Устранение влияния аберраций оптической системы автоматического рефрактометра на точность измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Устранение влияния аберраций оптической системы автоматического рефрактометра на точность

измерений.

Дерезовский Д.В. (derez@hotmail.com), Алехнович В.И

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

1. Введение.

Автоматический рефрактометр - один из основных приборов, применяемых для исследовательских работ в области химических приложений рефрактометрии [1;2]. Прибор позволяет определить показатель преломления с точностью порядка 0.00010.00001, т.е. до 0.01 % и даже до 0.001 % от измеряемой величины. В основе методов отражательной рефрактометрии лежат измерения интенсивности световых потоков, отраженных поверхностью объекта.

Измерения концентрации раствора на автоматическом рефрактометре [3] сводятся к определению сдвига кривой углового распределения коэффициента отражения контролируемого раствора относительно эталонного (рис.2).

С учетом коррекции формы кривой эталонного раствора, корреляционная методика определения критического угла фк контролируемого раствора дает необходимую точность до 0.1 пиксела (элемента) фотоприемного устройства [4]. Однако в реальных условиях корреляция идет на искаженных сигналах как эталона так и контролируемого раствора.

Искажения происходят из-за аберраций оптической системы, неточной настройки прибора, конечной разрешающей способности ФПУ. В результате, в реальных условиях распределения освещенности ФПУ от эталона и контролируемого раствора искажаются. Искажения из-за конечной разрешающей способности ФПУ постоянны, а аберрации оптической системы изменяются на различных участках ФПУ (рис. 3) и могут усиливаться неточной настройкой. Если бы эти искажения не изменялись, то корреляционная методика давала бы погрешность меньшую, чем требуемая точность, что подтверждается численными экспериментами (таблица 1 ).

Таблица 1. Зависимость смещения минимума корреляционной функции от коэффициента преломления для идеальных и равномерно искаженных сигналов.

П. 1.3357 1.3411 1.3465 1.3519 1.3576

Афид 19.38 57.85 96.93 136.72 179.34

Афиск 19.38 57.85 96.94 136.73 179.36

Однако аберрации оптической системы меняются, что влияет на форму корреляционной функции и, следовательно, на местоположение минимума. Вид аберраций ОС изображен на рис. 3, причем эти аберрации известны и имеют вид:

_ (х^)2

Ф(х>3) = ^е "2(х), (1)

где а(х) - функция концентрации энергии, которая в зависимости от х аппроксимируется следующей функцией:

а(х) = х1/с; где с отличается для различных световых пучков.

Под действием этих аберраций распределения освещенности изменяются (рис. 4).

х2

S(x) =\ Ф(Х,Б) -р^Б. (2)

Рис.4 Распределение освещенности в плоскости ФПУ под воздействием аберраций

оптической системы.

Таким образом, аберрации оптической системы не являются постоянными, что вносит погрешность в измерения сдвига минимума корреляционной функции. Это подтверждается численными экспериментами (таблица 2).

Таблица 2. Зависимость смещения минимума корреляционной функции от коэффициента преломления для идеальных и неравномерно искаженных сигналов.

п. 1.3357 1.3411 1.3465 1.3519 1.3576

Афид 19.38 57.85 96.93 136.72 179.34

Афиск 19.39 57.89 97.02 136.82 179.46

Из таблицы видно, что при больших коэффициентах преломления, ошибка в определении сдвига кривой контролируемого раствора достаточно велика. Поэтому необходимо устранить влияние аберраций оптической системы, а именно восстановить исходное распределение отраженного света для эталонного и контролируемого растворов из получаемых с ФПУ по известным аберрациям, решив обратную задачу.

2. Постановка обратной задачи восстановления неискаженного детерминированного сигнала (редукция к идеальному прибору).

Необходимо решить задачу получения действительного изображения из получаемого на приемнике при известных аберрациях оптической системы с учетом априорной информации об аппаратной функции прибора.

Входными данными для этой задачи являются сигнал, получаемый на приемнике для эталона и образца и аберрации оптической системы.

Интенсивность света в точке приемника определяется соотношением:

1ф х(Б) • у^Б = и, (3)

0

где у(б) - интенсивность света в точке в точке б без аберраций,

Фх(б) - аберрации оптической системы в точке х, причем эти аберрации различны для каждой получаемой точки.

