CC BY
26
АСТРОНОМИЯ, АСТРОФИЗИКА И КОСМОЛОГИЯ
Уточнение орбиты КА «Спектр-Р» в проекте «РадиоАстрон» и необходимые для этого условия при использовании фильтра Калмана
А. С. Жамковa, В.Е. Жаровb
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра небесной механики, астрометрии и гравиметрии.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: a zhamkov@physics.msu.ru, b vladzh2007@yandex.ru Статья поступила 23.06.2016, подписана в печать 19.09.2016.
Исследуется вопрос уточнения вектора состояния космического аппарата (КА) «Спектр-Р» в проекте «РадиоАстрон». Вектор состояния в данной задаче включает в себя 3 координаты и 3 компоненты скорости аппарата в геоцентрической небесной системе координат, и под уточнением орбиты аппарата понимается уточнение его вектора состояния. Сравнение полученных результатов проводится с оригинальными орбитами, рассчитываемыми в ИПМ имени М. В. Келдыша РАН. В работе рассматриваются вопросы применения фильтра Калмана при использовании только одного комплекта радиодальномерных и доплеровских измерений с наземных станций и проводится анализ условий, при выполнении которых будет наблюдаться улучшение орбиты. Показано, что наличие трех наземных станций, проводящих измерения одновременно решает поставленную задачу в полном объеме даже при очень плохом начальном приближении. На основе полученных результатов выделен список требований, выполнение которых обеспечит более точное знание орбиты КА «Спектр-Р».
Ключевые слова: «РадиоАстрон», фильтр Калмана, наблюдаемость, корреляционная обработка.
УДК: 521.35. PACS: 95.10.Eg.
Введение
В статье [1] были рассмотрены сеансы наблюдений, в которых получено улучшение орбиты КА «Спектр-Р» благодаря применению фильтра Калма-на. Сравнение проводилось с оригинальными орбитами, рассчитываемыми в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Необходимость улучшения орбиты, во-первых, связана с нахождением корреляции на базе интерферометра с длиной до 300 тыс. км и, во-вторых, с увеличением времени когерентного накопления сигнала. В результате проведенной работы [1] также был выявлен ряд сеансов, в которых не было замечено явного улучшения орбиты аппарата и которые были связаны нами либо с плохими условиями наблюдений, либо с техническими неполадками.
В настоящей работе рассматриваются вопросы применения фильтра Калмана при использовании только одного комплекта радиодальномерных данных и анализа условий, при выполнении которых будет наблюдаться улучшение орбиты.
Вычисления проводились для сеанса наблюдений RAES03PU, который был проведен 27.03.2013 в промежуток времени 21:00-21:40 UTC. База интерферометра « 220 тыс. км. Наблюдения выполнены в С-диапазоне (6.2 см, 4.83 ГГц), в двух полосах частот: USB (Upper Sideband) — наблюдения в верхней полосе частот и LSB (Lower Sideband) — наблюдения в нижней полосе частот. Вычисление корреляции возможно как в каждой из полос, так и одновремен-
но в двух полосах (USB & LSB). Радиодальномерные данные, предшествующие наблюдениям, были получены на телескопе в Уссурийске 27.03.2013 в два этапа: 04:22:40.5 — 04:37:37.5 (UTC) и 05:56:12.5 — 06:11:10.5 (UTC).
Данный сеанс интересен для проверки по следующим причинам. Во-первых, статус его корреляции переменный, это означает, что орбита спутника определена на грани допустимой точности и нуждается в уточнении; во-вторых, для данного сеанса в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН на основе улучшенной модели движения аппарата «Спектр-Р» данная орбита была пересчитана и в результате корреляционной обработки показала гораздо лучшие результаты. Это позволило наглядным образом проверить работу алгоритма и оценить его свойства применительно к задаче уточнения КА в проекте «РадиоАстрон».
