CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2023, Т. 165, кн. 3 С. 208-218
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ УДК 519
doi: 10.26907/2541-7746.2023.3.208-218
ВАРИАНТ МЕТОДА ОТСЕЧЕНИЙ С ВНУТРЕННИМИ ИТЕРАЦИОННЫМИ ТОЧКАМИ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
И. Я. Заботит, К. Е. Казаева, О. Н. Шульгина
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Предложен метод решения задачи выпуклого программирования, относящийся к классу методов отсечений. Итерационные точки вычисляются в нём на основе аппроксимации многогранными множествами как области ограничений, так и надграфика целевой функции исходной задачи. Метод характерен, в частности, тем, что основная последовательность приближений строится принадлежащей допустимой области и на каждом шаге метода есть возможность оценивать близость текущего значения функции к её оптимальному значению. Доказана сходимость метода, описаны некоторые его реализации.
Ключевые слова: выпуклое программирование, условная минимизация, оптимальное значение, аппроксимация множества, надграфик функции, итерационная точка, последовательность приближений, отсекающая гиперплоскость, сходимость
Большинство методов отсечений для решения задач выпуклого программирования основано на аппроксимации многогранными множествами либо области ограничений задачи, либо надграфика функции цели (например, [1-7]). В связи с этим их применение на практике удобно далеко не всегда. Такие методы используются в тех случаях, когда в исходной задаче или допустимое множество является многогранником, или целевая функция линейна.
Однако есть группа методов отсечений, которые применимы для решения задач выпуклого программирования общего вида (например, [8-11]). В этих методах для построения приближений используется операция погружения в многогранные множества одновременно и области ограничений, и надграфика целевой функции. Поэтому, несмотря на общий вид исходной задачи, итерационные точки в таких методах отыскиваются путём решения вспомогательных задач линейного программирования. Предложенный здесь метод принадлежит именно к этой группе методов отсечений. Опишем коротко его основные особенности.
В методах [1,3,9,11] для построения секущих гиперплоскостей используется заданная на предварительном шаге вспомогательная внутренняя точка надграфика. Численные исследования этих методов показали, что упомянутую вспомогательную точку целесообразно периодически изменять внутри надграфика, приближая её вместе с итерационными точками к решению задачи. В связи с этим в предлагаемом методе предусмотрена возможность изменения вспомогательных точек от шага к шагу.
Аннотация
Введение
Вычислительные эксперименты с методами [9-11] показали также следующее. Скорость решения задачи часто увеличивается, если на определённых итерациях строить отсекающие плоскости с использованием не одной точки, а одновременно двух - внутренней и внешней по отношению к допустимому множеству. В предложенном ниже методе заложен один такой способ построения отсечений. А именно, если вспомогательная точка, найденная на текущем шаге, не принадлежит допустимому множеству, то отсечения строятся на основе этой точки и некоторой соответствующей ей точки из области ограничений.
Отметим также, что основная последовательность приближений, строящаяся согласно предлагаемому методу, принадлежит множеству ограничений, что удобно с практической точки зрения. Кроме того, учитывая способ построения вспомогательных точек, на каждой итерации метода можно оценивать близость текущего значения целевой функции к её оптимальному значению. Это обстоятельство позволяет зафиксировать получение решения задачи на некотором шаге E.
1. Постановка задачи
Решим задачу
min {/(x) : x е D} , (1)
где / (x) - выпуклая функция, определённая в n-мерном евклидовом пространстве Rn и принимающая в каждой точке x е Rn конечное значение, а D с Rn -выпуклое ограниченное замкнутое множество с непустой внутренностью int D. Положим
/* = min {/(x) : x е D} , X* = {x е D : /(x) = /*} , epi(/, G) = {u = (x, y) е Rn+1 : x е G, 7 > /(x)} ,
где
G с Rn, /(x) = /(x)+ö, ö > 0, A(z,G) = {а е Rn : ||a|| = 1, (a,x - z) < 0 Vx е G},
B(z', Q) = {b е Rn+1 : ||b|| = 1, (b, u - z') < 0 Vu е Q}
- множества нормированных обобщённо-опорных векторов для множества G в точке z е Rn и множества Q с Rn+i в точке z' е Rn+i соответственно, K = {0,1,...}.
