CC BY
7МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 539.374 DOI 10.51608/26867818_2021_3_41
ВАРИАНТ СДВИГОВОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АДГЕЗИОННОГО СЛОЯ С УЧЕТОМ ЕГО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ*
© 2021 В.Э. Богачева, В.В. Глаголев, О.В. Инченко**
В работе рассмотрена постановка задачи напряженно-деформированного состояния тонкого адгезионного слоя в слоистом композите при сдвиговом характере нагружения с учетом возможного упругопластического деформирования.
Ключевые слова: композит, адгезионный слой, упругопластическое деформирование.
При моделировании прочности адгезионных соединений основным подходом является представление адгезионного слоя слоем нулевой толщины, а также использование критериальной базы механики квазихрупкого разрушения [1-2]. В этом случае пренебрегают толщиной адгезива, при этом его механические свойства сводятся к адгезионным силам взаимодействия [3] сопряженных слоем материалов, которые могут иметь разные механические [4] или прочностные свойства [5]. При таких условиях аналитические решения получаются, как правило, в рамках тех или иных упрощающих гипотез [6-10].
В данной работе предлагается постановка задачи нагружения адгезионного соединения с упругопластическими свойствами близкая к регламентной схеме испытания на адгезионную прочность ГОСТ 14759-69.
Рассмотрим композитную пластину, состоящую из двух консолей 1 и 2 с одинаковыми механическими свойствами, каждая из которых имеет длину I и толщину к . Консоли сопряжены адгезионным слоем тол-
щиной 80 по отрезку £ (рис.1). Горизонтальная распределенная нагрузка постоянной интенсивности Р действует на левом торце консоли 1. Правый торец пластины жестко закреплен от перемещений. Остальная поверхность пластины свободна от напряжений. Будем считать материал AC идеально упругопластическим, а материал пластин - линейно упругим. Также будем полагать, что пластические деформации в слое происходят по длине
х1 е1р — Iр\когда значение
интенсивности внешней нагрузки соответствует началу пластического течения в вершине слоя. Необходимо определить НДС для данного композита.
Рис. 1. Схема нагружения композитной пластины
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и правительства Тульской области в рамках научного проекта № 19-41-710001 р_а.
** Богачева Виктория Эдуардовна (v.boga4eva2014@yandex.ru) - магистрант; Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru) - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной механики и математики; Инченко Оксана Владимировна (inchenko_ov@mail.ru) - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной механики и математики; все - Тульский государственный университет (Тула, РФ).
Для описания взаимодействия слоя 3 с консолями 1 и 2 будем использовать концепцию «слоя взаимодействия», получившую развитие в работах [11-13]. В этом случае, равновесие тел 1 и 2, запишем в вариационной форме для консоли 1:
| а • •S£ds + |ст22£и++
jct12ôu+dxx
+
+0.5£01 Jctu dxx + J
Vi ôx1 i
= Jp • ôudi
ôôu+
12
ôx
■dx.
i
Li
(1)
и для консоли 2: | а • •дsds — |ст22£и—dx1 —
- J crnôu- dxl
+
+0-5ô0 ^ndxi + J
= -J P ôudl,
CT
ôôu -
ÔXj
■dxl
(2)
где ^, - площади тел 1 и 2; Ь,Ь2 - контуры левых торцов тел 1 и 2; а, е - тензоры напряжений и деформаций в телах 1 и 2;
^п'^22'^12'^22'^12- компоненты тензоров средних напряжений и деформаций слоя 3 с соответствующими компонентами:
X ) = ^(Х1 ) = "Т I ()^ ,
0 -0.5ô„
j 0.5ôo
CT22 ( Xi ) = "i J CT22 ( Xi, X2 ) dx2 '
ôC\ Л С s
0 -0.5ô 0.5ô
_ 1
CT11 ( X1 ) = I CT11 ( Xi, X2 ) dx2 i ô i
0 -0.5ô
£22 I x
( x ) =
^ ч -
u^ ( x ) U2
( x1)
ô
£21 ( X1 ) = £12 ( X1 ) = ui+( X1 )- u-( X1 )
= 0.5
ô
+
+0.5
ôu2+( x1 ) ôu— ( X1 )
\\
ôx
ôx
//
где Щ,Щ - соответственно компоненты векторов перемещений верхней и нижней границ слоя; к = 1,2 здесь и далее. Предполагается жесткое сцепление между границами АС и консолями 1 и 2, а также равенство модулей и противоположность направлений векторов напряжений по границам адгезионного слоя.
Замкнем уравнения (1) и (2) физическими соотношениями в виде закона Гука: Е Г \
CT,
1 + V
V
£j + TVV
(3)
У
= где V, Е - коэффициент Пуассона и модуль упругости тел 1 и 2; 6.. - символ Кро-
8 &п + &22 + 833
некера; I,. = 1,2,3, объемное расширение.
