CC BY
18
ISSN 2521-6244 (Online) (Роздш «Електротехшка»)
УДК 621.3.013.1
УТОЧНЮЮЧИЙ П1ДХ1Д ДО ВИЗНАЧЕННЯ ФУНКЦ1ОНАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ В1ДНОСНИХ МАГН1ТНИХ ПРОНИКНОСТЕЙ АН1ЗОТРОПНИХ ХОЛОДНОКАТАНИХ ЕЛЕКТРОТЕХН1ЧНИХ
СТАЛЕЙ
Д1ВЧУК Т.е. старший викладач кафедри електричних машин 3anopi3bKoro нацiонального
техшчного унiверситету, Запор1жжя, Украша, e-mail: [email protected];
ЯРИМБАШ Д. С д-р техн. наук, доцент, заыдуючий кафедри електричних машин Запорiзького
нацiонального техшчного унiверситету, Запорiжжя, Украша, e-mail: [email protected];
ЯРИМБАШ С.Т канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри електричних машин Запорiзького
нацюнального техшчного ушверситету, Запорiжжя, Украша, e-mail: [email protected];
КИЛИМНИК 1.М. канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри вищо! математики Запорiзького
нацюнального техтчного унiверситету, Запорiжжя, Украша, e-mail: [email protected];
КОЦУР М.1. канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри електричних та електронних апаратiв
Запорiзького нацюнального техшчного ушверситету, Запоргжжя, Украша, e-mail: [email protected];
БЕЗВЕРХНЯ Ю.С. аспiрант кафедри електричних та електронних апарапв Запорiзького
нацiонального технiчного унiверситету, Запорiжжя, Украша, e-mail: [email protected].
Мета роботи. Розробити ефективний nidxid до визначення математичних фунщюнальних спiввiдношень для високоточного опису нелiнiйних залежностей вiдносноi магнтно'1' проникностi eid тдукцп магнiтного поля i3 врахуванням ангзотропИ сучасних марок холоднокатаних електротехтчних сталей, що застосовуються у виробництвi нових серш силових трансформаторiв.
Методи досл^ження. До^дження проводилися iз застосуванням методiв ттерполяцИ, апроксимацИ] регресшного аналiзу, математично'1' фiзики, теорп електромагнтного поля.
Отримат результати. Проведет дослiдження методiв функцюнального представлення нелШйних характеристик намагтчування феромагнтних матерiалiв, у тому числi, холоднокатаних атзотропних електро-технiчних сталей. Запропонований уточнюючий пiдхiд до збшьшення розмiрностi вихiдних даних на основi методу сплайнчнтерполяцп на базисi полiномiв Ермта для цифрованих даних характеристик намагнiчування, що виключае збшьшення похибок визначення вiдносних магнтних проникностей на дшянках мiж вузловими значеннями магнiтноi iндукцii. Для математичного опису залежностей вiдносноi магнтно'1' проникностi вiд iндукцii магттного поля розроблений спещальний функщональний базис iз функцiями Гауса i додатковими фу-нкщями похибок, що забезпечуе безперервтсть похiдних ргзних порядюв при фжсованих значень кутiв мiж на-прямом прокатування атзотропно'1' електротехнiчноi сталi та магнтного потоку. Застосовано метод нелi-нiйноi регресп у структурi вбудованих функцш прикладного пакету MathCAD для високоточного визначення векторiв коефiцiентiв регресп у функцюнальних описах вiдносних магнiтних проникностей. Шляхом верифжа-цп i валiдiцii результатiв уточнюючо'1' нелiнiйноi регресп iз даними розрахунюв за узагальненою методикою та з експериментальними даними доводиться iстотне зменшення вiдносних похибок, що не перевищують 1,62% при фжсованих значень кутiв мiж напрямом прокатування атзотропно'1' електротехнiчноi сталi та магнiтно-го потоку. Застосування нових рiвнянь регресп ктотно покращуе умови для польового моделювання електро-магнтних полiв у режимi неробочого ходу силового трансформатора в структурi засобiв Comsol Multiphysics, забезпечуючи сттюсть iтерацiйних обчислювальних процесiв.
Наукова новизна. Реалiзований новий пiдхiд до збшьшення розмiрностi вхiдних масивiв на основi сплайн-iнтерполяцii масивiв цифрованих даних характеристик намагнiчування для фжсованих значень кутiв мiж на-прямами прокатування електротехтчно'1' сталi i магттного потоку. Для рiвнянь нелiнiйноi регресп розроблений новий функщональний базис iз функ^ями Гауса та додатковими функцiями похибок для математичних опиав ¿з безперервними похiдними для залежностей вiдносних магнтних проникностей атзотропних холоднокатаних електротехтчних сталей вiд тдукцИ магнтного поля iз високою точнiстю в iнтервалi змти кутiв мiж напрямами прокатування та магнтного потоку вiд 0о до 90о.
© Дiвчук Т.е., Яримбаш Д.С., Яримбаш С.Т., Килимник 1.М., Коцур М.1., Безверхня Ю.С., 2018
DOI 10.15588/1607-6761-2018-2-1
ISSN 2521-6244 (Online) (Роздш «Електротехшка»)
Практична цттсть. Запропонованi у роботi тдходи i методики для базису функцт Гауса i додаткових функцт похибок дозволяють iстотно пiдвищити точнкть визначення нелттних характеристик ангзотроп-них електротехтчних сталей i зменшити вiдноснi похибки до 1,62% при змн кутiв мiж напрямами прокату-вання та магнтного потоку вiд 0о до 90о.
