CC BY
7
УДК 338.436.33
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические науки)
УТОЧНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕГИСТРАЦИИ МИКРОДЕФЕКТОВ МАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ1
Аршинов Георгий Александрович, д. т. н., профессор
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Лойко Валерий Иванович, заслуженный деятель науки РФ, д. т. н., профессор Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Аршинов Вадим Георгиевич, к. э. н., доцент
Кубанский институт информационной защиты, Краснодар, Россия
Лаптев Владимир Николаевич, к. т. н., доцент
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Лаптев Сергей Владимирович, к.ф.-м.н., доцент
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Строительные объекты содержат вязкоупругие стержневые элементы конструкций, от прочности которых зависит экономическая и эксплуатационная надежность сооружений. Если в материале стержней будут присутствовать скрытые микродефекты, то в их окрестности может развиваться аварийное разрушение материала, приводящее к потере несущей способности элементов конструкций. Это часто сопровождается экономическим ущербом, ухудшением экологии и в худшем случае - человеческими жертвами. Для уточнения результатов приложения методов акустики, указывающих на наличие
UDC 338.436.33
CLARIFICATION OF ACOUSTIC METHODS REGISTRATION OF MATERIAL MICRODEFECTS BASED ON THE STUDY OF NONLINEAR DEFORMATION WAVES IN VISCOELASTIC RODS
Arshinov Georgy Aleksandrovich Dr.Sc.(Tech.), Prof.
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Loyko Valery Ivanovich honored scientist of the Russian Federation, Dr.Sci.Tech., professor Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Arshinov Vadim Georgyevich Dr.Sc.(Econ.)
The Kuban institute of information protection, Krasnodar, Russia
Laptev Vladimir Nikolaevich, Dr.Sc.(Econ.)
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Laptev Sergey Vladimirovich Dr.Sc.(Econ.)
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Construction objects contain viscoelastic bar structural elements, the strength of which determines the economic and operational reliability of structures. If hidden microdefects are present in the material of the rods, then in their vicinity an emergency destruction of the material can develop, leading to the loss of the bearing capacity of structural elements. This is often accompanied by economic damage, environmental degradation and, in the worst case, human loss.
To clarify the results of the application of acoustics methods indicating the presence of
:Статья выполнена по гранту РФФИ 19-010-00385 А «Повышение экономической и эксплуатационной надежности строительных и водо-, нефте-, газопроводных сооружений путем совершенствования неразрушающих акустических методов диагностики»
микродефектов, нужно предложить более строгие математические модели нелинейных волн деформаций в стержнях, относящихся к тонкостенным элементам конструкций.
microdefects, it is necessary to propose more rigorous mathematical models of nonlinear deformation waves in the rods related to thin-walled structural elements.
Ключевые слова: СТРОИТЕЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ, ЭКОНОМИЧЕСКАЯ И ЭКСПЛУАТАЦИОННАЯ НАДЕЖНОСТЬ, ВЯЗКОУПРУГИЕ СТЕРЖЕНИ, СКРЫТЫЕ МИКРОДЕФЕКТЫ, НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИЙ, УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ, ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Key words: CONSTRUCTION FACILITIES, ECONOMIC AND OPERATIONAL RELIABILITY, VISCOELASTIC RODS, HIDDEN MICRODEFECTS, NONLINEAR DEFORMATION WAVES, EQUATIONS OF MOTION, EVOLUTIONARY EQUATIONS
Строительные объекты должны обладать экономической и эксплуатационной надежностью. Она непосредственно зависит от того, сохранят ли несущую способность вязкоупругие тонкостенные элемента конструкций - стержни, опоры, балки, широко применяемые в строительстве.
Необходимо учитывать, что прочностные свойства элементов конструкций существенно снижаются за счет того, что в материале есть микродефекты, поэтому возможна потеря несущей способности, приводящая к разрушению сооружений, а это сопровождается экономическими потерями и экологическими проблемами.
Необходимо совершенствовать методы акустики при
диагностировании микродефектов с помощью более точных моделей деформационных волн в стержнях с учетом свойства нелинейной ползучести.
Сравнение экспериментально измеренной скорости волны деформации в стержнях методами нелинейной акустически с теоретически определенными величинами скоростей позволяет точнее прогнозировать наличие микродефектов материала.
