CC BY
11МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ
УДК 532.5
Е.А. Рувинская 1, О.Е. Куркина1'2, А.А. Куркин1
УТОЧНЕННОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В ТРЕХСЛОЙНОЙ СИММЕТРИЧНОЙ ЖИДКОСТИ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева1, Государственный университет - Высшая школа экономики (Нижегородский филиал)2
Рассматривается вопрос об уточнении модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза с учетом членов высшего порядка малости для случая, когда коэффициент кубической нелинейности может менять знак, на примере внутренних гравитационных волн в трехслойной симметричной модели жидкости (верхний и нижний слои имеют равную толщину, скачки плотности на границах раздела слоев одинаковы).
Ключевые слова: нелинейные эволюционные уравнения, внутренние гравитационные волны.
Динамика внутренних гравитационных волн в океане вызывает особый интерес со стороны исследователей, поскольку и по сей день остается одной из наиболее интересных и в то же время малоисследованных областей механики жидкости и газа. Внутренние волны пронизывают всю толщу вод и играют важнейшую роль во всех динамических процессах Мирового Океана. Так, в шельфовых зонах океана они влияют на изменение рельефа дна путем транспорта наносов или размывов и, в связи с этим могут создавать угрозу для морских сооружений. Амплитуды внутренних волн в океане достигают порой сотен метров, что может быть опасно также для подводных лодок. Перемешивание вод разных температур после прохождения внутренних волн больших амплитуд может оказывать губительное влияние на морскую флору и фауну. Важным аспектом является и то, что внутренние волны могут участвовать в распространении загрязнений на большие расстояния (подобно течениям). Понимание механизмов такого воздействия невозможно без подробных исследований свойств внутренних волн, уточнения их характеристик, особенностей динамики при различных сочетаниях условий в среде.
Таким образом, очевидна важность исследования внутренних волн с точки зрения вопросов обеспечения экологической безопасности: при осуществлении оценочной деятельности в ходе разработки различных гидротехнических и береговых сооружений, переноса осадков и формирования донного и берегового рельефа прибрежной зоны океана, а также распространения загрязнений и примесей в океане.
С тех пор, как на рубеже XIX-XX вв. внутренние волны в океане были открыты экспедицией Нансена на «Фраме» и работой Экмана, объяснившего наблюдения мореплавателей, появилось множество подходов к изучению этого природного явления. В настоящее время продолжают развиваться как численные модели [1-4], так и слабонелинейная теория, позволяющая моделировать динамику внутренних гравитационных волн с помощью эволюционных уравнений, получаемых путем асимптотических разложений полной системы урав-
© Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А., 2010.
нений гидродинамики по малым параметрам нелинейности и дисперсии. Последний подход интересен тем, что показывает неплохую согласованность результатов моделирования с результатами натурных и численных экспериментов, при этом не требует столь объемных вычислений, как в случае численного моделирования, и делает прозрачными связи между параметрами волн. Для применения слабонелинейной теории рассматриваются и-слойные «упрощенные» модели, среди которых наиболее хорошо изученной является двухслойная жидкость, для распространения внутренних волн в которой используется уравнение Гарднера [5-8]. Существуют также работы, посвященные исследованию внутренних волн в трехслойной среде (модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (мКдВ)) [9, 10], настоящая работа также развивает это направление. Рассматривается симметричная трехслойная жидкость. Для такой среды в силу симметрии коэффициент квадратичной нелинейности в слабонелинейных эволюционных уравнениях обращается в нуль, а коэффициент следующего по порядку члена кубической нелинейности может менять знак. Учет возможности смены знака коэффициента кубической нелинейности приводит к необходимости рассматривать расширение мКдВ, включающее нелинейные члены следующих порядков, для более точного описания волновых процессов.
Рассмотрим распространение внутренней волны на границах раздела слоев в трехслойной симметричной жидкости, ограниченной ровным плоским дном и абсолютно гладкой, неподвижной поверхностью.
Будем также считать, что относительный скачок плотности Др мал (приближение Буссинеска):
Рз = Р-АР, Р 2 =Р. Р1 =Р + Др, где Рь Р2, Р3 - плотности нижнего, среднего и верхнего слоев соответственно, поэтому в дальнейшем всеми членами О(Др) можно пренебречь. Толщину нижнего и верхнего слоев обозначим к, полную глубину жидкости - Н, нижнюю границу раздела - х,г), верхнюю -С(х, г) (рис. 1).