2. Метод отсечений и его обсуждение
Предлагаемый метод решения задачи (1) вырабатывает последовательность приближений xk , k е K, следующим образом.
Строятся выпуклое ограниченное замкнутое множество Go с Rn и выпуклое замкнутое множество Mo С Rn+i такие, что
D с Go, epi(/,Rn) С Mo.
Задаются числа ö, q, q', q'', а, удовлетворяющие условиям
ö > 0, 1 ^ q, q', q'' < а ^ min {/(x) : x е G0} .
Выбираются точки
v е int D, v0,v0' е epi(/, Rn).
Полагается k = 0.
1. Находится решение (yk, Yk), где yk G Rn,Yk G Ri, следующей задачи:
Y — min, (2)
(x,Y) G Mfc, x G Gfc, y > a.
Если
yk G D, f (yk) = Yfc, (3)
то yk G X*, и процесс построения итерационных точек заканчивается.
2. Строится приближение xk следующим образом. Если yk G D, то полагается
xfc = yk + qk (zfc — yfc), (4)
где zk = Akv + (1 — Ak)yk, а числа Ak G (0,1), qk G [1, q] выбраны так, что
zk G int D, xk G D.
В противном случае полагается xk = yk, zk = yk . Если
f (xk )= Yfc, (5)
то xk - решение задачи (1), и процесс заканчивается.
3. Строится множество Gk+i G R, следующим образом. Если yk G D, то выбирается конечное множество Ak с A(zk, D) и полагается
Gfc+i = Gfc П Pfc, (6)
где Pfc = {x G Rn : (a, x — zk} ^ 0 Va G Ak}. В противном случае
Gfc+i = Gfc. (7)
4. Полагается
wfc = (yfc,Yfc), ufc = (xfc),
где ak G R1 такое, что
fffc < f (xfc), Mfc G Mfc. (8)
5. Выбираются точки
4 = Akvk +(1 — Ak)wfc, 4 = АкЧ! +(1 —
где A'k, A'k' G [0,1), так, чтобы zk, zk G intepi(f, R„) и при некоторых qk G [1, q'], qk' G [1, q''] для точек
rk = wk + qk(zk — wk), rk' = uk + qk'(zk' — uk)
выполнялись включения
rk, rk' G ePi(f,Rn).
6. Выбираются конечные множества Bk С B(zk, epi(f, R„)),
Bk С B(zk', epi(f, R„)) и полагается Tk = {u G Rn+i : (b, u — zk} < 0 Vb G Bk}, Tk' = {u G Rn+i : (b, u — zk'} < 0 Vb G Bk'},
Mk+i = Mk П Tk П Tk'. (9)
7. Выбираются точки «к+1,€ вр1(/, Ки), значение к увеличивается на единицу, и следует переход к п. 1.
Докажем, прежде всего, разрешимость задачи (2) для всех к € К и критерий оптимальности, заложенные в пп. 1, 2 метода. Пусть х* € X*.
Лемма 1. Для всех к € К точка (х*,/ *) € Ди+1 удовлетворяет ограничениям задачи (2).
Доказательство. Покажем сначала, что при всех к € К верны включения
х € Ск, ер1(/, К.) С М'. (10)
При к = 0 включения (10) справедливы согласно условиям выбора множеств Со,Мо на предварительном шаге метода. Допустим теперь, что (10) выполняется при к = I ^ 0. Покажем, что
х* € С;+ь (11)
вр1(/,Ди) с М,+ 1, (12)
тогда соотношения (10) будут доказаны для всех к € К .