Большое количество материалов проявляют свойство линейной упругости объемного деформирования, а вязкоупругая наследственность вызывается деформациями сдвига. В целях исследования деформационных волн в тонкостенных конструкциях, изготовленных из материалов с
такими физико-механическими свойствами, проведем анализ бесконечного стержня, когда на него не действуют внешние нагрузки.
В координатной системе задаем ось x, совпадающую с линией центров тяжести сечений стержня, и расположим оси y, z - в поперечном сечении. Определим следующими формулами перемещения точек стержня
u1 = u(x t) ; U2 = -VyUx ; U3 = -Vzux (1)
и воспользуемся тензором конечных деформаций
eij = |(ui,j+uj,i+uk,iuk,J). (2)
С учетом линейной упругости объемных деформаций наследственные вязкоупругие свойства материала стержня опишем с
помощью соотношений линейной теории вязкоупругости вида:
t
Sij(t) = 2m[eij(t)-a {e-ß(t-T)eij(x)]dx
—¥
s(t) = K0(t)
(3)
Запишем ряд Тейлора по степеням (t -1) для функции f (t) = e^ (t), заменим интегральный оператор в (3) дифференциальным
Gjj = 108у + 2~eij.
(4)
~ 2m ~
Здесь 1 = 1—j-, 2 ~ = 2 ^(1 + p).
Компоненты девиатора деформаций зададим уравнениями
2(1 + V) 1 л 2\ 2 V2r2 2 eil =^^ux + з(1 -V2)uX +—uXx;
22
1 ^ \ 1 ^ 2\ 2 V r 2
e22 = ~(1 + V)ux --(1 -V2)ux--— uxx ;
3 6 6
2 2 Уу У у _ т У 7
е12 - + ~е13 - 2ихх +_^ихихх
где г2 - 72 + у2.
Определим вариации деформаций
5еп - 5их + их5их + у2г2ихх5ихх ; §£22 - §£33 - (-У + Лх )5их;
2
8£12 --Уу 5ихх +П2У(ихх5их + их5ихх) ; 6£13--у7 8ихх +~2"(ихх 5их + их5ихх) (6)
и используем операторное представление:
с г Э Э 2 2 Э2 о£п- [--— их^-+у г их^—т]5и; Эх Эх Эх2
§£22 - §£33 - [^ ^г - У2и^ ^т]§и ;
Эх Эх
„ г Уу Э2 У2у Э V2у Э2 .
5£12 - [-Т 3? - ^ихх эх их Э?]§и;
(7)
с г У7 Э2 У27 Э У 27 Э2 13 - [—-2 ихх э: + — их -т]5и.
2 Эх2 2 Эх 2 х Эх2 Вычислим вариацию внутренней энергии стержня с помощью формулы
8W - СТП&П + 2С22б£22 + 2012б£12 + 2013б£13
и применим вариационный принцип
12
51 - |ё!Л|{ри¡8и, -ауб£у}ёУ - 0 . (8)
^ у
В результате получим уравнение движения стержня
2 2 ~ 2 2
р(-ий +У г и11хх) + N1uxx -тУ г ихххх + ^2ихихх +
2 2 2 2 2 + У2г2К3иххиххх - ^ХК^х^х + ^Хх +
1 2 2 2 122 2 + 2V2г2К6(цхи2х)х - 2V2г2к7(<ихх)хх
- 2 V 4г4К8((ихх)3)хх = 0,
где
N = 1(1 - 2п)2 + 2~(1 + 2п2); N2 = 3(1 - 2п)(1 + 2п2)1 + 6~(1 - 2п3); N3 = (1 - 2п)1 + 2~(1 - V); N4 = ~(1 - 2п) + 2~(1 - 2п);
N5 = 3 ~(1 + 2п2)2 + 3~(1 - 2п4); N6 = (1 + 2п2)~ + 2~(12); N = (1 + 2п2)~ + 2~(1 + п2); N8 = 1 + 2~, г2 = 22 + у2.
Преобразуем уравнение (9) к безразмерным переменным
Г х с с * и
х =---1; т = £—1; и =—.
^ Ь Ь Ь А
(10)
Полагаем, что длина деформационной волны Ь намного больше ее амплитуды, е - малая величина, а константы а, Ь и поперечный размер ё стержня определяют отношение порядков
= О(е); £ = О(л/Ё) .
