CC BY
25
УДК 621.9.006.76-26
Уточнение методов расчёта вибрации шпиндельных бабок фрезерных и сверлильных деревообрабатывающих станков1
В. А. Романов, А. Н. Чукарин, Б. М. Флек
(Донской государственный технический университет)
Несмотря на различия технологических процессов, реализуемых на фрезерных и сверлильных станках, представлен общий подход к построению моделей виброакустической динамики колебательной системы «шпиндельный узел — режущий инструмент». Кроме этого на модельных фрезерных станках помимо традиционного фрезерования производится растачивание и сверление. Учитывая конструктивные особенности и геометрические параметры режущего инструмента, в качестве акустических моделей излучателя приняты линейный и точечный источники. Определение собственных частот и скоростей колебаний основано на использовании дифференциальных уравнений изгибных колебаний систем с распределёнными параметрами и функций А. Н. Крылова. Получены аналитические зависимости для скоростей колебаний, учитывающие параметры технологического процесса, конструктивные особенности инструмента и шпиндельных узлов.
Ключевые слова: виброакустическая динамика, шпиндельный узел, режущий инструмент, сверлильные и фрезерные деревообрабатывающие станки.
Введение. Конструктивные особенности данного типа станков, заключающиеся в отсутствии зубчатых колёс в приводе, высокие частоты вращения шпинделей, многообразие типов фрез позволяют предположить, что в формировании спектров шума доминируют шпиндельная группа и режущий инструмент. Поэтому в качестве моделей акустических излучателей приняты:
• линейный источник (при Л > 344/4 ), уровни звукового давления которого на основании данных [1, 2] для рассматриваемых станков приведены к следующему виду:
= 20 + 201д fk + 201д / +101д /? — 201д г +124;
• точечный источник (при Я < 344/4 ), звуковое давление которого приведено к следующему виду
£ = 201ди* +201д/* +201д/?/ — 201д г + 106,
где Ук — скорость колебаний источника; /* — собственные частоты колебаний источника; Я — радиус шпинделя или фрезы; /— длина источника; г — расстояние от источника до расчётной точки.
Результаты исследований. Как видно из полученных зависимостей для расчёта уровней звукового давления следует определить собственные частоты колебаний и виброскорости на этих частотах. Для этого в работе, в отличие от существующих, рассмотрены три варианта, приведённые на рис. 1.
I
Й'
X/
Г)
б) в)
Рис. 1. Расчётная схема определения виброскоростей системы «шпиндельный узел — инструмент» деревообрабатывающих станков: а — отрезание или обработка торца изделия; б — фрезерование паза; в — схема, учитывающая весь шпиндельный узел; г — упрощённая схема фрез малого диаметра
1 Работа выполнена в рамках инициативной НИР.
Определение собственных частот колебаний и скоростей колебаний основано на использовании дифференцированных уравнений изгибных колебаний систем с распределёнными параметрами и функций А. Н. Крылова.
Общее дифференциальное уравнение изгибных колебаний имеет вид:
5 ( Е7, 922Ч + т0 д2і
дх2 V дх2 У эг
д ґ 32И + та 32г
дх2 У ч дх2 ) ЗҐ2
где Е — модуль упругости, Па; 7 — момент инерции в направлении соответствующей оси, м4; то — распределённая масса, кг/м.
Решение уравнения, соответствующее характеру возбуждающей силы, которая фактически является функцией периодического характера, определяется из уравнения:
д4г(х) 4 / ч _
—\±-а*7{х) = О дх
д*у(х) 4 / \ п
г\ /-ау{х) = 0 дх
тождественного выражению свободных колебаний при значении
где /с — собственные частоты колебаний, Гц; /д — частота силового воздействия, Гц.
Первая схема. Решения уравнения (1) на участках фрезы, свободных от нагрузки, представим в виде [3]:
г(х) = Акх (ал-) + Вк2 (ал-) + Ск3 (ал-) + йк4 (ал-), (2)
где /г1(ал') = -|-(сЬал' + со5ал'); /г2(ал-) = -|-(5Ьал' + 5тал'); к3(ах) = ±-(сИал- +соБал-);
к4(ах) = ^-(бЬюл- + Бтах).