Определяющие соотношения для материала слоя считаем справедливыми для средних компонент тензоров напряжений и деформаций. Определяющие соотношения в области упругого деформирования примут вид:
с
1+ V
+г
■2v
(4)
V " у
где V, Е - коэффициент Пуассона и модуль упругости АС.
Определяющие соотношения для средних по толщине слоя напряжений в области упругопластического деформирования АС принимаем в виде критерия Треска - Сен-Венана [14]:
—max
CT
'0'
(5)
i
L
2
ф
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2021. № 3 (12)
EXPERT: THEORY AND PRACTICE
- макси- — Œ
где т0 - предел текучести, ст12 мальное касательное напряжение.
Таким образом, решение системы (1) -(5) сводится к определению поля перемещений и (х1, х2 ) в консолях 1 и 2 (рис. 2)
при заданных граничных условиях.
Для упрощения задачи полагаем, что поле перемещений задается в соответствии с концепцией «дифференциального сдвига» [15] в теле 1:
щ (x, X ) = и+(x ) Щ (X,x2 ) = 0, (6)
и теле 2:
ставление:
22
Œ
К -
33
(1 -К )
Œ . При этом, в силу (7),
касательные напряжения слоя связаны с пределом текучести следующим соотношением:
Œ12 =-
У4то - ßau
2
(9)
где ß =
1 - 4Кз + К
(1 -Кз )2
U (Х1, Х2 ) = U (Х1) U (, Х2 ) = 0 . (7)
При рассматриваемой схеме нагружения для средних напряжений в слое для плоской деформации реализуется напряженное состояние следующего вида:
än ф 0; ¿г22 Ф 0; <г12 Ф 0; < Ф 0. (8)
Будем полагать, что в области пластического деформирования имеет место упругая сжимаемость < = 3Ks, где
(j = äu +< +<зз ■ Для материала слоя в состоянии плоской деформации, как, например, в работе [16], принимаем равенство
нулю пластических Sp = 0 и упругих компонент деформаций 8еъъ = 0 в направлении базисного вектора £3. Учитывая положения (6) и (7), считаем равными нулю пластические s!p2 = 0 и упругие компоненты деформаций ¿>22 = 0 в направлении базисного вектора £2. Полагаем деформации малыми и для стадии упругопластического деформирования считаем справедливым пред-
,p
V V -ы J Учитывая (6)-(9), преобразуем систему (1)-(2) к дифференциальным уравнениям для тела 1:
-— = 0 на участке х е[-а;0); (10)
йх^
к^ + 05& ^
dx,
dxj
на участке xl hd°n ,
= 4т -ßä2n 2
(0; lp ); (11) da
0.55r
'и
dx ^ dxj
a
21
h
на участке xl (12)
VT -ß°2i
da- + ож da ii
dx
'о
1
dx
2
на участке xl G -
и тела 2:
, da\21 da 11
h—1 + 0.55, —-
-ßv
dx,
dx у на участке x
2
s^=sl +sp, i = 1,2,3. То-
da (2)
+ 0.55
(0; lP ) ;
da,.
(14)
гда, в области пластического деформирования получаем: . Таким образом, диагональные напряжения в слое и на стадии упругопластического деформирования задаются в виде (6). Следовательно,
dx, 0 dx1 a 21
на участке xl Е (dр; d - £р); (15)
hdJH+0Ж da 11
dx
1
на участке Xj
-ßv2n
dx 2
(t-ep;t)-,(i6)
с1сг(2)
-— = 0 на участке (17)
сЬс^
Решения уравнений сопрягаются в точках = 0:
G
= P,
hG
x ,=-0
u,
= ( hGf1)+ 0.5ô0Gu
, (18)
( hG\] + 0.55ÖG7/ ( hG{11+ 0.5S0G7/
x1 =0
= 0, (31)
x ¡=i
= 0, (32)
x 1 =+0
и
x =-0
( hG(1î)+0.5^G11
Xj =+0
x,=ep-o
= 1 hGlî)+0.5ô0Gu )
x,=Îp+0
и
щ=е-о
х1=/ +0
'0G11
1 hG^+0.55
= 1 hGl2i)+0.500Gii )
*i=lp+ о
и
= u.