Таким образом получаем уравнение :

ь

|Ф(х,б) • = и(х) (4)

0

Ядро этого уравнения задается из известных аберраций:

_ ( х-*')2

ф(х *) = «Ъ ^^(х) (5)

Данное уравнение является уравнением Фредгольма 1-го рода и соответствует некорректно поставленной задаче.

3. Решение обратной задачи восстановления неискаженного детерминированного сигнала.

Малые возмущения функции и(х), неизбежные, например при экспериментальном определении этой функции, могут приводить к существенным изменениям функции у(х) или к тому, что решения вообще не существует. В [5] показано, что в этом случае следует использовать методы регуляризации. В [6] в качестве приближенного решения рекомендуется использовать функцию уа(х), реализующую минимальное значение

сглаживающего функционала

ь ь ь

М а[ у, / ] = | [| К (х, *) • у _ / (х )]2 дх + а\ [р(*) • /(*) + ф) • у2(*)№ (6)

0 0 0

при фиксированных параметрах a, p(s), q(s). Очевидно, что данный функционал имеет минимум. Однако необходимо правильно выбрать параметры регуляризации a, p(s), q(s): если выбрать их слишком малыми, то решение окажется слишком «разболтанным», если же их выбрать слишком большими то решение окажется слишком «заглаженным».

Эта задача решена приближенно с использованием конечно- разностной

2 2

аппроксимации. Эта схема имеет порядок аппроксимации О(^ + hx ). Получаемая система линейных уравнений может быть решена с помощью метода Гаусса.

Описание метода решения.

Имеем функционал

b b b

M a[y, f ] = J [J K (x, s) ■ y (s)ds - f (x )]2 dx + aj [p(s) ■ y2(s) + q(s) ■ ~2(s)]ds. (7)

0 0 0

Рассмотрим случай p=const, q=const. Введем разностную сетку. Шаг сетки равен h=b/m, где m - число точек сетки. Имеем:

° m

J K (x,s)y (s)ds = X КуУД

0 i=0

(8)

ч Уг +1 - Уг

y ( s) = ~— , (9)

здесь h0=hm=h/2; h1=...=hm-1=h. Тогда уравнение (7) примет вид:

m m

ма = ХЬ[Xку - и]2 Ь[ру2 + *(у±17^)2]. (10)

ш=0 у=0 у=0 Ь

Минимальное значение М достигается при таких значениях ук, при которых выполняется условие

= 0,(к = 0..т), (11)

дУк

дм т т - Ук+1 + Ук Ук - Ук-1

— =Х Р<2ЩуЛ - и }К1}\ ] +а2\ {рУк + 4 +2 +^Г-1)}] = 0.(12)

% 1=0 у=0 П Ь

m

После преобразования получим

X КгЖ(XКуУА) -Х к1К1кЦ +Т2Т(Ук (рк2 + 2Я) - Ук+1Я - Ук-1 я) = 0. (13)

г = 0 ] = 0 г = 0 Й

Приняв:

т

К„, =Х ККМ, (14)

г = 0 т

gk = Х кгКгкиг , (15)

г = 0

получим систему линейных уравнений

т _ а

ХКу - & + ^2(Ук (рЙ + 2я) - Ук+1Я -Ук-1Я)=0 (16)

Решая ее, получим решение ук.

4. Численное моделирование (подтверждение результатов)

Итак, в данной работе мы решаем интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

V

\ф(Х ^ • = /(х), (17)

где ядро уравнения ф(х, s) задается из известных аберраций и описывается соотношением:

_ (х^)2

ф(х,в) = -гкле a(x), (18)

где а(х) - функция концентрации энергии, которую определим как линейно возрастающую

э(х)=Ъ + кх. (19)

Равномерные искажения не вносят значительных погрешностей в результат, поэтому случай к = 0 мы рассматривать не будем. Так как а(х) - возрастающая функция, то к > 0.

Рассмотрим, как влияет на результат изменение к при фиксированном Ь. На рис. 5 показана зависимость погрешности Аш определения минимума корреляционной функции в зависимости от к. При том, что к в реальных условиях лежит в пределах 0.02 - 0.03, получаем, что погрешность может достигать 0.08-0.16 пиксела (для достижения необходимой точности достаточно - 0.1 пиксела).