(11)
Применим асимптотический анализ к уравнению (9):
и = ио + еи1 + к ,
(12)
получим уравнение движения стержня в виде
2
ОС о о о
—— [-ихх + 2еихт - е и тт + еп 1(ихххх- 2еихххт+е иххтт)] + 2
/1 аа0ч еп \ .л а, аа3ч
+(1 хх- 2Т+П)(1 - р)и хххх+е(3 хи хх +
ас . Э Э
£У21
+ Ь2Г(£Э^-э5)■ ^ 2(1 + У)
С учетом (11) и выражения (12) получаем
.2 ( а \
и ХХХХ + £а3и^и^х ] - 0
Е
+
1. аа1
Р
и0ХХ - 0.
(13)
2
В (13) а1 - — (1 + у) и и0хх ^ 0, поэтому скорость волны деформации в
стержне
с
1
Е[1 - 2а(1 + у) ] Р 3р .
Из анализа первого приближения вытекает уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:
Ут + Ь1УУх + Ь2УХХ + Ь3УХХХ - 0 ,
(15)
где
У- и0Х■
- Е(3Р-аа2) Еаа1 Ь1 - -—- ; Ь9 --
2рс2р ' 2
2
а2 - 2(1 -V2)
Ь3 -У21[—
2рср21£ 2Т1 Е(Р-а)
виде
2 4рс2р(1 + у)"
Н. А. Кудряшовым получено точное решение этого уравнения в
12Ь2 , 2г1 , ^ктХ-юг^ 6 Ь3 , , ДтХ-юг^
У - -г2 к2[1 - Ш2 (-^-)] + - -3 к1[1 + -)],
Ь1 2 5 Ь1 2
или после преобразования У-
12Ь2к2 , о^ктХ-ш^ч 6Ь3к, к,?-®^, 12Ь2к2 6Ь3к,
2 1 Ш2(—-) + —— Ш(—-) +-^^ + 3 1
Ь1
2
к1 -±
Ь
5Ь1 4 2
3
Ь1 5Ь1 '
6Ь3
5Ь
ю -
125Ь
2
С помощью обозначений
= - 12Ь2к2 = 6Ь3кК = 12Ь2к2 6Ь3к1
с1 = й ; с2 = ; с3 = Г +
Ь1 5Ь1 Ь1 5Ь1
получим следующее выражение:
у = с^Ь2 (-^2-) + с -) + с 3.
а
При в < 1 имеем Ь1 > 0; Ь2 > 0; Ь3 < 0; ю < 0. Вычислим с1, с2, с3:
12Ь| „ ^ 6Ь| 1 с1 =--—; С1 < 0; с2 =±-, с2 имеет знак к1;
25Ь1Ь^ 2 25Ь1Ь
12Ь2 6Ь2 6Ь2
2
с3 = ^ 3 ±-3— =-3—(2± 1), С3 > 0.
3 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2 3
Выбирая верхний знак "+" и учитывая неравенства Ь3 < 0 и к1 < 0, получим функцию:
у с 1^2(|к11 х-1 ю| г) С 1^(|к11 х-1 ю | г) + с
У = С^Ь (-2-) - С21Ъ(-2-) + С3,
12Ь2Ь2 6Ь3Ь3 18Ь2
где с 3 =-- +--=-.
3 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2
Применяя условие 0 ® -¥ , получим, что у ® С1 - С2 + С3, где
е =| к11 х-1 ,
а
12Ь2 6Ь32 18Ь32 12Ь2
с1 - с2 + с3 =--— +--- +
25Ь1Ь2 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2
12Ь2 6Ь2 18Ь2 При 0 ®+¥ у ® с, + с 2 + с 3 =--^--3— +-^ = 0.
25Ь1Ь2 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2
Производная имеет вид:
' 1 24Ь2 ,, /|к11 Х-1 ют к 1Ч
У0-- сЬ2(|к11Х-|ют|)25Ъ1Ь1(1Ь(^-) +
2
Полагая уд - 0 , найдем критические точки функции. Тогда 1 к1 1Х2 1 ют|) - - 4 и функция у(0
и функция у(—) достигает максимума в точке 0 ,
+ь 0 1
которая является корнем уравнения ш— - -—.
) - 3_Ь2 2 4Ь1Ь2
Максимум функции у тах(^Г") -Т, , 2 . Определенное точное
решение есть ударная деформационная волна растяжения (у > 0) ,
распространяющаяся в стержне из линейно-вязкоупругого материала. Ее график показан на рисунке 1. В размерных переменных
0 - к^- ют - — (х- с!- — вси 1 Ь к1
ю
находим поправку к скорости волны деформации — £ .
