! Бз(п6гг - п6п)(Щ, ёиА = J 0А(г„^т5к - (51)

~Щ= ! В5(КАЗп - пЗК^У.4, ~Щ = J 0&(К5К- К5К)вУА.

Отметим, что каналы диссипации третьего ранга в (51) играют важную роль при формулировке диссипативных моделей, так как содержат не только каналы диссипации в связанных термомеханических процессах. Действительно, канал диссипации би3 определяет соответствующую гидродинамику Дарси безотносительно к связности с теплообменом, а канал диссипации 611в определяет классическое уравнение теплообмена и закон теплопроводности Фурье [17].

3. О постановке начально-краевых условий

Рассмотрим множество событий, определяющих состояние термоупругого тела в пространстве-времени. В некоторый момент времени оно занимает некоторый заданный ЗБ-объём, ограниченный замкнутой 2Б-поверхностью. С точки зрения 4Б-пространства, такая ситуация по аналогии заменяется гиперплоскостью с нормалью, направленной параллельно орту времени, на которой определен замкнутый 2Б-контур, соответствующий замкнутой поверхности в ЗБ. События, лежащие на гиперплоскости внутри замкнутого контура, относятся к событиям, происходящим внутри и на поверхности ЗБ-объёма. В разные моменты времени замкнутая поверхность и объём термоупругого тела мало отличаются друг от друга. Иначе, пространство событий, определяющее некоторый термомеханический процесс, является гиперцилиндром с образующей, параллельной орту времени, и направляющей, совпадающей с замкнутой ЗБ-поверхностью термоупругого тела (замкнутым 2Б-контуром в 4Б). По определению орт нормали к гиперцилиндрической поверхности п^ ортогонален орту времени N и совпадает с ортом нормали к поверхности термоупругого тела. На основании введенных понятий и определений геометрия пространства событий ограничивается суммой трёх гиперповерхностей: гиперцилиндром и двумя «временными» плоскими донышками. Вариационный принцип в 4Б для связной модели термомеханических процессов запишем в виде (2)

- <л + рЪ) ¿УА +

рГ4 - п4

= о,

(52)

V! Г4

орт 4Б-нормали к замкнутой гиперповерхности, ограничивающей про-

„4

где п

странство событий. Напомним, что на донышках п^ = тNj, а на гиперцилиндрической поверхности п| = nj, п= nj, п±N.

В каждой неособенной точке гиперповерхности существуют четыре пары альтернативных граничных условий. Уточним физический смысл этих условий. Граничные условия на гиперцилиндрической поверхности при п4 = пц можно переписать, воспользовавшись разложением вектора 4Б-перемещений на пространственную и временную части (52):

рГ - п4] 4

РгГ - К" а

П4-Пз = 1 3 3

П4-Пз = 1

33

+

РГ4N - (оцN15ЗЬ)ПЬ\ (ге)5Ш¥4 = 0.

(5З)

о

4,3

*

4

1

п . п о

В равенстве (53) первые три альтернативные пары граничных условий совпадают с классическими граничными условиями классической теории упругости: или задана компонента ЗБ-перемещений га, или в соответствии с (25) задана компонента результирующей внешних и внутренних сил / {Р^4 — а*аъпъ) = 0.

и4ГЧ = 1 3 3

Четвертая альтернативная пара граничных условий позволяет записать граничные условия для уравнения баланса тепла в связанной постановке. В соответствии с последним слагаемым в (53) граничное условие задает термический потенциал К или

тепловой поток дъ, / {р^4 N1 — дъЩ^ 6К<1Г4 = 0.

На временных донышках (при n¿4Nj = т1) так же, как и на гиперцилиндрической поверхности, в каждой точке заданы четыре пары альтернативных граничных условий

У (р?4 — ац5к^а = У [Р[4 — (ац5*аЩ)] 6^Г4Т

3 Г г 1 3 (54)

Т [Р[4N — (ацNN)] (гс)5ШРА = 0.