1. Анализ работы алгоритма фильтра Калмана в сеансе RAES03PU
При обработке наблюдений 40-минутная запись была разделена на 10-минутные интервалы (сканы), в каждом из которых определялись отношение сигнал/шум (SNR), величина задержки т и скорость изменения задержки Т = dT/dt. Данные величины напрямую зависят от точности рассчитанной орбиты и, таким образом, служат мерой ее качества. Обычно считается, что корреляция найдена, если SNR > 12.
Для данного сеанса в ИПМ были рассчитаны две орбиты (обозначим их как Орб 1 и Орб 2). Орб 2 получена путем уточнения модели движения аппарата. В табл. 1 представлены результаты корреляционной обработки Орб 1. Из таблицы видно, что корреляция наблюдается не во всех сканах наблюдений, причем для разных полос корреляция отсутствует в разных сканах. Отсутствие значимой
Таблица 1 Результат корреляционной обработки для Орб 1
Время UTC (ч:мин) SNR т• 10"5, с Т • 10"10, с/с
USB & LSB
21:10 9.3 0.650 4.103
21:20 9.1 2.103 1.435
21:30 9.2 2.108 1.430
21:40 9.2 -3.514 2.979
LSB
21:10 14.4 2.088 1.426
21:20 13.5 2.100 1.425
21:30 15.9 2.103 1.421
21:40 8.9 4.350 -1.568
USB
21:10 9.6 -2.988 0.362
21:20 11.7 2.103 1.427
21:30 12.9 2.106 1.422
21:40 12.1 2.122 1.422
Таблица 2 Результат корреляционной обработки для Орб 2
Время UTC (ч:мин) SNR т• 10"6, с Т • 10"11, с/с
USB & LSB
21:10 16.9 6.688 3.440
21:20 18.2 6.734 3.440
21:30 17.4 6.703 3.440
21:40 16.2 6.750 3.458
LSB
21:10 14.6 6.688 3.476
21:20 16.2 6.719 3.458
21:30 17.4 6.688 3.440
21:40 12.0 6.719 3.475
USB
21:10 14.3 6.656 3.465
21:20 15.2 6.719 3.446
21:30 15.0 6.688 3.446
21:40 14.2 6.750 3.446
величины SNR для случая USB & LSB представляется весьма странным, поскольку соответствующие задержки и скорости изменения задержки близки по значению к полосам LSB и USB для 2 и 3 сканов.
В табл. 2 показаны результаты корреляционной обработки Орб 2. Из таблицы видно значительное увеличение SNR по сравнению с Орб 1, а также уменьшение величин т и т. Это говорит о том, что вычисленная орбита стала «ближе» к реальной (точнее) в смысле уменьшения различия в координатах и компонентах скорости аппарата.
Радиодальномерные измерения были применены для уточнения Орб 1 и Орб 2 с использованием фильтра Калмана, которые назовем Орб 3 и Орб 4. Результаты корреляционной обработки Орб 3 представлены в табл. 3, а Орб 4 — в табл. 4.
Из анализа табл. 3 видно, что фильтрация Кал-мана приводит к значительному улучшению SNR для сканов в USB & LSB. Более того, из 4 скана для случая LSB на основе показаний задержек и скорости изменения задержки можно судить о найденной корреляции, несмотря на достаточно слабое отношение SNR.
