Вариант построения зависимостей для пересчета параметров потока круглой трубы на плоскую пластину Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.526:532.542

П. А. Бимбереков

ВАРИАНТ ПОСТРОЕНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ ДЛЯ ПЕРЕСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА КРУГЛОЙ ТРУБЫ НА ПЛОСКУЮ ПЛАСТИНУ

В практике определения сопротивления трения судов наиболее часто используется метод эквивалентной пластины, коэффициент трения для которой представляют степенными зависимостями с постоянными значениями степеней и коэффициентов пропорциональности, пригодными для использования для конкретных диапазонов чисел Рейнольдса. Определение более точных значений степеней и коэффициентов расчетных зависимостей возможно путем их пересчета с аналогичных в трубах. Известен способ пересчета экспериментальных данных по сопротивлению трения в круглой трубе на случай плоской пластины, указанный Л. Прандтлем и Т. Карманом [1, с. 572]. При этом используются следующие посылки:

1) принимается допущение, что распределение скоростей в трубе такое же, как и на пластине, а следовательно, возможно без изменения структуры использовать зависимости трубы для случая пластины;

2) принимается в условиях п. 1, что скорость потока, набегающего на пластину, равна максимальной скорости в трубе и толщина пограничного слоя равна радиусу трубы;

3) для получения зависимостей перевода уравнений, описывающих течение в трубах на случай плоской пластины, используется как степенной закон [1, 2], так и универсальный логарифмический закон [1].

По нашему мнению, указанные выше посылки имеют следующие недостатки:

1) распределение скоростей в трубе отличается от распределения скоростей на пластине (этот момент отмечается и в [1]);

2) известно, что распределение скоростей в пограничном слое вблизи внешней границы пограничного слоя существенно отличается от распределения в трубе [1, с. 580] и фактически нет гидравлического соответствия толщины пограничного слоя и радиуса трубы;

3) используемые степенные законы не имеют четкой зависимости от числа Рейнольдса для трубы (по сопоставлению с экспериментальными данными оценивается лишь диапазон применимости указанных законов), а логарифмический закон используется с введением поправок в численные коэффициенты [1], поясняемые только доведением соответствия с экспериментальными данными;

4) отсутствует строгий перевод чисел Рейнольдса трубы и пластины (при оценке работы зависимостей, получаемых из закона степени 1/7, в [1, с. 574] без какого-либо пояснения уподобляется толщине турбулентного пограничного слоя уже не радиус, а диаметр трубы).

Задача исследования - попытаться по возможности наиболее полно устранить оговоренные недостатки. Средством их устранения может послужить следующее:

— использование общих степенных зависимостей;

— установление зависимости степенного закона от числа Рейнольдса в круглой трубе;

— введение корректировки в уравнения распределения скоростей трубы до соответствия распределения на плоской пластине;

— принятие равенства средних скоростей в трубе и пограничном слое;

— установление зависимости связи радиуса круглой трубы и толщины пограничного слоя путем последовательного перехода через гидравлический радиус (диаметр) к плоской трубе и затем учет соотношения половины расстояния между пластинами плоской трубы и толщиной пограничного слоя.

Ниже предпримем попытку реализовать оговоренные действия.

Для касательного напряжения т0 имеем известные выражения

где р - объемная плотность; и* - динамическая скорость; X - коэффициент гидравлического

(1)

трения; и - средняя скорость по сечению.

Кроме равенств (1), для касательного напряжения в круглой шероховатой трубе имеет место равенство [3, с. 106]:

to = (kjRed”n \k/d)ni p(u)2 = 2n-2-n (fcu/Ren )k/r)ni p(u)2, (2)

где kt - некоторый коэффициент пропорциональности; p - объемная плотность воды; n - показатель степени при средней скорости U ; d и r - диаметр и радиус трубы соответственно; n1 -показатель степени при относительной шероховатости; k - высота бугорков шероховатости; Red = (ujd/v - число Рейнольдса по средней скорости (и) и диаметру трубы d; Reу = (u)r/v -

число Рейнольдса по (и) и r ; v - коэффициент кинематической вязкости;

Из сопоставления второго из равенств (1) и равенства (2) получают зависимость для коэффициента гидравлического трения шероховатых труб [3, с. 106]:

1 = (8kt/Red-n )k/d )n =(8kt/Re$ )(k/d )n , (3)

где P - показатель степени при числе Рейнольдса в выражении X для шероховатых труб.