Первые три альтернативные пары граничных условий в (54)

У (PF4 - Po) SradF4 = 0

П4 =м 3

совпадают с классическими условиями теории упругости в начальный момент времени при п4 = —Nj ив конечный момент времени п4 = Nj процесса (заданы или компонента ЗБ-импульса ра = —ацS*aNj¡{с (см. (25)), или компонента ЗБ-вектора перемещений га). Четвертая пара альтернативных граничных условий определяется последним слагаемым в равенстве (54)

У (PF4 ni - T) SRdF4 = 0.

=N j

В этом случае или задано начальное распределение поля температуры в ЗБ-объёме термоупругого тела Т, или задан термический потенциал К. Таким образом, дан анализ спектра краевых задач для связанных задач обратимой термомеханики.

4

n t

4. Математическая постановка связанной термомеханики для

бесконечного слоя

Пусть 3Б-вектор перемещений имеет единственную компоненту, определяющую продольные перемещения бесконечного слоя ri = r(x, t)Xi. Положим, что термический потенциал также является функцией двух координат: R = R(x, t). Уравнение движения (45) и уравнение баланса тепла (47) приобретут в этом случае вид

(2р + А)гн - рг- КтаЕвП1 - ^ ~ Кт^> R1 = 0, (55)

-Ктаг1 - Щ—^г1 - kvR11 + tR = 0. (56)

Kt аЕб

Введем общий потенциал для функций г, К так, чтобы уравнение баланса тепла (56) удовлетворялось тождественно. Тогда разрешающее уравнение на общий потенциал примет вид (см. (55))

/У +

Р (К~ Кт?

(2ц + Х) ку (2ц + Х)ку (Кт а)2Е6

-II _ Р т * (2ц + Х)ку^

(Кта)2Е6 п П(К-КТ) ,п

'Р ~ То-\Т5—V =

(57)

(2ц + Х)ку^ (2ц + Х)ку

где

ку гг т •• г. г (К - Кт) . г V + ——К = / + —

Кт а Кт а ' (Кт а)2Еб

Будем искать решение (57) в виде суперпозиции «плоских волн»:

<р = екх+^г. (58)

Подставив (58) в (57), получим закон дисперсии для термомеханических волн

к4 + -

Р г (К-Кт)2

(2ц + X) ку (2ц + Х)ку (Кт а)2Е6_

и2-

2.: К-Кт ^ _ (Кта)2Е6 } /;2 _ р т ^ = о 1(2ц + Х)куШ (2ц + Х)ку\ (2ц + Х)кукуШ

(59)

Из закона дисперсии (59) следует, что для каждого действительного значения круговой частоты при К = Кт будут иметь место две пары комплексно-сопряженных корней для волновых чисел. Наличие у волновых чисел действительной части говорит о том, что «пространственные волны» могут иметь экспоненциальное затухание/возрастание по пространственным координатам. Решение с экспоненциальным затуханием по пространственным координатам можно интерпретировать как пространственно-локализованные термомеханические поля-псевдочастицы. Механическим полям соответствуют фононы, а температурные поля по аналогии можно назвать термонами. Общий случай К = Кт соответствует учету диссипативных механических эффектов, может существенно изменять вид решений - ветвей дисперсионного уравнения, и придавать материалам свойства акустических материалов с отрицательным индексом [18].

Заключение

В статье использован 4Б-подход к построению динамических моделей термомеханики сплошной среды. Предложена процедура идентификации физических параметров общей модели. Для обратимой части связных термомеханических процессов физические модули предложенной модели выражены через известные термомеханические параметры ц, X, Хт ,а, р,ку ,т - модули упругости, коэффициент температурного расширения, плотность, коэффициент теплопроводности и коэффициент запаздывания теплового потока соответственно. Другая часть определяется из условий согласованности общей модели обратимых процессов с правдоподобными физическими гипотезами: парности пространственных касательных напряжений, классической формы связи импульса со скоростью, потенциальности теплового потока, обобщение закона Дюамеля-Неймана. Развит вариационный принцип, обобщающий вариационный принцип Л.И. Седова, который представляет уравнение возможной работы всех внешних и внутренних силовых факторов как разность вариации лагранжиана обратимых термомеханических процессов и алгебраической

суммы каналов диссипации - линейных по вариациям аргументов, неинтегрируе-мых вариационных форм. Модули упругости идентифицированы по спектру дис-сипативных каналов теории. Доказано, что для рассматриваемой общей модели неградиентного типа возможно существование всего шести каналов диссипации. При этом два из них определяют диссипацию собственно термомеханических процессов, а оставшиеся четыре канала - эффекты связанности в связанных задачах диссипативной термомеханики.

