Устойчивость вынужденных крутильных колебаний оснащенного стержня Текст научной статьи по специальности «Физика»

Анализ характера критических точек представлен на рис. 1-3, соответствующих случаям

В< 3/4 С (1), 3/4 С<В<С (2), В>С (3).

На рисунках знаком "+" (" —") отмечены точки минимума (максимума) функции (24), соответствующие устойчивым (неустойчивым) стационарным движениям (25), и приняты следующие обозначения:

2 C2,mgs 2 C2,mgs Ро = ~ 77' Рп ~

B-C

C — B

Ра

16 Зл/З

Bmgs

B

CB

а = arccos

B

3(C - B)

к/2

----------+ + + + + + + + + +

+ + + + + + +■ + + +++++++++++

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00290).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion. London: MacMillan, 1877.

2. Ляпунов А.М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. Харьков: Изд-во Харьков. матем. о-ва, 1888.

3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьков. матем. о-ва, 1892.

4. Salvadori L. Un' osservazione su di un criterio di stabilita del Routh // Rend. Accad. sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. lett. ed arti. Napoli. 1953. 20. 269-272.

5. Пожарицкий Г.К. О построении функции Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения // Прикл. матем. и механ. 1958. 22, вып. 2. 145-154.

6. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1976.

7. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по части переменных. М.: Наука, 1987.

8. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: УРСС Эдиториал, 1998.

Поступила в редакцию 17.12.2007

УДК 539.2:3

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫНУЖДЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ОСНАЩЕННОГО СТЕРЖНЯ

Г. Л. Бровко1, С. А. Кузичев2

Рассматривается модель оснащенного упругого стержня, в осредненном смысле демонстрирующая свойства одномерного континуума Коссера в продольно-крутильных движениях. Исследованы собственные и вынужденные (при нагрузке обтекающим потоком) крутильные колебания модели, выявлены условия устойчивости колебаний и условия выхода из колебательных режимов. Обнаружены характерные особенности движений: нали-

1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: glb@mech.math.msu.su.

2 Кузичев Сергей Александрович — студ. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kuzichev@gmail.com.

чие ровно двух различных форм и двух частот в каждой моде колебаний, а также выход в режим дивергенции с увеличением интенсивности внешних нагрузок.

Ключевые слова: континуум Коссера, оснащенный стержень, продольно-крутильные движения, собственные и вынужденные колебания, устойчивость, дивергенция.

An equipped elastic rod model demonstrating the one-dimensional Cosserat continuum properties under longitudinal and rotary motion is considered. Natural and forced-by-flow rotary oscillations are studied. Exact conditions of oscillatory stability and instability are obtained. The typical motion features are found: exactly two different forms and two different frequencies in each oscillation mode as well as the onset of a divergence mode with an increase of external load intensity.

Key words: Cosserat continuum, equipped rod, longitudinal-torsional motions, free and forced vibrations, stability, divergence.

Для построения одного из простейших вариантов одномерного континуума Коссера [1] в соответствии с методом механического моделирования А.А. Ильюшина [2], подобно конструктивному подходу работ [3, 4], используется модель оснащенного стержня — деформируемый массивный упругий стержень постоянного круглого сечения (несущий стержень), на упругой линии которого перпендикулярно к ней размещены через равные промежутки жесткие массивные диски (включения), способные вращаться в плоскостях, перпендикулярных стержню, вокруг своих осей симметрии, жестко закрепленных на оси стержня. Повороты дисков относительно элементов (поперечных сечений) несущего стержня регулируются упругими шарнирами. Предполагается также, что диски связаны друг с другом ременными передачами, обеспечивающими упругое сопротивление относительному повороту соседних дисков. Ячейкой конструкции называется повторяющийся элемент, включающий один из дисков и два полустержня, примыкающие к месту крепления этого диска с двух сторон.

Продольно-крутильные движения оснащенного стержня характеризуются продольными смещениями его точек, поворотами поперечных сечений несущего стержня и поворотами дисков-включений и сопровождаются системой силовых и моментных внешних воздействий на конструкцию, а также внутренних взаимодействий, векторы которых направлены вдоль оси стержня (остающегося прямолинейным). Состояние системы описывается двумя независимыми переменными — координатой х точки упругой линии стержня в недеформированной конфигурации и временем Ь.