Для коэффициента гидравлического трения у гладких труб XS (k/d ^0) или для ламинарного режима течения следует принимать n1= 0, и из зависимости (3) имеем

1s = 8kvs/Re2-n = 8kvs/RepS , (4)

где ktjs - коэффициент kt для гладкостенного режима течения в трубах; Ps - показатель

степени при числе Рейнольдса в выражении X для гладких труб.

Для коэффициента гидравлического трения у шероховатых труб при полном проявлении шероховатости XR (n = 2, P = 0) из зависимости (3) имеем

= 8kv R (k/d )n1 = 8 • 2-n1 kx/R (k/t)n1 = 23-n1 kx/R (k/r )n1 , (5)

где ktjR - коэффициент kt для шероховатых труб при квадратичном режиме течения в трубах.

Используя оба равенства, (1) и (2), получим следующее выражение, учитывая замену P = 2 - n :

(и)/и* =(2P+n^kt)1 ( P(u*r/v(2-P\r/k)n^(2-p) =^18/1 . (6)

Л. Прандтль установил [1, с. 540], что показатель степени у второго сомножителя в (6)

равен показателю степени при аппроксимации распределения скоростей степенной функцией вида

uU = ( y/r )V и, (7)

где U - максимальная скорость в круглой трубе; у - текущая координата по радиусу от стенки трубы; 1/m - некоторый показатель степени. При этом имеет место равенство

Vm = P/(2-P) = (2-n)/n . (8)

Тогда, для m из (8), получим

m = (2 - PV P = n/ (2 - n). (9)

Соответственно для P и n из (9) имеем

P = 2/(m +1), n = 2^(m +1). (10)

Для отношения средней u и максимальной скорости U в круглой трубе, в зависимости от значения m , имеет место равенство [1, с. 539]:

(u)/U = 2m2/[(m + 1)(2m +1)]. (11)

Используя (9) из (11), получим

и/и = (2 — Р)2/(4 — Р) = п2/(п + 2). (12)

Перейдем в выражении (7) от (и) к и, используя равенство

и/и* =(4 — Р )/(2 — Р )2 (2Р+п7^т)/(2—Р )(и* у/у)Р/ (2—Р ](г/к )п1 (2—Р} = (4 — Р)/(2 — Р)^Л/8'1 . (13)

Выражение (7) с учетом равенства (8) примет вид

и/и = ( у/г )Р(2—Р). (14)

Для случая произвольного расстояния от центра трубы из (13), имеем

и/и* = (4 — Р)/(2 — Р)2 (2Р+^/к^(2—Р)(и*у/уР(2—Р)(у/к)п'/(2—Р). (15)

Для случая гладкой трубы в равенстве (15) исчезнет последний член произведения.

Решив уравнение (13) относительно и* , для касательного напряжения из первого уравнения (1) получим

То = ри*2 = р[(4 — Р )/(2 — Р )]2—Р (к%/2Р+п )(у/г )Ри 2—Р (к/г )п . (16)

Для распределения скоростей в пограничном слое имеем равенство, аналогичное уравнениям (7), (14), получаемое путем замены и = и¥ и г = 5:

и/и„=(у/5)Р/(2—Р), (17)

где и¥ - значение скорости за пределами пограничного слоя; 5 - толщина пограничного слоя.

Для значений толщин вытеснения 5] и потери импульса 52 соответственно имеем выражения через величину т [1, с. 573]:

5^ 5 = 1/ (1 + т), 52/ 5 = т [(1 + т)(2 + т)]. (18)

Произведя замену в уравнениях (18) согласно (9), соответственно получим

5^5 = Р/2 = (2 — п)/2, 52/5 = (2 — Р)Р/[2(2 + Р))] = п(п — 2)/[2(п — 4)]. (19)

Для величины местного сопротивления пластины имеем формулу [1, с. 573]:

Т0(х) = ри¥ • d52/dx. (20)

Для отношения средней скорости (и) и скорости на границе пограничного слоя и¥ на плоской пластине, в зависимости от значения т , имеет место равенство на основе [4, с. 29]:

(и)/и¥= т/ (т +1) = (2 — Р)/2 = п/ 2. (21)

Из равенств (12) и (21) устанавливается отношение максимальных скоростей (и/и¥ ) при равных средних скоростях в круглой трубе (и) и на плоской пластине (иа) согласно равенству

