УТОЧНЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ «ЗАРЯДКИ» КИСЛОРОДОМ ВОДОВМЕЩАЮЩИХ ПОРОД В ПРОЦЕССЕ ВНУТРИПЛАСТОВОЙ ОБРАБОТКИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023

ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия F

УДК 628.11(628.16) DOI 10.52928/2070-1683-2023-34-2-38-46

УТОЧНЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ «ЗАРЯДКИ» КИСЛОРОДОМ

ВОДОВМЕЩАЮЩИХ ПОРОД В ПРОЦЕССЕ ВНУТРИПЛАСТОВОЙ

ОБРАБОТКИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

Е.И. РАШКЕВИЧ1 , канд. техн. наук В.Д. ЮЩЕНКО2)

д-р физ.-мат. наук Е.К. МАКАРОВ3, д-р физ.-мат. наук А.К. ДЕМЕНЧУК4

(1) 2Витебское областное коммунальное унитарное предприятие

водопроводно-канализационного хозяйства «Витебскоблводоканал»,

3 ’4Государственное научное учреждение «Институт математики

Национальной академии наук Беларуси», Минск)

1 selenapuko@gmail.com, 2yuvd46@mail.ru, 3jcm@im.bas-net.by, 4demenchuk@im.bas-net.by

В статье описывается метод внутрипластовой технологии обработки подземных вод, условия моделиро-

вания процесса закачки воды в водовмещающую породу, а также анализ полученных математических уравнений.

Ключевые слова: технология и особенности метода внутрипластовой обработки подземных вод, модели-

рование процессов «зарядки» водовмещающих пород, анализ граничных условий.

Введение. В Республике Беларусь основным источником водоснабжения населенных пунктов являются

подземные воды1 [1]. Во многих случаях (по РБ - более 80%) наблюдается повышенная концентрация железа,

которая может быть в сочетании с другими загрязняющими микроэлементами и веществами. Согласно требо-

ваниям СанПиН 10.124-99 РБ концентрация железа в воде питьевого качества должна быть не более 0,3 мг/дм3.

Превышение этого уровня концентрации приводит к техническому и технологическому нарушению работы систем

водоснабжения объектов и населенных мест, а также отрицательно влияет на здоровье человека.

В настоящее время наиболее распространенными методами удаления железа из подземных вод являются

аэрационные и реагентные методы, осуществляемые на станциях или установках наземного исполнения ex-situ.

Как правило, для крупных районных и областных населенных пунктов обработку воды ведут путем аэрации

с последующим фильтрованием в безнапорных условиях. Наоборот, в малых населенных пунктах (деревни, села,

агрогородки и отдельные объекты) практически везде используется напорный вариант [2].

Следует отметить, что фильтры нуждаются в периодической регенерации загрузки, поэтому необходимо

использование соответствующего промывного оборудования и сооружений по сбору осадков.

Метод обезжелезивания воды непосредственно в водоносном пласте скважин in-situ в исполнении системы

Subterra является более простым и экономичным, по сравнению с устройствами наземного исполнения2, 3 [1; 3],

но пока мало изучен в Республике Беларусь. Сущность метода состоит в том, что в каждой отдельной скважине

происходят все стадии внутрипластовой обработки подземных вод: закачка обогащенной кислородом воды

в водоносный пласт, отстой для создания обширной окислительной зоны, первоначальная прокачка на рельеф

местности в специально подготовленные места и последующая откачка в систему водоснабжения населенного

пункта или объекта. То есть скважина одновременно является закачивающей и нагнетательной, причем эти стадии

разделены друг от друга.

Коэффициент полезности использования метода внутрипластовой обработки подземных вод определяется

как отношение объемов откачки в систему водоснабжения населенного пункта и закачки обогащенной кислоро-

дом воды в водоносный пласт. Считается, что при значениях коэффициента полезности более 3 применение этого

метода целесообразно по сравнению со станциями в напорном варианте и наземном исполнении.

Основной стадией процесса является закачка обогащенной кислородом воды в водоносный пласт, от кото-

рой зависят все последующие. При этом происходит закрепление кислорода на породах пласта, что для краткости

называют «зарядкой» пласта.

