CC BY
228
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 127-142 Прикладная математика и информатика
УДК 004.932
Устранение гауссовского и пуассоновского шумов на растровых изображениях
Нгок Хоанг Тхань Данг
Аннотация. Рассмотрен новый метод устранения шума цифровых изображений на основе вариационного подхода. Данный метод используется для устранения шума гауссовского и пуассоновского типов. Построены два алгоритма для устранения шума на цифровых изображениях.
Ключевые слова: вариация, модель ИОЕ, гауссовский шум, пуассоновский шум, обработка изображений, уравнение Эйлера-Лагранжа.
1. Введение
Растровое (цифровое) изображение - это сигнал, полученный из аналогового с помощью дискретизации (представление набором отсчётов в поле носителя) и квантования (дискретизация по уровню сигнала). Растровые изображения создаются с помощью различного цифрового оборудования: цифровые камеры, рентгеновские сканеры и т.д. На практике такое оборудование может давать неожиданные эффекты. Один из них - это шум. Шум снижает качество изображения и приводит к плохим результатам обработки.
Задача устранения шума на изображениях остается актуальной. Для ее решения применяются различные подходы. Одним из них является вариационный подход, который обладает широкими возможностями [1-13] и хорошо изучен.
Вариационный подход для решения задач обработки изображений был, по-видимому, впервые использован в работах Рудина (Ь.1. Киёт). Им предложено использовать полную вариацию [1, 2, 12, 13] как инструмент для решения различных задач обработки изображений. Для задачи устранения шума была построена модель, получившая название КОР (Киёт-ОзЬег-Ра1еш1) [12, 13].
Однако модель КОР построена для устранения гауссовского шума, т.к. это - популярный тип шума. На практике также существует и другой важный тип шума, это - пуассоновский шум. Такой тип шума часто предполагается, например, при обработке рентгеновских снимков. Для
устранения такого шума была построена другая модель (T. Le, R. Chartrand, T.J. Asaki.) на основе ROF [14].
В настоящее время модель ROF широко используется во многих задачах обработки изображений [4—11]. Однако на практике существуют изображения, для обработки которых требуется комбинация двух типов шумов [15]. Считается, что медицинские изображения содержат пуассоновский шум. Но когда их переформатируют, например, bmp в jpeg, gif, png и т.д., то появляется ещё и гауссовский шум. В другом случае снимки электронных микроскопов в биомедицине также содержат такой тип шума [16, 17]. Обе рассмотренные модели устранения шума в этих случаях оказываются неэффективными в отдельности.
Идея данной статьи заключается в построении новой и более эффективной модели для устранения шумов указанных типов. При проведении экспериментов в исходные изображения в градациях серого добавлялся гауссовский и пуассоновский шумы. Аналогично можно поступать и с цветными изображениями, добавляя шум в каждую цветовую компоненту.
В данной статье сравнивается эффективность предложенной модели и других моделей, таких как модель ROF (полная вариация), модель с использованием медианного фильтра [18], модель с использованием фильтра Винера (Wiener) [19]. Данные модели считаются эффективными для устранения шума. Чтобы оценить качество изображений после восстановления были использованы критерии PSNR и SSIM [20, 21].
2. Задача устранения шума на изображении
Пусть в пространстве R2 задана ограниченная область О С R2. Пусть каждая точка ш € О определена своими координатами (x,y), где x = х(ш), y = у(ш). Кроме того, пусть каждая точка ш € О характеризуется тремя значениями и(ш) = u(x,y) € R, у(ш) = v(x,y) € R, п(ш) = n(x,y) € R.
В частности, рассматривая растровые изображения, мы полагаем, что область О состоит из элементов ш € О и образует прямоугольную область в R2, где x € X, y € Y, X и Y — соответствующие диапазоны значений координат.
В этих условиях назовём u(x, y) функцией яркости исходного изображения, v(x,y) — функцией яркости зашумлённого (реального) изображения, n(x, y) — интенсивностью шума на изображении в каждой точке ш € О.
Пусть заданы гладкая функция f (x,y) и ограниченная область О € R2. Тогда полная вариация VT[f] функции f (x,y) имеет вид [1, 2]:
Vt[f] = j |Vf | dxdy,
П
где V/ = (//), / = д//дж, /у = д//ду, |У/1 = ^/X + /у2.