и/и¥ = (4 — Р)/[2(2 — Р)] = (п + 2)/(2п) = (2т + 1)/(2т). (22)

Из уравнения (16), произведя замену и на и¥ по (22) и замену радиуса круглой трубы г на толщину пограничного слоя на пластине 5 (принимая введение компенсирующей поправки путем перевода коэффициента кТ в аналогичный коэффициент для случая пластины к^Р), перейдем к выражению для пограничного слоя следующего вида:

ч/(ри¥ )= [(2 — Р)/ 2]2—Р (к,/Р/ 2Р+п )у/ (и те5)]Р (к/ 5)п . (23)

Известно [1, с. 552, 560, 561; 5], что зависимости типа 1 = / ^) хорошо выполняются для всех видов отверстий, если под d принимать гидравлический диаметр В: В = 4Р/ N,

где Р - площадь сечения отверстия; N - смоченный периметр.

Для того чтобы получить значение коэффициента к^р, получим выражение, связывающее величины радиуса круглой трубы г с толщиной пограничного слоя 5, для которого будут работать уравнения, выведенные для трубы. Произведем последовательный переход от круглой трубы к плоской безграничной трубе и далее к пограничному слою. Перейдем вначале от круглой трубы к плоской безграничной по ширине трубе, имеющей расстояние между пластинами 2гп и ширину сечения Ь (|гп| = |г|, где г - радиус круглой трубы). В этом случае гидравлический диаметр будет иметь значение

В = 4Р/N = (4 • 2|г|ь)/(2Ь) = 4|г|. (24)

Из (24) видно, что гидравлический диаметр указанной плоской трубы в два раза больше диаметра круглой трубы.

Для перехода от плоской трубы к пограничному слою представим, что эпюра скоростей в плоской трубе состоит из двух пограничных слоев пластин, расположенных на расстоянии 2г, причем, с учетом коэффициента пропорциональности к^, имеет место зависимость

|г| = ку/55. (25)

На основании (24) и (25) получаем соотношение гидравлически эквивалентных радиуса круглой трубы и толщины пограничного слоя:

г/5 = 2кф. (26)

Из анализа экспериментальных данных Щультца - Грунова [1, с. 580] получается оценочное значение коэффициента к^ »1,2. Для случая плоской трубы, по-видимому, значение

коэффициента к^5 должно быть несколько меньше (для оценки будим принимать к^5 » 1,15).

С учетом (16), (23) и (26) имеем

кт/Р » У^к^Г (27)

Подставляя значение толщины потери импульса по уравнению (19) в (20), получим

Т0(хУ(ри¥) Т0(х)/(ри¥ )= (2 — Р)Р/[2(2 + Р)^5/dx. (28)

Приравняв правые части равенств (23) и (28) и затем разделив переменные, имеем

5Р+п d5 = 2(2 + Р\2 — Р)—1Р_1((2 — Р)/2)2—р(кт/Р/2Р+п \у/и¥?(к)пdx . (29)

Проинтегрировав (29) при начальных условиях 5 = 0 при х = 0 , получаем выражение

5 = ¡2(2 + Р)(1 + Р + п1 )(2 - Р)-1 Р-1((2 - Р)/2)2-р кх1Р12р+п

р п

V(и¥х))і+р+п (к/х)і+р+п1 х.

1+Р + Пі

(30)

Для толщины потери импульса из уравнения (29), с учетом (19), получим

52 (х ^

2(2 + Р)

2(2 + Р)[(1 + Р + п1)] ( 2 - Р ^2-Р Кр 1+Р+пі Ґ У 1

(2 - Р)Р [ 2 ) 2Р+пі ^ и ¥ Х )

1+р+пі ( к Ъ+р+пі

'-I х. (31)

Для местного с ^ и полного су коэффициентов сопротивления пластины длиной I, смоченной с двух сторон соответственно, имеют место зависимости [1, с. 574]:

с'у = 2d5^dx, су = 252 (/)/1. (32)

р

п

Внося в выражения (32) вместо 52 его значение по (31), соответственно получим

cf (x) = -

2 (2 - P)P 2(2 + P )[(1 + P + n1)] f 2 - P f -P kvp 1+P+n f V J

1 + P + n1 2(2 + P) (2 - P)P f 2 J 2P+ni ^ U¥ x J

1+P+n f k ^1+P+n1

. (33)

cf (x) = 2

(2 - P)P

2(2 + P)

2(2+P)[(1 + P + n)] f 2 - P ^2-p ktP 1+P+n f v ^

(2 - P )P f 2 J 2P+ni v U» x)

1+P + n1 f k ^1+P + Щ

(34)

На основании (33), (34) имеем c^jcf = 1 + P + nx.

