УСТРАНЕНИЕ ВЛИЯНИЯ СЛАБЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ НА ГРУППИРОВКУ FORMATION FLYING Текст научной статьи по специальности «Математика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 34

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 629.7

Устранение влияния слабых гравитационных возмущений на

группировку formation flying

И.Е. Зараменских, М.Ю. Овчинников, И.В. Ритус

Аннотация

Для существования группировки спутников Formation Flying необходимо отсутствие вековых относительных уходов. При учете несферичности Земли в случае, если спутники находятся на разных орбитах, возникает вековой уход по аргументу восходящего узла и аргументу перигея. В настоящей работе проводится исследование возможности устранения вековых относительных уходов для двух спутников в конфигурации Formation Flying при движении в возмущенном гравитационном поле в случае использования двигателя малой тяги и пассивной магнитной системы ориентации.

Ключевые слова

малый спутник; пассивная магнитная система ориентации; групповой полет спутников; управление относительным положением.

1. Введение

Известно, что в отсутствие внешних возмущений при определенных начальных условиях для формации спутников существуют периодические относительные траектории дочернего спутника относительно главного, движущегося по круговой траектории, даже в отсутствие любого управления. Это следует из уравнений Хилла, которые получаются путем линеаризации уравнений Ньютона при движении спутников в центральном поле тяжести [1].

Реальное гравитационное поле Земли не является центральным. Некоторое приближение модели реального гравитационного поля Земли представляет собой разложение в ряд по полиномам Лежандра, где за первый член разложения отвечает как раз центральное поле, а если предположить, что распределение массы Земли симметричное, то следующим членом разложения является гармоника J2 [2]. При этом, гармоника J2 в 1000 раз меньше, чем первая

гармоника разложения, поэтому влияние несферичности Земли на движение в гравитационное поле Земли можно рассматривать как возмущение.

Влияние гармоники 12 на формацию спутников изучается во многих публикациях. Например, в [3] исследуется влияние возмущения от несферичности Земли на ограниченное движение формации спутников и показывается, что гармонику 12 при анализе движения учитывать необходимо. В [4] проводится исследование модифицированных уравнений Хилла, включающих в себя 12, а в [5] и сопротивление атмосферы. В [6] и [7] предлагаются законы управления, необходимые для поддержания формаций, при этом в работе [7] производится минимизация затрачиваемого топлива. Но во всех работах по построению управления предполагается, что управление трехосное. В [8] приведено ограничение на направление возможного вектора тяги. В рассматриваемой задаче в формации используется двигатель в направлении «вдоль траектории», при этом в работе проводится исследование возможности поддержания ограниченного относительного движения для невозмущенной задачи Хилла в случае ошибок в начальных условиях, в зависимости от размера формации, от эллиптичности траектории главного спутника и т.д. Возможность применения одноосного управления для поддержания необходимой конфигурации рассмотрена также в [9], здесь проведено построение множества возможных траекторий при управлении вдоль одной оси для невозмущенной задачи Хилла. В [10] приведен пример использования малой тяги для поддержания заданной конфигурации.

В настоящей работе проведено исследование возможности устранения относительного векового ухода за период двух спутников при ограниченном управлении.

Относительное движение рассматривается в системе главный и дочерний спутники. Под главным спутником понимается неуправляемый спутник, а под дочерним - спутник с двигателем. В качестве одного из основных требований к системе управления выставляется простота исполнительных элементов.

Ограничения (основные допущения), накладываемые на спутники, следующие: оба спутника движутся в центральном ньютоновском поле, их невозмущенные орбиты кеплеро-вы, то есть эволюция орбит под действием внешних сил с течением времени рассматривается как эволюция под действием возмущающих воздействий, таких как сжатие Земли. Орбита главного спутника - круговая.

В качестве системы ориентации для дочернего спутника предлагается использовать пассивную магнитную систему ориентации, которая не требует расхода рабочего тела и энергии бортовых батарей и работает только за счет стабилизирующего воздействия моментов внешних сил. Известно, что при использовании такой системы ориентации спутник в ка-

ждой точке своей траектории будет ориентирован практически по вектору напряженности геомагнитного поля. Для создания управления будем использовать двигатель, развивающий тягу вдоль оси ориентации спутника, которая совпадает с одной из его главных осей инерции.