Таблица 3 Результат корреляционной обработки для Орб 3
Время UTC (ч:мин) SNR т• 10"5, с т • 10"10, с/с
USB & LSB
21:10 13.6 1.963 1.168
21:20 14.9 1.975 1.163
21:30 17.5 1.980 1.163
21:40 10.4 4.503 3.850
LSB
21:10 13.0 1.959 1.170
21:20 13.1 1.975 1.168
21:30 16.2 1.978 1.163
21:40 11.6 1.994 1.164
USB
21:10 8.8 -5.159 2.363
21:20 12.5 1.975 1.168
21:30 13.4 1.978 1.163
21:40 12.6 1.991 1.161
Как было сказано выше, мы считаем, что корреляция найдена тогда, когда БЫЯ > 12, однако этот критерий не является строгим и базируется на предположении, что шум коррелируемого сигнала подчиняется нормальному распределению случайной величины в пределах Эа. То есть БЫЯ « 11-12 соответствует Эа, и БЫЯ выше этого значения можно принимать за полезный сигнал (хотя и здесь достоверность этого факта составляет « 0.997). Когда возникают такие спорные моменты, определяющим
фактором наличия корреляции служат показания задержек и скорости изменения задержки: если задержки в спорном скане согласуются с задержками в соседних сканах — корреляция найдена, если нет — корреляция отсутствует. Таким образом, исходя из результатов в табл. 3 для случая ЬББ можно уверенно сказать о найденной корреляции в четвертом скане.
Из табл. 4 следует, что величина БЫЯ выросла незначительно по сравнению с корреляционной обработкой Орб 2, но значительно уменьшилась скорость изменения задержки (примерно в 30 раз). Это означает, что посредством применения фильтрации Калмана скорость изменения базы наземно-космиче-ского интерферометра, а значит, и скорость самого аппарата оценена на порядок лучше.
Таблица 4 Результат корреляционной обработки для Орб 4
Время иТС (ч:мин) т ■ 10~6, с т ■ 10~12, с/с
УББ& ЬББ
21:10 17.8 6.891 -1.092
21:20 18.2 6.938 -1.456
21:30 18.0 6.922 -1.274
21:40 15.4 6.969 -1.383
ЬББ
21:10 15.9 6.875 -1.274
21:20 15.4 6.938 -1.274
21:30 17.1 6.906 -1.274
21:40 12.8 6.938 -1.210
ШБ
21:10 14.6 6.875 -1.088
21:20 14.0 6.938 -1.451
21:30 13.8 6.906 -1.270
21:40 14.6 6.938 -1.379
В табл. 5 приводятся координаты и компоненты скорости аппарата для четырех рассмотренных выше вариантов орбит. Из таблицы видно, что:
• модуль расстояния и скорости для орбиты ИПМ (Орб 1 и Орб 2) и рассчитанной с помощью фильтра Калмана (Орб 3 и Орб 4) отличаются незначительно в пределах нескольких метров и миллиметров в секунду соответственно, при этом координаты и компоненты скорости расходятся в пределах сотен метров и сантиметров в секунду;
• при различии в сотни метров и миллиметров в секунду по модулю расстояния и скорости между орбитами ИПМ Орб 1 и Орб 2 отличие по координатам составляет до 5 км, по компонентам скорости до 3 см/с.
Из табл. 5 видно, что орбита, полученная в результате фильтрации Калмана, определяется исходной орбитой (Орб 1 и Орб 3), как и следует из теории фильтрации. Однако алгоритм фильтрации Калмана приводит к неопределенности в уточнении координат и компонент скорости, поскольку основой уточнения являются модули расстояния и радиальной скорости, которые могут принимать одно и то же значение при сильно изменяющихся значениях компонент, что понятно из табл. 5. Алгоритм оказался неспособным с начальным приближением на основе Орб 1 получить орбиту, близкую к Орб 2, которая по факту является лучшей.
Для того, чтобы ответить на вопросы, почему так происходит и что необходимо сделать для улучшения ситуации, кратко рассмотрим основы алгоритма фильтрации Калмана.