4
1 р=р?.Ф=Ф3 ь г 1 н -*
р=р,;Ф=Ф,
1 р=р1;Ф=Ф] 1 ь г >
х
Рис. 1. Схема задачи
Стратифицированная жидкость по определению не является потенциальной [11]. Но мы схематизируем задачу, пренебрегая плавными изменениями плотности вне пикноклинов; для этого предположим, что толщина последних стремится к нулю. В этом случае мы имеем дело с тремя слоями разной плотности. Но тогда на границе раздела двух сред (верхнего и среднего слоя, среднего и нижнего слоя) так же, как и на границе вода-воздух, могут распро-
страняться гравитационные волны, обусловленные действием силы тяжести. Вне скачка жидкость однородна, и здесь можно ввести потенциал скорости. Тогда для каждого слоя справедливо уравнение Лапласа:
V2Ф! = 0 , V2 ф = 0, V2Ф = 0,
0 < 2 < И , И < 2 < Н - И, Н - Н < 2 < Н.
ф12 (2 = 0) = 0 , Фз2 (2 = Н) = 0 .
(1) (2) (3)
Граничное условие на поверхности ставится как условие твердой крышки, на дне - условие непротекания.
На границах раздела слоев запишем кинематические и динамические граничные условия, выполняющие роль условий «сшивки» для рассматриваемых функций. На 2 = л(х, ¿) кинематическое граничное условие для нижнего и среднего слоя, а также динамическое граничное условие в силу уравнения Коши- Лагранжа примут вид
л,+фьл, -ф12=а
Л; +Ф2хЛх -Ф22 = а
'2 = Л( -X",,)
Р1| ф1, + 1 ^ф1 )2 + ЯЛ | = Р21 Ф2, +
можно записать верхней границы раздела 2 = С(х, t):
1 ^Ф 2 )2
+ ЯЛ
(4)
2 х 17 ^ 2; 2 Точно также можно записать кинематические и динамическое граничные условия для
С, +Ф 2 - С - -Ф 2 2 = 0, с, +ф з - С - -Ф 3 2 = 0,
Р2 [ф 2, + 1 (VФ 2 )2 + = Рз |ф 3, + 1 ^Фз )2 + gс\
>2 =С(,)
(5)
Для перехода к асимптотической процедуре необходимо определить малые параметры системы, исходя из геометрии задачи и масштаба исследуемых явлений. В настоящей работе рассматриваются длинные волны, т.е. горизонтальный масштаб бассейна значительно превосходит вертикальный, в то же время амплитуды распространяющихся возмущений предполагаются малыми по сравнению с глубиной водоема. Тогда малые параметры нелинейности и дисперсии, исходя из условия задачи, вводятся следующим образом: р = Н/Ь,
8 = АН, р = р2 .
В предположении стандартного масштабирования малых параметров (в ~ д) исходная система уравнений (1) - (5) преобразуется к виду
ф +вф1х = 0, 0 < 2 < И, Ф1г(2 = 0) = 0,
Ф +вФ9 = 0.
22 2 X
Ф +вф = 0,
3 2 з X '
И < 2 < Н - И, Н-И<2< Н.
Ф з 2 (2 = Н) = 0 .