2. Вывод уравнений движения и условия на управление

В рассматриваемом нами случае орбита главного спутника - круговая, а орбита дочернего должна быть слабоэллиптической для сохранения формации. Поэтому, чтобы при изучении движения не возникало вырождения по е (эксцентриситету) и ш (аргументу перицентра), введем новые переменные к = е ч = е С0Бш - проекции вектора Лапласа на линию узлов и линию в плоскости орбиты, перпендикулярную линии узлов.

Введем орбитальную систему координат (ОСК) следующим образом: ось Ох1 в направлении радиус-вектора спутника в каждой точке орбиты, ось Ох2 выбрана в плоскости орбиты перпендикулярно Ох1 и составляет со скоростью острый угол, ось Ох3 дополняет систему координат до правой тройки.

(О,/, р, у, к, и) Г111

Запишем уравнения движения каждого спутника в переменных 4 ' [11]

йО 1 г3 Бт и йи у ир Бт /

Рз, — =

й 1 г3

йи у ир

-КсОБ и, -=

йр 1 2г3

йу 1 г' . „

— =--< Б1п и + К2

йи у и

У

Л

=1 г!

йи у и Я 1 г2

1+—

V р)

( -

СОБ и +--ч

р

йи у и

+ К3 — к б1п и / р

К

2'

- К СОБ и + К2

Л

1+-

V р)

Бт и +— к р

(1)

- К3 — ч б1п и ^ /

йи у и

где {Б1,Е2,Е3} - компоненты вектора возмущения в ОСК, О- долгота восходящего узла, 1- наклонение орбиты, и- аргумент широты, р - фокальный параметр, / - гравитаци-

онный параметр Земли; Р Р

г =

1 + е собу 1 + е СОБ (и-шП) 1 + у соб и + к Бтг

(2)

кг

у = 1--3—б1пи^/ « 1 при К <<—т, р = а(1 -е2),

ир г у '

где а - большая полуось орбиты. Уравнения (1) для каждого спутника имеют идентичный вид, в случае их использования для первого спутника в обозначении переменных

появится индекс «1», в случае второго - индекс «2». Возмущение от несферичности Земли действует на оба спутника. Для исследования влияния возмущения на элементы орбиты нужно подставить в уравнения движения (1) возмущение от гармоники 12, представимое в ОСК следующим образом [12]:

f = 4 (з

r 4

sin2 u sin21 -

\ ° 2 i -1), F2 = —- sin 2u sin i,

F3 = —-sinusin2i. r

(3)

б = - ЛМ2,

Здесь 2 Яе - радиус Земли.

Если возмущение гравитационного поля мало по сравнению с величиной центрального гравитационного поля, то из (1) видим, что производные орбитальных элементов в таком случае малы, то есть, скорость изменения орбитальных элементов также мала. Отсюда можно сделать вывод о том, что на периоде вращения элементы орбиты мало меняются, и можно считать их на одном периоде вращения константами. Поэтому можно усреднить уравнения на периоде и найти среднее изменение орбитальных элементов за период по каждому спутнику. Несложный расчет показывает [13]

d Q

~dN

dq

25 cos i Y/p2

n,

di dN

= 0.

dp dN

uq n5 / _ . 2 . л , dk

— =--(5sin2г - 4)k, -

dN у/лр2V ' un

=0

n5

(sin2 i - 4)q .

dN y/up'

Видим, что вековые уходы за период существуют только по восходящему узлу и аргументу

перицентра ^ т . Несферичность Земли не влияет на форму и размеры орбиты, а только на ее положение.

