Устранение межсимвольных искажений в системах с многоуровневой амплитудно-импульсной модуляцией Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Устранение межсимвольных искажений в системах с многоуровневой амплитудно-импульсной модуляцией

Трещалин А.П.([email protected]), Дубовецкий А.З.

Московский Физико-Технический институт

1 Введение

В цифровых системах связи данные передаются через ограниченные по полосе каналы. Как правило, характеристика канала не полностью известна и меняется во времени. Например, при цифровой связи по коммутируемым телефонным сетям маршрут передачи сообщения определяется при каждом наборе номера. Поскольку маршрут заранее не известен, то априори неизвестны характеристики канала. Для таких каналов невозможно синтезировать оптимальные фиксированные фильтры для демодулятора.

Рассмотрим проблему синтеза приемника в условиях искажений в канале, не известных априори, и наличия шума. Искажения в канале приводят к межсимвольным искажениям, которые вызывают ошибки. Задачу компенсации или существенного уменьшения межсимвольных искажений в принимаемом сигнале решает компенсатор межсимвольных искажений, который называют эквалайзером или выравнивателем.

Известны три метода выравнивания [1]. Первый метод основывается на правиле максимально правдоподобного детектирования последовательностей, и является оптимальным с точки зрения вероятности ошибки. Второй метод основывается на использовании линейного фильтра с регулируемыми коэффициентами. Третий метод выравнивания использует символы, продетектированные ранее, и осуществляет подавление межсимвольных искажений при детектировании текущего символа, называется эквалайзером с обратной связью по решению.

Алгоритм максимально правдоподобного детектирования последовательностей для канала с межсимвольными искажениями имеет вычислительную сложность, которая возрастает экспоненциально с длиной временного рассеяния в канале. Если объем алфавита символов равен М, число интерферирующих символов, обуславливающих межсимвольные искажения, равно Ь, то алгоритм Витерби [1] вычисляет Мь+1 метрик для каждого

нового принимаемого символа. Для большинства каналов, представляющих практический интерес, вычислительная сложность этого метода чрезмерно высока.

Поэтому в большинстве практических систем применяется субоптимальный подход для компенсации межсимвольных искажений [1].

Например, используется линейный трансверсальный фильтр. Структура этого фильтра имеет вычислительную сложность, являющуюся линейной функцией от величины канального рассеяния Ь. Линейный фильтр, наиболее часто используемый для выравнивания, это трансверсальный фильтр. Его входом является последовательность {ьк}, а его выходом являются оценки информационной последовательности {1к}. Оценку к-го символа можно выразить так:

к

I к = ^ сзук-з, (1)

з=-к

где {с^} - это 2К + 1 комплекснозначных взвешивающих коэффициентов для ячеек фильтра. Оценка 1к квантуется до ближайшего информационного символа, таким образом формируется решение 1к. Если 1к не идентично передаваемому символу 1к, имеет место ошибка.

Эквалайзер с обратной связью по решению состоит из двух фильтров, фильтра прямой и фильтра обратной связи. Входом для прямого фильтра является принимаемая символьная последовательность ик. С учетом этого прямой фильтр идентичен линейному транс-версальному эквалайзеру. Фильтр обратной связи имеет на входе последовательность решений по предшествующим продетектированным символам. Функционально фильтр обратной связи используется для устранения в предстоящей оценке части межсимвольных искажений, вызванной предыдущими продетектированными символами.

Два критерия нашли широкое распространение для оптимизации коэффициентов {с^} эквалайзера. Один - это критерий пикового искажения, а второй - критерий среднеквадратичной ошибки. Однако каждый метод имеет существенные недостатки. Эквалайзер, построенный по критерию пикового искажения, усиливает шум. В свою очередь эквалайзер, построенный по критерию среднеквадратичной ошибки, хотя и получил наибольшее распространение, не является оптимальным с точки зрения вероятности появления ошибки.

Поскольку наиболее употребительная мера качества для цифровой системы связи - это

средняя вероятность ошибки, желательно выбирать коэффициенты так, чтобы минимизировать этот показатель качества[2][3].

2 Стохастический градиентный алгоритм

Рассмотрим систему с многоуровневой нелинейной амплитудно-импульсной модуляцией.