Ключовi слова: характеристики намагшчування; атзотропщ- вiдносна магттна прониктсть, сплайн-ттерполящя, функщональний базис, метод нелшшно1регреси, електромагттне поле
I. ВСТУП
Комплексне виршення питания енергоефектив-носп та енергоощадносп при транспортуванш i роз-подш електрично! енергп потребуе створення нових титв трансформаторного обладнання iз покращеними параметрами i характеристиками, насамперед, параметрами неробочого ходу. До параметрiв неробочого ходу вщносять втрати i струм неробочого ходу, що визначаються як паспортнi данi на еташ конструктор-сько! подготовки виробництва а також щд час випро-бувань силових трансформаторiв [1], [2].
Шдвищення точностi проектування обумовлюе застосування нових удосконалених пiдходiв, що ба-зуються на даних дослвдження електромагнiтних про-цесiв у силових трансформаторах засобами математи-чного моделювання iз застосуванням спецiалiзованого програмного забезпечення i високоресурсно! обчис-лювально! технiки [3]-[6]. Найб№ше розповсюджен-ня для польового моделювання електромагнггних по-лiв у силових трансформаторах отримали сучаснi спецiалiзованi пакети комп'ютерних програм: Лшу8 [8], Сошбо1 МиШрИу8ю8 [7], Бешш [9] та iншi. Для чисельного моделювання у структурi засобiв усiх за-значених програм необхщно визначити вихiдний функщональний вигляд залежностей ввдносно! магттно! проникностi ашзотропно! холоднокатано! електротех-тчно! стал1 вiд модуля iндукцi! магттного поля i ку-тiв мiж напрямами магнiтного потоку i прокатування. Саме точнiсть такого визначення буде впливати на точшсть розрахункiв параметрiв неробочого ходу трансформаторного обладнання. Тому розробка висо-коточних математичних опиав нелiнiйних залежностей для магниних властивостей анiзотропних рулон-них електротехшчних сталей визначаеться, як актуальна задача для теоретично! електромехашки i для практики конструкторсько! пiдготовки виробництва нових серш силових трансформаторiв.
II. АНАЛ1З ДОСЛ1ДЖЕНЬ I ПУБЛ1КАЦ1Й
Експериментальт нелiнiйнi магнiтнi властивостi для ашзотропних електротехнiчних сталей, як правило, наводять у графiчнiй формi у виглядi кривих на-магнiчування (Рис.1 )[10]:
H = H{B)a=0° ,15° ,30° ,45° ,60° ,90° }' {в = B(H)а=0°, 15°,30°,45°,60°,90° }
(1)
кути мгж напрямами магниного потоку i прокатування.
Для математичного представлення нелiнiйних залежностей характеристик намагтчування (1) було реалiзовано багато пiдходiв iз функцiями рiзних видiв [11]—[13], а саме: дрiбно-лiнiйними, експоненщальни-ми i логарифмiчними функщями, гiперболiчними фу-нкц1ями i функцiями з арктангенсами, полiномiаль-ними i степеневими функц1ями з експоненщальними поправками, функцiями з рядами Фур'е, кусково-лiнiйними та кусково-полiномiальними функцiями. Значна к1льк1сть даних пiдходiв i рiзних видiв функ-щй пов'язана iз прагненням до шдвищення точносп математичних описiв на характерних дiлянках кривих намагнiчування вiдповiдних марок феромагттних матерiалiв i електротехнiчних сталей за вщсутносл потреби !х узагальнення.
Питання узагальнення математичних опиав кривих намагнiчуваиия були розроблеш у роботах вщо-мих авторiв [14], [15]. Це вимагае, з одше! сторони, представлення кривих намагшчування у виглядi добу-тку виду:
в = Мо •м(н )• H
(2)
а, з iншоi сторони, унормування залежностi
м = м(н) (3)
i3 перетворенням до безрозмiрного виду:
U* = (H* ) (4)
з нормуючими сшвввдношеннями:
U H
и* = -
' H* = ■
Um
H
де
Umax
max[u(H )0
<H <о>'
u(h n°rm) Umax
(5)
(6)
де H, B - модулi векторiв напруженостi та iндук-ци магнiтного поля,^ = 00,150,300,450,600,900 } -
Проте розглянутi вище окремi [12], [13] та узага-льнюючi щдходи (2) - (6) [14], [15] до математичного представлення нелшшних залежностей магниних властивостей анiзотропних електротехнiчних сталей (1) не повною мiрою вщповщають вимогам польового моделювання змiнних у час процесiв електромагшт-ного перетворення енергп у магниних системах силових трансформаторiв. Це зумовлено особливостями алгоршадв та чисельноi реалiзацii' МСЕ, що реалiзу-еться у ПЗ, наприклад, Comsol Multiphysics, для мате-
ISSN 2521-6244 (Online) (Роздш «Електротехнiка»)
матично! моделi магнiтних властивостей у виглядi [8]: H = BИа -m(b) (7)
В окремому випадку представления вщиосио! MarHÍTHOi проникиостi анiзотропноi холоднокатано! електротехшчно! сталi за обгрунтованих у робоп [14] спрощень тензор магнггно! проиикиостi може мати вигляд:
И =
Их (B)
1 1
1
И y (B ) 1
1 1
Hz (B)
(8)
а його компоненти визначаються умовними ств-вщиошеииями виду [16 - 18]:
Их(В)^ Hy (В)^ Hz(В) = H(B]a=0 v Н(в}а=90
Таким чином, вимоги до точности польового мо-делювання визначають потребу у високоточних мате-матичних описах иелшшиих залежностей вiдносноi магнiтноi проникиостi вiд iндукцii магнiтного поля B для вщповвдиих дiлянок магнiтноi системи силового трансформатора
III. МЕТА РОБОТИ
Метою роботи е розробка ефективного подходу до визначення математичних фуикцюиальиих сшв-вщиошеиь для високоточного опису нелiнiйних залежностей вщиосио! магнiтноi проникиостi ввд iндукцii магнiтного поля iз врахуванням ашзотропп сучасних марок холодиокатаиих електротехшчиих сталей, що застосовуються у виробиищга нових серiй силових трансформаторiв.