Постоянные интегрирования определим из граничных условий. В точке приложения нагрузки должны выполняться условия сопряжения, требующие равенства прогибов, углов поворота и изгибающих моментов для обоих участков фрезы, а также скачка поперечной силы, равного по величине возмущающей силе. Поэтому
г (Х)ЛеБ = г (Х)пРгБ + [“ (* - 0] ■
Располагая начало координат на правой опоре, получим
=Вк2(ах) + Ок4(ах),
так как постоянные А и С равны нулю в соответствии с граничными условиями на правой опоре. Соответственно на левом участке амплитудные значения смещений выражаются формулой
4х)лев = Вк2 (ах) + 0/г4 (ах) + к4[а(х-Ь)\ = 0.
Постоянные В и О определим из граничных условий на левой опоре
= Вк2(а1) + РкАа1) + -^-кМх - Ь)] = 0, (3)
дх у у а £7
с12г(х) _
= сг
Вк4(аі) + Ок2(аі) + —^— к2[а(х - £>)]
а2Е1
= 0.
В =
с!х2
Из системы (3) определяем
Р2 [к4[а(1 - 5^)]/г4(а/) — к2[а(1 - 5^]к2(а1) к4(а/) _ к4[а(1 - 5^)]| Ц к2(а/)-к2(а1) к2(а1) к2{а1) \
0 Р2 к4[а(1 -5ф4(а/)-к2[а(1 -5ф2(а/) а3 О к4(а1)~ к2(а1)
Тогда величина прогиба по оси О? равна
г(л-,г-) = [Вк2(рх) + йк^х^^).
Аналогичным образом находится прогиб и по оси ОУ.
Радиальная скорость колебаний определяется формулой — и —.
Выражения для у{х,ґ) и
имеют аналогичный вид с учётом замены р и р
на Ру и Ру.
Собственные частоты колебаний заготовки определяются по известной формуле
_ п2л2
П
2Ґ
о
ч°,5
(п = 1,2,3,...)
Полученные выше зависимости справедливы для абсолютно жёстких опор. Фактически передний подшипник шпинделя с патроном и обрабатываемая заготовка являются упругодиссипативными опорами, податливость которых существенно влияет на динамические параметры системы «шпиндель — заготовка».
Вторая схема. Рассмотрим теперь фрезу, опёртую по концам на две упругие опоры с коэффициентами податливости сі (заднего центра) и с2 (переднего шпиндельного подшипника и зажимного устройства). Начало координат расположим на заднем центре. Граничные условия на концах заготовки запишем в виде:
л- = 0 у = (¿ей с12 у/с1>? = 0
X = I у = <Эс2) с12 у/с1>? = 0,
где <3 — амплитудное значение поперечной силы в соответствующем сечении, определяемой по формуле
¿V
(4)
(1 = 0
дх
з 1
С учётом последнего выражения получим граничные условия в следующем виде
/Г7 ¿3У^
У+с
сйг
= 0
х=0
а2у
ёх2
= 0
х=0
(
<г7 <13у^ у-СгО-гг
сіх
х=1
*1у:
сіх1
Х=1
88
Подставляя в эти уравнения общее выражение для прогибов (2) и учитывая соотношения функций А. Н. Крылова, получим следующую систему уравнений относительно постоянных А, В, С, 0
А + с-^ЕЛ^О = О,
А [к, (Л) - с2£7а3/г2 (Л)] + В [к2 (Л) - с2£7аА3 (Л)] + О [к, (Л) - с2Е7а3^ (Л)] = О,
Ак3 (Л) + Вк4 (Л) + Ок2 (Л) = О,
где Л = а/.
Решая данную систему, получим выражение для определения собственных частот колебаний
(бИЛ -БтЛ)2 - с2ЕЗа3 (сИЛ + со5Л)(зИЛ - БтЛ) - сИЛ - собЛ -с2ЕЗа3 (бИЛ + з1пЛ)с1£7а3 (бИЛ — б1пЛ) -
- [бИЛ + б1пЛ — с2Е_7а3 (сИЛ + собЛ)] [бИЛ + БтЛ - с^а3 (сИЛ - собЛ)] = 0.
Представляя нагрузку с помощью дельта-функции и учитывая краевые условия (4), получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний заготовки на податливых опорах
2
д2у 2 З4/ а
дГ
>' /7=1
. „ 1 [ т . п пх . Зп пх
Ах + В + — Збш-----------------бш-----------
41 / /
^ ^ __с* /? с /?
где А = ; В = ^ и /?2 - реакции в опорах заднего центра и в переднем шпин-
/2 /
дельном подшипнике.
Аналогичным уравнением описываются колебания по оси ус учётом замены Р и Ру на Р2 и Р2.
Эти уравнения в конечном виде не интегрируются, поэтому для их решения использованы численные методы.