Предположим, что из канала приходят отсчеты сигнала

ик-1

Гк кг8(к - г) + п(к) (2)

г=0

где Кк - коэффициенты импульсного отклика, пк - длина импульсного отклика, гауссов-ский белый шум {пк} имеет нулевое среднее и дисперсию и символы в(к) принимают значения из набора

£ = 1 < I < М} (3)

Отношение сигнал/шум для канала определяется

пк -1 2

БМП 4 Н2)% (4)

где а2 - дисперсия символов. Линейный эквалайзер длины т имеет вид

у(к) = wT г(к) (5)

где г(к) = [г (к) г (к — 1)...г(к — т + 1)]Т - принимаемый зашумленный сигнал, а w = [ш0т1...тт-1]Т - вектор коэффициентов эквалайзера. Выход эквалайзера у(к) подается на детектор уровня, который делает оценку §(к — й) переданного символа в(к — й), где 0 < й < т + пк — 2 - задержка эквалайзера.

Используя стандартное векторное обозначение, вектор принимаемого сигнала может быть записан

г(к) = г(к) + п(к) = Нэ(к) + п(к) (6)

где п(к) = [п(к)п(к — 1)...п(к — т + 1)]Т, т х (т + пь — 1) матрица импульсного отклика

канала имеет форму

н

Ло Ьх ••• К— 0

0 к0 Н1

Ки-1

0 • • • 0 к0 к1 где обозначает 1-й столбец Н и

Лпь-1

Ъ0 • • • Ъ

т+пи-2

(7)

Б(к) = [в(к)в(к - 1)...в(к - т - пн + 2)]

т

(8)

Заметим, что s(k) имеет N = Мт+Пк 1 возможных комбинаций, обозначаемых sj•, 1 < з <

Ы8. Таким образом, г(к) может принимать значения из набора состояний канала

П = {г, = Hsj, 1 < з < Я8} Этот набор может быть разделен на M наборов в зависимости от значений в(к - ¿)

Пг = {fj е П\в(к - д) = вг}, 1 < г < M Аналогично представим у(к) как

(9)

(10)

у(к) = wт (г(к) + п(к)) = у(к) + е(к)

(11)

где е(к) - гауссовское с нулевым средним и дисперсией wтwan, а у(к) принимает значения из набора

У = Ы = wT^, 1 < з < (12)

Этот набор может быть разделен на М наборов в зависимости от значений в(к - ¿)

Уг = {у, еУ\в(к - д) = вг}, 1 < 1 < М (13)

Пусть комбинированный импульсный отклик эквалайзера и канала с определяется

СТ = WT Н = WT [ЬоЬ1...Ьт+п,-2 ] = [СоС1...Ст+пи-2] (14)

Тогда у(к) может быть выражено

у(к) = стs(k) + е(к) = сав(к - ¿) + ^ сгв(к - г) + е(к)

г=а

0

0

Первый член - искомый сигнал, второй член представляет межсимвольную интерференцию. Таким образом, "обычное"решение принимается согласно

«1, if у(к) < («1 + Ъ^са, 8(к — й)=\ в1, if « — Ъ-1)СЛ < у (к) < « + Ъг С Ьг I = 2,М — 1, (16) вы, if у(к) > (вы — Ъы-1)сй.

Функция условной плотности вероятности у(к) при в(к — й) = вг выражается

1 ^ (у -Г,{г))2

рУ у«) = м я- ехр(—) (17)

^ьУ2пап\/wT w 2anw w

где NsЬ = Ns/M - число точек в Уг и уг(г) е Уг. Для Уг,1 = 2, ...,М — 1 ошибка возникает, если у(к) находится вне зоны [сл(вг — Ъг-1),сл(вг + Ъг))]. Для У1 и Уы ошибка возникает только с одной стороны. Условная вероятность появления ошибки для I = 2,...,М — 1

1 М°Ь Г (а1-Ь1-1)са г те (у _ у(г))2

рЕ,гЫ = £{/ + } ехР(— о 2WгW (18)

¡у.ьУ 2пОпУ WT w г=1 3- те и ('1+Ь[)са 20 nУ w

Условная вероятность появления ошибки для I = 1

1 М'"Ь Г те ( у, _ у(1) )2

ре 1Ы) =-—-/ ехр(— (у' 0 ) )йуа (19)

Е 'Ц ^ п ^/WTw ]ы+ъ^ 2a^wTw Уа У '

Условная вероятность появления ошибки для I = М

1 М°Ь г(ам-Ьм-1)са (у _ Аы))2

рЕ11^) = г^^ ехр(—[у; 2 УТ й. (20)

^ У-те 2оП^ W

После некоторых преобразований получаем для I = 2,...,М — 1

1 №3Ь

РЕ,гМ = &(з1ггМ + д2г,гМ) (21)