к1
Рисунок 1 - Уединенная волна деформации в линейно-вязкоупругом стержне при линейно-упругих объемных деформациях
Перейдем к рассмотрению физически и геометрически нелинейного стержня, как и в линейном случае используя кинематические соотношения (1) для определения конечных деформаций стержня по формулам (2).
Учитывая, что объемные деформации линейно-упругие, применим уравнения состояния нелинейной наследственности в виде
Су(0 = 105 у + 2т£у - 2та | е—Р(1—т)[1 + уе^Ц^т,
— ¥
(16)
Упростим исследование, заменяя интегральный оператор в законе деформирования (16) дифференциальным. Для этого разлагаем функцию {(т) = [1 + у£Ц;(т)]еу(т) в ряд Тейлора по степеням (1 — т).
Сохраняя два слагаемых разложения, что соответствует большим значениям произведения Ь • г, получим выражения
Су - ~05у + 2р£у + 2у|!р(£2еу),
^ 2| ~ а Э а
где 1-1-^р; ~-|(1 + р); р --.
3 Р2 Э р
Вычислим компоненты девиатора деформаций и их вариации
соответственно по формулам (5), (6) и найдем вариацию внутренней
энергии 5W - с1 15£11 + 2с225£22 + 2с125£12 + 2с135£13.
Линейная часть вариации 5W определяется формулой
~ ~ У2г2
5Wл - {-[~(1 - 2у) + 2~ - 2у((1 - 2у)~ -2ту)Кх + 2~—ихххх]5и .
а нелинейная -
5WH - {-В1ихихх -V г (1 + 2~)иххиххх - 2|ур(£иеп)х -
22 ГГ
2 1 х хх 2
Л4
^ \ л хх у хх 2
2 2 2 3 2~ О
+ V г 2!ур(£2е11ихх)хх + 2[уВ2ихихх +У г 1и
ххиххх
+ 2!уур(£ие22)
ЗА А
2 V г ~ ~ 2 2
--В1ихихх--— (1 + 2т)(ихихх)х - 217р(£ие11их)х +
2 2 2 2 В1 2 V г ~ ~ 3
+ V ГА1 (ихихх )хх + V2г2 -1 (иЛихх )хх + ^Т" Ф + 2|)(иЛх )хх +
л
3у2 У4г2
2 3У 2 V г ~ 2 2 2
- 2У А2ихихх--~В2ихихх--— 1(ихихх)х - 2у 1ТР(£ие22их)х] -
У3г2
V г 2 3 2
- 2~-^(ихилх)лх - 21ТРуу(£ие12)хх +~у3г22илхихлх -У 4г2
V г 2 2 2 3 2
-2~-^(ихиХх)х -21ТРу2у(£2е12ихх)х -1у3г2(ихихх)хх + У 4г2
V I 2 2 2 2
+ 2~ "у (иХихх )хх + 21ТРУ у(£ие12их )хх - 21ТРУ7(£ие13 )хх
- 21Тру г^е^ихх^ + 21ТРУ г(£ие13их)хх}5и ,
где обозначено
А1 -~(1 - 2у) + 2~; В1 - (1 + 2у)1 + 2~;
А2 - (1 - 2у)~ + 2~У ; В2 - (1 + 2у2)1 + 2~У2 .