Согласно (6), (7) С;+1 = С; или С;+1 = С; П Р;. В первом случае включение (11) сразу доказано ввиду сделанного индукционного предположения о том, что х* € С;. Во втором случае (11) справедливо в силу того же предположения, а также включения х* € Р;, которое выполняется за счёт выбора точки г; и множества А; обобщенно-опорных в точке г; к множеству В векторов. Далее, по условию вр1(/, Ки) С М;, и, кроме того, вр1(/, Ки) С Т;' П Т;'' согласно выбору точек г', г'' и множеств В', В''. Значит, в силу (9) включение (12) также имеет место, и утверждение (10) доказано.
Наконец, в силу выбора числа а и множества Со справедливо неравенство /* ^ а. Отсюда с учётом (10) и включения (х*,/(х*)) € вр1(/, Ки) следует утверждение леммы. □
Леммой 1 обоснована разрешимость задачи (2). Докажем теперь критерии оптимальности.
Лемма 2. Для решения (ук,7к), к € К, задачи (2) имеет место неравенство
7к < /*. (13)
Доказательство утверждения следует из леммы 1, поскольку для любой точки (х, 7), удовлетворяющей ограничениям задачи (2), и для решения (хк,7к) этой задачи справедливо неравенство 7к ^ 7.
Теорема 1. Пусть точка х € В такая, что при некотором к € К выполняется равенство /(х) = 7к. Тогда х € X*.
Доказательство. В силу (13) / (х) ^ / * .С другой стороны, / (х) ^ / * согласно включению х (Е В. Таким образом, /(х) = /*, и теорема доказана. □
Следствие. Если при некотором к € К для точки (ук,7к) выполняются соотношения (3), то ук € X*. Если при некотором к € К выполняется равенство (5), то хк € X*.
Доказательство сформулированных утверждений непосредственно следует из теоремы 1.
Прежде чем обосновывать сходимость метода, приведём некоторые замечания, касающиеся его реализаций.
Замечание 1. Множество Mo на предварительном шаге метода можно выбирать совпадающим с Rn+i. Этим объясняется включение неравенства y ^ a в число ограничений задачи (2). Если Mo = Rn, то это неравенство в (2) можно отбросить.
Замечание 2. Если max f (x) и функции f (x) линейны, то удобно положить
Mo =epi(f,R„).
Тогда для всех k G K точки zk, zk' в п. 5 метода можно считать точками пересечения отрезков [vk,wk], [vk',uk], соответственно, с границей множества epi(f, Rn) и положить Mk+i = Mk = epi(f, Rn).
Замечание 3. Если множество D в (1) является многогранником, то естественно положить Go = D , поскольку нет необходимости в построении множеств, аппроксимирующих D. В таком случае согласно (7) будет выполняться равенство Gk = D для всех k G K.
Замечание 4. Если задача (1) имеет общий вид, то начальные аппроксимирующие множества Go, Mo удобно задать линейными неравенствами. Тогда в силу (6), (7), (9) задачи (2) для всех k G K будут задачами линейного программирования.
Замечание 5. Согласно п. 2 метода xk G D для всех k G K, т. е. с учётом (13)
f (xk) > f * > Yk, k G K. Поэтому, если для некоторого k K выполняется неравенство
f (xk) — Yk < E,
где E > 0, то xk - E-решение задачи (1), и процесс построения приближений при желании можно прекратить.
Замечание 6. Для методов [9-11] практические расчёты на тестовых задачах, где решениями являлись граничные точки множества D , показали следующее. Процесс решения задач ускорялся, если для построения аппроксимирующих над-график множеств использовались отсечения, построенные одновременно на основе точек как принадлежащих, так и непринадлежащих D . В связи с этим в предложенном выше методе заложена возможность построения секущих плоскостей с использованием одновременно точек yk и xk, если yk G D.