Из последнего равенства можно заключить, что в общем случае отношение cf jcf Ф const.

Отметим, что при соблюдении условий - x = l, U¥ = const, v = const, k = const, для режима с полным проявлением шероховатости, для случая унификации показателя степени при аппроксимации профиля скоростей степенной функцией в широкой области чисел Рейнольдса

Rex е [2 106; 1010] И. Г. Хановичем [6, с. 56] установлено равенство c^/cf »1,283. Для оценки

справедливости этого равенства в случае гладкостенного режима автор [7] использовал зависимости, получаемые для закона степени 1/7, и получил близкое численное значение. Следовательно, постоянные значения этого отношения (как это получено в [6, с. 56; 7]) нельзя использовать за пределами частных диапазонов чисел Рейнольдса.

Из выражения (30) устанавливается связь между числами Рейнольдса по толщине пограничного слоя U¥S/v и по его длине U¥l/v :

U Я

2(2 + P)[(1 + P + n1)] f 2 - P (2 - P)P

2- p

kt p ■>P+n1

(35)

P

n

x

P

n

x

V

V

V

2(2 + P)[(1 + P + n1)] f 2 - P

(2 - P)P

2

2-P

2

P+n1

-1

U„ x Y+P+n1 f U- n1

V )

(36)

Рассмотрим взаимосвязь чисел Рейнольдса по диаметру трубы и чисел Рейнольдса по длине для пограничного слоя пластины (считаем у обоих вариантов средние скорости равными). Используя (27), с учетом равенств (21), (35), имеем

Re,

= (u)d/v = (u-)2r/v =[(2 -PV2]U^2(2k^68^v = 2ky/6(2 -P)U„ 8/v =

= 2k^s(2 - P)

2(2 + P )(1 + P + n1) f 2 - P

(2 - P)P

2

2-P

4/P

2

P+nl

V(1+p+)fu x(1+p+щ)f u k .nJ(1+p+ni). (37)

Из (37) получаем зависимость числа Рейнольдса по длине пластины Яе.,. в зависимости от числа Рейнольдса в трубе :

Red = (U ^ x/v) = [2kg/s(2 - P)]-(1+P+n1)

(2 - P)P

2

2(2 + P)(1 + P + n1) f 2 - P )2 P kvp

2

P+nj

-1

Red+P+n1 I

. (38)

Для нахождения величины показателя степени Р рассмотрим выражение, считающееся инвариантом для различных режимов обтекания: (и — и)/и* . Составим систему уравнений на основе указанного инварианта. Используем для этого его известное логарифмическое выражение для турбулентного течения в трубе [1, с. 546, 558], а также выражение на основе зависимостей (13), (15). Тогда имеем

v

V

v

V

\U - u )/u* = 5,751g(r/y);

(U - u)/u* = [(4 - P)/(2 - P)2 - (2P+ni/K f(2-P)(u*y/v f1 (2-P)(y/k)ni/(2-P)

(39)

Несколько преобразовав систему (39), получим J(U - u)/u* = 5,751g(r/y );

1(U - u )/ u* =V^Ï [(4 - P)/(2 - P )2 ][l-( yjr )(P+ni ^(2-P)]

(40)

Далее перейдем к рассмотрению гладкостенного режима обтекания.

Зависимость универсального закона сопротивления Прандтля для круглых труб при гладкостенном турбулентном течении [1, с. 549] в диапазоне чисел Рейнольдса Rerf ^ 4 000 достаточно точно аппроксимируется следующим выражением:

1S = 0,8536(lg Red )-3 + 0,287(lgRed )-2 - 0,001607(lgRed )-1. (41)

Расчет по системе выражений (40), (41) с последующей аппроксимацией дал выражение для PS :

Ps = a(lgRed)b , (42)

где a и b - коэффициент и показатель степени, описываемые выражениями:

- более точные a = [1,144 + 0,104ln( y/r)] 1, b = -0,962( y/r)

при

yjr є [0,01; 0,99] ;

- упрощенные а = 0,864(у/г)-0,116, Ь = -0,963(у/г)-0,04, приу/г є ¡0,01; 0,99].