Заметим, что в уравнениях движения присутствуют уходы для каждого спутника, а нам необходимо проследить за разницей в уходах. Разница в уходах за счет несферичности Земли равна

cos i

25пп cos i2

YU

Ai, = 0, Apj = 0,

n5

Aqj = —

YU

(5sin2 i2 -4)k2 (5sin2 i - 4)

P22

Pi

(4)

л ; п5

Akj =--

YU

(5sin2 i2 - 4) q2 (5 sin2 i - 4) q1

~Pi

Pi

Из системы (4) видим, например, что в случае одинаковых наклонений, эксцентриситетов и фокальных параметров, управление для поддержания формации не требуется, так как

относительные вековые уходы отсутствуют. Такое движение реализуется, например, в формации leader-follower, то есть движения по одной орбите с разницей в аргументе широты. В остальных случаях для поддержания относительной траектории и устранения вековых уходов необходимо управлять, таким образом, чтобы изменение всех орбитальных элементов за период было равно нулю.

В общем случае, чтобы менять элементы ®, не изменяя при этом форму и размеры орбиты, нужно прикладывать бинормальное управление, как это видно из (1). Нужно учесть, что при наличии бинормального ускорения будет меняться и наклонение. При этом если выбрать функцию управления, ортогональную функции sin u , то наклонение за период в среднем не изменится.

Далее построим такое управление, которое позволит устранить вековые уходы. Для этого сначала опишем используемое управление. Как было сказано во введении, основным требованием для системы управления спутника является простота исполнительных органов, поэтому в качестве системы управления выбран двигатель, размещенный вдоль оси инерции спутника, которая в свою очередь при наличии пассивной магнитной системы стабилизации, ориентирована вдоль вектора напряженности магнитного поля в каждой точке орбиты. Такая конструкция системы позволяет создавать простые спутники.

Если в качестве модели магнитного поля Земли выбрать модель прямого диполя, то вектор магнитного поля в ОСК будет выглядеть следующим образом:

v cos i J

Здесь /m - магнитный параметр Земли.

Так как управление реализуется только вдоль орта напряженности магнитного поля, то управление в ОСК выглядит так

v COSi ;

где h(t) - искомая скалярная функция величины тяги. Заметим, что тяга будет найдена с точностью до множителя равного модулю вектора напряженности.

Оценим среднее значение модуля вектора напряженности за период. Модуль вектора напряженности магнитного поля равен

f-2sinu sini

i

cos u sin i

'-2sinu sini ^ UX (t) = ^f cos u sin i h (t)

(5)

E(|НХ (u)) - ^ ■ — jV3sin2 u sin2 i +1 du.

0

где Т2 - среднее значение радиус-вектора второго спутника при движении по орбите за период. Для оценки используем неравенство Коши-Буняковского [14]

í ь Л2 ь ь

|Jх(t)y (t)dt <Jx2 (t)dtJy2 (t)dt. (6)

V a J a a

Положим x(u) = 4 3 sin2 u sin2 i +1, y(u) = 1, тогда интеграл будет оценен сверху как

2л __í 2п Л1/2

V 0

jV3 sin2 u sin2 i +1 du < 2n j (з sin2 u sin2 i + l)du = (ln* (Зл-sin2 i + 2п)) <ж-s/lü.

0

В этом случае

E (H, (u ))< - 1.6 "

V— VlQ ^ 16 ^ Vm r3 2 ~ ' r3

2 MIN 2 MIN

При этом оценка снизу среднего значения модуля вектора магнитного поля следующая:

E(, (u)) j 1du =

r; 2п о 2

А так как для получения значения управления нам необходимо умножить найденное h(u) на модуль вектора напряженности, то для оценки управления сверху логично взять оценку модуля напряженности сверху. Тогда реальное управление имеет вид

hi (u )- 1.6--V^h (u ). (7)

r2 MIN

Исследуем влияние управления (5) на орбиту при разных наклонениях (без учета J2) при подстановке в дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов (1). Вычислим изменение орбитальных элементов за период при наличии только такого управления в предположении малости возмущающего ускорения

dQ и— cos i 2f,, . . , di u— 2f w ч . dp 2u— . 2fw

-=—m--I h(u)sin udu, -= —— cos i I h(u)cos udu, -= —— sin i I h(u)cos udu,

dN Yup sin i 0 dN yjup Q dN у/ Q

j 2n

= sin i j h(u) Г-2 + 4cos2 u - q cos u + 3q cos3 u - 2k sin u + 3k sin u cos2 u + к ctg2 i sin u 1 du, dN Y/p 0

dk 2n

-= —— sin i I h(u) I 4sin u cos u + 3q sin u cos2 u + 4k cos u - 3k cos3 u - q ctg2 i sin u \du.