(6)
(7)
(8)
Л, +Вф1хЛх -Ф12 = 0 Л, +вф2хЛх -Ф22 = 0
Р1[ф1, +1 в(ф1х )2 +1 (ф12 )2 + Ял] = Р2 [ Ф 2, +1 в(ф 2 х )2 +1 (ф 2 2 )2 + ЯЛ]
>2 = л( х,,) (9)
с, +вф2хсх -ф2г = 0, с, +вфзхсх -фзг = 0,
р2 [ф 2t +1 в(ф 2 х )2 +1 (ф 2 г )2 + ^1 = рз [ф 3, +1 в(фз х )2 +1 (ф з г )2 +
>г = с( х, t) (10)
Граничные условия заданы на интерфейсах г = п(х, ¿) и г = £(х, ¿), которые являются неизвестными функциями и подлежат определению. В предположении малости амплитуд распространяющихся возмущений граничные условия могут быть сведены к более простому виду путем разложения всех неизвестных функций, в них входящих, в ряды Тейлора по малым отклонениям от невозмущенного уровня:
/ , Ч ~ В1V £1 д
1=0 1! ^ г=Н,Н - Н Следующий этап асимптотической процедуры - разложение неизвестных функций в ряды по малому параметру:
Л = в(п1 +8^2 +в2Лз + Д (11)
С = б(Сх +8С 2 +82 С з + •••) • (12)
Нетрудно показать, что порядок малости потенциалов составляет
, поэтому
Фг =^В(ф!(0 +8ф2(,) +8 2Фз(?) + ••) г = 1,2,з, (13)
Завершающий этап - переход к медленному времени и медленной координате. Обозначим за с фазовую скорость длинных линейных волн (которую еще предстоит определить) и введем медленные переменные (согласно методу многих масштабов [12]):
£ = 81/2(х- , т = 8з/^ . (14)
Тогда производные будут иметь вид
^ = 81/2 А, А = -81/2^.1 + 8з/2 А. (15)
дх д£ дt д£ дг
Подставим ряды (11) - (13) в исходную систему уравнений (6) - (10) и, используя переменные (14), (15), перейдем к итерационной процедуре вывода.
На каждом г-м шаге выписываем уравнения (из (6)-(8)) относительно 1-й поправки (ф^, ф2(1 у Фз(г)) для потенциалов Ф1, Ф2, Ф3 при текущей г-й степени 8 в разложении. Выражаем ф^.у ф2^у ф^^ (интегрируем). В силу того, что уравнения содержат вторые производные от ф , ф , ф (в (6)-(8) входят лапласианы от искомых функций Ф1, Ф2, Ф3),
возникает две константы интегрирования (зависящие от медленного времени и координаты, так как интегрирование ведется по г). «Старшая» константа (при первой степени г) определяется следующим образом:
для ф^ - из условия «непротекания» на этом шаге;
• для ф3,из условия «твердой крышки» на этом шаге;
з(г) г)
• для ф2^ - из системы кинематических граничных условий для Ф2 на этом шаге.
«Младшая» константа интегрирования (при г0) определяется на следующем шаге:
• для ф1(..из кинематического граничного условия для Ф1;
• для ф - из кинематического граничного условия для Ф3;
• для ф - из системы кинематических граничных условий для Ф2.
Из системы динамических граничных условий, в которые в силу конструкции уравнений входят поправки потенциалов с предыдущего шага, находим:
• связь между /-ми поправками к л(х, 0 и £(х, т. е. лг = I(Сг) или наоборот;
• коэффициенты нелинейности, линейной и нелинейной дисперсии эволюционного уравнения для поправки /-1 порядка к л(х, 0 (либо к £(х, ф.
Таким образом, решая рекурсивно систему уравнений (6) - (10) с учетом (11) - (15) по описанному алгоритму, в нулевом порядке по в определим квадрат фазовой скорости линейных волн с2. Очевидно, что в рамках линейной задачи в рассматриваемой трехслойной среде существуют две волновые моды: симметричная (когда обе границы раздела отклоняются параллельно, в одну сторону ^(х, 0 = £(х, 0) и антисимметричная (когда границы раздела отклоняются на одинаковую величину, но в разных направлениях ^(х, ^ = - £(х, ф. В настоящей работе мы рассматриваем лишь первую из этих мод, поэтому выбираем только один из возможных вариантов для фазовой скорости линейных волн:
с2 = Я^Р
Р
(16)
В следующих порядках получим уравнения
ГС ] + Г С1С
+ а
4Л1 у,
Ц
Л1Л11
+ Р
ГС/
ЧЛ1 ущ
= 0,
ЧЛ2 У
+ а
Л1Л2
+р
л
Л2
+ а.
V
Л^Лц
+ Р1
Гг.Л
С1
VЛ1У 5Е,
■ У1
СС
С1С1Щ, Л1Л1Щ;
(17)
+
У 2
СЦС1££ - ЛЦЛ1^
= 0,
Однако в конечном итоге необходимо получить уравнение относительно неизвестных функций "л(х^) для нижней и £(х, Г) для верхней границ раздела. Обратившись к рядам (11) и (12), можно записать следующие выражения (на примере "л(х,0) для слагаемых, входящих в уравнения (17), через искомую функцию:
Зп .Зп Зп —1 = в(—+ в—-З, З, З,
Зп .Зп, Зп —- = в(—+ в—-
Зх Зх Зх
2 , .2 ЗЛз
■ + в
Ы
2 +в2 ЗЛз
Зх
+...),
+...),
З п л З п л> З"л2 —Г1 = в(-11 + в-— + в
п
2 З Лз
Зх
Зх'
Зхп
+...)