Пусть снова заданы гладкая функция /(ж,у) и ограниченная область О С К2. Пусть функция /(ж, у) имеет полную вариацию Ут[/] < Тогда функция /(ж,у) имеет ограниченную вариацию [1, 2]. Будем считать, что в нашей задаче полная вариация ограничена, и использовать обозначение
Ут [/].
Предположив, что реальное изображение получено из исходного путём линейного искажения и добавления шума, опишем его функцию яркости операторным уравнением с линейным оператором А[-]:
г(ж,у) = А[и(ж,у)] + п(ж,у). (1)
Часто предполагается, что оператор А[-] = I[■] — тождественный. Тогда уравнение (1) имеет вид: г(ж,у) = и(ж,у) + п(ж,у).
В [1, 2, 12, 13, 22] было показано, что полная вариация стремится к минимуму для гладких изображений и становится значительной для негладких (зашумлённых), у которых функция яркости испытывает резкие колебания значений. Такими свойствами обладает функция яркости г(ж,у) зашумлённого изображения. Это предположение является основой для поиска функции яркости и(ж, у) при устранении шума на изображении как решение задачи
Ут [г] ^ шт .
Далее предположив, что функции яркости и и г являются случайными и существует их совместное распределение <^(г,и), рассмотрим условное распределение р(г|и) в каждой точке области О для фиксированного и(ж,у).
Допустим, что шум на изображении включает два типа: гауссовский шум и пуассоновский шум. Для плотности распределения гауссовского шума
Р1(г|и) = ехр(—(г - и)2/(2ст2))/(ст\/2Л),
где М1(г) = и — его математическое ожидание и ^(г) = а2 = о2 — его дисперсия, получим
1п(р1(г|и)) = -(г - и)2/(2о2) - 1п(ол/2Л).
Для плотности распределения пуассоновского шума
р2(г|и) = ехр(-и)и^/г!,
где М2(г) = и — его математическое ожидание и ^(г) = = и — его дисперсия, получим
1п(р2(г|и)) = -(и - г 1п(и)) - 1п(г!).
Очевидно, что для растровых изображений значение цвета в каждом пикселе является целым значением. Поэтому величина г! всегда определена.
Для комбинации гауссовского и пуассоновского шумов с коэффициентами Л1 и Лгде Л1 + Л2 = 1, получим
1п(р(у1и)) = Л1 \П(р1(У1П)) + Л2 \п(р2(у1п)), (2)
1п(р(у1и)) = -Л 1 (у - и)2/(2а2) - Л 2(и — у 1п(и)) +
7 = —Л 1 1п(а^/2П) — Л 21п(у!).
Пусть общая интенсивность зашумлённого изображения на изображении является постоянной величиной
п
Из (2) и (3) получим Л
= -J Н,>Ш)<Шу = const. (3)
У (v — и)2 + Л2(и — v dxdy = к, (4)
где к = aT — Y/ dxdy = const. п
Поэтому задача устранения шума имеет вид
u* = argmin J |Vu| dxdy u п
f (т^з- (v — u)2 + \2(u — v ln(u))) dxdy = к, ,п a
(5)
где функция яркости и представлена своими значениями и(х, у) в области П.
Для решения задачи (5) надо построить функционал Лагранжа:
L(u, т) = J \Vu\ dxdy + т ( J(v — u)2dxdy + Л2 J(u — v ln(u))dxdy — к
n V n n /
(6)
и найти его минимум в новой задаче безусловной оптимизации:
(u*, т*) = argmin L(u,t), (7)
и,т
где т = 0 — множитель Лагранжа, Л i и Л 2 — неизвестные коэффициенты линейной комбинации шумов двух типов.
3. Решение задачи устранения шума
Для решения задачи (7) можно применить известный метод множителей Лагранжа [23, 24, 25]. Однако считается, что для функционала Лагранжа в таком виде метод множителей Лагранжа неэффективен.
В этой статье используется другой метод — метод с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа [23].
Для решения задачи (7) используем следующую теорему о решении задачи оптимизации нелинейного функционала [23].
