CC BY
37
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 58-64
Механика ^
УДК 539.375
Вариант нахождения напряженного
*.* />“■' *.»
состояния упругой плоскости, ослабленной физическим разрезом, с парой сил
Л. В. Глаголев
Аннотация. Трещиноподобный дефект в данном случае представляется физическим разрезом с характерной толщиной 6о, кроме того в модель трещины включается и материальный слой, лежащий на мысленном продолжении разреза в сплошной среде [1]. В предположении квадратичного закона распределения поля перемещений по толщине слоя определено напряженное состояние в слое для нагружения типа поперечного сдвига.
Ключевые слова: линейная упругость, фундаментальное
решение, трещина поперечного сдвига.
1. Постановка задачи
Рассмотрим нагружение окрестности физического разреза в линейно упругой плоскости согласно схеме, показанной на рис. 1, соответствующей разрушению типа поперечного сдвига.
Рис. 1. Схема нагружения
В слое, лежащем на продолжении физического разреза, будем считать закон распределения перемещений квадратичным по координате Х\. Таким образом, вектор перемещения в рассматриваемом материальном слое предстанет в виде:
« (Х1,Х2) = («01 (Х2) + «11 (Х2) Хі + «21 (Х2) Х2) Єі + + («02 (Х2) + «12 (Х2) Х1 + «22 (Х2) Х2) Є2,
(1)
где «01 (Х2) = «1 (Х1,Х2)|Ж1=0, «02 (Х2) = «2 (Х1,Х2)|Х1=0 — соответствующие перемещения срединной поверхности слоя;
«11 (Х2) =
«21 (Х2) =
д«1 (х1, х2)
дХ1
д2«1 (х1, х2) дх1
ж1=0
ж1=0
«12 (х2) =
«22 (Х2) =
д«2 (Х1,Х2) дх1
д2«2 (Х1, Х2)
дх1
х1=0
х1=0
Введем обозначения граничных перемещений слоя:
«+ = «+е1 + «+е2,
(2)
и = и1ё1 + и2ё2. (3)
При данной схеме нагружения считаем, что на срединной поверхности
слоя выполняются условия
и01 (Ж2) = ио (Ж2) ; и02 (Ж2) = 0, (4)
а на границах слоя:
и+ (Ж2) = и- (Ж2) = и1 (Ж2) , и+ (Ж2) = -и- (Ж2) = и2 (Ж2) . (5)
Из (1) с учетом (2)-(5) найдем:
2и2 (Ж2)
«11 = 0; «12 (х2) =
¿0 ’
4(«1 (Х2) - «0 (Х2)) п
«21 (Х2) = ---- ---------- ------— ; «22 = 0.
¿0
Подставим (4), (6) и (7) в (1), в результате получим
(6)
(7)
« (Х1,Х2) = I «0 (Х2) +
4(«1 (Х2) - «0 (Х2))Х1^ | ( 2«2 (Х2) Х1
¿0
Є1 +
¿0
Є2. (8
Из (8) найдем компоненты тензора деформации в слое:
д«1 8(«1 (х2) — «0 (х2))х1
дх1
¿02
еп = 0.5 (^ = (2 д('“ (Ж2> - ио (Ж2)) Ж2 + 0.5 8и° (Ж2)+ (10)
\ дЖ2 дЖ1 / \ ОЖ2 Оо ОЖ2
+ N , (11)
Оо )
ди2 ( ,дП2 (Ж2) жЛ
е22 = дЖ2 = {2~дЖ^То). (12)
Полагаем, что связь между напряжениями и деформациями описывается соотношениями линейной теории упругости для случая плоского
деформирования. В силу антисимметрии внешней нагрузки относительно плоскости ж1 = 0 рассмотрим верхнюю полуплоскость (ж1 ^ О0/2), а действие
слоя заменим нагрузкой на полуплоскость ((ж) = — (^л 11ё1 + а 21ё2^.
Л
Соотношения Фламана [2] связывают внешнюю нагрузку ((ж) с перемещениями границы безразмерным выражением
ь
л , ч Л, ( ж + а \ [ л ... , \ж — Я
и2(ж) =—рln{L+a) +.]а21(Я)1п(13)
и 1(ж)=Iа и(я)1п 1хь—я ^ (14)
0
здесь и г(ж) = и г(ж1,ж) = щ (ж)/О0 , г = 1,2 — безразмерные
Ж1=йо/2
Л
перемещения границы верхней полуплоскости; р = Рв/50 — безразмерная сила на единицу толщины; Ь — удаленная точка с нулевым перемещением;
Ь — расстояние от начала координат до Ь; ж = ж2/О0,ж1 = ж1/О0
— безразмерные координаты; а ^ = а^ в г,] = 1,2 — безразмерные
2(1 — V2)
напряжения; р = -------—— — параметр материала, Е — модуль упругости;
пЕ
V — коэффициент Пуассона.
Закон Гука для плоской деформации запишем в форме:
Л Л Л Л
ец = Аа 11 — Ва 22, (15)
Л Л Л Л
е22 = Аа 22 — Ва 11, (16)
ь
ЛЛ
е21 = С а 21;
л (1 — V2) п л V (1 + V )/Е vп
где А = ^= — • В = —-------------'--—-- = ------- — —
де А Ев 2 ; в р 2(1 — V)’" Ер (1 — V)
— безразмерные постоянные.