Полная вариация внутренней энергии
2 2 0 0 ш =(—^х г ихххх — К2ихихх — V г Кзиххиххх +
2 2 2 2
22 2 V Г 2 V Г 2
+ п г -^4(ихихх)хх — ^5ихихх--~ ^(ихихх^ + "^^К^хх +
4 4
V Г з 2 2
+ 2 ^8(ихх)хх — 2тур[(еи)х(е11 — 4пе22 + е11их + 2п е22их +
2 2 2 2 + П Уе12ихх +П 2е13ихх) + еи(е11 — 4пе22 + е11их + 2п е22их +
2 2 ^ 2 2 2 + П Уе12ихх +П 2е13ихх)х +^х((£и)х(пУе12 +П2е13 —П г е11ихх —
2 2 2 2 2 — П Уе12их — П 2е13их) + еи (пУе12х +П2е13х — П г (е11ихх)х —
-П2у(е12их)х — V 22(е1зих)х))]}5и
Подставим 5W в формулу (8) и проинтегрируем по области поперечного сечения. Учитывая, что вариации 5и - произвольны, получим уравнение движения стержня:
2 2 2 2 2 Р(—и11 +V г и11хх) + Nluxx — ^ Ьхххх + ^2ихихх +V г ^иххиххх —
2 2 2
— v 2г2К4(ихихх)хх + ^иХх +
122 2 122 2 2 v2r2N6(uxuиx)x — 2 v2r2N7(uXuxx)xX —
—1V 4гЧ (ихх )хх + 2тг(^ [1(1 + их )(2(1 + ^их + (1—V 2)их —
2 йх 3
+1(1—v2)uX)(2v2Ux — 4v))Q + ((1V 2ихх(1 + их) — 1V 2uXx(2v2Ux — 2 3 6
1 2 2 2 2
— 4v) + 2 V 2(v 2ихихх — vuXx)) • Q] +
[(— 3 V 2ихх(2(1 + v)ux + (1—V 2)их) +
1 2 2 + их) • О ихихх —VUxx)) • Q —
1V 4Г4N8(uXx)xx + 2тур(^х[(13(1 + их) +
+ 3 V Ч^Ы = 0,
где
N = 1(1 — 2v)U + 2~(1 + 2v2); Nи = 3(1 — 2v)(1 + 2v+ 6~(1 — 2v3); N3 = (1 — 2v)~ + 2~(1 — V); N4 = ~(1 — 2у) + 2~(1 — 2У) ;
N5 = 3~(1 + 2v2)2 + 3~(1 — 2v4); N6 = (1 + 2v2)~ + 2~(1 + v2); N7 = (1 + 2v2)~ + 2~(1 + V2); N8 = ~ + 2~.
Q = ^ + + ^ = "~[2(1+v)ux + (1—v2)uX]2 ; Я3 = ^и^;
^2 = -3V2uXx[2(1 + V)Ux + (1 — V^ + (V2ихихх — VUxx)U .
Исследуем (18) с помощью метода возмущения. Заменим функцию и , используя асимптотическое разложение (12), в результате получим
уравнение движения физически и геометрически нелинейного стержня:
2
РС 2 2 2
——[—ихх + 2еихт — е итт + ev 1(ихххх — 2еи хххт + е и ххтт)] + /1 аа0ч ev I а, аа3ч
+(1 —-р°)и хх—— р)и хххх+е(3 р3 )ихихх+
ас , Э Э ч г ev21
+ (е---) • 1а0и--ихххх +еа3ихиI +
р2Г Эт Эх 0 хх 2(1 + V) хххх 3 х хх"1
2 2 + е уа^ихх ] = 0,
2(1 + v) — 4v3 — 2v2 + 2v + 8 V2!
где а0 = —--; а3 =-; Ь =-.
0 3 ' 3 3(1 + V) ' 2(1 + V)
После преобразований в нулевом приближении придем к формуле
2
г рс ,, аат Ч1 _
[—V+(1 —"р1 )]и0хх =0,
(19)
2
где Е - модуль упругости материала стержня; а1 = —(1+V).
Так как в (19) и0хх * 0, то скорость деформационной волны
с =
Е Г1 2а м
- [1 -тг (1 + п)]. Р 3р
Исследуя первое приближение, выведем модифицированное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:
2
У + Ь1УУ, - Ь2У Ух + Ь3УХХ + Ь4УХХХ = 0,
где
(20)
, . аа2 Е . у = иох , Ь1 = т(3---2), т =-2;
Р 2рс2
тауеа3 , таса, , о 1 В-а п
Ь2 =—-—3; Ь3 =—т—1; Ь4 = ту 21[-----];
2 р 3 р2Ье 4 2т 2р(1 +
ао = 2(1 -V2); а3 = |(1 + п2)(1 + 2п).
Точное решение уравнения (20) имеет вид:
к
п \
6Ь4ф(к1Х-ЮХ )] М ^ + - Ь1
Ь2 п д/бЬ2Ь4 2Ь
(21)
1Ь2 1Ь2 2Ь
где ю=(—1----3)к1 —г4к3; пе 2; к1 - произвольный параметр.
2 6 и4 п2
4Ь2 6 Ь
График волны деформации представлен на рисунке 2.
Вычисляя поправку к скорости волны, получаем — е.