dN Y/p 0

Так как управляется дочерний спутник, то уход за счет управления возникает только для его орбитальных элементов. Для того чтобы за счет управления компенсировать вековые уходы

из-за нецентральности гравитационного поля Земли, необходимо приравнять нулю сумму уходов по каждой переменной за период из-за гармоники J2 и из-за управления. Тогда получим систему интегральных уравнений 2п 2ón sin i f cos i cos i ^

I h(u)sin udu =-2-2 —r^--r^ , I h(u)cos udu = 0,

J " cos í ^ P2 p ) 0

0 Mm C0s i2

2n

J h(u) |-2 + 4 cos2 u - q2 cos u + 3q2 cos3 u - 2k2 sin u + 3k2 sin u cos2 u + k2 ctg2 i2 sin u J du -WPi

(8)

= —qj . .

Mm sin i2

WP2

J h(u)| 4sinu cosu + 4k2 cosu -3k2 cos3 u + 3q2 sinu cos2 u - q2 ctg2 i2 sinu \du = -AkJ ■ ,

0 Mm sin i2

с помощью которой необходимо найти искомое управление h(u). На следующем этапе необходимо разрешить систему (8), чтобы найти одну неизвестную скалярную функцию h(u). При этом следует учесть, что, так как требуется устранить уходы с помощью двигателей малой тяги, то интеграл от функции h(u) на периоде должен принимать минимальное значение из всех возможных.

3. Построение искомого управления

Будем искать решение уравнений (8) в виде ряда Фурье а ш

h(u) = —- + ^ ak cos ku + bk sin ku . (9)

2 k=i

Чтобы найти коэффициенты разложения в (9), требуется вычислить интегралы, входящие в систему интегральных уравнений. Воспользуемся свойством ортогональности базисных функций ряда Фурье на периоде, а также известными табличными значениями квадратов каждой базисной функции. Тогда все слагаемые - интегралы в (8) - определяются следующими выражениями:

2п 2 п 2 п

J h(u)du = а0 п, J h(u) sin udu = b1n, J h(u) cos udu = а1п,

0 0 0

J h(w)cos2 udu = J h(u) J — + cos2u j du = —П + ,

0 0 V 2 2 J 2 2

2г" з . 2г" 3собм + соб3м 1 3а,п а3п I я(м) соб мам = I п(и) I-I = —1—+ - 3

о о V 4 )

4 4

2п

| Л(и)в1пи соб2 мам = | Л(и)(пи - Бт3 и^)ёи =| И(и)I -Цти + ^тЗм 1 ёи = —

о

2п

Ъп Ъ3п 4+1"'

| И(и) Бт и соб иёи = | И(и) ^^ ёи = .

После подстановки значений интегралов в (8) получаем систему равенств

—1 =

25р2 б1П /

; (

Мп соБ /2

соб /2 соб /

; Л

V ^2

2 2 Р2 Р

1 )

3а,

«1 = о,

а

п\-2а{) + 4-2 + 4-2-42«1 + 3^ + 3^-4 -2к— + 3к2-1 + 3к2-3 + к2 с1в2| = - А^

п I 4Ъ2 + 4к2« - 3к2 3«1 - 3к2 3«3 + 3^2 Ъ4 + 342 —" - 42 1 = -Ак^ №

УМ1Р

Мп /2

Мп ^ /2

После некоторого упрощения находим

—1 =

25р2 бШ /

соб /2 СОБ /

; Л

П1 2Ъ2 -

СоБ /2 V Р2 Р1

3а3 5— , 3Ъ3

-3 42--1 к2 4 4 2 --

4

3а3 , 3— 3Ъ3

—- к2 +—1 а2 4 4 --

4

«1 = о,

42 - 02 ^ /2Ъ1 1 = -Ак/

УМР2

Мп Б1п «2

УМР2

(10)

