CC BY
9© Никитенко О. Б., 2013
УЗОРЫ ЧИСЛА В АКУСТИКЕ МУЗЫКИ
В статье рассмотрен один из возможных принципов обработки логико-акустических (фонологических) данных музыки формальным путем. На примере консонансов показано наличие математического основания, объединяющего их числовые коэффициенты, лишь отчасти вписывающиеся в арифметическую прогрессию, вполне, однако, удовлетворяющую числовым отношениям обертонов. Коэффициенты консонансов составляют своеобразную фигуру в фигурном числе и имеют свою собственную объединяющую их математическую логику. Этот факт побуждает к поиску математической параллели фонологии музыки.
Ключевые слова: акустика музыки, консонанс, числовые коэффициенты, матрица чисел консонансов, фигурное число, математический принцип музыкальной системы
Узоры чисел в музыке - «вещь в себе», всегда привлекавшая не только специалистов, но всякого, кто стремился проникнуть за грани музыкального потока. Один из таких узоров -числовые выражения музыкальных интервалов, не представляющие, в силу очевидной элементарности, для специалиста из области «царицы наук» отдельного интереса. Однако музыканта, неискушенного в математике (а потому обладающего той самой «свежестью взгляда», позволяющей дерзновенно вторгаться в чужую область), эти числа вновь и вновь побуждают к поиску особой связи числа и музыки. Опыт такого вторжения представлен в настоящей статье.
Итак, что есть чистое математическое выражение музыкального интервала по отношению к его эстетической ценности? Составляют ли соотношения чисел, выражающих интервалы, определенный порядок? Иными словами, можно ли получить числовой ряд интервалов, например, консонансов, формальным путем, не прибегая к делению струны или к анализу соотношения колебаний обертонов?
Предложим одну из версий ответа на этот вопрос.
Итак, числовые выражения консонансов в натуральном, а шире - в зонном строе, обоснованном Н. Гарбузовым [2], актуальном для европейского музыкального опыта, представляют некоторый ряд отношений чисел. Напомним его:
октава - 1/2, квинта - 2/3, кварта - 3/4,
терция большая - 4/5, терция малая - 5/6, секста большая - 3/5, секста малая - 5/8.
«Увидим» эти числовые отношения в цепочке чисел обертонового ряда:
1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8
Над простой арифметической прогрессией чисел наш взгляд прочертит «перекладины» для секст (3/5, 5/8), увидит «перекладину» тритона (5/7), не входящего в консонансный ряд, а также «соседние» малые терции (6 : 7 : 8). Тритон и «узкие» терции не входят в группу элементов, которые «работают» в музыке под именем консонансов, поэтому их присутствие необходимо либо обосновать, либо проигнорировать. Следовательно, соотносить родство консонансов с их присутствием в цепи арифметической прогрессии недостаточно.
Предложим иной аналитический ход. Для этого отнесемся к отношениям чисел, выражающих интервальные коэффициенты консонансов, с особым вниманием.
Итак, в коэффициентах консонансов фигурируют семь двузначных расстановок из семи чисел. По правилам комбинаторики [1, с. 10] полное количество двузначных расстановок из семи чисел равно: 72 = 49. Следовательно, семь данных расстановок выделились из числа 49 возможных в результате наложения определенного ограничения на все пространство расстановок.
Рассмотрим это пространство:
11 12 13 21 22 23 31 32 33 41 42 43 51 52 53 61 62 63 81 82 83
14 15 24 25 34 35 44 45 54 55 64 65 84 85
16 18 26 28 36 38 46 48 56 58 66 68 86 88
Матрица расстановок симметрична; ось симметрии проходит по диагонали; на ней расположены семь расстановок, их числа в отношении дадут целое: 1/1, 2/2, 3/3 и т. д.
Это первое ограничение, которое можно наложить на матрицу: разделить ее на две части по сторонам оси симметрии. Семь консонантных комбинаций находятся в непосредственной близости от оси симметрии:
12 13 14 15 16 18 23 24 25 26 28 34 35 36 38 45 46 48 56 58 68
Общее число расстановок в треугольной матрице, а также числа расстановок в строках (6, 5, 4, 3, 2, 1) принадлежат к так называемым фигурным числам, которые характеризуются треугольным числом [1, с. 124]. В нашем слу-
чае треугольное число равно сумме чисел 1, 2. 3, 4, 5, 6, т. е. 21.
Для наглядности расположим теперь ряды комбинаций следующим образом и продолжим анализ числовых соотношений:
А 12
13 23
14 24 34 15 25 35 45
16 26 36 46 56 В 18 28 38 48 58 68 С
В 21 варианте каждое число выступает в шести комбинациях. Стороны треугольника АВ и ВС образованы линиями комбинаций наименьшего - 1 и наибольшего - 8 чисел; линии остальных чисел изломаны, при этом точки излома составляют сторону треугольника АС. Именно на стороне АС находится большинство искомых комбинаций, следовательно, по первым двум комбинациям линии АС можно установить закономерность числовой комбинаторики консонантного ряда, не вполне совпадающим как с линией АС, так и с линиями простых чисел.
