CC BY
50
УДК 621.3.08
РО!: 10.25206/1813-8225-2020-169-58-61
Б. В. ЧУВЫКИН1 м. м. НИКИФОРОВ2
1Пензенский государственный университет, г. Пенза
2Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск
УВЕЛИЧЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА АЦП В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ МЕТОДАМИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
В статье рассматривается метод повышения динамического диапазона стандартного аналого-цифрового преобразователя. Метод базируется на интерполяции участков сигнала, которые были ограничены по амплитуде, по неискаженным участкам. Интерполяция выполняется решением системы линейных уравнений. Произведена оценка погрешностей и факторов, лимитирующих применение метода. Приведены результаты моделирования. Сделан вывод о перспективности использования метода наименьших квадратов, так как в этом случае ошибка интерполяции является наименьшей в среднеквадратичном смысле.
Ключевые слова: аналого-цифровой преобразователь, динамический диапазон, интерполяция, погрешность интерполяции, система линейных уравнений, неравномерная дискретизация, интерполирующий ряд.
Введение. При разработке информационно-измерительных систем большое внимание уделяется динамическому диапазону, в котором проводятся измерения. В настоящее время достаточно часто устройства данного типа строятся на принципах цифровой обработки сигналов. Соответственно, основным фактором, лимитирующим динамический диапазон измерителя, является аналого-цифровой преобразователь (АЦП) [1—5]. Как известно, АЦП преобразует непрерывный во времени сигнал в последовательность квантованных по уровню чисел, которые далее обрабатываются на некоторой вычислительной платформе, например, в цифровом сигнальном процессоре. То есть, с точки зрения математики, функциональное пространство сигналов отображается на конечное поле целых чисел, если принять, что на выходе АЦП — целые числа в диапазоне от —2м-1 до 2м-1-1, где N — разрядность АЦП. Очевидно, что данное отображение не является биекцией. Так, если преобразуемый сигнал превышает динамический диапазон АПП, то он «обрезается» по уровню и не может быть восстановлен. То же имеет место и в отношении малых сигналов. Если они не превышают половины младшего разряда АЦП, то восстановить их достаточно проблематично. При этом разработчик всегда находится перед дилеммой — если он делает упор на измерение малых сигналов, то перед АЦП обычно ставится усилитель, что приводит к ограничению
сигналов с большой амплитудой. При измерении больших сигналов, соответственно, увеличивается погрешность измерения малых сигналов. Наиболее наглядно данная проблема проявляется при измерении шумоподобных сигналов, когда мгновенные значения сигнала могут в разы превышать его сред-неквадратическое значение.
Цель данной статьи — предложить метод, позволяющий повысить динамический диапазон стандартного АЦП за счет применения методов цифровой обработки сигналов.
Постановка задачи. Повышение динамического диапазона в рассматриваемом случае должно сводиться к восстановлению амплитуды отсчетов дис-кретизированного сигнала, амплитуда которых превысила динамический диапазон АЦП. Информация, необходимая для восстановления, должна находиться в отсчетах малой амплитуды, которые не подвергались искажениям. При работе с переменными сигналами такие отсчеты группируются в точках перехода через ноль. Их количество пропорционально частоте дискретизации. Следовательно, мы имеем дело с классической задачей интерполяции сигнала. Однако, в отличие от стандартных методов интерполяции, в данном случае придется иметь дело с неравномерной частотой дискретизации.
Теперь поставим задачу. Пусть имеется некоторая континуальная функция х(V) с автокорреляционной функцией, отличной от дельта-функции
Рис. 1. ограничение амплитуды отсчетов в результате превышения динамического диапазона АцП
Дирака. После дискретизации данной функции получена последовательность х(п). Далее все отсчеты этой последовательности подвергались квантованию и часть отсчетов была ограничена по амплитуде, как это показано на рис. 1. Задача состоит в том, чтобы восстановить амплитуды искаженных отсчетов и определить условия, при которых такое восстановление возможно.
Теория. Для решения этой задачи учтем, что отсчеты х(п) имеют некоторую зависимость из-за наличия корреляции [6, 7], что следует из условия задачи. Следовательно, имеется возможность с той или иной погрешностью выразить одни отсчеты через другие. Применительно к виду автокорреляционной функции и свойствам самого сигнала данная зависимость может быть записана разными формулами. Рассмотрим случай, когда исходный сигнал имеет спектр, ограниченный по Котельникову [8, 9]. В этом случае, если частота дискретизации будет превышать более чем в два раза ширину спектра сигнала, то между отсчетами возникнет линейная зависимость. Используем этот факт для решения поставленной задачи. Для этого представим исходную функцию на конечном интервале длиной Т в виде какого-либо ряда. Например, в виде ряда Фурье [10, 11].