Мп Б1п Ь

Таким образом, получили систему (10) из 4-х алгебраических уравнений для определения шести коэффициентов: а\,Ъ\,а2,Ъ2,а3,Ъ3. Эта система является переопределенной и определяет двумерное подпространство в шестимерном пространстве всех возможных коэффициентов. Остальные коэффициенты из системы интегральных уравнений (8) найти не удается, но так как требуется найти минимальную функцию управления, то можно положить ненайденные коэффициенты равными нулю, так как

2" 2 | а2

| |й (и)| ёи = п — + ^ а2 + —

Л

Вообще, интегральное управление, а значит, и суммарный расход топлива равен

2п

| |й(м)| ёи, но работать с квадратом функции намного удобнее, чем работать с ее модулем.

Поэтому для обоснования использования квадрата от функции вместо модуля обратимся к неравенству Коши-Буняковского (6). Если х(;) = |й(;)|, у(;) = 1, а интервал равен 2п, то неравенство (6) принимает следующий вид:

2п ( 2 п 11/2

| |И(и)| ёи < 2п | И2 (и)ёи .

0 V 0 )

Таким образом, рассматривая интеграл по норме Ь2, найдем верхнюю оценку потребления топлива. Преобразуем полученную систему (10),

ь =

25р2 з1п /

; (

008 г2 008/

; Л

V Р22

¡Лт 00Э12 введя обозначения ГМР2

Р12)

2а2 + а3

2 4 3

3к„

Ь = А,

3к

^ Ьз= В,

(11)

(/2 - ^ 1Ь = А ,

-Ак,

УМР2

( 3ч2

2

-я^ё2/2 IЬ1 = в.

4 ) 81П /2 V

Рассмотрим два последних уравнения системы (11). Уравнения описывают переопределенную систему алгебраических уравнений, которую в матричном виде можно записать так

(

2 0

3Чг 3к21

0 2 -V 4

4 4

3к2 3Чг 4 )

(а 1

а3

V Ьз)

( А1 V В )

Известно, что система алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг исходной матрицы А равен рангу расширенной матрицы. В нашем случае ранг исходной матрицы равен двум, так как существует ненулевой минор размерности два

(2 01

V0 2)

= 4 * 0.

Таким образом, присоединение к матрице столбца (А,В) никак не влияет на ранг, а значит, система совместна. Так как уравнений два, а неизвестных четыре, то можно выразить две переменные через две другие. Выразим, например, а2 и Ь2 через а3 и Ь3.

а2 =-

3к, , А

а3--- Ь3 + —.

8 3 8 3 2

Ь =

3к2 3а2 ^ В —1 а3 —— Ь3 + —.

(12)

Таким образом, получено решение системы (11) в общем виде с произвольными переменными а3 и Ь3.

Теперь учтем, что управление должно быть минимально возможным за период, поэтому сумма квадратов коэффициентов должна принимать минимально возможное значение. Запишем это в виде цепочки соотношений

( а2

| И (и) ёи = п а! + ^ а2 + Ь2к = п ( + а2 + Ь22 + а32 + Ь32) — ш1п.

Так как Ъ1 константа, зависящая только от начальных условий, а а2 и Ъ2 выражаются через а3 и Ъ3, то минимизация функционала может быть проведена только по переменным а3 и Ъ3, а именно

~2 , 9д2£ 9к2 ,2 / 3£ , 1 А2

*2 ' "2

64

64

«2 + Ы + a2 + Ы = М a2 + 29q2kL a3b3 + ^ b32 - A | ^ a3 + ^ ьъ | + —+

64

9k22 2 9q2k2 , 9q2 J

2-a32 -a3b3 + b32 + В|

3k

^2

52

(13)

64 3 64 3 3 64 3 I 8 3 8 3 J 4

2 a3 b3 | + —+ a32 + b32 ^ min.

Видим, что перекрестные члены в виде аЪ] в (13) сокращаются и после преобразований (13) приводится к виду

(

a3

2

л 9q22 9k2 1 + —— + - 2

v 64 64 J

+ a31 ^ В - ^ A | + b32

Г

2

, 9q22 9k2 1 + —^ + - 2

64 64

- b3 i:^ В + ^ A V

A2 В2

--1---> min .