Г.М. Коммунаром4 [3] была предложена математическая модель процесса «зарядки» кислородом водовме-

щающих пород при закачке на основе процессов сорбции (адсорбции и хемосорбции). Эта модель достаточно

подробно описана в главе 21 [3]. Однако при описании указанной модели не приводится ряд существенных про-

межуточных выкладок, что затрудняет ее практическое использование.

1 Национальный статистический комитет Республики Беларусь. URL: http://www.belstat.gov.by/ofitsialnaya-statistika/

makroekonomika-i-okruzhayushchaya-sreda/okruzhayuschaya-sreda/sovmestnaya-sistema-ekologicheskoi-informatsii2/c-vodnye-res

ursy/c-3-vodopotreblenie/.

2 Кулаков В.В. 100 лет технологии очистки подземных вод от железа в водоносном горизонте (in situ) // Материалы 6-го

междунар. конгр. ЭКВАТЭК-2004 «Вода: экология и технология» / г. Москва (1-4 июня 2004 г.). - Ч. 1. - М., 2004. - C. 173-174.

3 Коммунар Г.М. Внутрипластовая очистка подземных вод для целей водоснабжения: автореф. дис. ... д-ра техн.

наук: 05.23.04. - М.: ВНИИ ВОДГЕО, 1987. - 39 с.

4 См. сноску 3.

38

СТРОИТЕЛЬСТВО. ПРИКЛАДНЫЕ НАУКИ. Строительство

№ 2

В настоящей статье проведен детальный анализ математического аппарата модели Г.М. Коммунара, вос-

становлены недостающие выкладки и устранены обнаруженные неточности. В дальнейшем это позволит адап-

тировать основанные на рассматриваемой модели методики расчета коэффициента полезности использования

метода внутрипластовой обработки подземных вод к применению для расчета систем водоснабжения малых

населенных пунктов в Республике Беларусь.

В своих расчетах выделим основные рассматриваемые уравнения простой нумерацией, если имеются ссылки

на математическую модель Г.М. Коммунара, то оставляем те же обозначения, например, формула 21.1 [3] и т.д.

Основные положения математической модели, предложенной Г.М. Коммунаром. Стадию «зарядки» водо-

вмещающих пород кислородом обеспечивают процессы сорбции различных типов (адсорбции и хемосорбции).

Центрами для сорбции кислорода могут быть ионы различных металлов, а также структурные элементы материа-

лов водоносных слоев. Считается, что адсорбция кислорода является лимитирующей стадией при проведении

реакций окисления ионов железа и образования его гидроксидов непосредственно в подземном пласте.

В работе [3, гл. 21] рассматривается два варианта протекания процессов сорбции: адсорбция по реакции

1-го порядка с конечной скоростью и мгновенная необратимая адсорбция. В настоящей работе мы анализируем

только последний вариант.

В анализируемой модели предполагается, что весь объем закачанной воды в каждый момент времени раз-

мещается в цилиндре с высотой, равной мощности пласта, и осью, совпадающей с осью скважины. Предполагается

также, что потоки воды внутри пласта в процессе закачки являются радиальными, т.е. направлены перпендикулярно

оси скважины и от нее вдоль радиусов цилиндра.

В этих предположениях процесс «зарядки» кислородом водяного пласта описывается системой динамики

адсорбции, которая является системой дифференциальных уравнений с частными производными и в случае

мгновенной необратимой адсорбции имеет вид:

9Co2 q3 9Co2 dCo2

n° dt + ~r dr + dt

= 0;

(1)

dCr

dt

2 = CO2 8(t-Xo ):

(2)

где t - время протекания процесса (ч), отсчитываемое от его начала;

r - расстояние от оси скважины (м);

n0 - пористость водоносного пласта (объем пор в единице объема породы, безразмерная величина);

Co2 = Co2 (t,r) - концентрация растворенного в воде кислорода в момент времени t на расстоянии r от оси

скважины (мг/л);

Co2 - концентрация адсорбированного на поверхности пород кислорода (мг/л);

Cq - предельная адсорбционная емкость пород по отношению к кислороду (мг/л);

Co - начальная концентрация растворенного в закачиваемой воде кислорода (мг/л).