Пользуясь принципом виртуальных работ, для каждой ячейки получаем уравнения динамического равновесия в виде

Здесь Е + и —Е- — векторы сил, действующих на правый и левый полустержни со стороны отброшенных правой и левой частей конструкции; М+ и —М-т — моменты, действующие на правый и левый полустержни со стороны отброшенных частей конструкции; Мв|кл и —М-кл — моменты, действующие на включение со стороны правого и левого соседних дисков; МВКЛ^ст — момент воздействия включения на элемент несущего стержня ячейки; Ь — проекция на ось х суммарного вектора внешних массовых сил, приложенных в центре х ячейки; тст.ист — момент всех внешних сил, действующих на элемент несущего стержня ячейки; твкл.ист — внешний момент, действующий на массивный диск-включение; и — продольное перемещение центра ячейки; фвкл — абсолютный угол поворота массивного диска; фст — абсолютный угол поворота сечения несущего стержня в центре ячейки; тяч — масса ячейки; ,1ст — момент инерции элемента несущего стержня; ,1вкл — момент инерции включения.

Считая размер а ячейки до деформации малым, при а ^ 0 в длинноволновом приближении, подобно [4], из (1) получаем осредненные континуальные уравнения движения оснащенного стержня

(1)

i

(

aF д2и

-Q¿ + t -РпОГ-Qp, J д 2 ^ст

dF

(2)

где функции F, Мст и Мвкл — осредненные значения продольной силы, крутящего момента несущего стержня и крутящего момента системы включений; Мвкл^ст — погонный (на единицу длины недеформи-рованной конфигурации) момент воздействия включений на стержень; b, тст и твкл — внешняя погонная продольная сила и внешние погонные моменты, действующие на стержень и на систему включений; рпог, J2 и J3 — константы осредненной модели: погонная плотность массы оснащенного стержня и погонные моменты инерции несущего стержня и системы включений.

Механические свойства системы характеризуются зависимостью внутренних силовых и моментных

параметров F, Мст, Мвкл и Мвкл^ст от кинематических параметров, выражаемых величинами и, уст

и увкл. В предположении малости деформационных характеристик системы — продольной деформации

ди дуст. „ дфвкл

——, крутки несущего стержня ——, степени закручивания системы включении —-— и относительного дх дх дх

поворота включений и элемента стержня увкл — уст — примем определяющие соотношения системы в виде линейных зависимостей ст

F = ESce4 ——, Мст = GJ\ ст,

дх дх (3)

Мвкл = С -—-, Мвкл—>ст = -?^(Увкл ~~ Уст))

4

пг4

где Е и G — модуль Юнга и модуль сдвига материала несущего стержня; ¿>сеч и J\ =--площадь и полярный момент инерции поперечного сечения стержня (r — радиус круглого сечения); K и C — константы упругости шарнирных креплений включений на несущем стержне и ременных связей между включениями. Первые два из соотношений (3) выражают в известном виде [5-8] упругие свойства несущего стержня при растяжении и кручении. Подстановка соотношений (3) в систему (2) приводит последнюю к виду

д2и д2и

^сеч^ + / = Рпог^, (4)

д2^ст д 2 ^ст

GJl QXT + ^(^вкл - Уст) + mCT = J2 ^ , (5)

д Увкл jst \ I т д Увкл f„\

С 0^2--ЩУвкл ~ Уст) + тВкл = Fi gt2 • (6)

Система уравнений (4)-(6) в указанных предположениях малости выражает в терминах кинематических параметров и, уст и увкл условия динамического равновесия упругого одномерного континуума Коссера [1] в продольно-крутильных движениях.

Уравнение (4) не зависит от прочих уравнений системы и представляет собой волновое уравнение для продольных перемещений и. Уравнения (5) и (6) составляют связанную (при K > 0) подсистему для углов поворота стержня уст и дисков увкл. Все внешние силовые и моментные воздействия (f, тст и твкл) и константы системы считаются известными.

Далее будем рассматривать лишь подсистему (5), (6) для крутильных движений, причем будем считать K > 0, C > 0.