к1
Для повышения экономической и эксплуатационной надежности проектируемых строительных сооружений совершенствованием акустической дефектоскопии разработаны эволюционные модели нелинейной волновой динамики стержней из материалов, обладающих свойством нелинейной ползучести, когда объемные деформации являются линейно-упругими.
2
У
-0,1- Ж. 0 08
П 04
П ГР
-9-
-3
-1
Рисунок 2 - Уединенная волна продольной деформации в нелинейно-вязкоупругом стержне при линейно-упругих объемных
деформациях
В результате установлены зависимости между геометрическими, физическими и волновыми характеристиками процесса деформирования, позволяющие более строго вычислить значения скорости волны деформации в стержне.
Эффект компенсация нелинейности, дисперсии и диссипации способствует возникновению в стержнях уединенных деформационных волн. Их скорость растет с увеличением амплитуды волны.
Применение линейных моделей не позволяет даже качественно получить этот эффект. Уточненные соотношения между геометрическими, механическими и волновыми параметрами позволяют усовершенствовать методы акустики при регистрации микродефектов в материале стержней.
4
2
0
2
3
4
Список литературы
1. Нигул У. К. Нелинейная акустодинамика / У. К. Нигул. - Л.: Судостроение, 1981. - 321 с.
2. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов / В. В. Москвитин. - М.: Наука, 1972. - 327 с.
3. Илюшин А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Илюшин, Б. Е. Победря. - М.: Наука, 1970. - 312 с.
4. Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // ПММ. - 1990. - Т.54. - Вып. 3. - С.450-453.
5. Лойко В. И. Математическое моделирование взаимовыгодных отношений производителей сырья и его переработчиков на основе нелинейной функции спроса / В. И. Лойко, Г. А. Аршинов, В. Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. - 2015. - № 110. - С. 1691-1706.
6. Аршинов Г. А. Математическое моделирование совместимости экономических интересов перерабатывающих предприятий и производителей сырья / Г. А. Аршинов, В.Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - №02(036). С. 212 - 218. - Шифр Информрегистра: 0420800012\0020, IDA [article ID]: 0360802013. -Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/13.pdf, 0,438 у.п.л.
7. Аршинов Г. А. Управление отношениями между предприятиями переработки сырья и его производителями / Г. А. Аршинов, В. Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №05(079). С. 391 - 402. - IDA [article ID]: 0791205027. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/27.pdf, 0,75 у.п.л.
8. Аршинов Г.А. Нелинейная математическая модель управления процессом ценообразования продукции предприятия / Г. А. Аршинов, И. А. Мануйлов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №05(079). С. 369 - 378. - IDA [article ID]: 0791205025. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/25.pdf, 0,625 у.п.л.
9. Лойко В. И. Математическое моделирование взаимовыгодных отношений производителей сырья и его переработчиков на основе нелинейной функции спроса / В. И. Лойко, Г. А. Аршинов, В. Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2015. -№06(110). С. 1691 - 1706. - IDA [article ID]: 1101506110. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/110.pdf, 1 у.п.л.
10. Причины, препятствующие созданию эффективных объединений предприятий молочного подкомплекса АПК / Г.А. Аршинов, В.И. Лойко, В. Г. Аршинов и др. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №09(123). С. 1422 - 1443. - IDA [article ID]: 1231609097. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/97.pdf, 1,375 у. п. л.
11. Анализ современных форм интеграции сельскохозяйственных товаропроизводителей и перерабатывающих предприятий АПК / Г. А. Аршинов, В. И. Лойко, В. Г. Аршинов и др. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №09(123). С. 1392 -1421. - IDA [article ID]: 1231609096. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/96.pdf, 1,875 у.п.л.
12. Математическое моделирование отношений партнеров в современных формах интеграции сельскохозяйственных товаропроизводителей и перерабатывающих предприятий / Г. А. Аршинов, В. И. Лойко, В. Г. Аршинов и др. // Политематический
сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2017. - №06(130). С. 1137 - 1159. - IDA [article ID]: 1301706083. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2017/06/pdf/83.pdf, 1,438 у.п.л.
13. Анализ условий образования эффективных объединений предприятий молочного подкомплекса АПК / Г. А. Аршинов, В.Г. Аршинов, В.Н. Лаптев, С.В. Лаптев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2017. - №08(132). С. 128 - 155. - IDA [article ID]: 1321708012. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2017/08/pdf/12.pdf, 1,75 у.п.л.