В качестве начальных условий принимаем (х = / и Ь = 0)
у=с2Ру и бу/Л =с! (с 2Я2)/Л, где Л2 — реакция в переднем шпиндельном подшипнике.
Решение этой задачи с использованием функций А. Н. Крылова имеет вид
улев = {ох) + Вк2 (ах) + Ок< (ах) + /г4 [а (/ - #)].
Постоянные В и О определим, исходя из краевых условий на левом конце заготовки, получаем систему уравнений:
у\х=, = Чг = -Д^А (а/) + Вк2 (а/) + Ок< (а/) + (а/),
бгу
с7х2
= 0 = -Рхсхк2 (а/) + Вк4 (а/) + Ок2 (а/) + ~^^А (а/)'
из которой вычисляем 0 =
/^СА (а/) + ^2С2 ^1СА (а0
к2 (а/)
к2 (а/) Лг4 (а/) Ру /г4[а(/-5^]/г4(а/) + /г2[а(/-5^]/г2(а/)
к\ (а/) + к2 (а/) а3£7
Лг4 (а/) + к\ (а/)
в =
Ру Аг4[а(/-5()]Аг2(а/) + Аг2[а(/-5()]Аг4(а/) /г2(а/) Рук2 [а (/ - 5()]
/г4 (а/) а3£7/г4 (а/)
a3EJ /г4 (а /) + /г2 (а/)
(а/) +/?2с2 /?1с1А'3 (а/)
*2(а/)
*4(а/)
/г2(а/)
_ Ма/)
/г4 (а/) +/г2 (а/) ’’1~1 Аг4 (а/)'
Вибросмещения по оси у в этом случае определяются выражением у(х,С) = [- (ах)+Вк2(ох)+0/г4 (ах)](1 + СБтос^)
Теперь определим радиальную скорость колебаний как —. Аналогичными выражениями описы-
<5£
ваются 2{х, 0 и д^'^с учётом замены Ру и Ру на Рг и Р2.
В окончательном виде прогибы режущего инструмента по оси г определяются выражением г (л-) = ^\_А (сИах + созах) + В (бИох + этах) + О (зИах - этах)] 51псо^.
Прогибы режущего инструмента по оси ОУ находятся по аналогичному выражению, в котором сила ^заменяется на Ру.
Третья схема. Для существенного уточнения колебательной модели следует рассмотреть систему шпиндель — заготовка, которая представляет собой балку на двух опорах с консольной частью. В данной расчётной схеме приняты следующие обозначения: — средневзвешенный мо-
мент инерции межопорной части шпинделя, а _72 — средневзвешенный момент инерции консольной части.
Для каждого из участков запишем выражения прогибов, используя функции А. Н. Крылова: у1 = с1к1(кх)+с2к2(кх)+с3к3(кх) + с4к4(кх) при о < х < Ь, у2 = с[к1(Ьс)+с'2к2(кх)+с3к3(кх) + с'4к4(кх) при ь < х < I, где /—длина шпинделя и заготовки, м; Ь — длина межопорной части шпинделя, м.
На первом участке ух(Ь) = у2(0) = О
Поэтому с1 = с3 = О В точке сопряжения двух участков
уМ = уМ
ду 2
х=Ь дХ
х=Ь
Поперечные силы в конце первого и начале второго участка отличаются на величину опорной реакции.
Поэтому
£7 З3,'1
-в д3/2
-К- (5)
х=Ь х=Ь
Условия сопряжения участков можно выполнить, если представить прогибы на втором участке в виде
Л/2 = Л/1 + туз *4 [А(* - Ь)\ (6)
Л ь
Функция кц в выражении (6) тождественно равна 0 при х<Ь и не равна 0 при х>Ь. Последнее выражение справедливо для всей системы «шпиндель — заготовка». Подставив в (5) выра-
жение ДЛЯ У\ ПОЛУЧИМ (С1 = с3 = 0)
У = т- [с2^2М + с4Аг4(Лх)] + к4[Л(х - Ь)\ ¿2 К Ы
/\0,5
где Л = I п/д
Полученное выражение для / содержит постоянные с2, с4 и Я, которые можно определить из условий
х = Ь у = 0 х = I у = у = 0.
В итоге получаем систему из трёх уравнений
с2к2(кЬ)+с4к4(ХЬ) = О,
—- [с2/г4 (Л/)+с 4к2 (Л/)]
Л
Л3£7-
-к2[к(1-Ь)] = 0,
^[с2/г3(Л/) + с4/г1(Л/)] + -з^-/г2[л(/ - Ь)] = 0.