IV. ВИКЛАДЕННЯ ОСНОВНОГО МАТЕР1АЛУ I АНАЛ1З ОТРИМАНИХ РЕЗУЛЬТАТА
У разi представлення дiлянок аиiзотропних фе-ромагнiтних матерiалiв iзотропними середовищами iз нелiнiйними властивостями (1) иеобхщио визначити вектор функцш залежиостi вщиосио! магнiтноi про-иикиосп вiд шдукцп магнiтного поля [18]
_\И0о (в) И15о (в) И30р (в)-| И \и45> (в) И60Р (в) И90р (в)\
(9)
компоненти якого мають вiдповiдати компонентам вектора купв мiж напрямами iндукцii i напрямом прокатування для експериментальних кривих намаг-нiчувания електротехнiчноi стал (Рис. 1) [10]:
а = р0,150,30°,450,60Р,90Р ) (10)
Для зменшення впливу суб'ективних фaкторiв у перетворенш грaфiчних форм нелiнiйних кривих иа-мaгнiчувaния [10] до цифрових мaсивiв даиих засто-совуеться спецiaлiзовaнa програма Graph2Digit iз статусом freeware [19].
Для компонентiв вектору функцш (9) i вектору
значень купв (10) з кривими намагшчування (Рис. 1) иеобхвдио поставити у вщповвдшсть парно зв'язaиi один з одним масиви дискретних значень напружено-стi та шдукцп мaгнiтного поля:
tv, i) (в00, i Wup , г) (в5, i));
К0г) 3(P,í)\ №4*.i) ,гЪ
600, i № 900 i ) К0, i))'
а також отримати комбiнaцii мaсивiв значень ввдиосио! мaгнiтноi проникиостi, що зв'язaнi з маси-вами значень мaгиiтиоi шдукцп:
^вро i ) W, i MV, i \(И15о, i))
v\ (j i' V (J i 'У I50 i' V 150 i 'У
koP i íhifi M? 50, i ) к 50, i )}
1вб(Р,, )(и600 i И 1в90Р,i )(и9(Р,г )í {ИJ, i ^^J , г/ Иа ■ Hj, i }
(11)
де iндекс _/ вiдповiдаe компонентам вектора купв (10), а iндексом i позначаеться номер дискретного значения у масивах даних для вiдносних магнгтних проникностей та iндукцiй.
Пвд час оцифрування графiкiв кривих намагтачу-вання виникають похибки, якi можуть ютотно збшь-шуватися iз збiльшениям числа вузлових точок тому, що вщстань мгж ними стае спiврозмiрною iз товщи-ною кривих на графшах (Рис. 1). Для компенсування впливу зазначених факторiв доцiльно iстотно змен-шити кiлькiсть вузлових точок оцифрування i засто-сувати методи сплайн-штерполяци, сплайн-апроксимацii для збiльшения розмiрностi масивiв з цифровими даними (11) [20]—[22].
Для кожного штервалу мгж дискретними значен-нями iндукцii' магштного поля для функцiй штерпо-ляцп даних (11) необхвдно здiйснити унормування виду:
ß =
в - в
Ji
вл+1 - BJ,,
,вj i <в<в, 1+1 ,0<ß< 1.
Тодi функцй' iнтерполяцii кубiчними сплайнами для кожио! пари зв'язаних мaсивiв даиих з (11) можиа об'еднати у систему:
/и (ß)j = (ß)kj (ввj ,i)+ V1 (ß)kj (в, i+1)+ У i? 2 (PÍPj i+1 - вji)+ , (12)
Г ji+?з (ßiPj, i+1 - BJ, i)
де бaзисиi полшоми Ермiтa третього ступеия мають вид [23]:
\V( (ß) = (2 ß +1).(? - ß 2 ) V1 (ß) = (3 - 2ß)• ß2,
\V2 (ß )=ß-(1 - ß )2, V3 (ß )=(ß-1). ß 2
2521-6244 (ОпНпе) (Роздш «Електротехшка»)
1 — кубгчна сплайн-гнтерполяцгя (кут 0°); 2 — цифров1 дан1 (кут 0°); 3 — кубгчна сплайн-гнтерполяцгя (кут 15°); 4 — цифров1 дан1 (кут 15°); 6 — куб1чна сплайн-1нтерполяц1я (кут 30°); 6 — цифров1 дат (кут 30°); 7 — куб1чна сплайн-1нтерполяц1я (кут 45°); 8 — цифров1 дат (кут 45°); 9 — куб1чна сплайн-1нтерполяц1я (кут 60°); 10 — цифров1 дан (кут 60°); 11 — куб1чна сплайн-1нтерполяц1я (кут 90°); 12 — цифров1 дан (кут
90°)
Рисунок 1. Характеристики намагтчування ашзотропно! холоднокатано! електротехшчно! сталi 3408 [9]
Для загального формулювання задачi штерполя-Щ! [23]:
И
)
= И
].i
(14)
необхвдно визначити невiдомi компоненти вектора г = (у]00, у],1 ,... , у],п), що забезпечують мшь
мальну кривизну функцiй iнтерполяцi! (12) на донках мiж вузловими точками у зв'язаних парах масивiв (11) i задовольняють умовам мiнiмiзацi!' функцiоналiв [24]:
тах )
тт 1
тп )
а2 И (в, г})
ав2
ав
(15)
Розв'язання задачi (14), (15) дозволяе поставити вектор функцш iнтерполяцi! у ввдповщшсть вектору функцiй (9) для масивiв цифрованих даних (10), (11):
int
И =
И
И
п(в г00 )ит0 (в ) нт[ (в Г300Г
О0 150 30°
Шп (вг450 )мШп (в,гб00 )иШв (в,г900)
Метод кубiчно! сплайн-iнтерполяцi!' дозволив за-побiгти, з однiе!' сторони, «розхитуванню» функцiй iнтерполяцiй мiж вузловими точками [23], а, з шшо! сторони, отримати функцi! iнтерполяцi!' iз безпере-