Замечание 7. Если положить o"k = f (xk), то в силу включений (xk, f (xk)) G epi(f, Rn) С Mk для точки uk выполняются условия (8), причём uk G intepi(f, R„). Если на k-ом шаге xk = yk, то значение a"k можно выбрать согласно неравенствам Yk ^ °"k ^ f (xk). При этом второе из условий (8), очевидно, выполнится.
Замечание 8. Для выбора вспомогательных точек vk, vk' имеется много возможностей. Допустимо, в частности, последовательности {vk} , {vk'} ,k G K, задавать совпадающими друг с другом. Если для всех k G K положить vk = vk' = v, где v G int epi(f, R„), то на всех итерациях метода при построении отсечений будет использоваться лишь одна точка v, как, например, в методах [1, 9-11]. Однако, как отмечено выше, эту вспомогательную точку v предпочтительнее изменять от шага к шагу, в частности, приближая её к точке (x*, f *). В связи с этим в методе и заложена возможность таких изменений путем задания последовательностей
{vk } , {vk'} .
Замечание 9. Как уже сказано, в случае хк = ук допустимо положить о"к = 7к . Тогда тк = ик, и при «к = 4' точки 4 и г к' можно задать совпадающими. Если при этом множества Вк и Вк' также выбрать одинаковыми, то выполнится равенство Тк = Тк'.
3. Сходимость метода
Перейдём к исследованию сходимости предложенного метода. В силу ограниченности множества Со количество способов (6), (7) построения множеств Ск, к > 0, а также построения точек ук,хк,гк,и>к,Ик последовательности {тк} , {ик} , } ограничено. Будем предполагать далее, что последовательности вспомогательных точек «к ,4', к € К, выбираются ограниченными. Тогда согласно п. 5 метода ограниченными являются и последовательности
{4}, К} ,к € К.
Лемма 3. Любые предельные точки последовательностей {и>к} , {ик} , к € К, принадлежат множеству вр1(/, Ки).
Доказательство. Пусть {тк}, к € К' С К, и {ик}, к € К'' С К, - сходящиеся подпоследовательности последовательностей {и>к} , к € К, и {ик} , к € К, а т = (у, 7) и и = (х,а) - их предельные точки соответственно. Покажем, что
ад € вр1(/, Ки), И € вр1(/, Ки). (14)
Для обоснования включений (14) докажем сначала равенства
11т ||4 - т|| = 0, 11т ||4' - Ик|| = 0. (15)
к^К' к^К"
Пусть номера € К' и 1,р; € К'' такие, что р > в,р; > I .В силу выбора точек 4,4' и множеств Вк,Вк' в пп. 5, 6 метода, а также равенства (9) выполняются включения Мр С Мя,Мрг С М;. Значит, любой вектор из множества В; является обобщенно-опорным к множеству Мр в точке 4 и любой вектор из множества В' ' является обобщенно-опорным к множеству МР1 в точке г'', а поскольку € Мр, € Мр согласно (2), (8), то
(Ь, ^ - 4> < 0 УЬ € В^, (Ь, - г'') < 0 УЬ € В''. (16)
Но точки 4, г к' можно представить в виде
4 = + Ак («к - и>к), г к' = Ик + Ак'(4' - Ик) Ук € К. (17)
Тогда из неравенств (16) следует, что
(Ь,ад8 - > > - 4> УЬ € В^, (Ь, и; - > > А"(Ь,и; - 4'> УЬ € В''. (18)
С учётом выбора точек V ",к € К, по лемме 1 из [2] найдутся такие
в ',в '' > 0, что
(Ь, - 4> > в ' УЬ € В^, (Ь, и; - > > в ' ' УЬ € В''.
Поэтому в силу равенств ||Ь|| = 1, выполняющихся для всех Ь € В^ и В'', из (18) следуют неравенства
к - ^ || > в'а;, ||и; - | > в ''а;',
справедливые для любых пар номеров s,ps G K',/,p; G K'' таких, что ps > s, p > l. Отсюда и из сходимости последовательностей {wk} , k G K', и {uk} , Mk', получаем
A'k ^ 0, k ^ то, k G K', A'k' ^ 0, k ^ то, k G K''.