20

q3 - величина при закачке воды в пласт, определяемая по формуле:

q3 = Qs / 2лМ >

(3)

где M - мощность водяного пласта (м);

Q3 - расход закачки (м3/ч);

8(x) - дельта-функция Дирака;

Х0 - момент наступления скачка концентрации кислорода С^ = Co2 (t,r) в точках на расстоянии r от оси

скважины при мгновенной адсорбции кислорода, определяется по формуле:

(no +rO2 )(r 2 - ro2 )

2qs ’

X 0 = '

(4)

где - константа Генри адсорбции, определяемая по формуле:

С-

СП.

Г~ =

~°2

С02П

(5)

где ro - радиус скважины (м).

Из уравнения (1) вытекает, что концентрация кислорода, растворенного в воде, исчисляется по отношению

к объему воды, т.е. к объему пор.

39

2023

ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия F

Замечание 1. Концентрация адсорбированного кислорода исчисляется по отношению к геометрическому

объему, т.е. сумме объемов пор и объема породы.

Система (1), (2) решается при начальном условии:

CO2(t = 0, г >r0) = C52(t = 0, г >г0) = 0 (6)

и краевом условии:

Co2 (t > 0, г = Г0 ) = Cq2q . (7)

Этим условиям, согласно5, соответствует решение системы (1), (2), имеющее вид:

Со2 (t,r) = ^ H(t -%0 ) ; (8)

Со,(t,r) = C*^H(t-Х„; , (9)

где H(t -Х0) - единичная функция, принимающая значение 1 при t < Х0 и значении 0 при t > Х0, см. фор-

мулы (21.9а) и (21.9б) указанной монографии.

Замечание 2. Обозначение H(t) является стандартным для так называемой функции Хевисайда, принимаю-

щей значение 1 при t > 0 и значение 0 при t < 0.

В дальнейшем мы будем использовать данное обозначение в этом стандартном смысле, а для единичной

функции, используемой в [3], введем обозначение H(t) . Нетрудно проверить, что функции H(t) и H(t) связаны

соотношениями:

H(t) = H(-t) = 1- H(t) . (10)

Тогда решения (8) и (9) запишутся в виде:

Со, (t,r) = Co^ H(t -Х0 ) ; (11)

Со, (t,r) = Cq2 H(t-Х0 ; . (12)

Полученные решения в дальнейшем используются Г.М. Коммунаром как входная информация для модели

внутрипластового обезжелезивания подземных вод, что в конечном итоге позволяет определить объем откачки Wc>

в зависимости от принятого объема закачки W3 и соответствующий коэффициент полезности использования

метода внутрипластовой обработки подземных вод в каждом конкретном случае.

Необходимые сведения из теории уравнений в частных производных. Запишем общее уравнение в част-

ных производных, частный вид которого используется для описания процессов адсорбции:

ды а ды

— +-------= 0,

dt г дг

(13)

где а - некоторая положительная постоянная;

ы = u(t^) - неизвестная скалярная функция двух независимых переменных t, г .

Следуя стандартным руководствам по теории уравнений в частных производных первого порядка [4], ука-

жем подходы к нахождению общего решения данного уравнения.

Выполним замену независимой переменной r на s по формуле:

г2 = s, s > 0 . (14)

С учетом того, что

г = 4s,

найдем частную производную:

ды _ ды ds

дг дs dг

d^ _ 1 _ 1

ds 24s 2г ’

ды 1 ды ды

= — 2 г,--------= 2— .

дs г дг дs

5 См. сноску 3, с. 219.

40

СТРОИТЕЛЬСТВО. ПРИКЛАДНЫЕ НАУКИ. Строительство

№ 2

В результате исходное уравнение принимает вид:

ды

dt

+ 2 a

ды

ds

= 0,

(15)

где

ы = u(t,s) , s = r2 .