рвними похвдними а И™* )/ав. Тому метод кубiчно! сплайн-iнтерполяцi!' (14), (15) дозволяе без зростання похибок iстотно збшьшити розмiрнiсть масивiв циф-рованих даних
N = ат(в]) >>
¡ат(в00.) ат(в]50.) ам(в3(0.), 1
таХ\аш(в4?Р 1) ат(вб00 ^) ат(в900 ^)|
i забезпечити однакову розмiрнiсть масивiв вхщ-них даних для кожного значення кута мiж вектором iндукцi!' магнiтного поля i напрямом прокатування аиiзотропно!' електротехнiчно! сталi (10):
(16)
Ав] =
тах (в] i) - тт (в ]
N
в] к = min (в] ¡) + к ■ Ав],
И],к = И
]г])
]
] е Ю0,150,300,450 ,б00,900]
00,150,,
2
ISSN 1607-6761 (Print) ISSN 2521-6244 (Online)
«ЕЛЕКТРОТЕХШКА ТА ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКА» № 2 (2018) (Роздш «Електротехшка»)
Вектор функцш апроксимаци масивiв цифрова-них даних (17) будуеться на базиа функцш Гауса вiд
аргументу в i додаткових функцiй похибок [24] ввд
аргументiв (в2,в). Тодi компоненти вектора функцш
(9) будуть представлен у виглядi:
мГ(В) =
3
= ^ G J ■ exp
m=1
+ A j,0 + Aj,i ■ erfc ,4 ■erfc[a,,5
- GJ ■IB2 - GJ
m, 2 V m, 3
(18)
(aj,2 ■ b2 - Aj-,3)■ + A J,4 ■ erfc (a J 55 ■ В - Aj6 )
»I (BJ,г) -Vj,г
maxyu
J"
■ 100
(19)
Знаходження коефiцiентiв регресi! у сшввщно-шеннях (18) для цифрованих даних у масивах (17) здшснюеться у структурi засобiв МаШСЛЭ iз застосу-ваииям методiв i вбудовано!' функци нелiнiйно! регре-сi! genfit [8], [25]. Точшсть рiвнянь нелшшно!' регреси' (18) визначаеться шляхом порiвняния максимальних вiдносних похибок для системи функцш:
для масивiв цифрованих даних (11), а також для даних розрахуншв за узагальненою методикою [15]).
За узагальненою методикою [15] похибка розрахуншв вщносно!' магттно! проникностi для ашзотро-пно! електротехшчно!' сталi 3408 поступово зб№шу-еться ввд 5,4% до 15% при збшьшенш кута мiж на-прямами магнiтного потоку i прокатування вiд 0о до 90о (Табл. 1).
Похибка уточнено!' нелшшно!' регреси (19) е зна-чно меншою i належить штервалу 0,612...1,62%. Це забезпечуе високий рiвень збiгу розрахункових даних для рiвнянь нелшшно!' регресi! (19) з вихвдними циф-рованими даними (11) (рис.2).
Додатковою перевагою уточнено! нелшшно! регреси iз спецiальним базисом функцш (18) е вщсут-нiсть точок розривiв у похiдних, що ютотно покращуе умови числово! реалiзацi! для польового моделювання у структурi засобiв сош8о1 Multiphysics [15].
2
+
4- Ш4
-1 -3 -5 -7 -9 - 11
• ••2 ■ ■ ■ 4 ♦ ♦ ♦ б А А А Е ООО 10 АДА 12
1 — уточнена нелiнiйнарегре^я (кут 0°); 2 — цифровi дат (кут 0°); 3 — уточнена нелшшнарегре^я (кут 15°); 4 — цифровi дат (кут 15°); 6 — уточнена нелшшнарегре^я (кут 30°); 6 — цифровi данi (кут 30°); 7—уточнена нелшшнарегре^я (кут 45°); 8 — цифровi дан (кут 45°); 9 — уточнена нелшшна регреая (кут 60°); 10 — цифровi данi (кут 60°); 11 — уточнена нелiнiйна регреая (кут 90°); 12 — цифровi данi (кут 90°)
Рисунок 2. Валвдащя даних уточнено! нелшшно! регреси для ввдносно! магнггно! проникносп ашзотропно! холоднокатано! електротехшчно! стал 3408
ISSN 2521-6244 (Online) (Роздш «Електротехшка»)
Таблица 1. nopiBHHHHH to4hoctí розрахунк1в вiдносноi магнггно! проникностi ашзотропно! електротехнiчноi стaлi 3408
Значення кулв мiж напрямами прокатування i магштного потоку на донках магштно! системи Максимальна вщносна похибка
Для узагальнено! методики [8] Для уточнено! нелшшно! ре-гресп(18)
0о 1.619% 5.372%
15о 0.944% 7.390%
30о 0.637% 8.230%
45о 0.593% 11.082%
60о 0.939% 12.203%
90о 0.723% 15.008%
V. ВИСНОВКИ
На 0CH0Bi методу Ky6i4Hoi' сплайн-iнтерполяцii розроблена методика збшьшення p03MipH0CTi цифро-ваних даних для характеристик намагшчування ашзо-тропних холоднокатаних електротехшчних сталей, що виключае «розхитування» значень вiдносноi магнiтноi' проникностi на дшянках мiж цифрованими даними i пвдвищуе точнiсть визначення коефiцiентiв регреси.
Для математичного опису i3 нерозривними похь дними нелiнiйних залежностей вiдносноi магнiтноi проникностi анiзотропноi холоднокатаноi електротех-нiчноi сталi запропоновано спецiальний базис на ос-новi лiнiйних комбшацш фyнкцiй Гауса i додаткових функцш похибок.