В двух первых комбинациях - 12 и 23 -2 числа из 3 (т. е. максимальное количество чисел) используются столько раз, сколько обозначает само число: 1 - 1 раз и 2 - 2 раза, при этом большее число в паре направляет ряд по
линии данного числа. Если это - правило, то в согласии с ним выделим такой набор комбинаций, в котором числа используются не больше количества, обозначаемого им самим. Эти соотношения окажутся на линиях комбинаций простых чисел и приведут... к консонантному ряду.
Таким образом, все консонантные комбинации выделяются из возможных 49 в соответствии с правилом, составленным по первым двум комбинациям треугольной матрицы.
Возможность получения числовой цепи музыкальных элементов независимым от музыкальной эмпирики путем дает повод к размышлениям, некоторые из которых предложены здесь. Если числа, выражающие элементы музыкальных структур, имеют определенный порядок и математическую связь, то акустика
музыки вовсе не безразличный музыке ее материальный слой, отшлифованный в истории путем практической и эстетической «огранки». Акустическая организация музыки не сводима к строю, шкале, камертоновой «точке отсчета» и т. д. Акустика музыки - это стройный порядок, обусловленный логическими причинами, находящимися за ее пределами, но не в музыкальной эмпирике. Логические причины задают границы1 процессу восприятия, которое «считывает» их вполне определенную формулу, движется в заданном направлении, выбирает элементы и разделяет их на «главные» и «второстепенные», сопоставляет и квалифицирует их. Движение этой логики усматривается в статусе интервала в модальной системе, где оппозиция консонанса - диссонанса является основополагающей для построения многоголосия. Консонансы маркированы особыми ритмическими и ладовыми условиями, отличными от маркеров диссонансов. Это вполне согласуется с числовыми характеристиками интервалов: коэффициенты диссонансов представлены сложными числами, составленными из простых, выражающих консонантный ряд. Следовательно, узоры чисел диссонансов можно рассматривать как усложненные производные от чисел, составляющих консонантный ряд, а музыкальный слух, находящийся в рамках модальной системы, распознавая интервал, на самом деле следует некоторой математической формуле и «считывает» заданную матрицу, направляющую слуховое восприятие и накладывающую на него определенные рамки. Диссонанс, занявший ритмические и ладовые позиции консонанса, - свидетельство выхода в новую систему, где он распознается, но не имеет прежнего статуса и «правил поведения».
Или: дискретный элемент матрицы, «формулирующей» пространство модальной системы, «задает» восприятию учет парных отношений элементов в синхронии многоголосия, но не позволяет охватывать всю звучащую вертикаль как целое, хотя в самой программе просматривается возможность иного - не парного, а более сложного типа счисления, очевидного в числах, выражающих аккорд (напр., мажорное трезвучие - 4 : 5 : 6). Этот более сложный (или более высокий иерархически) логический принцип (= новая матрица) должен подчинить парный ход чисел системы, где интервал - основание, и включить его в новое пространство. Например, числовая структура
многозвучия типа доминантсептаккорда представляет собой цепь 4 : 5 : 6 : Х, где 6 : Х должно удовлетворять 5 : 6, т. е. малой терции, кроме того, отношение крайних звуков 4 : . Х должно быть равно 5 : 9 - малой септиме. Решение этого уравнения - 20 : 25 : 30 : 36, или, то же самое, (22 х 5) х 52 (5 х 6) х 62. Слух, мгновенно «считывающий» информацию такого созвучия, находится в пространстве системы, где терцовые многозвучия и их производные от них обращения - базовые единицы.
Иными словами, модальная система формулирует базовый элемент - созвучие - на простейшем языке - а : Ь, или а/Ь. Приведение в соответствие набора таких сочетаний (выход за пределы попарного распределения чисел) должно быть осуществлено на языке более высокого уровня. В системе, где базовой единицей становится сам набор сочетаний (аккорд), манипуляция с сочетаниями должна быть проста и компактна. Здесь на языке более высокого уровня формулируется интервал: а/Ь заменено на 0х, что позволяет манипулировать сочетаниями вновь на простейшем (в данной системе) языке. Формула а/Ь : Ь/с = а/с здесь выглядит как О + ау = а2, или как (х + у)1/а = 211а. Рефлексию о том, какой «уровень счисления» организует «программу» музыкального слуха ХХ, затем XXI столетий, оставим в будущем, здесь же заметим: поиск объективных принципов, соответствующих инвариантам акустических элементов, лежащих в основе музыкального опыта разных культур, представляется едва ли не единственным путем, способным отвлечь сравнительный анализ от сосредоточенности на эмпиризме.
Примечания 1 Уместно вспомнить специальное исследование Т. Б. Сидневой, посвященное проблеме границы в музыке, где подчеркнуто ее особое значение, пронизывающее музыкальную структуру от фундамента до выхода за границу собственно музыки [3, с. 113].
Литература
1. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. 328 с.
2. Гарбузов Н. А. Зонная природа звуковы-сотного слуха. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. 84 с.
3. Сиднева Т. Б. Искусство как метафора бытия. М.: Прогресс-Традиция, 2013. 320 с.