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 23-11-00275), выданного Институту прикладной механики РАН.

Литература

1. Joseph D.D., Preziosi L. Heat waves // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61, No 1. P. 41-73. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.61.41.

2. Lepri S., Livi R., Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices // Phys. Rep. 2003. V. 377, No 1. P. 1-80. https://doi.org/10.1016/S0370-1573(02)00558-6.

3. Dhar A. Heat transport in low-dimensional systems // Adv. Phys. 2008. V. 57, No 5. P. 457-537. https://doi.org/10.1080/00018730802538522.

4. Zhang G., Li B. Impacts of doping on thermal and thermoelectric properties of nanomaterials // Nanoscale. 2010. V. 2, No 7. P. 1058-1068. https://doi.org/10.1039/C0NR00095G.

5. Cattaneo C. Sur une forme de l'equation de la chaleur eliminant la paradoxe d'une propagation instantantee // C. R. de l'Acad. des Sci. 1958. T. 247. P. 431-433.

6. Wang M., Cao B.-Y., Guo Z.-Y. General heat conduction equations based on the thermomass theory // Front. Heat Mass Transfer. 2010. V. 1, No 1. Art. 013004. https://doi.org/10.5098/hmt.v1.1.3004.

7. Sobolev S.L. Rapid phase transformation under local non-equilibrium diffusion conditions // Mater. Sci. Technol. 2015. V. 31, No 13. Pt. A & B. P. 1607-1617. https://doi.org/10.1179/1743284715Y.0000000051.

8. Лурье С.А., Белов П.А., Яновский Ю.Г. О моделировании теплопереноса в динамически деформируемых средах // МКМК. 2000. Т. 6, № 3. С. 436-444.

9. Belov V.N., Gorshkov A.G., Lurie S.A. Variational model of nonholonomic 4D-media // Mech. Solids. 2006. V. 41, No 6. P. 22-35.

10. Lurie S.A., Belov P.A. On the nature of the relaxation time, the Maxwell-Cattaneo and Fourier law in the thermodynamics of a continuous medium, and the scale effects in thermal conductivity // Continuum Mech. Thermodyn. 2020. V. 32, No 4. P. 709-728. https://doi.org/10.1007/s00161-018-0718-7.

11. Lomakin E. V., Lurie S.A., Belov P.A., Rabinskiy L.N. On the generalized heat conduction laws in the reversible thermodynamics of a continuous medium // Dokl. Phys. 2018. V. 63, No 12. P. 503-507. https://doi.org/10.1134/S102833581812011X.

12. Belov P.A., Lurie S.A. On variation models of the irreversible processes in mechanics of solids and generalized hydrodynamics // Lobachevskii J. Math. 2019. V. 40, No 7. P. 896-910. https://doi.org/10.1134/S1995080219070060.

13. Belov P.A., Lurie S.A., Dobryanskiy V.N. Variational formulation of linear equations of coupled thermohydrodynamics and heat conductivity // Lobachevskii J. Math. 2020.

V. 41, No 10. P. 1949-1963. https://doi.org/10.1134/S1995080220100042.

14. Gusev A.A., Lurie S.A. Wave-relaxation duality of heat propagation in Fermi-Pasta-Ulam chains // Mod. Phys. Lett. B. 2012. V. 26, No 22. P. 125-145. https://doi.org/10.1142/S021798491250145X.

15. Седов Л.И., Эглит М. Э. Построение неголономных моделей сплошных сред с учетом конечности деформаций и некоторых физико-химических эффектов // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142, № 1. С. 54-57.

16. Sedov L.I. Mathematical methods for constructing new models of continuous media // Russ. Math. Surv. 1965. V. 20, No 5. P. 123-182. https://doi.org/10.1070/RM1965v020n05ABEH001191.