Уточнена методика математичного опису нель нiйних залежностей вiдносноi магштно!' проникностi на основi методу нелшшно!' регресп iз спецiальним базисом функцш Гауса i додаткових фyнкцiй похибок дозволяе зменшити до 1,62% похибки розрахyнкiв для всього iнтервалy змши магнiтних iндyкцiй i кyтiв мiж напрямами прокатування i магнiтного потоку на дшянках магштно!' системи трансформатора.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
[1] Тихомиров, П. М. Расчет трансформаторов [Текст] / П. М. Тихомиров. - М.: Энергоатомиз-дат, 1986. - 528 с.
[2] Kulkarni, S.V. Transformer Engineering: Design and Practice [Text] / S.V. Kulkarni, S.A. Khaparde. -New York: Marcel Dekker, 2004. - 478 p.
[3] Tang, Q. Magnetic flux distribution in power transformer core with mitred joints [Text] / Q. Tang, Sh. Guo, Zh. Wang // Journal of Applied Physics -2015. - Vol. 117, Iss. 17, - P. 17D522-1-17D522-4. DOI: 10.1063/1.4919119.
[4] Rashtchi, V. Parameter identification of transformer detailed model based on chaos optimisation algorithm [Text] / V. Rashtchi, E. Rahimpour, E. M. Rezapour // IET Electric Power Applications - 2011.
- Vol 5, No. 2. - P. 238-246. DOI: 10.1049/iet-epa.2010.0147.
[5] Пайков, И. А. Анализ моделей для электромагнитного расчета силовых трансформаторов [Текст] / И. А. Пайков, А. И. Тихонов // Вестник ИГЭУ - 2015. - №3. - С. 38-43.
[6] Jazebi, S. Dual Reversible Transformer Model for the Calculation of Low-Frequency Transients [Text] / S. Jazebi, F. de León, A. Farazmand, D. Deswal // IEEE Transactions on Power Delivery - 2013. - Vol. 28, No. 4. - P. 2509-2517. DOI: 10.1109/TPWRD.2013.2268857.
[7] Буль, О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов. Программа ANSYS Учебное пособие для студентов вузов [Текст] / О. Б. Буль М.: Академия, 2006. - 288с.
[8] Бутарев, И. Ю. Comsol multiphysics: Моделирование электромеханических устройств [Текст] / И. Ю. Бутарев, Л. А. Потапов. Брянск: Издательство Брянского государственного технического университета, 2011. - 113 c. - ISBN 978-5-89838-5200
[9] Буль О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов. Магнитные цепи, поля и программа FEMM [Текст] / О.Б. Буль. - М.: Академия, 2005. - 336 с. - ISBN 5-7695-2064-7.
[10]Молотилов, Б. В. Холоднокатаные электротехнические стали [Текст] / Б. В. Молотилов; Б.Г. Лившиц. - Москва: Металлургия, 1989. - 167 с.
[11] Демиденко, Е.З. Линейная и нелинейная регрессия [Текст] / Е.З. Демиденко. - М: Финансы и статистика, 1981, 304 с.
[12] Король, Е.Г. Анализ методов моделирования магнитных характеристик электромагнитов для компенсации магнитного поля электрооборудования [Текст] / Е. Г. Король // Електротехшка i Елек-тромехашка. - 2007. - №2. - с. 31-34.
[13]Бессонов, Л. А. Электрические цепи со сталью [Текст] / Л. А. Бессонов. - М.: Госэнергоиздат, 1948. - 344 с.
[14]Демирчан, К.С. Моделирование магнитнных полей [Текст] / К.С. Демирчан. - Ленинград.: Энергия, 1974. - 288 с.
[15]Пентегов, И.В. Универсальная аппроксимация кривых намагничивания электротехнических сталей [Текст] / И.В. Пентегов, А.В. Красножон. -Електротехшка i електромехашка. - 2006. - №1. -С. 66-70.
[16]Яримбаш Д. С. Особливосл визначення пара-метрiв короткого замикання силових трансформа-торiв засобами польового моделювання [Текст] / Д. С. Яримбаш, С. Т. Яримбаш, Т. £. Ддвчук, I. М. Килимник // Електротехшка та електроенергетика
- 2016. - № 1. - С. 12-17. DOI: 10.15588/16076761-2016-1-2
[17]Яримбаш Д. С. Особливосл розподшення магшт-них потошв у режимi неробочого ходу силових трaнсформaторiв [Текст] / Д. С. Яримбаш, С. Т. Яримбаш, Т. £. Ддвчук, I. М. Килимник // Елек-
ISSN 2521-6244 (Online) (Роздш «Електротехшка»)
тротехиiка та електроенергетика - 2016. - № 2. -С. 5-12. БО1: 10.15588/1607-6761-2016-2-1.
[18]Дивчук, Т. Е. Подход к определению токов холостого хода силовых трехфазных трансформаторов с плоскими стержневыми магнитными системами / Т. Э. Дивчук, Д. С. Ярымбаш, С. Т. Ярымбаш, И. М. Килимник, И. М. Коцур, Ю. С. Безверхняя // Електротехшка та електроенергетика. - 2017. - № 2. - С. 56-66. БО1: БО1: 10.15588/1607-6761-20172-6.
[19]Graph2Digit: www.plsoft.su
[20Щаньшв, В.1. Апроксимацгя характеристик намаг-нiчуваиия траисформаторiв струму [Текст] / В.1. Паньшв, £.М. Танкевич, М.М. Лутчин // Працi 1н-ституту електродинамiки. - 2014. - Вип. 37. - с. 82-90.
[21]В. Маляр, А. Апроксимащя характеристик намаг-нiчуваиия електротехнiчних сталей [Текст] / В. Маляр, А. Маляр, Д. Гречин // Теоретична елек-тротехшка. - 2004. - Вип. 57. - С. 78-85.