Тогда из равенств (17) с учётом ограниченности последовательностей {|K — Wk||} , k G K', {yvk' — uk||} , k G K'', следуют равенства (15).
Докажем теперь включения (14). Так как {wk} ,k G K', и {uk} ,k G K'', ограничены, то с учётом (15) последовательности {rk} ,k G K', и {rk'} ,k G K'', также ограничены. Выделим из них сходящиеся подпоследовательности {rk}, k G K' С K', и {rk'} ,k G K7' С K'', и пусть V и r - их предельные точки соответственно. Заметим, что
v G epi(f, Rn), r G epi(f, Rn) (19)
в силу замкнутости множества epi(f, Rn). Поскольку
rk = Wk + qk(zk — Wk) Vk G K?', rk = uk + qk'(zk' — uk) Vk G K7',
и ввиду (15)
lim ||zk — Wk || = 0, lim ||zk' — uk|| = 0,
keK' keK''
то f = w и f = ü. Тогда отсюда и из (19) следуют включения (14). □
Лемма 4. Пусть W = (y, v) - предельная точка последовательности {wk} ,k G K, а u = (x, v) - предельная точка последовательности {uk} ,k G K. Тогда выполняются равенства
f(y) = V, f(x) = v. (20)
Доказательство. По лемме 3 для точек W и u справедливы включения (14). Следовательно,
V > f (V), v > f (x). (21)
Докажем теперь, что выполняются неравенства
V < f (V), v < f (x). (22)
Так как (yk, f (yk)) G epi(f, Rn), то ввиду (10) (yk,f (yk)) G Mk для всех k G K. Кроме того, согласно (2) yk G Gk, k G K, а поскольку Gk С Go, k G K, то f (yk) ^ min {f (x) : x G Go} ^ a для всех k G K. Таким образом, точка (yk, f (yk)) для всех k G K удовлетворяет ограничениям задачи (2). Значит, для решения (yk, Yk) этой задачи справедливо неравенство
Yk < f(yk)
для всех k K. Отсюда следует первое из неравенств (22). Второе из этих неравенств вытекает из условия (8) выбора чисел vk, k G K. Тогда из (21), (22) следуют равенства (20). □
Лемма 5. Пусть подмножество номеров K С K такое, что последовательности {xk} ,k G K, и {yk} ,k G K, являются сходящимися. Пусть x и y -предельные точки этих подпоследовательностей соответственно. Тогда
f (x) = f (V). (23)
Доказательство. Если для бесконечного числа номеров k G K выполняется включение yk G D, то для этих номеров xk = yk, и утверждение (23) очевидно. Поэтому будем считать далее, что yk G D для всех k G K, начиная с некоторого номера k G K.
По методике обоснования леммы 3 докажем следующее равенство
lim ||zfc - yk|| =0. (24)
keK
Сразу отметим, что согласно п. 2 метода
Zk = Ук + Ак(v - ук) Vk G K. (25)
Зафиксируем номера k,pk G K так, что pk > k ^ k .В силу (6), (7) выполняется включение Gpk с Gk. Кроме того, ypk G Gpk, а любой вектор множества Ak является обобщенно-опорным для множества Gpk в точке Zk. Следовательно, (a, ypk — Zk} ^ 0 для всех a G Ak. Отсюда с учётом (25) для всех a G Ak имеем
(а, Ук - Урк> > Ак (а, ук - «>.
По лемме [2] найдётся такое в > 0, что (а, ук - «> ^ в для всех а € Ак, к € К, к ^ к. Значит, (а, ук - урк > ^ вАк для всех а € Ак , и
НУк - урк У > в7к.