Составим уравнение характеристик для полученного уравнения:

, ds

dt = -— ,

2a

что является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Поэтому общее решение уравнения характеристик дается формулой:

t -1 s = C,

2a

где C - произвольная вещественная постоянная.

Тогда общее решение приведенного уравнения будет иметь вид:

u(t,s) = ф[ t--1 s

(16)

(17)

где Ф - произвольная дифференцируемая функция, которая в дальнейшем может определяться из начальных

и краевых условий исходя из постановки конкретной задачи. Отсюда, возвращаясь к переменной r, находим

общее решение исходного уравнения:

u(t,r) = Ф| t- — r2

2a

(18)

Анализ математического аппарата модели Г.М. Коммунара. Ход решения системы (1), (2) с условиями

(8), (9) в [3, гл. 21] описан лишь частично. При этом построение решений производится с помощью преобразова-

ния Лапласа. Такой подход к решению хотя и достаточно эффективен, но не дает возможности выяснить сущность

процессов, описываемых данным уравнением.

Поэтому мы получим искомые решения другим, более непосредственным путем. Сначала найдем общее

решение второго уравнения системы (1), (2). Оно легко решается на основании свойства функции 8 :

t _

j 8(х)dx =H(t) = H(-t),

t0

справедливого для любого начального значения to ^ 0.

Возьмем нулевое начальное значение t0 = 0 и проинтегрируем обе части исследуемого уравнения:

t дСt „

j —= j Со 8(х-^0 )dх

0 дх 0 2

откуда, после замены независимой переменной и пределов интегрирования в правой части, имеем:

t-^0

C-2(t,r) - С-2( 0,r) = j Cq2 8( х )d х = Co2H(t-^ )■

-^0

С учетом начального условия (3) отсюда получаем решение:

C-2(t,r) = Co2H(t-I0) . (19)

Решение (19) не совпадает с решением (9), приведенным в [3], запись которого в стандартных обозначениях

нами дана в формуле (12). Это означает, что в монографии [3, гл. 21] в формуле (21.9 б) на странице 219 допущена

ошибка.

Но данная формула становится правильной, если считать, что в ней H - стандартное обозначение функции

Хевисайда, а не обозначение единичной функции, как используется в исходных расчетах6.

6 См. сноску 3.

41

2023

ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия F

Прежде чем переходить к решению уравнения (1), проанализируем вывод формул для основных геометри-

ческих характеристик процесса «зарядки».

Скачок найденного решения Cq (t,r) происходит на линии t = Xo, поэтому граница фронта адсорбции r (t)

с учетом определения величины Xo находится из условия:

t = Х0

(no +rO2 )(r*(t)2 -ro2)

2Чз

Выполняя необходимые преобразования, отсюда последовательно находим:

2q31

r*(t)2 - Г =

no +Г<9

и

r (t)

| 2q3t

no +ro2

что совпадает с формулой (21.10)7.

Положение фронта поршневого вытеснения rf определяется из геометрических соображений. В момент

времени t после начала закачки объем закачиваемой воды равен Q3t . Согласно предположениям модели он раз-

мещается в цилиндре с высотой M, где M - мощность пласта, ось которого совпадает с осью скважины, а его

радиус и есть расстояние до границы фронта вытеснения. Объем данного цилиндра равен %r2M. При этом

для размещения закачанной воды используется только доступный объем пор, причем из него исключается объем

самой скважины. В итоге имеем:

Q31 = n(rf - ro )Mno

Отсюда находим:

r 2 r 2 = Q3t = 2q3t

if ro---------------

nMn0 n0

и

rf = . r +

2q3t

no

Соответственно, к моменту окончания закачки итоговое положение фронта вытеснения находится по фор-

муле:

* . I..2 , 2q313

rf = rf(t3 ) = . ro +

no

Финальное расположение фронда адсорбции определяется аналогично:

*

R = r (t3 ) = rx +

1

2q313

no +ra

(20)

(21)

2

Величина Xo вводится формулой (21.3) на странице 218 [3] без объяснения ее происхождения, несмотря

на то, что эта величина, как можно видеть из сказанного, определяет все важнейшие параметры процесса «за-

рядки», а также и его ход. Мы предполагаем, что обоснование формулы (21.3) и роли величины Xo в рассматри-

ваемой модели может быть осуществлено на основе следующих соображений.