ЗЛ
Л^т = в (Л1 +вЛ2 +в Лз +вЛ4 +...), -
Зх V Зх
ЗЛ1 , „ ЗЛО 2 ^з , „з ЗЛ4
= в
Л, ^+в[п2 % + Л11 + в2
Зх
Зх
Зх
+ в
Г
Лз
V Зх
Зх ЗЛ1
+в
Зх
+в
Зх
■ +... 1 =
+ Л2 + Л. ^ 1 +.
Зх
Зх
Л2 ЗЛ = вз(л. +вл2 +в 2Лз +взЛ4 +...)2 + <=% + в2 % + вз % + .
Зх V Зх Зх Зх Зх
= в~
=
+ 2 ЗЛ1
(18)
Л12 + 2вл1Л2 +в 2 (л22 + 2Л1Лз)+ 2вз (Л1Л4 +ЛоЛз)+... + вЗЛ2 + в 2 ^ + вз ^ +... 1 =
\ Зх Зх Зх Зх у
ЛГ-^ + в(л12^ + 2Л1Л2^ | + в2[(л22 + 2Л1Лз^ + Л12ЗЛз + 2Л1Л2^ | +...
Зх V Зх Зх У V Зх Зх Зх У
и т.д.
в
2
в
X
Выписывая аналогичные ряды для всех слагаемых всех порядков, входящих в уравнения (17), с такой точностью по 8, чтобы обеспечить корректность уравнения, и складывая все уравнения (17) до нужного порядка включительно, в полученном суммарном уравнении выделим эти комбинации, приводя все слагаемые к виду рядов для п и С, которые даны ранее.
Таким образом, получим обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для верхнего и нижнего интерфейсов (в исходных переменных):
(О
+ c
+ а
' с 3сх Л
,3„
(ссх ]
ЧЛЛ X ,
(с]
с
+ß
+ а.
гс 2с
v л Лх у (
+ У 32 + Y 43 + Y 55
сс с
+ ß 2 Л
vЛЛ хЛхх у
(схххсхххх
V Л хххЛхххх У
VлУ
+ У 33
л
VЛУ + Y 21
vЛ2Лху
(г\
7 х
(с с 1
хх ххх VЛ хх Л ххх у
+ß1 г
с
VлУ
+ У1
^ сс ] ( с с л
ххх х
+ У 2
+ У 22
5 х
Л
VЛЛххх У
ЛхЛх
+
V 1х 1хх У
с х с хххх VЛX Л хххх У
+ У 23
(сс 5х ]
чЛЛ 5 х у
+ У 3
с3
х
+
vЛ х у
гс2с ^
ххх
VЛ Лххх у (
+ У 5
сс с
ТГЭ ххт>ххх
гс 4с х^
4
vЛ Лх у (\
+ ß;
(с]
чЛу
+ У 41
9 х
хс ххс ххх^
гс 2х с ^
х ^ ххх
Л2 Л х
+ У 56
V 1л \ххх у
^с с2 л
х хх VЛ х Л хх у
vлл хх 1ххх у
+ У 6
+ У 52
Л
Чс 3Л
V лл х у
|л х Л хх ЛххА
+ У 62
( с с ]
( х 6 х ]
V-ЛхЛ6х у (
с 2с с
х хх
Л2ЛхЛ
+ У 53 + У 63
сс с
х хххх
vЛЛ х хххх у
(с3с л
ххх
+ У 42 Л
сс
^хх^ 5х
V 1хх х у + У 54
+ (19)
Гс 2с 5х^
2
Л Л5
+
ху
х хх у
ЛЛ
= о.
