УДК 621.983
А.Н. Пасько, д-р техн. наук, проф., (4872)35-18-32,
aleksey.n.pasko@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
А.Н. Троицкий, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-79,
antroitsky@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
М.А. Тюкавкин, асп., (4872)35-18-79, m.tyukavkin@g:mail.com
(Россия, Тула, ТулГУ)
ВАРИАНТ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕМНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Рассматривается вариант построения программного комплекса решения задач статики, динамики, упругопластического деформирования методом конечных элементов.
Ключевые слова: трёхмерное моделирование, конечно-элементная модель, функции формы.
В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) становится доминирующим среди методов, используемых для исследования самых разнообразных физических процессов. Широкое применение данного метода определяется в том числе высокой степенью формализации задачи и высокая степень приспособленности к автоматизации всех этапов расчета.
Разрабатываемый программный комплекс реализует основные этапы решения задач методом конечных элементов.
Генерация сетки конечных элементов. Из-за большого количества данных, сетка конечных элементов создается препроцессором программы. Описание сетки состоит из нескольких массивов, основными из которых являются узловые координаты и связи элементов.
Выбор интерполяционных функций, которые единственным образом описывают перемещения по области конечного элемента и на его границах через неизвестные узловые перемещения. Вид интерполяционных функций зависит от типа используемых конечных элементов.
Формирование локальных матриц. Определяются матрицы, характеризующие напряженное деформированное состояние конечного элемента с помощью узловых перемещений.
Формирование глобальных матриц и векторов. Наложение граничных условий.
Анализ результатов. По найденным узловым перемещениям, определяется напряженно-деформированное состояние рассматриваемой области.
Бурное развитие вычислительной техники в последние годы привело к существенному росту производительности персональных компьютеров. Современные процессоры стали многоядерными и работают в 64-х
115
разрядном режиме. Все это позволяет превратить относительно недорогой персональный компьютер в мощную вычислительную станцию.
Чтобы получить возможность воспользоваться новыми возможностями вычислительной техники необходимо использовать современные языки программирования, использующие принципы объектно-ориентированного программирования (ООП) и программирования многопотоковых приложений [3]. Парадигма ООП очень хорошо описывает структуру, позволяет использовать все возможности компиляторов, удобна для расширения и модернизации возможностей программы.
Разрабатываемый программный комплекс включает в себя 3 логических модуля (рис. 1.).
1. Препроцессор. Решает задачи генерации сетки конечных элементов (1 этап). Кроме того, модуль обеспечивает импорт данных из систем ЗБ моделирования (т.к. ЗоНсШ/огкз, 1пуейог).
2. Процессор. Обеспечивает решение задач МКЭ (этапы 2-4). Включает в себя ядро системы (интерполяционные функции, построение матриц жесткости, масс и т.д.), процедуры решения систем линейных алгебраических уравнений;
3. Постпроцессор. Представление результатов расчета (этап 5).
Рис. 1. Программный комплекс анализа методом конечных элементов
В соответствии с принципами ООП, основой описания конечно-элементной модели является класс ТРЕСошЬгш^юп, наследник абстрактного класса ТСш1отСоп81;гисиоп. Его назначение - обеспечение хранения информации о геометрии конструкции, свойств материалов и сформированные матрицы (жесткости, масс, демпфирования и т.д.).
На рис. 2а представлено некое упругое тело, нагруженное поверх-
^ Б
ностной нагрузкой р , массовыми нагрузками р , полем температур Т и за-
с .
креплением и . Геометрия данного объекта после дискретизации на конечные элементы (см. рис. 2, б) описывается следующими свойствами:
Nodes - массив координат узлов конечно-элементной сетки, для каждого задаются координаты в декартовой системе;
FEs - массив описаний конечных элементов, каждый включает в себя глобальные номера узлов, ссылку на тип конечного элемента и описание реологических свойств материала;
FEInfos - список типов конечных элементов, используемых для описания конструкции. Элементом массива является абстрактный класс TFEInfo, являющийся предком для классов, описывающих конкретный конечный элемент. Это дает возможность использовать в описании одной конструкции одновременно несколько типов конечных элементов;
Matherials - массив описаний характеристик материалов, использующихся в конструкции. Элементом массив является класс, описывающий характеристики изотропного или ортотропного материала;
Для задания граничных условий используются свойства:
Bounds - список границ конструкции. Каждая граница определяется номерами узлов, ей принадлежащим. В примере приведены 2 границы, одна включает в себя узлы, на которые действует поверхностная нагрузка pS,
S
вторая - узлы с условиями закрепления u .