Пусть функция / (ж, у) определена в области О С К2 и является непрерывно дифференцируемой до второго порядка по двум переменным ж и у, где (ж, у) € О. Пусть функция д(ж, у) определена на границе дО области О.
Пусть /2 = д//дж и /у = д//ду. Рассмотрим выпуклый функционал Р(ж, у, /, /2, /у). Тогда решение задачи оптимизации
У Р(ж, у, /, /х, /у) ^у ^ шт,
Р/(ж,у,/,/х,/у) - 77-/(ж,у,/,/х,/у) - 77-/(ж,у,/,/х,/у) = о
1х>JУ) П
где / = д на границе дО, является решением уравнения Эйлера-Лагранжа
дд -Р/х (ж,у,/,/Х,/у) - ду
при условии / = д на дО, где Р/ = дР/д/, Р/х = дР/д/2, Р/у = дР/д/у.
Согласно (6), изменяемая часть функционала Р(и, т) образует подынтегральное выражение
IV«! + т(V - и)2 + т А2(и - V 1п(и)). Разделив на т и произведя замену переменной ^ = 1/т, получим
+ (V - «)2 + А2(и - V 1п(и)). Согласно приведённой выше теореме, получим
Р(ж, у, и, и2, иу) = + «у + 2"12 (V - «)2 + А2(и - V 1п(и)),
I? \ I \ П ^ Г «х „
Ри = (V - и) + А2 (1 -- ), = = V
СТ2 и _
. , .. + .. . , .. + иу
' I-) иу ^ I-
л/ их + иу л / «х + иу
где и2 = ди/дж, иу = ди/ду.
Тогда задача (7) решается как следующее уравнение Эйлера-Лагранжа
- А2 ^ - «) + А2(1 - «) - ^ (/и2 + и2 ) - ^ иу ' =0, (8
где
д их иу(и 22 «у и2«2у )
дж
^/и2 + «у у («2 + «у)3/2
д I иу 1 их(ихиуу иху иу)
дУ\^и1 + и*) (иХ + и2)3/2 ' д2и д2и д (ди\ д (ди\
ихх — т; 2) иуу — т; 2) иху — т; I т; — "о- I — иух ■
дх2 ду2 дх ду ду дх
Таким образом, получим уравнение
Л. (у - и) - Л2(1 - у) + миххи2 -2ихиуиху+ ихиуу =0, где (9) а2 и (и2х + и2^
и — у на дП. (10)
Очевидно, что решение уравнения (9) для каждого элемента (х, у) € П зависит от выбора параметров Л1, Л2 и у. Если предположить, что функция яркости и идеального изображения известна, то она уже является решением задачи (7).
Тогда выполнение условия дЬ(и,г)/ди — 0 позволит найти неизвестные параметры Л1 и Л2:
т) = т | - J(у - u)dxdy + Л2 !(1 - и)(1х(1у \ — 0.
V п п /
Так как т — 0, то
Л1 у
-(у-и>(х(У + ъ/(1 - у)(х(у-0.
пп - /(у - и)(х(у + (1 - Л1) [(1 - — )(х(у — 0,
а2 и
п
Л1 | -1 I (у - и)(,х(,у + I (1 - — )(х(у\ — 1(1 - — )б,хб,у,
а2 и и
п
1(1 - V)(х(у
Л1 — / (у - и)ёхёу + / (1 - V )йхйу' Л2 Л1 ()
пп
Чтобы найти параметр у, рассмотрим выражение (8). Перенесём слагаемые с параметром у в правую часть, умножим обе части на (и - у) и, проинтегрировав их, получим
^ [(и - у)2(х(у + Л2 [ ——у— йхйу —
а2 и
пп
= и /(и - V) ( —. «2 | ^ж^у + и /(и - V) ( —. «у I ^ж^у.
П П М
«2 + «у / П ду \ л/и.2 + «у
(12)
Чтобы взять интегралы в правой части выражения (12), рассмотрим производные
д и2 д иу — («- ^ 2 и — («- ^—¡^-
дж V V«®+«у/ ду V V«®+«у.