ххх у
Коэффициенты уравнения (19) могут быть выписаны в обезразмеренном виде как функции параметра l = h/H:
а = 0,
ß _ (4/ - 3) а1 2 _ 3(26/ - 9) ß1 _ (l6/3 - 45/ + 30)
сН2
12 c i2
У2 3(8/2 -10/ + 3) а
У = 0 , = —^-L _
1 cH
8/3 ' сН4 1440
9(52/2 - 44/ + 9)
а2 H3 =
c
2
8/
ß 2 _ с(320 /5 -1008 /4 +1260 /3 - 945 /2 + 630 / - 252) " 120960
cH6
У 22
16 / 5
(256 /4 - 200 /3 -198 /2 + 231/-57)
У 21 =__
cH3 96/
(352/4 - 704/3 + 486/2 -123 H3/ + 6)
, У 23 = 0 ,
cH3 192 /
У31 _ (40/3 + 726 /2 - 819 / + 207) у32 _ (1912 /3 - 678 /2 - 927 / + 342)
c 96/3 ' c 96/3
у33 _ (952/3 -1110 /2 + 369/ - 36) а3д-4_ 9(1324 /3 -1508 /2 + 513/ - 45) c 96/3 ' c 128/7 '
ß3 _ (17152 /7 - 76800 /6 +151200 /5 -171360 /4 +121275 /3 + 56700 /2 + 21420 / - 6120 )
cH8
У 41
29030400
(11264 /6 - 33376 /5 + 37824 /4 -19350 /3 + 4335 /2 - 684/ +180)
У 42 cH5
cH5 34560 /
_ (5504 /6 + 4192 /5 - 40152 /4 + 55030 /3 - 31005 /2 + 7218 / - 444) = 11520 / !
t
х
У43 _ (486416 -14240 15 + 796814 +13578 13 - 21219 12 +108091 -1926 )
сН
5
У 51
+ .
69121
а о 73 '
+ .
сН 2 230413 У52 _ 3(3213 - 6412 + 421 - 9)
сН2 2561 '
У 53 (5686415 + 93936 14 - 330570 13 + 26485 12 - - 763201 + 6804 )
сН 2 11520 13
У 54 _ (4867215 - 9425614 + 64590 13 -18255 12 + 24301 - 216)
сН 2 1152013
У 55 (189280 15 - 646880 14 + 743190 13 - 334395 12 + 330301 + 6804 )
сН 2 1152013
У 56 _ (121120 15 - 275560 14 +152040 13 + 70800 12 - - 91035 1 + 20844 )
сН 2 57601'
у^ (142414 + 33213 - 344412 + 22711 - 405)
-Н = -
-Н = -
6415 '
(10928 14 - -1147613 -19212 + 27871 - 594)
12815
(190414 - 317213 +184812 - 4411 + 36)
6415
Уравнение (19) соответствует случаю, когда эффекты слабой нелинейности и дисперсии оказываются одного порядка малости, т.е., как уже отмечалось, в ~ р. Обращение в ноль коэффициента квадратичной нелинейности нарушает классическую иерархию малых членов асимптотического разложения. В этом случае стандартное масштабирование уравнения Кор-тевега-де Вриза в ~ р требует модификации в2 ~ р для учета дисперсионных и нелинейных эффектов в одном порядке, при этом должна возрастать роль следующих по нелинейности членов в асимптотическом разложении волнового поля. Для того, чтобы выполнить модифицированное масштабирование, перепишем уравнение (19) в переменных Л = вЛ, С = вС, ~ = рх, ~ = рг (знаки «тильда» опускаем):
ГС] ГС] Г СС х ] + рр ГС]
+ с + ва +
чЛу г чЛу х ЧЛЛ х у чЛу ххх
2
+ в а
3
+ в3а
ГС 2С /
чЛ2Лху
Ч3С х 3
V "Л Лху
г
2
+ в р
+ Р2Р1
Л
( (
VлУ
+ вр
5 х
СС х
л
У31
+ р3р2 л3
ГС]
чЛу
У1
V VЛЛ ххх У ( (
+ У 2
СС
х хх
V Лх Лхх У у
+
+ вр
ГС.