Spisok literatury'
1. Nigul U. K. Nelinejnaya akustodinamika / U. K. Nigul. - L.: Sudostroenie, 1981. -
321 s.
2. Moskvitin V. V. Soprotivlenie vyazkouprugix materialov / V. V. Moskvitin. - M.: Nauka, 1972. - 327 s.
3. Ilyushin A. A. Osnovy' matematicheskoj teorii termovyazkouprugosti / A. A. Ilyushin, B. E. Pobedrya. - M.: Nauka, 1970. - 312 s.
4. Kudryashov N.A. Tochny'e resheniya nelinejny'x volnovy'x uravnenij, vstrechayushhixsya v mexanike // PMM. - 1990. - T.54. - Vy'p. 3. - S.450-453.
5. Lojko V. I. Matematicheskoe modelirovanie vzaimovy'godny'x otnoshenij proizvoditelej syYya i ego pererabotchikov na osnove nelinejnoj funkcii sprosa / V. I. Lojko, G. A. Arshinov, V. G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. - 2015. - № 110. - S. 1691-1706.
6. Arshinov G.A. Matematicheskoe modelirovanie sovmestimosti e konomicheskix interesov pererabaty'vayushhix predpriyatij i proizvoditelej syYya / G. A. Arshinov, V.G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [E'lektronny'j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2008. - №02(036). S. 212 - 218. - Shifr Informregistra: 0420800012\0020, IDA [article ID]: 0360802013. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/13.pdf, 0,438 u.p.l.
7. Arshinov G.A. Upravlenie otnosheniyami mezhdu predpriyatiyami pererabotki syYya i ego proizvoditelyami / G. A. Arshinov, V. G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [E'lektronny'j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2012. -№05(079). S. 391 - 402. - IDA [article ID]: 0791205027. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/27.pdf, 0,75 u.p.l.
8. Arshinov G.A. Nelinejnaya matematicheskaya model' upravleniya processom cenoobrazovaniya produkcii predpriyatiya / G. A. Arshinov, I. A. Manujlov // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [E'lektronny'j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2012. - №05(079). S. 369 - 378. - IDA [article ID]: 0791205025. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/25.pdf, 0,625 u.p.l.
9. Lojko V. I. Matematicheskoe modelirovanie vzaimovy'godny'x otnoshenij proizvoditelej syYya i ego pererabotchikov na osnove nelinejnoj funkcii sprosa / V. I. Lojko, G. A. Arshinov, V. G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [Flektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2015. - №06(110). S. 1691 - 1706. - IDA [article ID]: 1101506110. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/110.pdf, 1 u.p.l.
10. Prichiny\ prepyatstvuyushhie sozdaniyu e'ffektivny'x ob^edinenij predpriyatij molochnogo podkompleksa APK / G.A. Arshinov, V.I. Lojko, V. G. Arshinov i dr. // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [Rlektronny'j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2016. - №09(123). S. 1422 - 1443. - IDA [article ID]: 1231609097. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/97.pdf, 1,375 u.p.l.
11. Analiz sovremenny'x form integracii seFskoxozyajstvenny'x tovaroproizvoditelej i pererabaty'vayushhix predpriyatij APK / G. A. Arshinov, V. I. Lojko, V. G. Arshinov i dr. // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [E'lektronny'j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2016. - №09(123). S. 1392 - 1421. - IDA [article ID]: 1231609096. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/96.pdf, 1,875 u.p.l.
12. Matematicheskoe modelirovanie otnoshenij partnerov v sovremenny'x formax integracii seFskoxozyajstvenny'x tovaroproizvoditelej i pererabaty'vayushhix predpriyatij / G. A. Arshinov, V. I. Lojko, V. G. Arshinov i dr. // Politematicheskij setevoj elektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [Flektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2017. - №06(130). S. 1137 - 1159. - IDA [article ID]: 1301706083. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2017/06/pdf/83.pdf, 1,438 u.p.l.
13. Analiz uslovij obrazovaniya e'ffektivny'x ob^edinenij predpriyatij molochnogo podkompleksa APK / G.A. Arshinov, V.G. Arshinov, V.N. Laptev, S.V. Laptev // Politematicheskij setevoj e'lektronny'j nauchny'j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny'j zhurnal KubGAU) [Rlektronny'j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2017. - №08(132). S. 128 - 155. - IDA [article ID]: 1321708012. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2017/08/pdf/12.pdf, 1,75 u.p.l.