Рассмотрим первую из них и получим
| (« _ V) «2 | = «2 (« _ v) + (« _ v) / _«2
дж \ /«2 I «2 / /«2 I «2 дж дж I /«2 I «2
\ V «2 + У / V «2 + «у \ У «2 + «у
Следовательно, получим ( _ ) д ( «2 \ = / ( _ ) «2 \ _ «2 ( _ )
Рассмотрим первое слагаемое в выражении (12):
д / и
/(и о £ (7
«2 ~| «у
^ж^у =
[ I (и - V) —. «2 | ^ж^у - [ —. «2 (и - V) ^у.
П дж V П дж
Согласно теореме Гаусса [26], получим
д / и2
/(и о £ (7
«2 I «у
^ж^у =
д / и \ [ и д
— I (и - V) . 2- 1 - . 2 = — (и - V) ^ж^у, где ^ € дО.
дп V V «2 + «у / п V «2 + «у
Согласно условию (10), окончательно для первого слагаемого в выражении (12) получим
/(« - V) | —. «2 | ^ж^у = - [ —. «2 (и - V) ^ж^у.
П дП^и2 + и^ П + «у дж
Аналогично получим в (12) выражение и для второго слагаемого
[ (и — у)-^ I — Уу ) йхйу = — [ — Уу д (и — у) йхйу.
I ЪУу/и* + и2у) I у/их + иу ду
Учитывая, что полученные выражения определяют правую часть (12), окончательно получим
I (— % (и — у)у — Ау^ ) йхйу у = ° ,-)-. (13)
Чтобы показать связь данной модели устранения шума с ранее предложенными моделями, перепишем уравнение (9) в следующем виде
А1и + АуСТ2 . иххиУ — 2ихиу иху + иХ иуу
-у— (у — и) +----372- = 0.
Уиа2 (иХ + иуГ2
Обозначив в = (А 1и + Ауау)/(уиа2), получим
иххи2у — 2ихиу иху + ихиуу п /-.,4
в(у — и) +----37у- = 0. (14)
(■их + иу)372
Таким образом, уравнение (14) оказывается известной моделью устранения гауссовского шума ИОР при коэффициенте у = (А1иа2 + + А2)/(виа2). Также обратим внимание, при коэффициенте у = в(А1и + + А2а2)/а2, где в — коэффициент регуляризации, получим другую известную модель [14] устранения пуассоновского шума
1 иххиу 2ихиу иху + ихиуу _
— (у — и) +----372- = 0.
виУ ' (их + иу)37 2
Наконец, обратим внимание, если в = 0 в модели ИОР, то получим модель сглаживания с сохранением границ [12].
4. Численные схемы решения задачи устранения шума
Очевидно, что решение задачи (7) в форме задачи (11) означает выполнение условия (10) в каждой точке (хг, у^); г = 1,..., N1; з = 1,..., N2 области О, где N1 и N2 — размеры растрового изображения по горизонтали и вертикали.
Будем решать уравнение (9) при ограничениях (10), итерационно пересчитывая значения некоторой функции ^:
= Фк + ьЖ; г = 1,...,^;з =1,...,N2, (15)
где, согласно (9), определим ее приращение
Ai
a2V"v TVJ' -- $
=£ (02 - ^) - A2 ^ - j + ^ ф^,
ф«
fc _ (^Xx)ij ад )ij )2 - )ij (^o )ij (c )ij+m )ij )2(^ ь-
ij /7 л,rn..^ i /лш..Л2)3/2
((W£ )ij )2 + ад )ij )2
V • - X+1,J_i-1'j (W/ V • =
2Ax ' vry/ J 2Ay
i-1'j Л,/,« \ _ Wz^ij — / \ „л2 ' Wyy)ij —
- 2^j + ^f-1'j (,fc ) — j - 2^j + j ij ~ (Ax)2 ' )ij — (Ay)2
)ij —-4AxAy-, i — !>•••> N1; j — !>•••> N2'
^Oj — ^lj, ^TVi+1'j — ^TVi'j, tó — ^°¡N2 + 1 — ^°N2 ;
k — 0,1, • • •; Ax — Ay — 1; 0 < £ < 1; например £ — 1/k, при начальных условиях
— Vij; i — 1,^,N1; j — V^,^ (16)
Будем считать, что процесс (15) при условиях (16) сходится при k ^ ^ то к функции u¿j. На практике значение k обычно ограничено k — K, где K является достаточно большим. При выполнении условия (9) принимаем
— uij.