2. Условие наблюдаемости в задаче определения орбиты КА
Обычно применение фильтра Калмана сопровождается анализом наблюдаемости системы. Под наблюдаемостью системы понимается возможность непосредственного или косвенного определения состояния системы (вектора состояния системы) на основе измерения некоторых других величин и использования априорной информации [2]. Если возможно
Таблица 5
Координаты и компоненты скорости для четырех версий орбит на момент 20:50 UTC 27.03.2013
Орб 1 Орб 2 Орб 3 Орб 4
X, км -41101.246 -41098.980 -41100.813 -41098.909
У, км 191800.547 191803.301 191800.629 191802.927
X, км 98900.057 98894.692 98900.070 98894.376
Я, км 219676.998 219676.563 219676.995 219676.081
Ух, км/с -0.515495 -0.515472 -0.515483 -0.515469
Уу, км/с 1.008792 1.008796 1.008792 1.008787
У г, км/с -0.303554 -0.303587 -0.303555 -0.303595
У, км/с 1.172835 1.172837 1.172830 1.172829
определение полного вектора состояния системы X, то говорят о полной наблюдаемости, а соответствующая система называется вполне наблюдаемой. Если же существует возможность определения лишь части компонент вектора состояния X, то имеет место неполная наблюдаемость, а система называется не вполне наблюдаемой. Проанализируем на предмет наблюдаемости задачу определения орбиты КА на основе одного комплекта радиодальномерных и до-плеровских измерений.
Рассмотрим движение спутника, вектор состояния которого следует уточнить, на орбите вокруг Земли, считая ее идеальной сферической планетой с однородным распределением массы (рис. 1). Система координат ОХУХ является геоцентрической, оси ОХ и ОУ определяют экваториальную плоскость системы. Предположим также, что на спутник не действуют никакие другие силы и его движение является результатом только одного гравитационного взаимодействия с планетой. Пусть на Земле находится станция с геоцентрическим радиусом-вектором R5, способная с бесконечно большой точностью определять дальность р; до спутника в момент времени 4 Таким образом, у нас имеется модель движения спутника, модель наблюдений и измерения дальности до спутника.
Рис. 1. Дальномерные измерения аппарата в случае одной наземной станции
Применим фильтр Калмана [1, 3, 4] к данной задаче. Из рис. 1 можно заметить, что существует бесконечное количество решений, соответствующих одному и тому же комплекту наблюдений р; и без дополнительных априорных знаний относительно наклонения орбиты гогь и долготы восходящего узла П единственное решение задачи невозможно. То есть система в такой постановке задачи является не вполне наблюдаемой.
С математической точки зрения система вполне наблюдаема, если выполняются следующие условия.
Допустим, что рассматриваемую систему и наблюдения этой системы можно представить в линейном виде [4]:
X = Ф(и, к^и, Y¡ = ИX + еь (1)
где X;, Xk — значения вектора состояния системы X в моменты времени и и 4; Ф(и;, 4) — матрица
перехода; Y1• — вектор-столбец наблюдений, выполненных в момент времени Н; — матрица наблюдений; е; — неизвестный вектор невязок наблюдений, 1 = 1,...,I. Система вполне наблюдаема, если для любого момента времени 4 и вариации произвольного вещественного вектора состояния 5Xk справедливо следующее неравенство:
5X1 Л5Xk > 0. (2)
где матрица информации Л размерности п х п имеет вид [4]
I
л = ^ фт(и, гк)нтя-1н1 Ф(и, 4) = итя-1и, (3)
где Я — матрица автоковариации вектора невязок наблюдений.
Таким образом, математический критерий условия наблюдаемости системы заключается в том, чтобы матрица Л была положительно определена, а это означает, что матрица наблюдений И должна иметь полный ранг.
Применительно к нашей задаче это означает, что для успешного ее решения (определения трех координат и компонент скорости) нам необходимы 3 независимых измерения дальности и радиальной скорости с трех станций, расположенных на Земле. Использование одного комплекта радиодальномер-ных данных всегда будет приводить к одному из множества возможных решений, которое не всегда будет истинно верным, что и было показано на примере сеанса ЯАЕБ03Ри.
Для того, чтобы увидеть принципиальное различие в работе алгоритма при наличии трех измерений, мы провели численные расчеты, основанные на двух версиях орбит сеанса ЯАЕБ03Ри.