Отсюда и из сходимости последовательности {ук} ,к € К, вытекает предельное соотношение Ак ^ 0, к ^ то, к € К. Тогда из (25) с учётом ограниченности {|1г' ~~ Уй||} ,к & К, следует (24). Наконец, из равенств (4), (24) следует (23). □
Теорема 2. Пусть последовательность {ик} ,к € К, построена согласно предложенному методу. Тогда для любой её предельной точки И = (х, а) выполняются соотношения
х € X*, а € /*. (26)
Доказательство. Пусть И - предельная точка сходящейся подпоследовательности {ик} , к € К ' С К, последовательности {и'} , к € К. Выделим теперь из последовательности точек тк = (ук,7к),к € К ', сходящуюся подпоследовательность {и>к}, к € К С К ', и пусть т = (у, 7) - её предельная точка. Для точек И, т согласно лемме 4 справедливы равенства (20), а для точек х, у ввиду леммы 5 выполняется равенство (23). Значит,
/ (х) = а = 7. (27)
Но /(х) > /*, так как х € В, а 7 < /* в силу (13). Отсюда и из равенств (27) следуют соотношения (26). □
Литература
1. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977. 161 с.
2. Заботин И.Я. О некоторых алгоритмах погружений-отсечений для задачи математического программирования // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Матем. 2011. Т. 4, № 2. С. 91-101.
3. Заботин И.Я., Яруллин Р.С. Алгоритм отсечений с аппроксимацией надграфика // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2013. Т. 155, № 4. С. 48-54.
4. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука., 1983. 384 с.
5. Zabotin I.Ya., Yarullin R.S. One approach to constructing cutting algorithms with dropping of cutting planes // Russ. Math. (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved.). 2013. V. 57, No 3. P. 60-64. https://doi.org/10.3103/S1066369X13030092.
6. Zabotin I. Ya., Yarullin R.S. A cutting-plane method without inclusions of approximating sets for conditional minimization // Lobachevskii J. Math. 2015. V. 36, No 2. P. 132-138. https://doi.org/10.1134/S1995080215020195.
7. Zabotin I. Ya., Yarullin R.S. Cutting-plane method based on epigraph approximation with discarding the cutting planes // Autom. Remote Control. 2015. V. 76, No 11. P. 19661975. https://doi.org/10.1134/S0005117915110065.
8. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.
9. Zabotin I., Shulgina O., Yarullin R. A minimization algorithm with approximation of an epigraph of the objective function and a constaint set // CEUR Workshop Proc. V. 1623: Proc. 9th Int. Conf. on Discrete Optimization and Operations Research and Scientific School (DOOR-SUP 2016). Vladivostok, 2016. P. 321-324.
10. Zabotin I.Y, Shul'gina O.N, Yarullin R.S. A minimization method with approximation of feasible set and epigraph of objective function // Russ. Math. (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved.). 2016. V. 60, No 11. P. 78-81. https://doi.org/10.3103/S1066369X16110098.
11. Shulgina O.N., Yarullin R.S., Zabotin I.Ya. A cutting method with approximation of a constraint region and an epigraph for solving conditional minimization problems // Lobachevskii J. Math. 2018. V. 39, No 6. P. 847-854. https://doi.org/10.1134/S1995080218060197.
Поступила в редакцию 20.07.2023 Принята к публикации 04.09.2023
Заботин, Игорь Ярославич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры анализа данных и технологий программирования
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: IYaZabotin@mail.ru Казаева Ксения Евгеньевна, старший преподаватель кафедры анализа данных и технологий программирования
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: k.e.kazaeva@gmail.com Шульгина Оксана Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры анализа данных и технологий программирования Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: onshul@mail.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2023, vol. 165, no. 3, pp. 208-218
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2023.3.208-218
A Cutting-Plane Method with Internal Iteration Points for the General Convex Programming Problem
I.Ya. Zabotin*, K.E. Kazaeva**, O.N. Shulgina***
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *IYaZabotin@mail.ru, **k.e.kazaeva@gmail.com, ***onshul@mail.ru
Received July 20, 2023; Accepted September 4, 2023 Abstract
A cutting method for solving the problem of convex programming was proposed. The method calculates iteration points based on approximation by polyhedral sets of the constraint region and the epigraph of the objective function. Its distinguishing feature is that the main sequence of approximations is constructed within the admissible region. At each step, it is also possible to assess how close the current value of the function is to the optimal value. The convergence of the method was proved. A few of its implementations were outlined.