17. Белов П.А., Лурье С.А. Вариационная формулировка градиентной необратимой термодинамики // Вестн. ПНИПУ. Механ. 2023. № 5. С. 36-44.

18. Lu Q., Li X., Zhang X., Lu M., Chen Y. Perspective: Acoustic metamaterials in future engineering // Engineering. 2022. V. 17. P. 22-30. https://doi.org/10.1016/j.eng.2022.04.020.

Поступила в редакцию 21.08.2023 Принята к публикации 24.09.2023

Лурье Сергей Альбертович, главный научный сотрудник, доктор технических наук Институт прикладной механики Российской академии наук (ИПРИМ РАН)

Ленинградский просп., д. 7, г. Москва, 125040, Россия E-mail: salurie@mail.ru Белов Пётр Анатольевич, ведущий научный сотрудник, доктор физико-математических наук

Институт прикладной механики Российской академии наук (ИПРИМ РАН)

Ленинградский просп., д. 7, г. Москва, 125040, Россия E-mail: belovpa@yandex.ru Волков Александр Владимирович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник

Институт прикладной механики Российской академии наук (ИПРИМ РАН)

Ленинградский просп., д. 7, г. Москва, 125040, Россия E-mail: volkov.9291@mail.ru

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2023, vol. 165, no. 3, pp. 246-263

ORIGINAL ARTICLE

doi: 10.26907/2541-7746.2023.3.246-263

Variational Formulation of Thermomechanical Problems

S.A. Lurie*, P.A. Belov**, A.V. Volkov***

Institute of Applied Mechanics, Russian Academy of Sciences, Moscow, 125040 Russia E-mail: *salurie@mail.ru, ** belovpa@yandex.ru, *** volkov.9291@mail.ru

Received August 21, 2023; Accepted September 24, 2023 Abstract

This article proposes that a 4D space-time continuum is used for building variational thermomechanical continuum models. In order to identify physical constants in reversible processes, physically justified hypotheses were formulated. They are the hypotheses of complementary shear stress, classical dependence of momentum on velocity, and heat flow potentiality (generalized Maxwell-Cattaneo law). The Duhamel-Neumann law was assumed to be classical. In the considered model, the generalized Maxwell-Cattaneo and Duhamel-Neumann laws were not introduced phenomenologically. They were derived from the compatibility equations by excluding thermal potential from the constitutive equations for temperature, heat flow, and pressure. Dissipation channels were considered as the simplest non-integrable variational forms, which are linear in the variations of arguments. As a result, a variational principle that generalizes L.I. Sedov's principle was developed. It is a consequence of the virtual work principle and termed as the difference between the variation of the Lagrangian of reversible thermomechanical processes and the algebraic sum of dissipation channels. It was proved that for the classical thermomechanical processes, with second-order differential equations, there can only exist six dissipation channels. Two of them determine dissipation in an uncoupled system - in the equations of motion and heat balance. The remaining four channels define coupling effects in coupled problems of dissipative thermomechanics.

Keywords: thermoelasticity, heat balance, thermomechanical processes, reversibility and dissipativity, generalized Maxwell-Cattaneo law, generalised Duhamel-Neumann law, identification of thermoelastic moduli

Acknowledgments. This study was performed under the financial support of the Russian Science Foundation (project no. 23-11-00275) for the Institute of Applied Mechanics, Russian Academy of Sciences.

References

1. Joseph D.D., Preziosi L. Heat waves. Rev. Mod. Phys., 1989, vol. 61, no. 1, pp. 41-73. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.61.41.

2. Lepri S., Livi R., Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices. Phys. Rep., 2003, vol. 377, no. 1, pp. 1-80. https://doi.org/10.1016/S0370-1573(02)00558-6.

3. Dhar A. Heat transport in low-dimensional systems. Adv. Phys., 2008, vol. 57, no. 5, pp. 457-537. https://doi.org/10.1080/00018730802538522.