3. Численное моделирование уточнения орбиты КА «Спектр-Р» на основе независимых измерений дальности с трех станций
В настоящее время радиотехнические измерения дальности и радиальной скорости КА «Спектр-Р» выполняются на станциях «Медвежьи озера» и «Уссурийск». При этом, как правило, перед очередным сеансом наблюдений измерения проводятся только одной станцией. Таким образом, мы обладаем одним комплектом радиодальномерных данных, что, как было доказано выше, является недостаточным для полного решения задачи. Поэтому мы выполнили моделирование орбиты с использованием одновременных измерений дальности с трех станций.
Для этого, во-первых, орбиту ИПМ Орб 2 мы использовали в качестве модели истинного положения аппарата; во-вторых, начальная точка для инициализации фильтра Калмана бралась на основе старой орбиты Орб 1, моделирующей неточное знание истинной орбиты; в-третьих, дополнительно
Время, с
Время, с
Рис. 2. Разность координат X, У, X численного моделирования уточнения орбиты аппарата «Спектр-Р» и орбиты ИПМ на основе трех независимых измерений дальности на всем временном интервале моделирования (а); на окончании временного интервала моделирования (б)
1500 1600 1700
Время, с
1800
1000
1200
1400 Время, с
1600
1800
Рис. 3. Ошибка дальности до КА «Спектр-Р» с трех наземных станций (delta R1, delta R2, delta R3) в начале (а), середине (б) и на окончании (в) временного интервала численного моделирования; г - усредненная величина на временном интервале 100 с ошибки дальности до КА «Спектр-Р» со станции «Медвежьи озера» (delta R1) на окончании временного интервала моделирования
к станциям «Медвежьи озера» и «Уссурийск» была добавлена станция «Пущино», моделирующая 3-ю наземную станцию.
На основе орбиты ИПМ Орб 2 и координат трех наземных станций были смоделированы одновременные измерения дальности. Для моделирования необходимо было задать ошибку измерений расстояния. Мы положили ее равной 1 см. Модельные значения дальности охватывали один 30-минутный этап с 14:00:00 по 14:30:00 (иТС). Для простоты численный расчет проводился только для дально-мерных измерений. Поскольку радиодальномерные и доплеровские данные учитываются алгоритмом независимо, при уточнении отдельно координат и соответственно компонент скорости, то подтверждение уточнения координат по радиодальномерным измерениям будет означать уточнение компонент скоростей
при использовании доплеровских измерении.
Результаты моделирования представлены на рис. 2. На рисунке по вертикальной оси отложена разность в метрах между вычисленными координатами аппарата и орбитой ИПМ Орб 2, моделирующей истинное положение спутника, по горизонтальной — время в секундах от 14:00:00 UTC. Из представленных данных видно, что при начальном различии координат в несколько километров алгоритм однозначно сводит расчетные значения координат с погрешностью в несколько десятков метров к координатам оригинальной орбиты.
При этом стоит отметить, что ошибка дальности составляет всего несколько сантиметров после 15 мин интегрирования, что видно из рис. 3. На рис. 3,а показана ошибка дальности с трех станций до КА «Спектр-Р» (delta R1 — «Медвежьи
-200 О
400
800 1200 Время, с
1600 2000
1200
1300 1400 1500 1600 Время, с
1700 1800
Рис. 4. Разность координат X, У, Z численного моделирования уточнения орбиты аппарата «Спектр-Р» на основе трех независимых измерений дальности и орбиты ИПМ при плохой начальной точке на всем временном интервале моделирования (а); на окончании временного интервала моделирования (б)
800 1200 Время, с
800 1200 Время, с
Рис. 5. Разность координат X, Y, Z численного моделирования уточнения орбиты аппарата «Спектр-Р» и координат орбиты ИПМ на основе двух независимых измерений дальности на всем временном интервале моделирования (а). Ошибка дальности до КА «Спектр-Р» с двух наземных станций: «Медвежьи озера» и «Уссурийск» (delta Rl, delta R2) на всем временном интервале численного моделирования (б)
озера», delta R2 — «Уссурийск», delta R3 — «Пущи-но») на всем интервале, модулирующем радиодаль-номерные измерения. На рис. 3, б показана ошибка дальностей на интервале времени, на котором алгоритм выходит на стационарную работу. На рис. 3, в представлена часть графика, показывающая ошибку дальности при выходе алгоритма на стационарный процесс.