Keywords: convex programming, conditional minimization, optimal value, set approximation, function epigraph, iteration point, sequence of approximations, cutting hyperplane, convergence
References
1. Bulatov V.P. Metody pogruzheniya v zadachakh optimizatsii [Embedding Methods in Optimization Problems]. Novosibirsk, Nauka, 1977. 161 p. (In Russian)
2. Zabotin I.Ya. Some embedding-cutting algorithms for mathematical programming problems. Izv. Irkutsk. Gos. Univ. Ser. Mat., 2011, vol. 4, no. 2, pp. 91-101. (In Russian)
3. Zabotin I.Ya., Yarullin R.S. A cutting plane algorithm with an approximation of an epigraph. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Naukii, 2013, vol. 155, no. 4, pp. 48-54. (In Russian)
4. Polyak B.T. Vvedenie v optimizatsiyu [Introduction to Optimization]. Moscow, Nauka, 1983. 384 p. (In Russian)
5. Zabotin I.Ya., Yarullin R.S. One approach to constructing cutting algorithms with dropping of cutting planes. Russ. Math. (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved.), 2013, vol. 57, no. 3, pp. 60-64. https://doi.org/10.3103/S1066369X13030092.
6. Zabotin I.Ya., Yarullin R.S. A cutting-plane method without inclusions of approximating sets for conditional minimization. Lobachevskii J. Math., 2015, vol. 36, no. 2, pp. 132-138. https://doi.org/10.1134/S1995080215020195.
7. Zabotin I.Ya., Yarullin R. S. Cutting-plane method based on epigraph approximation with discarding the cutting planes. Autom. Remote Control, 2015, vol. 76, no. 11, pp. 19661975. https://doi.org/10.1134/S0005117915110065.
8. Demyanov V. F., Vasilev L. V. Nedifferentsiruemaya optimizatsiya [Nondifferentiable Optimization]. Moscow, Nauka, 1981. 384 p. (In Russian)
9. Zabotin I., Shulgina O., Yarullin R. A minimization algorithm with approximation of an epigraph of the objective function and a constaint set. CEUR Workshop Proc. Vol. 1623: Proc. 9th Int. Conf. on Discrete Optimization and Operations Research and Scientific School (DOOR-SUP 2016). Vladivostok, 2016, pp. 321-324.
10. Zabotin I.Y, Shul'gina O.N, Yarullin R.S. A minimization method with approximation of feasible set and epigraph of objective function. Russ. Math. (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved.), 2016, vol. 60, no. 11, pp. 78-81. https://doi.org/10.3103/S1066369X16110098.
11. Shulgina O.N., Yarullin R.S., Zabotin I.Ya. A cutting method with approximation of a constraint region and an epigraph for solving conditional minimization problems. Lobachevskii J. Math., 2018, vol. 39, no. 6, pp. 847-854. https://doi.org/10.1134/S1995080218060197.
Для цитирования: Заботин И.Я., Казаева К.Е., Шульгина О.Н. Вариант метода отсечений с внутренними итерационными точками для задачи выпуклого програм-\ мирования общего вида // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 3. С. 208-218. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.208-218.
For citation: Zabotin I.Ya., Kazaeva K.E., Shulgina O.N. A cutting-plane method with / internal iteration points for the general convex programming problem. Uchenye Zapiski \ Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 3, pp. 208-218. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.208-218. (In Russian)