Согласно описанию модели процесса зарядки на странице 219 [3 ] в области r0 < r < r* (t) в момент вре-

мени t концентрация кислорода в воде равна ее начальной концентрации Cq , а концентрация закрепленного

2o

на породах кислорода равна максимуму Cq2 .

7 См. сноску 3.

42

СТРОИТЕЛЬСТВО. ПРИКЛАДНЫЕ НАУКИ. Строительство

№ 2

В момент времени t объем воды, закачанной в пласт, равен QЗг, а масса кислорода, заключенного в ней, -

Q31. Она должна быть распределена между водой в порах, объем которой равен n0V(t), где

20

V(t) = nM(r*2 (t) — r0 ), с той же концентрацией Со , и адсорбированным кислородом, концентрация которого

20

*

(в расчете на единицу геометрического объема V(t) ) равна Cq =Го Со , т.е. максимально возможной кон-

о2 2 20

центрации, и, соответственно, масса которого равна V( tjrft Сл .

2 20

В итоге имеем уравнение баланса:

QtСо2 = V(t)n0C02 + V(t)ro2 Со2 ,

20 20 2 20

(22)

откуда, сокращая на Со , получаем:

2п

Q31 = V(t)n> + V(t)ro7

или

t =

nM(r 2(t) — r0)(n0 +Г02)

Q3

(n0 +Гр1)(/2 (t) — r0 )

2 q 3

что совпадает с X0, введенным формулой (21.3) выше. Таким образом, величина Х0 действительно имеет смысл

момента наступления скачка концентрации кислорода Со2 = Со2 (t,r) в точках на расстоянии r от оси скважины

при мгновенной адсорбции кислорода, и можно утверждать, что она почти полностью определяет весь процесс.

Перейдем теперь к решению уравнения (1). Его решение мы получим на основе приведенного выше общего

решения (17) уравнения (19).

Легко видеть, что вся область (t,r) разбивается линией t = Х0 на две части. Согласно описанию процесса

в левой верхней части (область I) имеем Со = Со , а в правой нижней Со = 0 (область II). Проверим, соответ-

2 20 2

ствует ли это исследуемому уравнению.

Как в области I, так и в области II уравнение имеет вид:

+ я, 5^ = 0.

ЯСо,

дt

dr

Как показано выше, уравнение семейства характеристик для данного уравнения также имеет вид:

t —

r 2

2Яз

= С,

где С - принятый параметр.

Поэтому общее решение приведенного уравнения задается формулой:

(23)

^ “Л.t — П, '2 J , (24)

где Ф - произвольная дифференцируемая функция.

На линии t = Х0 в уравнение входит 8 -функция и, соответственно, на этой линии может происходить скачок

решения. Кроме этого, область II делится линией r = f(t) на две подобласти: IIA, заполненную закачанной водой

с нулевой концентрацией кислорода, и IIb, заполненную подземными водами. Линия r = r^(t) имеет уравнение:

2q3t

п0 ’

и поэтому является характеристикой заданного уравнения. Все характеристики этого уравнения, проходящие через

ось в точках с координатой r > r0, лежат ниже ее. Поэтому значение любого решения уравнения в области IIB

определяется краевыми условиями, заданными на оси г. Характеристики, проходящие через прямую r = r0 при t > 0

лежат выше этой линии, оставаясь в области I или IIA. Но они все пересекают линию скачка t = Х0, которая цели-

43

2023

ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия F

ком лежит выше линии r = r^(t), т.к. п0 + > п0. Поэтому значения любого решения уравнения в области I

определяются краевым условием, заданным на линии r = r0, t > 0. Лишь значения решения в области IIA зависят

от скачка, задаваемого 5 -функцией.

Из начального условия (6) при r > r0 получаем, что в области IIb выполнено равенство

ф"° I' -1r 2 J=0

Для области I имеем из краевого условия (7) тождество Cq (t,r) = C0 , верное при всех t, r из этой

области.