Алгоритм 1. (Устранение шума при известных A1 и а) Шаг 0. A2 — 1 - A1; — Vij; i — 1, • • •, N1, j — 1, • • •, N2. Шаг k.
1. Вычислить по формуле (15).
2. Проверить условие остановки: k ^ K или |^ilj+1 - ^j | ^ е, где K-максимальное количество шагов итерации, е - достаточно малая погрешность, 0 < е < 1.
3. Если условие остановки выполнено, то стоп и Uij — . В противном случае перейти к шагу k — k + 1.
Пусть оценка функции яркости u в каждой точке изображения известна как функция ; i — j — Тогда, согласно (11) и (13),
получим оптимальные оценки параметров A1, A2 и ^ на каждом шаге k:
Ni N2
= £(1 - VijM°j )
AO — N1 N2 i=1 ' = 1-, AO — 1 - AO, (17)
£ £ ((Vij - ^Oj)/а2 + (1 - Vij/^Oj)) i=1j=1
N N (-% - ч)2 - XI)
Ук _ Э-N^2-— ^
г=1 з=1
пк _ ((Фу)Ц)2 + ((Фу )Ц)2 - (Фу)Ц (Ух)г3 - (Фку )Ц (Уу)гз /-
"" " 1,кУ_.)2
)и )2 + ((фу )и)2
(Фк V . _ фУ+1,з - (Фк V . _ + 1 - ^'Э-1
(Фх)гз _ 2Ах ' (фу)гз _ 2Ау
(у) .. _ уг+1,з - (у).. _ уг,з+1 - Чз-1 Ах _Ау _1
(Ух)гз _ 2Ах ' (Уу)гз _ 2Ау ' АХ _Ау _1
ФоЭ _ , фИ-1 + 1з _ фМ!3, _ Фу1 , Фу,М2 + 1 _ Фу,М2 ,
Щ _ у1], _ УМ!3, УгО _ уг1, уг,^+1 _ Уг,М2 ■
С помощью формул (17) и (18) построим алгоритм, в котором на каждом шаге итерации определяются оптимальные параметры Х1, Х2 и у.
В выражениях (17) и (18) необходимо использовать дисперсию
N1 N2
гауссовского шума а2 _ NN ^ ^ (Угз - иЭ)2. Проблема заключается в том,
г=1 з=1
что функция яркости и исходного изображения оказывается неизвестной. Поэтому для оценки среднеквадратичного отклонения (ско) гауссовского шума здесь использован результат Иммеркера (1шшегкег) [27]:
ПТ2 N1 N2
а _ 6№ -У№ - 2) £ • ц. ™> (19)
г=1 Э=1
( 1 -2 1 \
Л _ -2 4 -2 — т.н. лапласиан изображения.
VI -2 1 /
Операция * является конволюцией и определяется по следующей формуле: игз * Л_ Щ-13-1Л33 + щ,з-1Лз2 + щ+1,з-1Л31 + Щ-1,зЛ23+ игз Л22 + Щ+1з Л21 + Щ-1з+1 Л13 + щ^^Ли + и^^Ли, г _1,...,М1-, э _ 1,..., N2; игэ _ 0 при г _ 0, или Э _ 0, или г _ N1 + 1, или Э _ N2 + 1.
Алгоритм 2. (Устранение шума с определением Х1, Х2, у, а) Шаг 0. _ угз; г _ 1, ■ ■ ■ Э _ 1, ■ ■ ■, N и вычислить а по формуле (19). Шаг к.
1. Вычислить Хк,ХуУ по формулам (17).
2. Вычислить по формулам (18).
3. Вычислить j по формуле (15).
4. Проверить условие остановки: k ^ K или — I ^ е, где K — максимальное количество шагов итерации, е — достаточно малая погрешность, 0 < е < 1.
5. Если условие остановки выполнено, то стоп и Uj = . В противном случае перейти к шагу k = k + 1.