Зададим граничные условия на концах стержня и на крайних включениях, т.е. при х = 0 и х = l, следующим образом:

Уст = 0, Увкл = 0. (7)

Внешние распределенные моментные воздействия на несущий стержень и на включения примем в

виде

тст = 0, твкл = аувкл (а = const е R). (8)

Второе из условий (8) может быть интерпретировано как моментное воздействие на включения со стороны обтекающего потока жидкости (газа), при котором положительная величина константы а соответствует потоку, усиливающему угловое отклонение включений, а отрицательная — потоку, стремящемуся уменьшить угловое отклонение включений; при а = 0 воздействие со стороны потока отсутствует.

Решение системы уравнений (5), (6) с учетом (8) ищем в виде пары функций

f уст(М)= С^ст(х)е^,

увкл (х^) = (х)е

iwt

Тогда система уравнений (5), (6) с учетом (8) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно амплитудных функций С^ст (х), С^вкл (х):

GJi d?Cfz(x) _ к{с {х) _ С (я.)) = -U*J2CVm(x),

C

d2C^ (x)

dx2

+ K(C^CT(x) - C^ (x)) + аС^вкл(x) = -^27зС^вкл (x).

(10)

(11)

(1x2' " \ <Рст\^) w^вкл

С учетом граничных условий (7) примем для (10)

í CVcT (x) = A sin px, [С^вкл (x) = B sin Px,

где А и В при ш/0 суть константы3, р = k G N.

Тогда наличие нетривиального решения вида (11) системы (10) обусловливается уравнением для частот и в виде

det

а11 — и

2

ai2

a2i а22 — и

2

= 0,

или в виде биквадратного уравнения

и4 — и2 tr а + det а = 0,

(12)

где элементы а^ матрицы а € Ма^М, 2, 2), ее след 1;г а и определитель ёе1 а выражаются равенствами ац = -^¡{К + С,1 \р2), а22 = + Ср2 — а), а\2 = —^ < 0, 021 = —^ < 0, 1га = ац + (122, detа =

ац а22 — а 12 а21.

Из уравнения (12) имеем ровно два различных действительных значения квадрата частоты и:

tr а

и12 =

(13)

так как D = tr2 а — 4det а = (а11 — а22)2 + 4а12а21 > 0. Примем в (13) и2 < и|, обозначим а1 = Cp2 + K —

gj^+k' а2 = СР2 + + i^i^Jip2 + К), заметим, что 0 < а,\ < ск2, и рассмотрим все возможные случаи:

Ídet а > 0 [ а < а1

^^ < ^^ а < а1;

tr а > 0 а < а2

1) и12 > 0

2) и2 ^ 0

det а ^ 0 tr а < 0

а2 < а ^ а1

а е 0;

3) и2 < 0 < и2 ^^ det а < 0 ^^ а > а1;

4) и2 = 0 ^^ det а = 0 ^^ а = а1.

Таким образом, в общем случае > 0, sgn (и2) = sgn (а1 — а).

В силу (9), (11) (с учетом пояснительной сноски к (11)) общее решение задачи (5)—(8) имеет вид

те

^(x,t) = £ [$2fc) sin Ци1^^ + 4fc)) + Ie<e(fc) (а)ф[к) sin (\и[к)\г + + k=1 1

+ (а)(Ф(1к)е 1 ^ 4 + Ф(1к)е- I ^ 4) + Ia=a1k)(а)(ф(к) + Ф1^)] sinpkx,

те

^вкл(x, t) = £ [а2к)Ф2к) sin (^t + 4к)) + Ie<e1k)(а)а1к)Ф<к) sin (^t + ^к)) + к=1 (

+ ' k (а)а1к) (Ф1к)е 1 ^ 4 + Ф 1к)е- 1 ^ 4) + I w (а)а1к) (ф1к) + Ф 1k)t)"

(14)

sin Рк x,

3 Случай ш = 0 означает, что пара функций (х), С^вкл (х) является собственной для оператора левых частей уравне-

ний (10). Тогда вместо (9) можно использовать представления вида рст = (х)Ь(Ь), ^вкл = (х)Ь(Ь) с произвольной линейной функцией времени Ь(Ь).