Отличие расчетных величин от заявленной ошибки в 1 см — скорее всего, результат ошибок интегрирования и неточной модели движения спутника и наблюдений, заложенных в программу. Однако, как видно на рис. 3, г, усреднение величины ошибки на интервале 100 с соответствует заявленной точности. Кроме того, стоит учитывать, что алгоритм работает в данном случае со скоростями старой орбиты, которые не уточняются в процессе его работы, а значит, дополнительно к ошибкам интегрирования добавляется систематическая ошибка вектора предсказания на каждом шаге.
Для проверки работы алгоритма при больших ошибках в начальных условиях мы добавили к первоначальным координатам 5 км. Результат представлен на рис. 4. Как видим, алгоритм и в этом случае прекрасно справляется с поставленной задачей.
Если предположить, что измерения дальности проводятся только с двух станций, то ситуация меняется. На рис. 5, б видно, что при уточнении модуля дальности тем не менее отсутствует сходимость по координатам (рис. 5, а) к оригинальной орбите, в чем и проявляется неполная наблюдаемость системы.
Если же начальная точка выбрана удачно (в данном случае была подставлена начальная точка уточненной орбиты ИПМ Орб 2), то алгоритм, даже при наличии неполного комплекта наблюдений, будет работать и искать решение, близкое к истинному, что показано на рис. 6.
-200 0 400 800 1200 1600 2000 Время, с
Рис. 6. Разность координат X, Y, Z численного моделирования уточнения орбиты аппарата «Спектр-Р» и координат орбиты ИПМ на основе одного комплекта измерений дальности при хорошей начальной точке на всем временном интервале моделирования
Данный пример, во-первых, показывает, что использование неполного комплекта данных наблюдений небесполезно и при достаточно хороших начальных условиях может обеспечить уточнение, а во-вторых, указывает на непредсказуемую природу улучшения в данном случае.
Заключение
В настоящей статье была рассмотрена проблема уточнения орбиты КА «Спектр-Р» в проекте «РадиоАстрон» при использовании фильтра Калмана и проанализирован вопрос наблюдаемости системы, существенно сказывающийся на результатах работы алгоритма применительно к поставленной выше задаче. Было показано, что наличие трех наземных станций, проводящих измерения одновременно, решают поставленную задачу в полном объеме, даже при очень плохом начальном приближении.
Во-первых, реальное положение дел таково, что мы не обладаем необходимым набором наблюдательных данных, таким образом, должны предприниматься попытки улучшить орбиту только на основе того, что имеем. Во-вторых, проведенный анализ показал, что далеко не лишним является использование одного комплекта радиодальномерных измерений. Имеется серия сеансов, в которых алгоритм Калмана производит уточнение вектора состояния аппарата, улучшая на порядок параметры корреляционной обработки.
Один комплект радиодальномерных данных чувствителен к начальным условиям и поэтому может улучшить орбиту только вблизи исходной орбиты (в среднем улучшение на несколько процентов). Три комплекта радиодальномерных данных не чувствительны к начальным условиям и сходятся к определенному решению, которое является истинным (улучшение на порядки величин). На основе полученных результатов можно выделить список требований, выполнение которых обеспечит более точное знание орбиты КА «Спектр-Р».