vЛх у
СС
хх ххх
Л
У 21
V \Лхх Лххх У
+ У 22
С
С хС vЛ
+ У 23
+ У32
СС С
х хх
Л
VЛЛ хЛхх у
+ У 33
С2С
ххх VЛ Лххх у
4
+ в а3
ГС 4С х^
4
vЛ Лх у
Г сс5хV
чЛЛ5 х У у
ГС]
+
+ р4р3
+
VлУ
9 х
+ вр
С с С С
6 х
л
У 41 _
V V 'х Л6 х у
+ У 42
СС
^хх^з 5 х
V Ухх Л5 х У
> ( + У 43
СС
ххх хххх ЛхххЛ
+
V Уххх !хххх У у
(21)
5
4
2
с
с
с
у
V
2 2 + 8 2
( f У 51
V
сс с
V-з ххт>ххх
^ ({с хс ххс ххх^х^
|Лх Лхх Лххх^_
VЛЛ ххЛ ххх у
+ У 52
(
+ У 53
сс х с хххх
Л
+ У 56
ff Г2 ^ с х с хх
2
VЛX л хх у у
3
+ 83Д
( (гг3 Л У сс х
у 61 V V
3
ЛЛ 3 у
+ У62
с2с с
х хх
Л2ЛхЛ
VЛЛ х Лхххх у + У 63
+ У 54
^ 2с 5 х^
с3с
ххх
х хх у
vЛ2Л5ху
У\
= 0.
+ У55
^с2 с л
хЪххх VЛхЛххх у
+
V
ЛЛ
ххх у у
Применяя в (21) соотношение между малыми параметрами 82 = ц, получим гораздо более простое уравнение:
'О . __ ГС2СхV /О
Vлу
+ а.
Л л
+ß
х у
+
+ 8
гс 3с
а 2
V V
3
Л Лх у
VлУ
г
+ У 2
сс
х хх
л]
V Л х л хх у у
+
(22)
( (г4г \
+8
а
V V
с4сх
4
Л4Л
+ У 31
ху
3
сх
vЛ3 у
(
+ У 32
сс с
хх
Л
+ У 33
(с 2с ] (О ]
с с ххх ß ^
ЛЛ
ххх у
vлу
+ о(83 )= 0,
5 х у
vЛЛхЛхх у
где коэффициенты также определяются формулами (20).
Уравнение (22) выведено здесь для уточнения описания волновой динамики в тех случаях, когда коэффициент квадратичной нелинейности обращается в ноль, а коэффициент кубической нелинейности имеет значения, близкие к нулю, т.е. при соотношении толщин слоев, близком к h/H = 9/26. Проанализируем поведение коэффициентов уравнения (22). Графики зависимостей безразмерных величин коэффициентов от толщины верхнего и нижнего слоев в симметричной жидкости показаны на рис. 2. Как видно из рис. 2, коэффициент а2 слагаемого нелинейности четвертой степени также может менять знак в окрестности указанной точки, и только коэффициент нелинейности пятой степени а3 всюду отрицателен. Коэффициенты дисперсии ß, ß1 и нелинейной дисперсии у2 всюду положительны на области определения, а коэффициенты слагаемых нелинейной дисперсии у31, у32, у33 имеют по одной точке смены знака, не совпадающей с h/H = 9/26.
t
Рис. 2. Поведение коэффициентов расширенного уравнения Кортевега-де Вриза в зависимости от соотношения толщин слоев
Для более детального анализа разложим выражения для коэффициентов уравнения (21) в ряд Тейлора в окрестности точки И = 9/26 Н (А = I - 9/26):
Р
сН2 1352 52
63 +_! а+о(а2),
а Н3 5940688
—— = 594068^А + 0(А2 ), ^ = 7-Ша + оИ,
с 6561 у ' сН 13 18 к '
а зН
4
47411260 1208410197 8
59049
-+--а+О(А2 ),
531441
Уз, = 1483 - 298285 а + О(А ), м = 2341 - 641017 а + о(а ),
с 486 2916 у ' с 486 2916 у '
У 33 с
109 30589
243 2916
а+о(а2 ),
Р1 _ 66291 1099
- + -
сН4 18279040 1054560
а+о(а2 ).
Тогда расширенное модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза (22) в окрестности точки И = 9/26 Н принимает вид
гс]
+-
63Н 2с
1352
с
+ 8-
7 Нс
(
+
2341
-с
486
сс с
ЛЛ х л
х Ухх у
109 243
13
2
сс
хх
Л
с
с 2с
л2л
V Лх Лхх У
Л
+8
47411260с
59049Н4
^с4схл
4
Л Л х у
1483
+-с
486
+
66291Н4с
4„(Г\ Л
ххх у
18279040
+ 0(83 )= 0.