Для отыскания решения в области IIA вычислим полную производную

начинающихся на прямой r = r0.

Уравнение такой характеристики запишем в виде:

dCo2

dt

вдоль характеристик,

t (r2 - ro2; = p,

2Чъ

где параметр семейства характеристик (произвольная постоянная) удовлетворяет неравенству:

п0 2

P >- ~ r0 .

20ъ

Вдоль этой линии в результате дифференцирования по t имеем:

1 -^L2rdr = 0,

2q3 dt

откуда:

dr _ q3

dt n0r

Поэтому:

dC02 dc02 dc02 dr _ dCq2 dco2 q3

dr n0r

dt dt dr dt dt

Заметим, что уравнения исходной системы (1), (2) можно свести к одному уравнению:

dCo2 q3 dCQ

п0----^ + —-------2

dt r dr

+ c02 5(t -^o ) = 0

или

d C

o2

dt

-33-^-1 CQ25(t-X0).

n0 r dr n0 2

dC0

Подставляя найденное выражение для----— в полную производную, получим:

dt

dC02 _ q3 dc02 1

, я - — c025(t -K) +

dt n0r or n0 2

Вдоль характеристики выполняется равенство:

dc02 Чз _c02 5(t -X0 )

dr n0r

22,

r -r0 = t-p

2q3 n0

44

СТРОИТЕЛЬСТВО. ПРИКЛАДНЫЕ НАУКИ. Строительство

№ 2

Поэтому:

2 _ 2 , _

t -Х0 = t - (щ + Г02 ) ——— = t - (п0 + Г02 ) —-

2q3 П(\

=t

' щ +Го 1 п0 +гО Г0 щ0 + Г0-

1 -

+ и-

02

= -—-1 + Ц-

n0 щ

п0 у п0

Значит, выражение для искомой полной производной вдоль характеристики имеет вид:

dCo

CO2 8

( Г02 , . n0 +rO2 1

V n0

t + |и-

n0

dt n0

По определению 8 -функции и свойству ее четности 8(-1) = 8(t) имеем:

t t

J 8(-as + b )ds = J 8(as - b )ds =

-Q -Q

at-b dr 1 at -b i i

J 8(r У — =1 J 8(r )d r =1 H( at-b) = ^(1 - H(-at + b)).

__a a ___________a a

Пусть C^ (t) - сужение функции C(t,r) на характеристики. Тогда:

(25)

CO 8

t dC^ t 02

Си (t) = C~ + J-^dt = J

( Г02 n0 +Го2^

—-1 + u----2

V n0 Г02 у

20 и dt

dt .

и

n

0

Так как:

n0

^ n0 +Г02 .

2 * 1 ■■ —- = 0 при t = и

t + |И-

n0 +Г02

02

Г

02

>и,

то точка сингулярности функции 8

Г02

t + ц-

n0 +Г02

лежит на числовой оси правее точки t = и . Поэтому:

п У

и

J 8

-Q

Г09 , n0 + Г09 ^

v n0

t + |и-

dt = 0.

n0 у

Тогда:

C^ t ( Г0 n0 + Г0- ^

Cu (t) = C~ -^ J 8

20 n,

г 02 n0 TT

C07„ ----------H

0 -q

(

C0 Щ „( Г02

20 n0 Г0

t + Ц-

t + Ц-

n0 +Г02

dt =

y2 У

=C

C

0j

2У

20 Г

H

02

^02." , П0 +Г02 1

t + u-

2У

c02

Воспользуемся тем, что по определению константы Генри —— = C0 , а в силу уравнения (22) имеем:

Г02 20

Гг

п0

-t + |И-

n0 +Г0-

Г

02

2 = t-к.

Поэтому:

Cu (t) = CQ^ - C02o H (t -X0 ) =

C02 (1 - H(t -X0 )) = C0 H(t -X0 ).

20 20

(26)

Г

0

0

45

2023

ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия F

Поскольку характеристики полностью покрывают область IIA, объединяя все построенные выражения, окон-

чательно получаем выражение для значений концентрации кислорода, совпадающее с решением (8) в форме (11).