*>2 А Ш2
Приравнивая нулю определитель системы (7), получим уравнение для расчёта собственных частот колебаний:
бЬКЬ + біп КЬ
бЬКЬ - біпКЬ
0
= 0.
І(5Ш-5ІПЛ/) ¿(5ЬЛ/ + 5іпА/) ЩІ-0)^(1-Ь)
—(сііА/ —собЛ/) І(СЬА/+С05Л/) ^(1-Ь), совЦІ-Ь)
Четвёртая схема. Координата приложения нагрузки на фрезе не меняется относительно точки закрепления. Расчётной моделью является консольно-защемлённая балка. Прогибы фрезы по осям 02л О Определяются из уравнения (1), в котором
2 ООП
а = —
2 (
2/7-1
V 2/Р
V
Здесь fp¡— собственные частоты колебаний фрезы, Гц; /р — длина консольной части, м.
Для функции г(х) = Ак1(рх)+Вк2(ах)+Ск3(ах) + Рк4(ах) имеем граничные условия
* = ° = ^И = 0'
х = 1р г(л") = 0; ¿(х) = 0.
При ¿(х = 0) = 0 получаем, что С = 0, а
Р I3
г(х = 0 ) = А = -^~.
К ' 3£7р
Из остальных граничных условий находим:
-Ак1(а1р) + Вк2 (а/р)+ 0/г4 (а /р) = 0
- Ак3 (а/р) + Вк4 (а/р)+ Ок2 (а/р) = 0
После преобразований получаем
Р7/1 сиа1п5\па1п-5иа1псо5а1п
0 =
2'Р
6£7Г
5Иа/р5іпа/р
Р213 сИа/„5іпа/„+5Иа/„со5а/„
б =
зИа/рБіпа/р
Выводы. Приведённые результаты исследований позволяют существенно уточнить модели виброакустической динамики основной колебательной системы «шпиндельный узел — режущий инструмент» модельных и сверлильных деревообрабатывающих станков. Обоснован общий подход к расчёту процесса шумообразования этих станков. Различия в самом расчёте заключаются только в задании силового воздействия от процесса резания. Полученные зависимости учитывают
все основные конструктивные параметры как режущего инструмента, так и шпинделя, а также параметры технологического процесса.
Библиографический список
1. Никифоров, А. С. Акустическое проектирование судовых конструкций / А. С. Никифоров. — Ленинград : Судостроение, 1990. — 200 с.
2. Чукарин, А. Н. Теория и методы акустических расчётов и проектирования технологических машин для механической обработки. — Ростов-на-Дону : Изд. центр ДГТУ, 2005. — 152 с.
3. Расчёты на прочность в машиностроении / под ред. С. Д. Пономарёва. — Москва : Машгиз, 1959. — 884 с.
Материал поступил в редакцию 28.12.2012.
References
1. Nikiforov, A. S. Akusticheskoe proektirovanie sudovy'x konstrukcij. [Acoustic design of ship structures.] Leningrag : Sudostroenie, 1990, 200 p. (in Russian).
2. Chukarin, A. N. Teoriya i metody' akusticheskix raschyotov i proektirovaniya texnologicheskix mashin dlya mexanicheskoj obrabotki. [Theory and techniques of acoustic calculations and design of technological machines for mechanical operation.] Rostov-on-Don : DSTU Publ. Centre, 2005, 152 p. (in Russian).
3. Ponomarev, S. D., ed. Raschyoty' na prochnost' v mashinostroenii. [Stress calculations in machine building.] Moscow : Mashgiz, 1959, 884 p. (in Russian).
ANALYSIS TECHNIQUE REFINEMENT OF SPINDLE HEAD VIBRATION OF MILLING AND DRILLING WOODWORKERS1
V. A. Romanov, A. N. Chukarin, В. M. Flek
(Don State Technical University)
Various production methods are realized on the milling and drilling machines. A general approach to the model construction for the vibroacoustic dynamics of the oscillating system "spindle unit — cutting tool" is presented. On the pattern millers, boring and drilling are performed apart from the customary milling. Considering the design features and geometries of the machining tool, linear and point sources are accepted as an acoustic radiator model. The modal test technology is based on the application of the differential equations of the bending vibrations of the distributed systems and A. N. Krylov's functions. The analytic dependences for the vibration velocities considering process variables, design features of the tool and spindle units are obtained.
Keywords: vibroacoustic dynamics, spindle unit, machining tool, milling and drilling woodworkers.
1 The research is done within the frame of the independent R&D.
92