4. Zhang G., Li B. Impacts of doping on thermal and thermoelectric properties of nanomaterials. Nanoscale, 2010, vol. 2, no. 7, pp. 1058-1068. https://doi.org/10.1039/C0NR00095G.

5. Cattaneo C. Sur une forme de l'equation de la chaleur eliminant la paradoxe d'une propagation instantantee. C. R. de l'Acad. des Sci., 1958, t. 247, p. 431-433. (In French)

6. Wang M., Cao B.-Y., Guo Z.-Y. General heat conduction equations based on the thermomass theory. Front. Heat Mass Transfer., 2010, vol. 1, no. 1, art. 013004. https://doi.org/10.5098/hmt.vL1.3004.

7. Sobolev S.L. Rapid phase transformation under local non-equilibrium diffusion conditions. Mater. Sci. TechnoI., 2015, vol. 31, no. 13, pt. A & B, pp. 1607-1617. https://doi.org/10.1179/1743284715Y.0000000051.

8. Lurie S.A., Belov P.A., Yanovskii Yu.G. On simulation of heat transmission in dynamically deformed media. Mekh. Kompoz. Mater. Konstr., 2000, vol. 6, no. 3, pp. 436-444. (In Russian)

9. Belov V.N., Gorshkov A.G., Lurie S.A. Variational model of nonholonomic 4D-media. Mech. Solids, 2006, vol. 41, no. 6, pp. 22-35.

10. Lurie S.A., Belov P.A. On the nature of the relaxation time, the Maxwell-Cattaneo and Fourier law in the thermodynamics of a continuous medium, and the scale effects in thermal conductivity. Continuum Mech. Thermodyn., 2020, vol. 32, no. 4, pp. 709-728. https://doi.org/10.1007/s00161-018-0718-7.

11. Lomakin E.V., Lurie S.A., Belov P.A., Rabinskiy L.N. On the generalized heat conduction laws in the reversible thermodynamics of a continuous medium. Dokl. Phys., 2018, vol. 63, no. 12, pp. 503-507. https://doi.org/10.1134/S102833581812011X.

12. Belov P.A., Lurie S.A. On variation models of the irreversible processes in mechanics of solids and generalized hydrodynamics. Lobachevskii J. Math., 2019, vol. 40, no. 7, pp. 896-910. https://doi.org/10.1134/S1995080219070060.

13. Belov P.A., Lurie S.A., Dobryanskiy V.N. Variational formulation of linear equations of coupled thermohydrodynamics and heat conductivity. Lobachevskii J. Math., 2020, vol. 41, no. 10, pp. 1949-1963. https://doi.org/10.1134/S1995080220100042.

14. Gusev A.A., Lurie S.A. Wave-relaxation duality of heat propagation in Fermi-Pasta-Ulam chains. Mod. Phys. Lett. B., 2012, vol. 26, no. 22, pp. 125-145. https://doi.org/10.1142/S021798491250145X.

15. Sedov L.I., Eglit M.E. Construction of nonholonomic models of continuous media with allowance for the finite nature of deformations and certain physico-chemical effects. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1962, vol. 142, no. 1, pp. 54-57. (In Russian)

16. Sedov L.I. Mathematical methods for constructing new models of continuous media. Russ. Math. Surv., 1965, vol. 20, no. 5, pp. 123-182. https://doi.org/10.1070/RM1965v020n05ABEH001191.

17. Belov P.A., Lurie S.A. Variational formulation of gradient irreversible thermodynamics. Vestn. PNIPU. Mekh., 2023, no. 5, pp. 36-44. (In Russian)

18. Lu Q., Li X., Zhang X., Lu M., Chen Y. Perspective: Acoustic metamaterials in future engineering. Engineering, 2022, vol. 17, pp. 22-30. https://doi.org/10.1016/j.eng.2022.04.020.

/ Для цитирования: Лурье С.А., Белов П.А., Волков А.В. Вариационная постанов/ ка задач термомеханики // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. \ Т. 165, кн. 3. С. 246-263. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.246-263.

For citation: Lurie S.A., Belov P.A., Volkov A.V. Variational formulation / of thermomechanical problems. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. \ Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 3, pp. 246-263. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.246-263. (In Russian)