Со2(t,r) = Cq H(t) .

2 20

Заключение. В результате проведенного анализа методики моделирования внутрипластовой обработки

подземных вод по Г.М. Коммунару установлено следующее.

Решение системы уравнений (1), (2) с краевыми (6), (7), приведенное в работе8, содержит неточность в вы-

ражении для концентрации адсорбированного кислорода. В настоящей работе эта неточность устранена.

Выражение для концентрации кислорода, растворенного в воде, является правильным и подтверждено при

альтернативном подходе к поиску решения рассматриваемой системы, который позволяет более глубоко проник-

нуть в динамику процессов, описываемых моделью.

При необходимости все основные черты процесса «зарядки» могут быть описаны без привлечения уравне-

ний (1) и (2), а лишь на основе уравнения баланса (22). Тем не менее использование уравнений (1) и (2) более удобно

для расчетов и анализа процесса «зарядки» в рамках всей модели обработки подземных вод.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гуринович А.Д., Ваврженюк П., Ельский И. Возможности удаления из воды железа в водоносном пласте на примере

существующих водозаборных скважин // Вода и экология: проблемы и решения. - 2013. - Т. 2, № 54. - С. 12-20.

2. Основные пути и решения проектирования систем водоподготовки малых населенных пунктов в Республике Беларусь /

B. Д. Ющенко, Е.С. Велюго, Е.И. Рашкевич и др. // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. F, Стр-во. Приклад. науки. - 2021. - № 16. -

C. 124-130.

3. Плотников Н.А., Алексеев В.С. Проектирование и эксплуатация водозаборов подземных вод. - М.: Стройиздат, 1990. - 256 с.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: УРСС, 2006. - 472 с.

REFERENCES

1. Gurinovich, A.D., Vavrzhenyuk, P. & El'skii, I. (2013). Vozmozhnosti udaleniya iz vody zheleza v vodonosnom plaste na primere

sushchestvuyushchikh vodozabornykh skvazhin [Possibilities of removing iron from water in an aquifer using the example of existing

water wells]. Voda i ekologiya: problemy i resheniya [Water and ecology: problems and solutions], 2(54), 12-20. (In Russ., abstr.

in Engl.).

2. Yushchenko, V.D., Velyugo, E.S., Rashkevich, E.I., Prosolov, V.P. & Sedlukha, S.V. (2021). Osnovnye puti i resheniya proektiro-

vaniya sistem vodopodgotovki malykh naselennykh punktov v Respublike Belarus' [The main ways and solutions for designing

water treatment systems for small settlements in the Republic of Belarus]. Vestn. Polots. gos. un-ta. Ser. F, Str-vo. Priklad. nauki

[Vestnik of Polotsk State University. Part F, Constructions. Applied Sciences], (16), 124-130. (In Russ., abstr. in Engl.).

3. Plotnikov, N.A. & Alekseev, V.S. (1990). Proektirovanie i ekspluatatsiya vodozaborovpodzemnykh vod. Moscow: Stroiizdat. (In Russ.).

4. Stepanov, V.V. (2006). Kurs differentsial'nykh uravnenii. Moscow: URSS. (In Russ).

Поступила 12.09.2023

ANALYSIS OF THE MATHEMATICAL MODEL OF "CHARGING"

OXYGEN OF WATER-BEARING ROCKS IN THE PROCESS

OF IN-SITU TREATMENT OF GROUNDWATER

H. RASHKEVICH1, V. YUSHCHENKO2), E. MAKAROV3, A. DEMENCHUK4

(1>’2 Vitebsk Regional Municipal Unitary Enterprise

of water supply and sewage “Vitebskoblvodokanal”,

3’ 4)State Scientific Institution "Institute of Mathematics

of the National Academy of Sciences of Belarus", Minsk)

The article describes the method of in-situ groundwater treatment technology, the conditions for modeling the process

of water injection into the water-bearing rock, the analysis of the obtained mathematical equations.

Keywords: technology and features of the method of in-situ treatment of groundwater, modeling of the processes

of "charging" water-bearing rocks, analysis of boundary conditions.

8 См. сноску 3.

46