5. Оценки качества обработки
Для оценки качества обработки целесообразно применить критерии
PSNR (peak signal-to-noise ratio) и SSIM (structure similarity) [20, 21]: / \
Qpsnr = 10 lg
NL2
Ni N2
£ £ (uj - )2 \i=1j=1 /
_ (2Uv + Ci)(2auv + C2) , QSSTM = , 2 , 2-
(u2 + v2 + Ci)(a2 + a2 + C2)
1 Ni N2 1 Ni N2
N = N1N2i u = > v = ^E Evij>
i=1 j=1 i=1 j=1
1 Ni N2 1 Ni N2
= ^-r E - u)2, = E E(vij- v)2,
i=1 j=1 i=1 j=1
1 Ni N2
'uv - ^^Y E E(uij- u)(vij- v)> i=1 j=1
-
Ci = (KiL)2, C2 = (K2L)2; Ki < 1, K2 < 1,
где, например, Ki = K2 = 10-6, L — интенсивность яркости, например, для восьмибитового серого изображения L = 28 — 1 = 255.
Чем больше Qpsnr, тем лучше качество изображения. Если Qpsnr находится в интервале от 20 до 25, то качество такого изображения считается приемлемым [28], например, для беспроводной передачи. Функция Qpsnr не ограничена.
Функция Qssim оценивает качество учётом зрительного восприятия изображения человеком и обычно используется вместе с Qpsnr. Ее значение находится в интервале от —1 до 1. Чем больше Qss/m , тем лучше качество изображения.
Качество решения задачи (7) также дополнительно оценивалось по критерию Qmse = M[(u — u*)2] среднеквадратичной ошибки (mean-squared error), где M[■] — математическое ожидание.
6. Генерация зашумлённых изображений
В экспериментах использовано тестовое изображение размером 300 х х 300 пикселей, которое содержит шесть вертикальных полос (рис. 1,а). Интенсивность в градациях серого темных полос - 110, серых полос -130, светлых полос - 160. Количество темных, серых и светлых точек на изображении сделано одинаковым (по 30000 точек).
Для создания искусственного изображения были созданы два отдельных изображения: VI с гауссовским шумом и г>2 с пуассоновским шумом.
Сначала рассмотрим пуассоновский шум. В соответствии с распределением р2(г|и) для пуассоновского шума его ско = у'йу относительно -и^ в каждом пикселе изображения с координатами (г, ]); г = 1,..., N1; ] = 1,... ..., N2 позволяет получить значения зашумлённой функции яркости г^ (рис. 1,б).
Очевидно, что яркость г^ должна находиться в диапазоне 0 ^ г^ ^ 255. Поэтому, если в соответствии с распределением Р2(г|и) очередное значение яркости г^ выходит из этого диапазона, то будем считать, что исходная функция яркости не искажается г^ = . Оказалось, что на изображении (рис. 1,б) таких точек нет. В итоге, ско пуассоновского шума может быть определено только как среднее = = 11.5130, т.к.
имеется всего три градации яркости, а числа точек одной яркости одинаковы.
Пусть интенсивность гауссовского шума в четыре раза превышает интенсивность пуассоновского шума. Тогда зададим ско гауссовского шума как значение = 4ст2 = 46.0520.
Также очевидно, что яркость г^ снова должна находиться в диапазоне 0 ^ г^ ^ 255. Поэтому, если в соответствии с распределением р1(г|и) очередное значение яркости г^ выходит из этого диапазона, то снова будем считать, что функция яркости не искажается г^ = . Оказалось, что на изображении (рис. 1,в) таких точек 1063, т.е. 1.2% от всех точек изображения.
Для проведения эксперимента было построено зашумлённое изображение путём объединения функций яркости г1 и г2 двух предварительно зашумлённых изображений (рис. 1,б и 1,в) в заранее заданной пропорции: г = 0.6г1 + 0.4г2.
С учётом интенсивностей (ско) гауссовского и пуассоновского шумов оказалось, что они линейно комбинируются в пропорции Л1 : Л 2 = 6:1. Исходя из условия (2), где Л1 + Л2 = 1, получим, что Л1 = 6/7 = 0.8571 и Л2 = 1/7 = 0.1429.