, ч /--иг 1--if 1--2t
x(t) = C0eT а Ce T а C2e T а ... +
^ j—■ kt а ... = 1 Cke]T,
j-kt а Си T
(1)
где Сп — некоторые коэффициенты.
Формула (1) пр едставлке т бескон ечный ряд и не можит быоь вычиэлона на эоальеой вычислительной платформе. Поэтому ус екаем данный ряд до конеиной суммы!:
•2л ,f j^ kt
x(f)= ]TC keJ* + rrff) = С(Н)рЛ(Н) ,
(2)
где r\{t) — оihибка2 иызванная усечением ряду.
Как ^вдуеи из теории, n]Cita раеиемии ряду Фурье ошибка а2И минрм.льиа в среднеквадратичном смысл е.
Теперь на о сн оваи д и формулы (1) се ставом си -стему уравнений. Для этого найдем значение исходного сигнала в точках х(^), соответсэвующее олсые-там, ко тор ые имели достаточно малую амп литуду и ие быуи огранииены АЦП.
,2л
,2л
.2л,
и \ П j^ u'u „ 1—"0 „ j—2tu
x(to) = Cue T а С) а C2e T а ... а
2л
.2л,
_ 1Tkto 1—= С
а Cke а ... а CN°e xf) = C0e T 1 а Ce T e а C2e t 1 а ... -у
j'21 kti
/ \ „ j—0t2 c e— iH2 ^ J—N x (t2 ) = C0e t у Cy T а C2e T --„.а
= 2C (NV-iHi
j—it2
j—2t2
(3)
j^rkt
2л
aCke T 2 а ... а CN-ie T
1cN-Щ
(. \ „ 7'Су-одт-1 _ 1~'"тс _ 1—-сл
и(Дт_1. ц о(л ы мС1л ы м оо ы + ... м
_ 1СУнст_1 _ 1сну.-т _1)дт_1
э онЛ ы э ... э о^е ы .
Воличины х(^е ктк уже говорилооь выше, оз-
вестны, так как являютсу конкретными отсчетами
н'
сигнала. _ьеличины с ы можно рассчитать заранее . Сеотвонстыенно, решая систему уравнений, находим коэффициенты Ск. После этого вычисляется значение
j j
j-«к
~(f) = £ СеИ
.2л d j^T ■kt
(4)
в требутмой точке 0. Таким обр азом, поставленная в начале статьи заыача реш ен а ы обыщем виде. Рассмотрим теперь иекоттрые пдэикладные вопросы, возникиющыо при пэообноыо рода ]в ычисвсниях.
Результаты экспериментов. Решение системы урэонений (3) не вбееда сущосбв.ет. Дляопределен-ного набора значений оусчетов х^п) дамная систеда может оказаться вырожде нной. При моделировании вереде МаНаЪ получена статистика, согласно которой вырожденными явияютсо в средоьм несколько процентов получаемых при подобной интеь поляции систем уравнений. Данная проблема можен быть решена следующим образом. Обычно точку интерполяции выбира т так, чтобы узлы интерполяции (отсчеты х(^)) располагались справа и слева от этой точки. При этом число отсчетов справа и слева выбирается примерно одинаковым. Допустим, 7 отсчетов справа и 8 слева. Если полученная система уравнений оказывается вырожденной, можно взять, наоборот, 8 отсчетов справа и 7 слева. Если принять, что в среднем только каждая десятая система уравнений оказывается вырожденной, вероятность того, что система уравнений будет вырожденной и в первом, и во втором случае равна 0,01. Данный подход можно развивать. Допустим, использовать слева 9 узлов интерполяция, а справа 6, и так далее. Еще одним решением проблемы вырождения системы уравнений является выбор более подходящего базиса для конкретного вида интерполируемого сигнала.
При рассмотренном методе повышения динамического диапазона важным фактором является операция квантования отсчетов х(^). Принято счи-
k=0
k=0
N-1
k=0
тать, что данная операция может быть представлена в виде суммы точного значения отсчета и так называемого шума квантования, который является результатом округления
(fn ) = round(x(tn )) + s(tn ) ,
(5)
где round — операция округления; s(—) — шум квантования.
При этом проблему представляет не столько сам шум квантования, сколько его рекурсивное накопление при решении системы у+авнений. К сожалению, ]эеальнуЕО погрешность решения (или, как говорят математики, невязку) априори определить достаточно сеожно. (3 + ездлзтате моделирования было установлено, что среднеквадрати-ческая погрешность инте+нолгрованнего си)гнала относительно юеисдаженного эюалона примерно равна средне=вадратича екей а м плнтеде ш j%-a квантования.