аЬ г=1

где (г)

дЬ^) = (вг — у' , (22)

ОпУ wT w

92,^) = уг — )С", (23)

ОпЧ WT W

1 Г у2 Я(Х) = еМ—2)йу (24)

Имея в виду, что ошибка возникает только с одной стороны У1 и Ум, вероятность появления ошибки линейного эквалайзера может быть выражена как

1 M -1 Nsb Nsb Nsb

Pe(w) = MfNr-£ Q(g1M(w) + g2M(w)) + £ Q(g2M(w)) + £ Q(glM,i(w))] (25) sb l=2 i=1 i=1 i=1

Для нахождения минимальной вероятности появления ошибки символа можно использовать следующий алгоритм крутого спуска

w(j + 1) = w(j) - ßVPE(w(j)), (26)

где j - номер итерации, д - величина шага адаптации. Для повышения эффективности вычислений будем нормализовать w после каждой итерации

w

w = -== (27)

V w1 w

В реальности функция плотности вероятности не известна. Использование образца для оценки функции плотности вероятности известно как оценка плотности ядра [4]. Адаптивный градиентный алгоритм может быть получен заменой VPE(w) на VPE(w) в выражении для алгоритма крутого спуска. Для вывода пошагового (символ за символом) адаптивного алгоритма рассмотрим оценку одного отсчета py(ys)

py(ys) = —= exp(- (ys -?f))2) (28)

V2npn 2Pn

Используя непрерывный стохастический градиент и нормируя коэффициенты после каждого обновления, чтобы было w1 w = l, получаем следующий стохастический градиентный алгоритм:

На шаге K обновляем оценку канала hd(k) с помощью алгоритма наименьших квадратов с коэффициентом адаптации Д, вычисляем cd(k) = wT(k)hd(k) и обновляем вектор весовых коэффициентов

w(k + 1)= w(k) + -f-[exp(-(y(k) - Cd(8(k - d) - bl-1})2) X (r(k) - (s(k - d) - к,- 1)hd) +

V2npn 2Pn

(y(k) - Q(s(k- d) + b,))2) X ((s(k - d) + bl)hd - r(k))] (29)

2 2n

где адаптивный коэффициент Д и ширина n - два параметра алгоритма, которые должны быть соответствующим образом определены. Вектор весовых коэффициентов должен быть нормирован, чтобы удовлетворять условию wT(k + 1)w(k + 1) = 1.

3 Результаты моделирования

Для сравнения эффективности эквалайзеров, построенных по предлагаемому алгоритму и алгоритму наименьших квадратов, использовалась следующая модель.

Сигнал с многоуровневой нелинейной амплитудно-импульсной модуляцией и символьной частотой 8 кГц подается на вход эллиптического фильтра верхних частот 5-го порядка с бесконечной импульсной характеристикой и частотой среза 4 кГц. На выходе фильтра сигнал складывается с гауссовским шумом и подается на входы исследуемых эквалайзеров. На выходах эквалайзеров сигнал детектируется, сравнивается с исходным и вычисляется вероятность появления ошибки.

Результаты моделирования представлены на рисунке 1.

Equalizers comparison

10

10

10

он

E

со

10

10

24 26

-О- LMS

-в- Proposed algorithm

28 30 32

Eb/No (dB)

34 36

Рис. 1: Результаты моделирования (LMS-алгоритм наименьших квадратов)

4 Выводы

Из полученного графика видно, что эквалайзер, построенный по предлагаемому алгоритму, показывает лучшие результаты в сравнении с алгоритмом наименьших квадратов.

При этом предлагаемый алгоритм имеет, как и алгоритм наименьших квадратов, линейную зависимость числа необходимых операций от длины фильтра эквалайзера.

Список литературы

[1] Прокис Дж. Цифровая связь, пер. с англ. под ред. Д.Д. Кловского М.: Радио и связь, 2000 г. 800 с.

[2] C.-C. Yeh and J. R. Barry, "Adaptive Minimum Symbol-Error Rate Equalization for Quadrature-Amplitude Modulation", IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING, VOL. 51, NO. 12, DECEMBER 2003.

[3] S. Chen, B. Mulgrew, and L. and Hanzo, "Stochastic Least-Symbol-Error-Rate Adaptive Equalization for Pulse-Amplitude Modulation", ICASSP, pp. 2629-2632, Orlando, May 2002.

[4] B.W.Silverman, Density Estimation. London: Chapman Hall, 1996.