[22]Маляр, В.С. Апроксимацiя характеристик намаг-нiчуваиия електротехнiчних сталей сплайнами
другого порядку. [Текст] / В.С. Маляр, I.A. Добу-шовська // Електроенергетичш та електроме-хашчш системи. - 2010. - №671. - с. 67-72.
[23]Жермен-Лакур, П. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 1 Пер. с франц. [Текст] / П. Жермен-Лакур, П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан, Ф. Робер, И. Робер, П. Витомски, П. Кастельжо. - М.: Мир, 1988. -204 с., ISBN 5-03-000417-3, OCR.
[24] Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1977. - 830 с.
[25]Алгоршшзашя та програмування. MathCAD Пвд-ручник. [Текст] / Львiв: Видавництво Львiвськоl полггехшки, 2013. - 364 с.
[26] Ярымбаш Д. С. Особенности определения параметров схемы замещения асинхронного двигателя для режима короткого замыкания [Текст] / Д. С. Ярымбаш, М. И. Коцур, С. Т. Ярымбаш, И. М. Коцур // Электротехника и электроэнергетика - 2017. - № 1. - С. 24-30. DOI: 10.15588/16076761-2017-1-4.
Стаття нащйшла до редакцп 20.07.2018
УТОЧНЯЮЩИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ АНИЗОТРОПНЫХ ХОЛОДНОКАТАНЫХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СТАЛЕЙ
ДИВЧУК Т.Е. старший преподаватель кафедры электрических машин Запорожского
национального технического университета, Запорожье, Украина, e-mail: [email protected];
ЯРЫМБАШ Д.С д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой электрических машин
Запорожского национального университета, Запорожье, Украина, e-mail: [email protected];
ЯРЫМБАШ С.Т канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры электрических машин Запорожского
национального технического университета, Запорожье, Украина, e-mail: [email protected];
КИЛИМНИК И М. канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Запорожского
национального технического университета, Запорожье, Украина, e-mail: [email protected];
КОЦУР М.И. канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры электрических и электронных
аппаратов Запорожского национального технического университета, Запорожье, Украина, e-mail: [email protected];
БЕЗВЕРХНЯЯ Ю.С. аспирант кафедры электрических и электронных аппаратов Запорожского
национального технического университета, Запорожье, Украина e-mail: [email protected].
Цель работы. Разработать эффективный подход для определения математических функциональных соотношений для высокоточного описания нелинейных зависимостей относительной магнитной проницаемости от индукции магнитного поля с учетом анизотропии современных марок холоднокатаных электротехнических сталей, которые применяются в производстве новых серий силовых трансформаторов.
Методы исследования. Исследования проводились с применением методов интерполяции, аппроксимации, регрессионного анализа, математической физики, теории электромагнитного поля.
Полученные результаты. Проведены исследования методов функционального представления нелинейных характеристик намагничивания феромагнитних материалов, в том числе, холоднокатаных анизотропных электротехнических сталей. Предложен уточняющий подход к увеличению размерности исходных данных на
ISSN 2521-6244 (Online) (Роздш «Електротехшка»)
основе метода сплайн-интерполяции на базиси полиномов Эрмита для цифровых данных характеристик намагничивания, что исключает увеличение погрешностей определения относительных магнитных проницае-мостей на участках между узловыми значениями магнитной индукции. Для математического описания зависимостей относительной магнитной проницаемости от индукции магнитного поля разработан специальный функциональный базис с функциями Гаусса и дополнительными функциями погрешностей, обеспечивающий непрерывность производных различных порядков при фиксированных значений углов между направлением прокатки анизотропной электротехнической стали и магнитного потока. Применен метод нелинейной регрессии в структуре встроенных функций прикладного пакета MathCAD для высокоточного определения векторов коэффициентов регрессии в функциональных описаниях относительных магнитных проницаемостей. Путем верификации и валидации результатов уточняющей нелинейной регрессии с данными расчетов по обобщенной методике и с экспериментальными данными получено существенное уменьшение относительных погрешностей, которая не превышают 1,62% при фиксированных значений углов между направлением прокатки анизотропной электротехнической стали и магнитного потока. Применение новых уравнений регрессии существенно улучшает условия для полевого моделирования электромагнитных полей в режиме холостого хода силового трансформатора в структуре средств Comsol Multiphysics, и обеспечивает устойчивость итерационных вычислительных процессов.
Научна новизна. Реализован новый подход к увеличению размерности входных массивов на основе сплайн-интерполяции массивов цифровых данных характеристик намагничивания для фиксированных значений углов между направлениями прокатки электротехнической стали и магнитного потока. Для уравнений нелинейной регрессии разработан новый функциональный базис с функциями Гаусса и дополнительными функциями погрешностей для математических описаний с непрерывными производными для зависимостей относительных магнитных проницаемостей анизотропных холоднокатаных электротехнических сталей от индукции магнитного поля с высокой точностью в интервале изменения углов между направлениями прокатки и магнитного потока от 0° до 90°.
Практическая ценность. Предложенные в работе подходы и методики для базиса функций Гаусса и дополнительных функций погрешностей позволяют существенно повысить точность определения нелинейных характеристик анизотропных электротехнических сталей и уменьшить относительные погрешности до 1,62% при изменении углов между направлениями прокатки и магнитного потока от 0 ° до 90°.
Ключевые слова: характеристики намагничивания; анизотропия; относительная магнитная проницаемость, сплайн-интерполяция, функциональный базис, метод нелинейной регрессии, электромагнитное поле.