Еще одним еажпым св=йстеом описываемого метода является коэффициент расширения динамического диапазон а. П ри моделировании было установлено, что домамичаекмй диапазсш мажеа быть увеличен в е 0 и более раз при погрешности восстановления 0 ,е 1 % и мене е. Boo Ищ е, е «анном методе происходит своего рода обмен. Малый динамический диехазон ДЦП моднее быть номпенсирован за счет певышания честоты дискретизации.
Следует сказное, чао дм хтстротния системы необызательна ]гаскладывать иаходный сигнал именно в ыяД комплексных экспннент. Возможно разложению в любож инеерп+нимующжй +яд, в том чие+е и не о+тоганальный. Накример, хорошие резы+ьтхтап )i=:klc:i,3еалн аппг>дкзимаци+ полиномом. Вообще, юлен интерпдлирующего ]еяда +олжен в максимхр.е+нн^ етепени пенадиаь на интерп+ли-руемый ежгнал. То еста лучшеое результаты получаются при «мнтер+ол+цди модобного подобным». С одной стороны, это приводит к уменьшению количества хлепюв нямн, нед+мддимаен %ле д+стижа-ния задаыной точности, с другойс — к снижению риска полуыания вырожденддй зистемы. Так, сигналы с ограниыенным спекгзом па Котельникову хорошо интерполируются рядом Котельникова, то есть по-следователрх оттью омещенн ых син) о в:
t(S )=И х (пАТ )
гтяс (] - пАТ) я(Т - пАТ)
(6)
" Фо (д0 ) Ф1(Д0) ■ ■ Фк (До ) ■ Фк (До ) " "Со" " *До) "
Фо (д1) Ф1(д1) ■ ■ Фк (ti) ■ Фк (Д1) Ci x (ti)
Фо (tn ) Ф1 Дп ) ■ ■ Фк Дп ) ■ Фк д„) Ск = x(t„)
_Фо (да-1) Ф1(да-1) ■ Фк (Да-1) ■ Фк (Да-1)_ Ск . x(tN-1).
где Дí — пяриод дискретизации; юс — граничная частота в спрквре сигнапа.
Сигналы с узким спектром относительно частоты дискрепиваниы аорошо ихптер¡полируются рядом Фурье вида
где фк(^ — выбранные для интерполяции функции, то систему уравнений возможно записать в матричной форме
(9)
Обсуждение экспериментов. Все рассмотренные варианты имеют следующую особенность. И сходный сигнал аппроксимируется набором базисных функций такого же размера, что и количеств о используемых для интерполяции отсчетов (узлов интерполяции). Другими словами, матрица ДОч(й„)] яввется квадратной. Как уже отмечалось выше, этв имеет определенные преимущества, в основном свяоанняе с кояичесевом математических операций , необходимых для решения системы уравнений. В случае кввдратной мвтрицы это количество манималоно. Одяим из следетвий такого подхода является то, что, например, при интерполяциисиг-ала, ограниченного по Котельникову, количество отсчетов, необходимых для интерполяции, которые не были ограничены АЦП, должно в среднем соответствовать частоте дискретизации. Тогда возможно идеальное восстановление сигнала. Однако данное преимущество оборачивается тем, что матрица может оказаться вырожденной. При этом, с технической точки зрения, частоту дискретизации во многих случаях можно было бы повысить, получая дополнительные отсчеты, которые в слу-ае квадратной матрицы не имеют смысла, так как они приведут только к тому, что некоторые уравнения в нашей системе уравнений станут линейно зависимы. Однако существует метод, позволяющий использовать при интерполяции большее число тсчетов интерполируемого сигнала для получения меньшего числа коэффициентов разложения, но с меньшей погрешностью. Это так называемый метод наименьших квадр атов.
Метод наименешсх квад]эатов позволяет в нашем случае найти на б ор коэффициентов ,адя интер-поляциенного ряда с наеменыпей еогрешностью в средееовадратичном омысле. Данный метод так же о сто ван на ]те1п ении систе мы ур авнений, которая может быть достаточно просто построееа, если в качестве интерпо;швующегв ряда выбр)ин обычный полином вида
~(t ) = b0 + М bktk
(10)
х (]) = И \ a siTiПс ] 1 + вг йг т
(7)
где A, и B,
коэЯфициешы, которые необходимо найти.
Если мыгерноиирующиЯ полином ззагасать в общем виде
и(т) = Д)Л) (t) + Д)ЛК(Т ) +
а-к
+ ДПЛЗ (и) +,,, + ДоЛО (Т )=и ДОЛО (Т )
г=)
Тогда сис+ема к^равнен^!^ имеет вид
а N MMtn ■ N ■ MX "bo " b1 N MX
N ММДп n=1 N MMtn 1 ... n=1 ... N . МММ+1 n=1 N M tnxn
n=1 n=1 =1 n=1 n=1 n=1
N" MtK n=1 N '" мм дК+1 . n=1 n'" . MtnK n=1 _ Ьк . Ькхп _n=1
(11Д
(8) где xn — отсчет интерполируемого сигнала в момент времени t .