BoundaryConditions - описание граничного условия. Включает в себя номер границы, тип граничного условия (перемещение, сосредоточенная или поверхностная нагрузка, температура и т.д.) и значение. Последняя величина определяется свойством Value для все узлов или указывается для каждого узла границы в массиве Values, количество таких узлов указывается свойством NodeCount.Так, если границе принадлежит 10 узлов, а свойство NodeCount равно 4, это означает что для 4-х узлов значение граничного условия указанно в массиве Values, для остальных узлов - в свойстве Value. Каждое граничное условие задается для указанного интервала времени. В нашем примере 2 вида условий. Для 1-й границы задается тип Поверхностная нагрузка, значение Value есть величина давления. Для 2-й границы задаются условия закрепления, в этом случает значение Value равно 0 (запрет на перемещение по указанной степени свободы);
ElementFaces - массив описаний лицевых граней конечных элементов. Информация необходима для определения грани элемента, принадлежащего границе и используется прежде всего при приведении поверхностной нагрузки к эквивалентным узловым силам.
Кроме описания геометрии и граничных условий класс TFECon-struction включает в себя глобальные матрицы (жесткости, масс и т.д.).
Использование такого обобщения позволяет хранить и рассчитывать несколько объектов одновременно. Кроме того, в дальнейшем возможно расширение программного комплекса за счет применения метода суперэлементов [1]. В этом случае каждый экземпляр класса TFEConstruc-tion рассматривается как отдельный суперэлемент, объединенных в единый ансамбль (сборку).
х
Рис. 2. Схемы нагружения (а) и конечно-элементной дискретизации (б)
деформируемого твердого тела
Одними из ключевых элементов программного комплекса являются классы - описания типов конечных элементов. Для расчета объемных конструкций используются несколько элементов (рис. 3): тетраэдр (За) с линейной аппроксимацией перемещений, призматический пятигранный (36) и шестигранный конечный (Зв) элемент («собранные» соответственно из 3 и 4 тетраэдров) и элементы второго порядка (с квадратичной аппроксимацией перемещений): изопараметрический параллелепипед (рис. 4, а) и треугольной призмы (рис. 4, в).
3
Рис. 3. Типы применяемых пространственных конечных элементов
На рис. 5 приведена иерархия классов, реализующие алгоритмы вычисления матриц реакций, масс и т.д. для вышеописанных элементов. Класс TCustomTetraedr содержит в себе методы вычисления для тетраэдра,
класс ТРЕ4 публикует эти методы, ТРЕ5 и ТРЕ6 вычисляет матрицы соответственно для пяти и шестигранного элемента.
Рис. 4. Способы разбиения конечных элементов
Рис. 5. Иерархия классов конечных элементов
Компоненты перемещений произвольной точки элемента можно представить в виде вектора и = ^их иу и^.
Координаты узловых точек образуют матрицу
1 ч Л
1 х2 У2 2 2
1 х3 УЗ 23
1 У 4 2 4
Линейную аппроксимацию поля перемещений обеспечивают полиномиальные зависимости
Т
и = [а][1 х у г] ,
где [<*] = [а1 (Х2 а3 ]Г - матрица постоянных коэффициентов; СЦ =[с]_1их; а2=[С]~1иу; а3 = [с]~1и2.
Вектор деформаций е для произвольной точки элемента связан с перемещениями зависимостями
в =
дux ди у дuz дux диу диУ дuz дuz дu
+
+
+
дz
дx ду дz ду дx дz ду дx
После дифференцирования получаем соотношение
в = [Б р.