В итоге, качество искусственного зашумлённого изображения оказывается достаточно низким, т.к. ^р^мя = 19.5643 < 20. Согласно [28], такое зашумленное изображение непригодно, например, для беспроводной передачи.
7. Экспериментальные результаты
Для устранения шума алгоритмом 1 рассмотрим три случая: Х1 _ _ 02, Х2 _ 0-8; Х1 _ 0-5, Х2 _ 0-5; Х1 _ 0-8571, Х2 _ 01429. Эти значения соответствуют ситуациям, когда мы, применяя алгоритм 1, плохо угадали пропорции, лучше угадали их и точно угадали.
Применение алгоритма 2 подразумевает, что будут получены оценки параметров, близкие к оптимальным. Величина у определяется, согласно (18).
Сравнительные результаты устранения шума алгоритмами 1 и 2 для разработанной в данной статье модели, а также для моделей ИОР, медианы и Винера показаны на рис. 1, в таблице.
Рис. 1. Результаты устранения шума: а - исходное изображение, б - с пуассоновским шумом (50 х 50), в - с гауссовским шумом (50 х 50), г - зашумлённое (50 х 50), д - после устранения шума (50 х 50)
На рис. 2 показан график значений яркости исходного, зашумлённого и восстановленного изображений.
8. Заключение
В данной статье предложен метод устранения гауссовского и пуассоновского шумов на изображениях на основе вариационного подхода. Разработаны два алгоритма устранения шумов в предположении, что оба вида шумов присутствуют в изображении.
Сравнение алгоритмов устранения шума
Критерии оценки Зашумлённое ИСЕ Медианный Фильтр Фильтр Винера
QPSNR 19.5643 35.1284 31.4844 30.1502
QSSIM 0.1036 0.9130 0.7797 0.6018
Q MSE 718.8782 19.9635 46.1996 62.8146
Критерии оценки Алгоритм 1 Хх _ 02 Х2 _ 0^8 у _ 01140 а _ 46.0520 Алгоритм 1 Хх _ Х2 _ 05 у _ 0.1745 а _ 460520 Алгоритм 1 Хх _ 08517 Х2 _ 01429 у _ 0Л738 а _ 46.0520 Алгоритм 2 Хх _ 08102 Х2 _ 0Л898 у _ 0^3846 а _ 45Л523
QPSNR 29.1325 37.0462 42.8237 42.7795
QssIм 0.5933 0.9453 0.9902 0.9900
Q MSE 79.4014 12.8370 3.3940 3.4287
Рис. 2. Значения оттенков серого исходного, зашумлённого и восстановленного изображений в области фрагмента 50 х 50 на уровне 125-го пикселя по горизонтали
Параметрами алгоритмов являются коэффициенты Х\ и Х2 линейной комбинации интенсивностей шумов. Эксперименты с алгоритмом 1 показывают, что точность угадывания этих коэффициентов сильно влияет на качество обработки. Алгоритм 2 самостоятельно получает эти оценки и предназначен для обработки реальных изображений.
Эксперименты показывают, что оптимальные значения параметров Х\ и Х2 позволяют существенно улучшить качество изображения. Например, полученные значения QpsNR > 40 позволяют осуществить беспроводную передачу такого изображения.
Список литературы
1. Chan T.F., Shen J. Image processing and analysis: Variational, PDE, Wavelet, and stochastic methods. SIAM, 2005. 400 p.
2. Level set and PDE based reconstruction methods in imaging / M. Burger [et al.]. Springer, 2008. 319 p.
3. An introduction to total variation for image analysis / A. Chambolle [et al.] // Theoretical foundations and numerical methods for sparse recovery. 2009. V. 9. P. 263-340.
4. Xu J., Feng X., Hao Y. A coupled variational model for image denoising using a duality strategy and split Bregman // Multidimensional systems and signal processing. 2014. V. 25. P. 83-94.
5. Rankovic N., Tuba M. Improved adaptive median filter for denoising ultrasound images // Advances in computer science. WSEAS ECC'12. 2012. P. 169-174.
6. Lysaker M., Tai X. Iterative image restoration combining total variation minimization and a second-order functional // International Journal of computer vision. 2006. V. 66. P. 5-18.