44

Известно, что если квадратичная форма имеет вид А1 х2 + А2х + В1 у2 + В2у + С, то к сумме квадратов она приводится следующим образом:

2 A2 /2 В2 х2 + 2—— х + 2

2

4 A2 j

+ В

2 _ В2 /2 В2 y + 2-2— + 2

2

В

= A

х + -

2 A

+ В

i j

У +

В

2 В

v

\ С - A2 В

4В2 j

+ С--

В2

4 A1 4 В1

i J

4 A1 4 В1

Минимальное значение форма принимает при значениях х = - А2/2 А1, у = - В2/2 В1 и это минимальное значение равно С - А2 /4А1 - В2 /4В1 . В нашем случае минимум достигается при следующих значениях параметров а3 и Ъ3:

С 3k2 В - Л Г 3k2 Л , ^2

U3 /

16

16

1 9q2 9k2 1 + —— + 2

2

b =

16

-A +-

16

В

64 64

3 С 9q2 9k2V 1 + —— + —-64 64

Значение функционала а^ + Ъ2 + а32 + Ъ32 равно —^—А +В-^г-

1 + ^^ + 9 2

С учетом соотношений k = esin®,

v 64 64 J q = e cos a>, получаем искомое значение для квадрата

управления

2п

1 z/£

— J(u)| du = bj2 +-

A2 + В2

9e!

2

Оценка величины управления

Произведем оценку получившегося выражения (14), учитывая то, что орбита главного спутника круговая, а значит к\=0 и 41=0. Тогда с учетом выражения из (4)

—1 =

25р2 б1П /2

; (

Мп С°8 г2

соб /2 соб /

; Л

V Р22

Р1

2

5 =

п5 (^т2 Ь - 4) к2

УМ

Р2

5к, =-

п5 (5 БШ2 22 -4)

УМ

и после подстановки их в (11) получим значения для коэффициентов А и В

л 5 УМР2 , и( , 2.51 5 (5зт2 /2 -4)к2 А = -54^ . - к2—11 с1е2 /2 - 4! = "

Мпп вШ ?2

Мп й1п /2

к2—1 I *2 -

0 5 МР2 , ( 3 ^ ^ 1 5 (5Б1п - 4)

В = 5 2 . -42— I Т-С182/2 ! =-—--

Мпп Б1п *2 V 4 ) Мп 81п /2 Р2

Отдельно квадраты коэффициентов определяются выражениями

- 42—11 Т-С^Ч

(

V (

— =

А2 =

\МпР2 ) КМпР2 )

21ап /'

соб/2 -

2 • М2 Р2 Со8 /1

Р1

))

В2 =

5

уМпР2 )

2(

V 2(

(5б1п2 /2 - 4) к2

Б1п /

+ 2к21ап /2

2

соб /2 -

(т2 /2 - 4) ( -----2д21ап /2

Б1п /

2

соб /2 -

Р22 Со5 /1 ^

Р12 )

Рт. соБ / 1

Р1

)

/2 --

4 - ^ /2

)

Л2

(15)

(16)

Используя формулу (14), соотношения (7) и (16), оценим интеграл

1 (2п 1 1 2п

—^I | /(и) ёи < — | /г2 (и)ёи = 4п 1 ^ 2п

Г 1 Г Г я V

^ 2 )

Г,

^ 2 )

(17)

где

Ж =

( * 1-2

V ^пР2 )

—12 +

А2 + В2

1 + 2

64

))

(18)

Чтобы возмущение было мало и можно было использовать метод усреднения, необходимо

2

4п

1 ( и 2 1 (

—| 11/% (и)) ёи << Р- либо | 11/% (и) ёи

12 ( * 12

Р )

0 ) Г2 ./-у 0

С учетом выражения (3), для 5 это условие выполнено, если выражение (18) не превышает, например, 100. А это выполнено в том случае, если тангенс и котангенс угла наклонения в (16) ограничены.

Если ввести обозначение ёг=г1-г2, то для (18) можно построить график зависимости от наклонения дочернего спутника и разницы наклонений дочернего и главного спутников (рис.1). Для построения сумма квадратов была оценена сверху: д2=1, к2=1, Р1=Р2. Видим, что область параметров, необходимых для реализации малой тяги, существует.