1. Измерения дальности и радиальной скорости должны производиться минимум с трех наземных станций, для которых КА находится в зоне видимости. Измерения могут быть разных типов (радио-дальномерные, лазерные, их комбинация). Необходимы отдельно дальномерные измерения для уточнения трех координат и доплеровские — для уточнения трех компонент скоростей.
2. Необходимо рассмотреть возможность одновременных измерений со станций «Медвежьи озера» и «Уссурийск». Нужно по возможности их совмещать, раздельное использование нерационально. Если недоступны одновременные измерения, то будут полезны измерения с задержкой в несколько секунд между станциями (1-я секунда — «Медвежьи озера», 2-я — «Уссурийск», 3-я — «Медвежьи озера» и т. д.). Далее значения интерполируются на общую временную шкалу.
3. Период радиодальномерных измерений следует по возможности увеличить. В настоящий момент сеансы измерений занимают приблизительно 900 с, но, как видно из рис. 3, а, б, это время требуется алгоритму только для того, чтобы выйти на минимальную разность по модулю расстояния, до этого еще могут возникать разного рода флуктуации. Для КА «Спектр-Р» это не представляет трудностей, поскольку, вследствие своей высокоэллиптической орбиты, КА доступен для радиосвязи достаточно большой промежуток времени.
4. Для уточнения орбиты на основе одних только радиодальномерных данных нужна дополнительная независимая информация о ее наклонении и долготе восходящего узла; для уточнения орбиты на основе двух комплектов радиодальномерных данных нужна дополнительная независимая информация либо о наклонении, либо о долготе восходящего узла.
Источником такой дополнительной информации могут быть астрометрические наблюдения аппарата. Точность измерений 1" вместе с радиодальномер-ными данными вполне достаточна для локализации аппарата в пространстве в пределах нескольких сот метров. Такая точность по местоположению на орбите вполне достаточна для успешной корреляционной обработки данных.
Список литературы
1. Жамков А.С., Жаров В.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2016. № 3. С. 61. (Zhamkov AS., Zharov V.E. // Moscow University Phys. Bull. 71. N 3. P. 294.)
2. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. М., 2007.
3. Zarchan P. Fundamentals of Kalman Filtering — A Practical Approach. Second Edition. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2005.
4. Tapley B.D., Schutz B.E., Born G.H. Statistical Orbit Determination. USA, 2004.
Improvement of the orbit of the Spektr-R spacecraft in the RadioAstron mission and required conditions for improvement using a Kalman filter
A. S. Zhamkova, V. E. Zharovb
Department of Celestial Mechanics, Astrometry and Gravimetry, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow
State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a zhamkov@physics.msu.ru, b vladzh2007@yandex.ru.
This paper is concerned with improvement of the state vector of the Spektr-R spacecraft of the RadioAstron mission. The state vector includes three coordinates of the position of the spacecraft and three components of its velocity in the Geocentric Celestial Reference System. Improvement of the orbit of the spacecraft is understood as improvement of the state vector. The results are compared with the original orbits determined at the Keldysh Institute of Applied Mathematics (IAM). The paper considers both using the Kalman filter based on a single set of radio-range and Doppler data from ground-based stations and the analysis of conditions that will lead to improvement of the orbit. It has been shown that using three ground-based stations that perform simultaneous measurements the problem is solved completely, even when a poor initial approximation is used. Based on the results, a list of requirements is obtained that will provide more accurate information on the orbit of the Spektr-R spacecraft.
Keywords: RadioAstron, Kalman filter, observability, correlation processing. PACS: 95.10.Eg. Received 23 June 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2017. 72, No. 3. Pp. 318-325.
Сведения об авторах
1. Жамков Александр Сергеевич — аспирант; e-mail: zhamkov@physics.msu.ru.
2. Жаров Владимир Евгеньевич — доктор физ.-мат. наук, зав. кафедрой, профессор; тел.: (495) 939-37-64, e-mail: vladzh2007@yandex.ru.