7. Li F., Shen C., Pi L. A new diffusion-based variational model for image denoising and segmentation // Journal mathematical imaging and vision. 2006. V. 26. № 1-2. P. 115-125.
8. Noise reduction with low dose CT data based on a modified ROF model // Y. Zhu [et al.] // Optics express. 2012. V. 20. N. 16. P. 17987-18004.
9. Tran M.P., Peteri R., Bergounioux M. Denoising 3D medical images using a second order variational model and wavelet shrinkage // Image analysis and recognition. 2012. V. 7325. P. 138-145.
10. Getreuer P. Rudin-Osher-Fatemi total variation denoising using split Bregman // IPOL 2012. URL: http://www.ipol.im/pub/art/2012/g-tvd/ (дата обращения: 23.07.2014).
11. Caselles V., Chambolle A., Novaga M. Handbook of mathematical methods in imaging. Springer, 2011. 1607 p.
12. Rudin L.I., Osher S., Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms // Physica D. 1992. V. 60. P. 259-268.
13. Chen K. Introduction to variational image processing models and application // International journal of computer mathematics. 2013. V. 90. N. 1. P. 1-8.
14. Le T., Chartrand R., Asaki T.J. A variational approach to reconstructing images corrupted by Poisson noise // Journal of mathematical imaging and vision. 2007. V. 27. № 3. P. 257-263.
15. Luisier FBlu T., Unser M. Image denoising in mixed Poisson-Gaussian noise // IEEE transaction on Image processing. 2011. V. 20. N. 3. P. 696-708.
16. Poisson-Gaussian noise parameter estimation in fluorescence microscopy imaging / A. Jezierska [et al.] // IEEE International Symposium on Biomedical Imaging 9th. 2012. P. 1663-1666.
17. An EM approach for Poisson-Gaussian noise modeling / A. Jezierska [et al.] // EUSIPCO 19th. 2011. V. 62. № 1. P. 13-30.
18. Wang C., Li T. An improved adaptive median filter for Image denoising // ICCEE. 2012. V. 53. N. 2.64. P. 393-398.
19. Abe C., Shimamura T. Iterative Edge-Preserving adaptive Wiener filter for image denoising // ICCEE. 2012. V. 4. N. 4. P. 503-506.
20. Image quality assessment: From error visibility to structural similarity / Z. Wang [et al.] // IEEE transaction on Image processing. 2004. V. 13. N. 4. P. 600-612.
21. Wang Z., Bovik A.C. Modern image quality assessment. Morgan & Claypool Publisher, 2006. 146 p.
22. Variational methods in Imaging / O. Scherzer [et al.]. Springer, 2009. 320 p.
23. Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications: Variational methods and optimization. Springer, 1985. 662 p.
24. Rubinov A., Yang X. Applied Optimization: Lagrange-type functions in constrained non-convex optimization. Springer, 2003. 286 p.
25. Gill P.E., Murray W. Numerical methods for constrained optimization. Academic Press Inc., 1974. 283 p.
26. Morse P.M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 1953. 1061 p.
27. Immerker J. Fast noise variance estimation // Computer vision and image understanding. 1996. V. 64. N. 2. P. 300-302.
28. ThomosN., Boulgouris N.V., Strintzis M.G. Optimized Transmission of JPEG2000 streams over Wireless channels // IEEE transactions on image processing. 2006. V. 15. N. 1. P. 54-67.
Данг Нгок Хоанг Тхань (myhoangthanh@yahoo.com), аспирант, кафедра информационной безопасности, Тульский государственный университет.
Poisson-Gaussian denoising on digital images
Ngoc Hoang Thanh Dang
Abstract. In this paper, we propose the method to remove noise on digital images. This method is based on variational approach. Proposed method is used to remove Poisson-Gaussian noise. Finally, we built two numerical algorithms to perform image denoising.
Keywords : variation, ROF model, Gaussian noise, Poisson noise, image processing, Euler-Lagrange equation.
Dang Ngoc Hoang Thanh (myhoangthanh@yahoo.com), postgraduate student, department of information security, Tula State University.
Поступила 02.11.2014