к=1
60
Увеличение динамического диапазона АЦП методом наименьших квадратов имеет два существенных преимущества. Во-первых, интерполяция получается тем точнее, чем больше отсчетов интерполируемого сигнала принимает участие в вычислениях. Во-вторых, система уравнений, полученная таким образом, всегда имеет решение. Из недостатков метода следует указать некоторое увеличение количества математических операций, по сравнению со случаями, рассмотренными выше.
Выводы. В статье рассмотрен метод расширения динамического диапазона стандартного АЦП. Метод базируется на идее восстановления амплитуды отсчетов, которые выходят за пределы динамического диапазона АЦП. Восстановление выполняется при помощи интерполяции по отсчетам, которые не подверглись искажению. Алгоритм интерполяции строится на выборе интерполирующего ряда, с последующим определением коэффициентов ряда через решение системы уравнений. В результате моделирования метода была оценена погрешность метода, которая примерно соответствует погрешности, обусловленной квантованием отсчетов интерполируемого сигнала. В конце статьи обоснована методика расширения динамического диапазона АЦП, базирующаяся на методе наименьших квадратов, позволяющая не только уменьшить погрешность интерполяции, но и строить системы уравнений, которые всегда имеют решение.
Библиографический список
1. Jungwirth P., Evans D. Analog-to-digital conversion and model based engineering // Open Architecture/Open Business Model Net-Centric Systems and Defense Transformation. 2019. Vol. 11015. 198 p. ISBN 9781510626959.
2. Tang X., Hu Q., Klipsh W. T. Analog to Digital Feature Converter based on Oversampling Modulators for ECG Delineation // 2019 IEEE 62nd International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS). 2019. DOI: 10.1109/ MWSCAS.2019.8885145.
3. Wetherington G. R. Performance Assessment of Several Low-Cost Consumer-Grade Analog-to-Digital Conversion Devices // Sensors and Instrumentation, Aircraft/Aerospace and Energy Harvesting. 2019. Vol. 8. P. 15-22. DOI: 10.1007/978-3-319-74642-5_2.
4. Чернышова Т. И., Курносов Р. Ю., Каменская М. А. Оценка метрологической надежности аналого-цифрового преобразователя в структуре информационно-измерительной системы на этапе проектирования // Вестник Тамбовского го-
сударственного технического университета. 2019. Т. 25, № 2. С. 180-189. DOI: 10.17277/vestnik.2019.02.pp.180-189.
5. Данилаев Д. П. О выборе АЦП для цифрового приемника // Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов. 2019. Т. 10, № 3. С. 27-33.
6. Blandford D., Parr J. Introduction to Digital Signal Processing. 2019. 784 p. ISBN 0131394061; 978-0131394063.
7. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов / пер. с англ. С. Ф. Боева. 3-е изд., испр. М.: Техносфера, 2018. 1048 с.
8. Kramer H. P. A generalized sampling theorem // Journal of Mathematics and Physics. 1959. Vol. 38, Issue 1-4. P. 68-72. DOI: 10.1002/sapm195938168.
9. Jerri A. J. The Shannon sampling theorem — Its various extensions and applications: A tutorial review // Proceedings of the IEEE. 1977. Vol. 65, Issue 11. P. 1565-1596. DOI: 10.1109/ PR0C.1977.10771.
10. Гасанов М. И., Григорян, Л. А. Ряды Фурье и их практическое применение в электротехнике // Актуальные тренды и перспективы развития науки, техники, технологий: сб. науч. тр. / под общ. ред. Е. П. Ткачевой. Белгород, 2019. С. 6-9.
11. Лученкова Е. Б., Рыбакова Н. Н., Сакулин В. П. [и др.]. Ряды. Красноярск: Изд-во СФУ, 2019. 78 с.
ЧУВЫКИН Борис Викторович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы» Пензенского государственного университета, г. Пенза. SPIN-код: 6721-0395 AuthorID (SCOPUS): 6506337395
НИКИФОРОВ Михаил Михайлович, кандидат технических наук, заместитель директора Научно-исследовательского института энергосбережения на железнодорожном транспорте Омского государственного университета путей сообщения, г. Омск. SPIN-код: 8509-4959 AuthorID (SCOPUS): 57191253000 Адрес для переписки: st256@mail.ru
Для цитирования
Чувыкин Б. В., Никифоров М. М. Увеличение динамического диапазона АЦП в информационно-измерительных системах методами цифровой обработки сигналов // Омский научный вестник. 2020. № 1 (169). С. 58-61. DOI: 10.25206/1813-8225-2020-169-58-61.
Статья поступила в редакцию 11.12.2019 г. © Б. В. Чувыкин, М. М. Никифоров