Для верхней границы слоя ж1 = 0.5 соответствующие деформации (9)-(12) будут равны
л/« « \
Єц = 4(« 1 — « 0),
(18)
( д« 1 с "
Є12 = °.5^-----------+ « 2
дХ
Є22
д« 2 дх
(19)
(20)
Уравнение равновесия слоя вида безразмерном виде примет форму:
с
да 22 дХ
с
да 21 дх1
со связью (17) и (10) в
с
да 22 дХ
1 дЄ21 дх1
С
1 д ( д(«1 — «0) 2 д«0 (х) « , Д
«дХ1 (2-ЧНХ1 +0'5~~дх + «2(Х>) .
Из выражений (18) и (21) при ж1 = 0.5 следует, что
(21)
«
да 22 дХ
1 ( 2д(«1 — « 0)
1 дЄ
11
«
С
дХ
« дХ 2 С дХ
(22)
С учетом затухания НДС на бесконечности и закона (15) выражение (21) дает следующую связь между диагональными компонентами тензора Л 1 (Л Л Л Л \
напряжений: а 22 =----д [Аа ц — В а 22 1 или
2 СЛ
« (1 — V) а 11
а 22 = — -
(4 — V)
(23)
Рассмотрим второе уравнение равновесия слоя:
+
«
В
«
да11
Соотношения (15)—(16) дают представление: а 11 =
«
д а 21
дх1 дх
«
« “Є11 + А 2 — В 2
«« А 2 — В 2
е22, что со связями (9), (12) в безразмерной форме приводят
последнее уравнение равновесия по границе с верхней полуплоскостью к виду:
Л Л Л Л
да 11 А 0/ , В пди2 да 21
дх1 « « '8(«1 — «0) + « “2~дт дх
дХ1 а 2 В 2 А 2 В 2 дХ дХ
или с учетом (18), (20) к виду:
« « «
А В да 21
Є11 + -7---------Є22 = — -
11 22 А 2 — В 2 А 2 — В 2 2дЖ
что в рамках закона Гука (15), (16) эквивалентно уравнению:
Л
Л да 21
а 11 = — -29Ж- (24)
Продифференцируем по ж левую и правую части интегрального уравнения (13) и с учетом (20), (16) запишем:
л ь Л
А а 22 — В а 11 = — + [ (а21^Я) (25)
ж + а ,] (ж — Я)
0
При помощи выражения (23) преобразуем левую часть уравнения (25) к форме
(л (1 — V) Ал . ,
— (А (4—V) + В)а 11 • (26)
С учетом (24) и (26) запишем уравнение (25)
Л Л ь л
С1 = — -+а + /-§ «■ (27)
0
Л п(1 + 2v)
где С1 = 1 '
4(4 — V )(1 — V)
Проинтегрируем последнее уравнение по х с учетом затухания «
напряжения а 21 в точке Ь, в результате получим интегральное уравнение:
ь
« -. « / ч «, ( х + а \ [« ..... \х —
С 1 а 21 (х) = — Р1п(^— ) + у а 21 (С) Ь — ^. (28)
2. Результаты решения
На рис. 2 показано численное решение, построенного на методе граничного элемента с постоянной аппроксимацией [3]. График 1 соответствует решению уравнения (28). Напряжения отнесены к
величине а 21 на первом элементе. Расчет проводился при следующих характеристиках: п = 1000; а = 10 коэффициента Пуассона: V = 0.25. Отметим, что варьирование коэффициента Пуассона в диапазоне от 0 до 0.4 не оказывало существенного изменения картины.
После определения поля касательных напряжений а 12 (ж) вдоль границы
со слоем находим поле напряжений а 11 (ж). В этом случае наряду со связью (24) используем выражение (27). В результате преобразований получим:
Связь (29) удобна для численного нахождения напряжений а ц(х) при использовании метода граничного элемента с постоянной аппроксимацией.
После определения поля напряжений а 11 (х) из связи (23) получаем
П
Рис. 2. Результаты расчетов
Г
(29)
Г
напряжения а 22(ж)- На рис. 2 график 2 представляет зависимость
распределения напряжений а ц(ж), а график 3 — напряжений а 22(ж).
Отметим, что значения средних по слою напряжений а ц(ж) и а 22(ж) равны
нулю, а отличными от нуля будит только средние напряжения а 12(ж). Средние напряжения по слою могут ассоциироваться с напряжениями асимптотического решения для трещины типа II, однако напряжения в вершине трещины в представленной модели будут конечными.
Список литературы
1. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модели процесса деформирования и разделения //
Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 148-157.
2. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.
3. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого
тела. М.: Мир, 1987. 328 с.
Глаголев Леонид Вадимович (len4ic92@rambler.ru), студент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Variant of the finding of the intense state of the elastic plane attenuated by the physical slit, with the couple
L. V. Glagolev
Abstract. Defect of crack in this case is represented a physical slit with the characteristic thickness ¿0, besides the flaw model joins also the material stratum laying on mental continuation of a slit in a continuous medium [1]. In the guess of a quadratic distribution law of a field of travels on a thickness of a stratum the intense state in a stratum for a loading of type of traversal detrusion is spotted.
Keywords: the linear elasticity, the fundamental solution, a flaw of traversal detrusion.
Glagolev Leonid (len4ic92@rambler.ru), student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 06.02.2012