Xx=i-ip
1 hGi;)+0.550G11
f1i)
ii
f1i)
xl=ep+ о
* i=i-i P- о
hG\{ + 0.550Gn
и
х1=е-ер-о
= w,
1 hGiz1) + 0.5ô0G11
,12)
Ii
.11)
x,=i-i +0
x,=i-ip-0
1 hGi2i) + 0.550Gn )
и
xi=(-(p-0
= иЛ
х1=£-ер+о
xl = (-( +o
X-^ — -с ■
1 h g ^}+ 0.5Ô0GU
: h G
u,
Xj=f—0
=
(19)
и, = 0. (33)
х^+а
Определяющие соотношения (5), (6) для состояния плоской деформации принимают вид: для консолей:
(20)
4>= Ddu+ ;С = Ddu1
dx^ dx^
(34)
(21) для слоя на участке е р,1 — _ _ г(и+- и- ) _
сг12 = Z-
(22) (23)
СГц = D1
^ du + du, Л M 1
где D =
£ 11 -v)
dx^ dxy
(35)
У
D
11 + v)1l - 2v) £311-V3 )
L = £з
211+ V3 )
(24)
(25)
1 2(1 + у3)(1-2У3)"
На участках х^ е и-1р\(\
получаем связь компонент средних напряжений и производных граничных перемещений:
'12
Xj =1+0
(26) (27)
, (28)
1
(29)
СГц = D1
V4r02 - M
2
' du+ 1 -и
V
dx^ dxx
(36)
У
с граничными условиями:
Таким образом, система (10)-(36) является замкнутой.
Библиографический список
1. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
x =- a
ЭКСПЕРТ: ■ ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2021. № 3 (12)
EXPERT: THEORY AND PRACTICE
2. Ghugal Y.M., Shmipi R.P. A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams. // Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2001, V. 20, no. 3, P. 255-272.
3. Витковский, И.В. Теоретическое определение адгезионных свойств материалов для жидкометаллического бланкета термоядерного реактора. / И.В. Витковский, А.Н. Конев, В.С. Шоркин // Журнал технической физики. 2009. -Том 79. - Вып. 2. - С. 11-16.
4. Kornev V.M., Kurguzov V.D., Astapov N.S. Fracture Model of Bimaterial under Delamination of Elasto-Plastic Structured Media. // Applied Composite Materials. 2012. 20(2). P. 29-143.
5. Baldan A. Adhesively-bonded joints in metallic alloys, polymers and composite materials: Mechanical and environmental durability performance // Journal of Materials Science. 2004. V. 39. No 15. P. 4729-4797.
6. Огибалов, П.М. Оболочки и пластины: учебное пособие для вузов. / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. - М.: Изд-во МГУ. 1969. - 695 с.
7. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек, ч. 1. - Л.: Изд. Ленинградского университета, 1962. - 274 с.
8. Mattei O., Bardella L. A structural model for plane sandwich beams including transverse core deformability and arbitrary boundary conditions // Eur. J. Mech. A-Solid. 2016. V. 58. P. 172186.
9. Turusov R.A., Andreev V.I., Tsybin N.Y. The contact layer stiffness influence assessment on the stress-strain state of a multilayer beam // IOP Con-
ference Series: Materials Science and Engineering, 2020, 913(3), 032053.
10. Tsybin N., Turusov R., Andreev V., Kolesni-kov A. Stress-strain state of a three-layer rod. Comparison of the results of analytical and numerical calculations with the experiment // MATEC Web of Conferences, 2018, 196, 01057.
11. Богачева, В.Э. Об одном подходе к оценке прочности адгезионного слоя в слоистом композите. / В.Э. Богачева [и др.] // Вестник Томского государственного университета. Механика и математика. 2020. - №64. - С. 6376.
12. Абдурахманов, А.А. К оценке предельного состояния адгезионного слоя в слоистом композите. / А.А. Абдурахманов, В.Э. Богачева, В.В. Глаголев // Механика композиционных материалов и конструкций. 2020. -Т. 26. - № 2. - с. 247-258.
13. Glagolev V.V., Markin A.A. Fracture models for solid bodies, based on a linear scale parameter // International Journal of Solids and Structures. 2019. V. 158. P. 141-149.
14. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука, 1996. - 232 с.
15. Volkersen O. Die Nietkraftverteilung in zugbeanspruchten Nietverbindungen mit konstanten Laschenquerschnitten. Luftfahrtforschung. 1938. V. 15. P. 41-47.
16. Глаголев, В.В. Об одной постановке задачи упругопластического разделения / В.В. Глаголев, А.А. Маркин // Прикладная механика и техническая физика. 2009. - №4(50) - С. 187195.
Поступила в редакцию 27.04.2021 г.
VERSION OF SHEAR DEFORMATION OF ADHESIVE LAYER TAKING INTO ACCOUNT ITS ELASTOPLASTIC PROPERTIES. SETTING THE TASK
© 2021 V.E. Bogacheva, V.V. Glagolev, O.V. Inchenko*
The work considers the stress-strain state task of the thin adhesive layer in laminated composite at shear nature of loading with possible elastoplastic deformation.
Keywords: composite, adhesive layer, elastoplastic deformation.
Received for publication on April 27, 2021
* Viktoriya E. Bogacheva (v.boga4eva2014@yandex.ru) - Master's student, Vadim V. Glagolev (va-dim@tsu.tula.ru) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Computational Mechanics and Mathematics, Oksana V. Inchenko (inchenko_ov@mail.ru) - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assoc. Professor; all - Tula State University (Tula, Russian Federation).