5х у
3
сх
,Л3
х 3
V х у
+
(23)
Уравнение (23) уточняет характер волновой динамики вблизи точки нулевой кубической нелинейности за счет нелинейных дисперсий следующих порядков и нелинейности пятого порядка.
Выводы
Предлагается нелинейно-дисперсионная теория внутренних гравитационных волн малой, но конечной амплитуды, распространяющихся на границах раздела слоев в трехслойной симметричной жидкости. В основе теории лежит асимптотическая процедура разложения гидродинамических полей в уравнениях идеальной слоистой вертикально -однородной несжимаемой жидкости в ряды по малым параметрам нелинейности и дисперсии. В результате временная эволюция волнового поля и трансформация его вдоль координаты распространения описываются нелинейным эволюционным уравнением второго порядка точности относительно малых параметров. В первом порядке по нелинейности и дисперсии полученное уравнение совпадает с широко известным модифицированным уравнением Кортевега-де Вриза. Полученное уравнение позволяет более точно описывать внутренние волновые поля и должно рассматриваться для симметричных сред, параметры которых обеспечивают близкие к нулю значения коэффициента кубической нелинейности.
Представленные результаты получены в рамках реализации мероприятия «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, а также при поддержке грантов Президента РФ для молодых российских ученых - кандидатов наук (МК-846.2009.1) и докторов наук (МД-99.2010.5), и РФФИ 10-05-00199а.
с
Библиографический список
1. Канарская, Ю. В. Негидростатическая модель стратифицированных течений со свободной поверхностью: дисс. ... канд. физ.-мат. наук, 01.02.05 / Канарская Ю.В. // Киев, 2004. 126 с.
2. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1986. - 733 с.
3. Пелиновский, Е.Н. Нелинейные эволюционные уравнения / Е.Н. Пелиновский, В.Е. Фридман, Ю.К. Энгельбрехт. - Таллин, Валгус, 1984. - 154 с.
4. Талипова, T.r. Влияние кубической нелинейности на трансформацию интенсивных внутренних волн / T.r. Талипова [и др.] // Доклады Российской Академии наук. 1999. 364. № 6. С. 824-827.
5. Clarke, S. On the generation of solitons and breathers in the modified Korteweg - de Vries equation / S. Clarke [at al.] // Chaos. 2000. 10. No. 2. Р. 383-392.
6. Grue, J. A method for computing unsteady fully nonlinear interfacial waves / Grue J., Friis, A., Palm, E. and Rusas, P.-O. // J. Fluid Mech. 1997. V. 351. Р. 223.
7. Kakutani, T. Solitary waves on a two-layer fluid / T. Kakutani, N. and Yamasaki // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45. Р. 674-679.
8. Koop, C.G. An investigation of internal solitary waves in two-fluid system / C.G. Koop, and Butler, G. // J. Fluid Mech. 1981. V. 112. P. 225-251.
9. Lamb, K. Numerical experiments of internal wave generation by strong tidal flow across a finite amplitude bank edge // J. Geoph. Res. 1994. V. 99. C1. P. 843-864.
10. Miles, J.W. On internal solitary waves // Tellus, 1979. V. 31. P. 456-462.
11. Miles, J.W. On internal solitary waves // Tellus, 1981. V. 33. P. 397-401.
12. Vlasenko, V. Nonlinear internal waves forced by tides near the critical latitude. / V. Vlasenko [at al.] // Deep-Sea Research I. 2003. V. 50. P. 317-338.
Дата поступления в редакцию 15.10.2010
E.A. Rouvinskaya, O.E. Kurkina, A.A. Kurkin
IMPROVED NONLINEAR EVOLUTIONARY EQUATION FOR INTERFACIAL GRAVITY WAVES IN A SYMMETRIC THREE-LAYER FLUID
In the present study we derive the improved modified Korteweg-de Vries equation of higher-order in small parameters of nonlinearity and dispersion for the specific case when the coefficient of cubic nonlinear term can change its sign. Such a situation is considered for the example of interfacial gravity waves in a symmetric three-layer fluid (when the upper and lower layers have equal widths and small density jumps on the interfaces are equal).
Key words: nonlinear evolutionary equations, interfacial gravity waves.