Рис. 1: 3D график для определения области параметров, углы в радианах.

5. Численная верификация результатов

Построим траектории относительного движения при найденном управлении при помощи MatLab. Для этого воспользуемся тем, что [12] в геоцентрической экваториальной системе координат координата центра масс каждого спутника связана с орбитальными элементами при помощи следующих соотношений:

Xj = r¡ (cos uj cos Qj - sin uj sin Qj cos ij), Y}. = rj (cos uj sin Q j + sin uj cos Q j cos ij), Zj = rj sin uj sin ij.

Таким образом, рассчитав численно изменение орбитальных элементов по (1) с учетом выражений (3) и (5), в каждый момент времени можно найти координаты каждого из спутников в ОСК при наличии и отсутствии управления. На всех последующих рисунках главный спутник находится в точке с координатами (0,0,0).

Рассмотрим в первую очередь случай, когда орбита дочернего спутника также круговая. Заметим, что уход возникает только, если фокальные параметры орбит или наклонения разные. Если разные фокальные параметры, то уход наблюдается даже в отсутствии гармоники 12, так как в этом случае периоды обращения спутников различаются.

Построим относительную траекторию и управление для одинаковых фокальных параметров и разных наклонений. Разницу в наклонениях выберем такую, что максимальное расхождение спутников (при прохождении наивысшей точки орбиты) не превосходит 1000 м, а значит, величина разницы в наклонениях должна быть не более чем 1000/7000000 ~ 0.025о. На рис.2 и 3 показана относительная траектория при отсутствии управления в проекциях на разные орбитальные плоскости. Видим, что уход по направлению «вдоль траектории» равен примерно 25 м на пяти витках. При этом наклонение траектории главного спутника равно 30о, а дочернего отличается на 0.01о. Радиус орбиты равен 6600 км. На рис.4 и 5 показана относительная траектория при наличии управления, на рис.6 построен график с управлением в зависимости от времени. Видим, что управление значительно уменьшило вековой уход с 25 м на пяти витках до 25 см.

Последним рассмотрим случай слабой эксцентричности орбиты дочернего спутника. Параметры орбиты возьмем следующими: радиус орбиты главного спутника 6600 км, дочер-

25

-В.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

X, т

■1500-'-'-'-1-1-1

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Х,т

Рис.2: Относительное движение в плоскости орбиты при разности в наклонениях без управления.

Рис.3: Относительное движение в плоскости перпендикулярной плоскости орбиты при разности в наклонениях без управления.

него плюс 100 м к радиусу орбиты главного, наклонения орбит одинаковы и равны 30о, эксцентриситет орбиты дочернего спутника равен 0.01, направление на перигей составляет 90о. На рис.7 и 8 показаны проекции траектории относительного движения при отсутствии управления. Видим, что в относительном движении есть незначительный уход. На рис.9 и 10 показан результат применения управления к такой формации. Видим, что хотя размеры формации увеличились, исчез вековой уход. Величина управления построена на рис.11. Все траектории также построены на пяти витках.

0.2

0.15

0.1

-0.05

ч

0.5

1 1.5

X, т

2.5

Рис.4: Относительное движение в плоскости орбиты при разности в наклонениях с управлением.

1000

500

-500

-1000

150^

0.5

1 1.5 X, т

2.5

Рис.5: Относительное движение в плоскости перпендикулярной плоскости орбиты при разности в наклонениях с управлением.

х104

Рис.7: Относительное движение в плоскости орбиты при слабоэксцентрической орбите дочернего спутника без управления.

Рис.8: Относительное движение в плоскости перпендикулярной плоскости орбиты при слабоэксцентрической орбите дочернего спутника без управления.

х ю4

Рис.9: Относительное движение в плоскости орбиты при слабоэксцентрической орбите дочернего спутника без управления.

ю4

Рис.10: Относительное движение в плоскости перпендикулярной плоскости орбиты при слабоэксцентрической орбите дочернего спутника без управления.