AN ADJUSTING APPROACH TO THE DETERMINATION OF THE PERMEABILITY FUNCTIONAL DEPENDENCIES OF ANISOTROPIC COLD-ROLLED ELECTROTECHNICAL STEELS
DIVCHUK T.E. Senior Lecturer, Department of Electrical Machines, Zaporizhzhia National
Technical University, Zaporizhzhia, Ukraine, e-mail: [email protected];
YARYMBASH D.S. Dr. Tech. Sci., Associate Professor, Head of the Department of Electrical Machines,
Zaporizhzhia National University, Zaporizhzhia, Ukraine, e-mail: [email protected];
YARYMBASH S.T. PhD, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Electrical
Machines, Zaporizhzhia National Technical University, Zaporizhzhia, Ukraine, email: [email protected];
KYLYMNYK I.M. PhD, Associate Professor, Associate Professor of the Department of High
Mathematics, Zaporizhzhia National Technical University, Zaporizhzhia, Ukraine, email: [email protected];
KOTSUR M.I. PhD, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Electrical and
Electronic Apparatuses, Zaporizhzhia National Technical University, Zaporizhzhia, Ukraine, e-mail: [email protected];
BEZVERKHNIA Yu.S. Postgraduate student, Department of Electrical and Electronic Apparatus,
Zaporizhzhia National Technical University, Zaporizhzhia, Ukraine, e-mail: [email protected].
Purpose. To develop an effective approach for the determination of mathematical functional relationships for the high-precision description of the nonlinear dependences of the permeability on the magnetic flux density, taking into
ISSN 2521-6244 (Online) (Po3gi. «E.eKTpoTexmKa»)
account the anisotropy of modern cold-rolled electrotechnical steel, which are used in the production of new series of power transformers.
Methodology. The researches were carried out using interpolation methods, approximation, regression analysis, mathematical physics, electromagnetic field theory.
Findings. The methods offunctional conception of nonlinear characteristics of magnetization of ferromagnetic materials, including cold-rolled anisotropic electrotechnical steels, are researched. An adjustment approach is proposed to increase the dimension of the initial data, based on the spline interpolation method on the Hermite polynomial basis for the digital data of the magnetization characteristics. This excludes an increase of the errors in determining the permeabilities in the sections between the nodal values of the magnetic flux density. For a mathematical description of the dependences of the permeability on the magnetic flux density, a special functional basis with Gaussian functions and additional error functions has been developed, that ensures the continuity of derivatives of various orders at fixed angular values between the rolling direction of anisotropic electrical steel and magnetic flux. The method of nonlinear regression in the structure offunction package of the Mathcad software for the high-precision determination of regression coefficient vectors in functional descriptions ofpermeabilities is applied. With the help of verification and validation of the results, which adjusting nonlinear regression with computational data using the generic method and with experimental data, a significant decrease in the relative errors that do not exceed 1.62% for fixed angles between the direction of rolling of anisotropic electrical steel and magnetic flux is obtained. The application of the new regression equations substantially improves the conditions for the field simulation of electromagnetic fields in the open-circuited mode of the power transformer in the Comsol Multiphysics software, and ensures the stability of iterative computing processes.
Originality. A new approach to increasing the dimension of input arrays, based on spline interpolation of digital data arrays of magnetization characteristics for fixed angles between the directions of rolling of the electrical steel and magnetic flux is implemented. For nonlinear regression equations, a new functional basis with Gaussian functions and additional error functions for mathematical descriptions with continuous derivatives for the dependences of the permeabilities of anisotropic cold-rolled electrotechnical steels on the magnetic flux density with high accuracy in the range of angles variation between the rolling directions and magnetic flux from 0° to 90°.
Practical value. The approaches and techniques for the basis of Gaussian functions and additional error functions proposed in this paper make it possible to significantly improve the accuracy of determining the nonlinear characteristics of anisotropic electrotechnical steels. Also to reduce the relative errors to 1.62% when the angles between directions of rolling of the electrotechnical steels and magnetic flux vary from 0° to 90°.
Keywords: magnetization characteristics; anisotropy; permeability; spline interpolation; functional basis; nonlinear regression method; electromagnetic field
REFERENCES
[1] Tikhomirov, P. M. (1986). Raschet transformatorov [Calculation of transformers]. M.: Energoatomizdat, 528. (in Russian).
[2] Kulkarni, S.V., Khaparde, S.A. (2004). Transformer Engineering, Design and Practice, New York: Marcel Dekker, 478. (in English).
[3] Tang Qi, Guo S., Wang Z. (2015). Magnetic flux distribution in power transformer core with mitred joints. Journal of Applied Physics, 117, 17, 17D522-1-17D522-4. DOI: 10.1063/1.4919119.
[4] Rashtchi, V., Rahimpour, E., Rezapour, E. M. (2011). Parameter identification of transformer detailed model based on chaos optimisation algorithm. IET Electric Power Applications, 5, 2, 238-246. DOI: 10.1049/iet-epa.2010.0147.
[5] Paikov, I.A., Tikhonov, A.I. (2015). Analiz modeley dla elektromagnitnogo rascheta silovykh transforma-torov [Analysis of models for the electromagnetic calculation of power transformers]. Vestnik IGEU, 3, 38-43. (in Russian).
[6] Jazebi, S., de León, F., Farazmand, A., Deswal, D. (2013). Dual Reversible Transformer Model for the Calculation of Low-Frequency Transients. IEEE
Transactions on Power Delivery, 28, 4, 2509-2517. DOI: 10.1109/TPWRD.2013.2268857.
[7] Bul', O.B. (2006). Metody rascheta magnitnykh system electrichescikh apparatov. Programma ANSYS. Uchebnoe posobie dla studentov vuzov [Methods for calculating the magnetic systems of electrical apparatus. ANSYS program Training manual for university students]. M.: Academiya, 288. (in Russian).
[8] Butarev I. Ju., Potapov, L.A. (2011). Comsol mul-tiphysics: Modelirovanie electromehanicheckikh ustroystv [Comsol multiphysics: Modeling of electromechanical devices]. Bryansk: Izdatel'stvo Bry-anskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universi-teta, 113. ISBN 978-5-89838-520-0. (in Russian).