Рис. 5 Зависимость погрешности Аш определения минимума корреляционной функции в

зависимости от ядра расфокусировки

Таким образом, необходимо компенсировать эту ошибку. Попробуем восстановить исходное распределение, используя то же самое ядро, т.е. будем считать, что ядро известно, причем точно. На рис. 6 видно, что восстановленный сигнал значительно отличается от неискаженного.

Н П РПГ4<ЖКМ|1ППЛМН1Н НТгЬПЛН гНр. ВГГС-ГГЛМПН-ВИННЫЙ ПТИЛПН

Неискаженный сигнал

Восстановленный сигнал

/

Рис. 6 Исходный и восстановленный сигнал

Большие всплески восстановленной функции на границе света и тени можно объяснить разрывностью производной в этой точке.

Однако, одинаковые аберрации дают погрешность, которая значительно меньше требуемой для достижения заданной точности. Поэтому мы можем восстановить искаженные сигналы эталона и контролируемого раствора не до "идеальных", а до одинаково искаженных (рис. 7), а потом построить по ним корреляционную функцию.

Эталон

Раствор

Рис. 7. Восстановленные эталон и контролируемый раствор.

На рис. 8 изображена зависимость погрешности Аш определения минимума корреляционной функции для восстановленных сигналов в зависимости от ядра расфокусировки.

Рис. 8 Зависимость погрешности определения минимума корреляционной функции для восстановленных сигналов в зависимости от ядра расфокусировки.

Из графика видно, что ошибка определения минимума для восстановленных сигналов примерно в 2 раза меньше, а это значит, что при максимальной первоначальной ошибке 0.16 пиксела мы уменьшили её до 0.8 пиксела, что укладывается в необходимые допуски.

5. Восстановление сигнала при известных неточно аберрациях.

Выше мы получили результаты, сделав допущение, что нам известны точно и сигнал, получаемый на ФПУ, и аберрации оптической системы. Однако на практике это не так. Аберрации, которые известны из расчета оптической схемы, изменяются при неточной юстировке. Промоделируем данную ситуацию и оценим влияние ошибки задания аберраций на восстановление сигнала.

Исказим сигнал с коэффициентом к=0.025 и будем восстанавливать с коэффициентом к=0.017..0.029. На рис. 9 изображены результаты данного эксперимента.

.0 5 П-5&?

мя а

П.15

а.ш

а 375 П.ДЗТ П.Н I 25£ П.РГ5

0.11т II

0 15

Г>.11Р_

И :!:"11 М ОЭГ8

¡¡55Г

Am

восстановленного сигнала

Am искаженного сигнала

1?

ил

м.

1К.1

Рис. 9. Зависимость ошибки нахождения минимума для искаженного и восстановленного сигналов при изменяющемся ядре восстановления.

Из графика видно, что при коэффициенте к ядра восстановления меньшем того же коэффициента ядра искажения восстановление уменьшает ошибку, а при к> 0,0255 результат ухудшается.

Выводы.

^ аберрации оптической системы автоматического рефрактометра вносят ошибки в результат измерений, превышающие допустимые значения. Эти ошибки увеличиваются при неточной юстировке прибора; ^ разработана методика компенсации этих искажений, реализующая

регуляризирующий алгоритм Тихонова А.Н.; ^ для решения использовалась конечно-разностная аппроксимация, получаемая система линейных уравнений решалась с использованием метода Гаусса. Результаты этого решения были наилучшими при средних значениях параметров регуляризации p=0.001, ц=0.001. По данной методике удалось уменьшить рассматриваемую погрешность на 40-60%;

Список литературы.

1. М.В.Лейкин, Б.И.Молочников, В.Н.Морозов, Э.С. Шакирян Отражательная рефрактометрия. - Л.: Машиностроение. Ленинградское отделение, 1983. -240 с.

2. Иоффе Б.В. Рефрактометрические методы химии. 2-е изд., перераб. и доп. -Л: Химия, 1974. 400 с.

3. Алехнович В.И., Дерезовский Д.В., Тюменцев С.Ю. Автоматический рефрактометр для измерения состава и свойств пищевых сред // Состояние и проблемы технических измерений: Тез. докладов четвертой всероссийской научно-технической конференции. - М., 1997. - С.351-352.

4. Алехнович В.И., Дерезовский Д.В. Корреляционный метод определения критического угла для автоматического рефрактометра // Известия ВУЗов. Приборостроение. - 2001. -№4. -С.38-47.

5. Арамнович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1 964. - 240 с.

6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 288 с.