Рис.11: Управление для устранения вековых уходов при эксцентрической орбите дочернего спутника.

6. Заключение

В работе проверена возможность устранения вековых уходов, возникающих из-за несферичности Земли, с помощью малого ограниченного управления.

Выведены уравнения движения в орбитальных элементах, учитывающие как несферичность, так и создаваемое управление. Проведено усреднение уравнений в предположении малости возмущений. Кроме того, непосредственно указаны аналитические выражения для управления, устраняющего вековые уходы в зависимости от начальных условий. Также показано, что существует область значений параметров, в которой величина управления сравнима с величиной возмущающего ускорения от несферичности Земли.

Для некоторых типичных примеров проведено численное моделирование относительного движения при помощи МЛТЬЛВ без использования методов усреднения. Показана состоятельность метода получения управления для устранения вековых уходов из-за гравитационного возмущения.

7. Благодарности

Работа поддержана РФФИ (N 06-01-00389, N 07-01-92001), Агентством по науке и инновациям (Контракт N 02.514.11.4068), FCT-Portuguese Fondation for Science and Technology.

Библиографический список

1. В.В.Белецкий. Очерки о движении космических тел. -М.: Наука, 1972, 360с.

2. David A.Vallado with contribution by Wayne D.MacClain. Fundamentals of Astrodynamics and Applications (Second Edition) / Space Technology Library, Microcosm Press, 2006.

3. Edwin Wnuk and Justyna Golebiewska. The relative motion of Earth orbiting satellites // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2005, v.91, №3-4, p.373-389.

4. C. Xu, R. Tsoi, N. Sneeuw. Analysis of J2-Perturbed Relative Orbits for Satellite Formation Flying. 2005, www.springerlink.com/index/n61013nw77q23627.pdf.

5. Dario Rocco Izzo. Formation Flying linear modeling. 2005, https://dspace.lib.cranfield.ac.uk/ handle/1826/882.

6. Hans-Peter Schaub, Srinivas R. Vadali, John L. Junkins, Kyle T. Alfriend. Spacecraft Formation Flying Control using Mean Orbit Elements // Journal of the Astronautical Sciences, 2000, v.48, №1, Jan.-March, p.69-87.

7. Kyle T. Alfriend, Srinivas R. Vadali, Hans-Peter Schaub. Formation flying satellites: control by an astrodynamicist // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2001, v.81, №1-2, p.57-62.

8. K.D. Kumara, H.C. Bangb, M.J. Tahkb. Satellite formation flying using along-track thrust // Acta Astronautica, 2007, v.61, №7-8, p.553-564.

9. И.Е. Зараменских. Множество достижимых траекторий относительного движения двух спутников при управлении вдоль вектора магнитного поля / Сборник трудов V Научно-практической конференции "Микротехнологии в авиации и космонавтике", -М.: 2007, 17-19 сентября, 10 с.

10. G.V. Smirnov, M. Ovchinnikov, A. Guerman. Use of solar radiation pressure to maintain a spatial satellite formation // Acta Astronautica, 2007, v 61, №6-7, Academy Transactions Note, p.724-728.

11. Haspeter Schaub. Relative orbit geometry through classical orbit element differences // Journal of Guidance, Navigation and Control, 2004, v.27, №5, Sept.-Oct., p.839-848.

12. М.Ф. Решетнев, А.А. Лебедев, В.А. Бартенев, М.Н. Красильщиков, В.А. Малышев, В.В. Малышев. Управление и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах. -М.: Машиностроение, 1988, 336с.

13. Д.Е. Охоцимский, Ю.Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета. -М.: Наука, 1990, 448с.

14. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Учебник для вузов, 6-е издание, испр. -М.: Наука, 1989, 624с.

Сведения об авторах

Зараменских Ирина Евгеньевна, МФТИ, аспирант. Контакты: flice@mail.ru.

Овчинников Михаил Юрьевич, Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, заведующий сектором, д.ф.-м.н., профессор.

Контакты: +7 495 250-78-13, ovchinni@keldysh.ru.

Ритус Ирина Владимировна, Институт математического моделирования РАН, старший научный сотрудник.

Контакты: ritus@imamod.ru.