[9] Bul', O.B. (2005). Metody rascheta magnitnyh system electrichescih apparatov. Magnitnye cepi, polya I programma FEMM. [Methods for calculating the magnetic systems of electrical apparatus. Magnetic circuits, fields and the FEMM program]. Uchebnoe posobie dla vuzov po special'nosti «Electricheskie i electronnye apparaty» napravleniya «Electrotehnika, electromehanika i electrotehnologiya», Moscow, Akademiya, 336 (in Russian).
[10] Molotilov, B.V., Mironov, L.V., Petrenko, A.G., and et al. (1989). Kholodnokatanyye elektrotekhnich-
ISSN 2521-6244 (Online) (Po3gi. «E.eKTpoTexmKa»)
eskiye stali [Cold-rolled electrical steel: Reference], Moscow, Metallurgiya, 167 (in Russian).
[11] Demidenko, E.Z. (1981). Lineynaya i nelineynaya regresiya [Linear and nonlinear regression]. M.: Fi-nansy i statistika, 304. (in Russian).
[12] Korol' E.G. (2007). Analiz metodov modelirovaniya magnitnyh harakteristik elektromagnitov dla kompensacii magnitnogo polya electrooborudovaniy [Analysis of methods for modeling the magnetic characteristics of electromagnets for compensation of the magnetic field of electrical equipment]. El-ektrotehnica i Electromehanika, 2, 31-34. (in Russian)
[13] Bessonov L.A. (1948). Electricheskie cepi so stal'ju [Electric circuits with steel]. M.: Gosenergoizdat, 344. (in Russian).
[14] Demirchan K.S. (1974). Modelirovanie magnitnykh poley [Modeling of magnetic fields]. Leningrad: En-ergiya, 288. (in Russian).
[15] Pentegov, I.V., Krasnozhon, A.V. (2006). Univer-sal'naya approksimaciya krivykh namagnichevaniya elektrotehnicheskikh staley [Universal approximation of magnetization curves for electrical steel]. El-ektrotehnica i Electromekhanika, 1, 66-70. (in Russian).
[16] Yarymbash, D., Yarymbash, S., Divchuk, T., Kylymnik, I. (2016). Osoblyvosti vyznachennya par-ametriv korotkoho zamykannya sylovykh transforma-toriv zasobamy pol'ovoho modelyuvannya [Determination features of the power transformer short circuit parameters through field modeling]. Electrical Engineering And Power Engineering, 1, 12-17. doi: http://dx.doi.org/10.15588/1607-6761-2016-1-2 (in Ukrainian).
[17] Yarymbash, D., Yarymbash, S., Divchuk, T., Kylymnik, I. (2016). Osoblyvosti rozpodilennya mahnitnykh potokiv u rezhymi nerobochoho khodu sylovykh transformatoriv [The features of magnetic flux distribution of the idling mode of the power transformers]. Electrical Engineering And Power Engineering, 2, 5-12. doi: http://dx.doi.org/10.15588/1607-6761-2016-2-1 (in Ukrainian).
[18] Divchuk, T., Yarymbash, D., Yarymbash, S., Kylymnyk, I., Kotsur, M., Bezverkhnia, Y. (2018). Podkhod k opredeleniyu tokov kholostogo khoda si-lovykh trekhfaznykh transformatorov s ploskimi
sterzh-nevymi magnitnymi sistemami [Approach to determination of no load current of three-phase power transformers with plane rods magnetic systems]. Electrical Engineering And Power Engineering, 2, 56-66. doi: http://dx.doi.org/10.15588/1607-6761-2017-2-6 (in Russian).
[19] Graph2Digit: www.plsoft.su
[20] Pan'kiv, V.I., Tankevich, E.M., Lutchin, M.M. (2014). Aproksymaciya kharakterystyk namagnichu-vannya transformatoriv strumu [Approximation of magnetization characteristics of current transformers]. Praci Instytutu electrodynamiky,37, 82-90. (in Ukrainian).
[21] Malyar, V., Malyar, A., Grechin, D. (2004). Aproksymaciya kharakterystyk namagnichuvannya elektrotekhnicnyh staley [Approximation of magnetization characteristics of electrotechnical steels]. Te-oretychna electrotekhnika, 57, 78-85. (in Ukrainian).
[22] Malyar, V.S, Dobushovs'ka, I.A. (2010). Aproksymaciya kharakterystyk namagnichuvannya elektrotekhnicnyh staley splaynamy drugogo poryad-ku [Approximation of magnetization characteristics of electrotechnical steels by splines of second order]. Elektroenergetychni ta electromekhanichni systemy, 671, 67-72. (in Ukrainian).
[23] Zhermen-Lakur, P., Shenen, P., Kosnar, M., Gardan, I., Rober, F., Rober, I., Vitomski, P., Kastel'zho, P. (1988). Matematika i SAPR: v 2-h kn. Kn. 1. Perevod s franc. M.: Mir, 204. ISBN 5-03-000417-3, OCR. (in Russian).
[24] Korn, G., Korn, T. (1977). Spravochnik po ma-tematike (dla nauchnyh rabotnikov i inzhenerov) [Manual on mathematics (for scientists and engineers)]. M.: Nauka, 830. (in Russian).
[25] (2013). Algorytmizaciya ta programuvannya. MathCAD. [Algorithmization and programming]. Pidruchnyk. L'viv: Vydavnyctvo L'vivs'koi politehni-ky, 364. (in Ukrainian).
[26] Yarymbash, D., Kotsur, M., Yarymbash, S., & Kotsur, I. (2017). Osobennosti opredeleniya parametrov skhemy zameshcheniya asinkhronnogo dvigatelya dlya rezhima korotkogo zamykaniya [Features of parameter determination of the induction motor substitution circuit for short-circuit mode]. Electrical Engineering And Power Engineering, 1, 24-30. doi: http://dx.doi.org/10.15588/1607-6761-2017-1-4 (in Russian).