Т.к. матрица [В] не зависит от текущих координат, то матрица реак-
ций
Я ]= [Б ]Т [D ][Б V.
Здесь Р] - матрица упругости.
Пятигранник разбивается на три тетраэдра, имеющих вершины в его узлах. Число тетраэдров, которые можно вписать в пятигранник равно 12: (1,3,2,5), (1,4,6,5), (3,4,6,5), (3,2,1,4), (2,6,5,4), (3,2,1,6), (1,6,3,5), (1,4,3,5),
(3.6.2.4), (3,5,2,4), (1,2,4,6), (1,2,5,6). Независимые варианты разбиения:
(1.3.2.5)-(1,4,6,5)- (1,6,3,5); (2,6,5,4)-(3,2,1,6)- (1,2,5,6); (1,4,6,5) - (3,2,1,6) - (1,2,5,6); (1,3,2,5) - (3,4,6,5) - (1,4,3,5); (3,4,6,5) - (3,2,1,4) - (3,5,2,4); (3,2,1,4) - (2,6,5,4) - (3,6,2,4). Первые шесть тетраэдров входят в указанные варианты по 2 раза, последние - по одному, поэтому вычисляются и матрицы реакций соответствующих тетраэдров, для первых шести удваивается и общая сумма делиться на 6.
Шестигранник - на пять тетраэдров. Число независимых вариантов разбиения равно двум: (2,1,3,6)-(4,1,8,3)-(5,1,6,8)-(7,3,8,6)-(6,1,3,8) и (1,2,5,4)-(3,2,4,7)-(6,2,7,5)-(8,4,5,7)-(7,2,4,5). Вычисляются матрицы реакций для перечисленных тетраэдров и сумма делиться пополам.
Для аппроксимации поля перемещения в 20-и узловом элементе используют локальные координаты п, С Функции формы
е М=[* Р},
где {хе} - вектор координат узлов элемента; {х} - глобальные координаты
точки
; N ]
N1 0 0 N 2 0 0
0 N1 0 0 N 2 0
0 0 N1 0 0 N 2
- матрица функций формы
=1 (1 + 4 X1 + По X1 + ^о Х4 + По + ^о - 2) для вершин 8
N= 4(1 - )(1 + По )(1 + ^о ), 1 = 2, 6 14, 18;
N = 4 (1 - П2 )(1 + & )(1 + ^о ), 1 = 4, 8, 16, 20; = 4 (1 )(1 + £о )(1 + По ), 1 = 9, 10, 11, 12;
X
\0 i, П0 =nni, Z0 =ZZi
Для построения треугольной призмы используется вырожденный шестигранный элемент (рис. 4, г), у которого модифицированы шесть функций формы:
Матрицы для изопараметрического параллелепипеда формируются в классе TCustomQuad3D. Класс TFE8x20 публикует соответствующие свойства, а класс TFE6x15 описывает призматический элемент, являющийся вырожденным случаем параллелепипеда за счет соединения узлов (1,8,7),
Исследования проводились в рамках гранта РФФИ 11-01-97516-р_центр_а.
1. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: справочник/ В.И.Мяченков, В.П.Мальцев, В.П. Майборода; под общ. ред. В.И. Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.
2. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики/ Клованич С.Ф. Запорожье: Издательство журнала «Свгг геотехшки», 2009. 400с.
3. G.P. Nikishkov, Programming Finite Elements in Java™, SpringerVerlag London Limited, 2010, 402pp.
A.N. Pasko, A.N. Troitsk, M.A. Tyukavkin
OPTION OF PROGRAM REALIZATION KONECHNOELEMENTNA OF MATHEMATICAL MODEL VOLUME PLASTIC DEFORMATION
The option of creation of a program complex of the solution of problems of a statics, dynamics, uprugoplastichesky deformation by a method of final elements is considered.
Key words: three-dimensional modeling, konechnoelementny model, form functions.
N'= Ni + A, i = 3, 5, 15, 17; N' = Nt - 2Д, i = 4, 16;
(9,12) и (13,20,19).
Список литературы
Получено 20.07.12