Для случая у ® г (система уравнений (47) не позволяет определить значение Р8 при у = г в силу тривиального нулевого результата), принимая конкретно величину у ¡г = 0,999, для значения Р8 получено выражение

-0,9659

Р5 (у ¡г = 0,999) = 0,874(^Я^)

которое будем использовать в дальнейшем при оценке величины Р5 при у = г . Для коэффициента кТ имеем очевидное уравнение из зависимости (4):

к,,5 =(1 s/8)ЯеР .

(43)

(44)

Расчет по выражению (34), с учетом зависимостей (37), (38), (43), (44), представлен на рисунке, из которого видна удовлетворительная точность работы предлагаемого алгоритма.

От

о

о

о

kr/s = 1,0

k/s = 1,15

105

106

10'

108

109

1011

Re

Закон сопротивления гладкой плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении: линии - по уравнению (34) с учетом (37) при разных значениях коэффициента к^5 ; точки - по закону Прандтля - Шлихтинга: Су = 0,455/(^ Яе^)2,58

0,0399

Расчеты показали, что взаимосвязь логарифмов от чисел Рейнольдса в трубе (Яе^) и на пластине (Яех или Яе,) имеет линейную зависимость. Поскольку точное значение коэффициента кгі 5 не было установлено в данной статье, то мы сочли целесообразным дать зависимость от него для указанных чисел Рейнольдса вида ^Яе^ = А^Яе, + В , ^Яе, = Д^Яе^ + В1, где А, В и А1, В1 - коэффициенты зависимостей, связывающие величины Яе^ и Яе, (или Яех):

А = -0,0197кг/5 + 0,893; В = -0,643кг/5 + 0,49; А1 = -0,023кг/5 +1,12; В1 = -0,642кг/5 + 0,568 .

Итоги работы

1. Получен аналитический алгоритм для определения характеристик потоков в трубах и на плоской пластине, потенциально рассматривающий как гладкостенный режим течения, так и режимы с проявлением шероховатости поверхности.

2. Для случая гладкостенного режима обтекания произведен пересчет характеристик потока с круглой трубы на плоскую пластину, удовлетворительно соответствующий экспериментальным данным (рассчитан коэффициент сопротивления трения пластины).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

2. Альтшуль А. Д. Сопротивление трения пластинок с технической шероховатостью при турбулентном пограничном слое // Изв. АН СССР. Отделение технических наук. - 1956. - № 3. - С. 162-167.

3. Богомолов А. И., Михайлов К. А. Гидравлика: учеб. для вузов. - М.: Стройиздат, 1972. - 648 с.

4. Федяевский К. К. Фомина Н. Н. Исследование влияния шероховатости на сопротивление. - М.: ЦАГИ, 1940. - 61 с.

5. Коротков С. Н., Горнушкина Т. В. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к описанию течения Куэтта // Совершенствование ходовых и маневренных качеств судов: тр. Новосибир. ин-та инженеров водного транспорта. - Новосибирск: НИИВТ, 1982. - С. 11-27.

6. Ханович И. Г. О влиянии шероховатости обшивки корабля на сопротивление. - Л.: НИИ № 45 НКОП, 1938. - 80 с.

7. Бимбереков П. А. Определение значений допускаемой высоты шероховатости судовой поверхности по длине судна // СУД0В0ЖДЕНИЕ-2006: сб. науч. тр. НГАВТ. - Новосибирск: НГАВТ, 2006. -С. 151-171.

Статья поступила в редакцию 27.07.2009

VARIANT OF CONSTRUCTION OF RELATIONSHIPS FOR TRANSLATION OF ROUND TUBE FLOW PARAMETERS ON FLAT PLATE

P. A. Bimberekov

The relationships, describing characteristics of viscous fluid flows in round tube based on power laws with following their transformation in case of flat plate are formed. The certain results are obtained for case of smooth-wall flow: dependences associating Reynolds numbers in round tube and on plate; dependences for friction resistance coefficient of plate (satisfactory corresponding to the meanings according to Prandtl - Schlihting rule that successfully relates to the known experimental data). The received dependences may be used for transferring of experimental research results from tubes on plate (and inversely), allow to make calculation of parameters of boundary layer on plate and have structural possibility of updating for case of rough surface.

Key words: boundary layer, smooth-wall mode of flow, roughness, turbulence, power law, coefficient of resistance.