где функция А (С) — индикатор условия А (а именно 1а (О = 1, если условие А выполнено, и А(£) = 0 в противном случае), последовательность а^ = Ср\ + К — строго возрастает по к

тг к | (к), | (к), Дг (а(к))+л/ вместе с последовательностью Рк = —] кроме того, | = V —-2-> \ш2 \ = V—-2-'

а(к) = ^^ < 0) а(к) = > ^ ^ = ^ ))2 ^{к)) > ^ ^ ^{к)) = а(*)+а№

с^ (а(А:)) = а^а^ ~ «12021, а(и = + а^ = ^{К + Ср\ - а), а\2 = а21 = вели-

чины

ф(к), ф(к), ф(к)

, у^, — произвольные действительные константы (обеспечивающие сходимость

рядов в (14)).

Решение показывает, что при а < а^1) (в частности, при отсутствии внешних воздействий, когда а = 0) система испытывает только колебательные движения (в правых частях каждого из равенств (14) отличны от нуля только первые два слагаемых, стоящие в квадратных скобках под знаками суммирования), причем каждой моде колебаний (каждому натуральному значению к) соответствуют ровно две

формы колебаний с различными собственными частотами, а именно большей частоте соответствуют колебания, совершаемые включениями и несущими элементами стержня в противофазе (ак < 0), а

меньшей — их попутные колебания (ак > 0). Подобное свойство наличия двух различных частот и форм колебаний в каждой моде отмечено также для систем, исследованных в [4, 9].

п (к*) ^ „ (к*+1) / *

С увеличением параметра а, когда а1 ^ а < а1 с некоторым натуральным к*, система по-

прежнему испытывает колебания с большими частотами ш^к) в противофазе (первые слагаемые в квадратных скобках обеих частей (14)) при всех к € N и попутные колебания (вторые слагаемые) с меньшими

частотами ш(к) при к > к*, однако для к = 1,2,...,к* попутные колебания замещаются движением неограниченного одностороннего отклонения системы — экспоненциального по времени для к < к* (третьи слагаемые) и либо экспоненциального (при а > а(к*)), либо линейного (четвертые слагаемые) по времени (при а = а(к )) для к = к*. Движение неограниченного одностороннего отклонения системы может быть интерпретировано как известное явление "дивергенция".

Таким образом, рассмотренная модель, во-первых, дает простейший одномерный пример принципиальной реализуемости континуумов типа Коссера в виде усложненных систем (сред с усложненными свойствами и материалов конструкционного типа), во-вторых, демонстрирует отличительные особенности таких систем в их свободных и вынужденных движениях: наличие двух различных форм и двух частот в каждой моде колебательных режимов, а также возможность выхода в режим дивергенции с увеличением интенсивности внешних воздействий.

Рассмотренные в работе крутильные колебания оснащенного стержня составляют важный фрагмент движений, испытываемых удлиненными составными конструкциями, и могут быть использованы в исследовании соответствующих фрагментов движений обтекаемых плоскостей летательных аппаратов; антенных сооружений и подводных колонн с платформами, подверженными внешнему моментному воздействию воздушных потоков или подводных течений; электропроводов, утяжеленных обледенением; подвесных мостов с упругими вантовыми креплениями при воздействии ветра; составных элементов бурильных установок и других подобных конструкций.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00565-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Casserai E, Casserai F. Theorie des Corps Deformables. Paris: Hermann, 1909.

2. Бровко Г.Л., Ильюшин А.А. Об одной плоской модели перфорированных плит // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 83-91.

3. Бровко Г.Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2002. № 1. 75-91.

4. Бровко Г.Л., Иванова О.А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 1. 22-36.

5. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935.

6. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959.

7. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986.

8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

9. Атоян А.А., Саркисян С.О. Изучение свободных колебаний микрополярных упругих тонких пластин // Докл. НАН Армении. 2004. 104, № 4. 287-294.

Поступила в редакцию 19.12.2007

УДК 539.3

ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ШИНЕ

К. А. Лопухин1, C.B. Шешенин2

В работе исследуется эффективность одного варианта геометрического многосеточного метода для решения задачи о качении шины и производится подбор его оптимальных компонент. Построенный метод сходится эффективно для достаточно больших с практической точки зрения систем. Особенностью является измельчение сетки только по окружному направлению.

Ключевые слова: многосеточный метод, моделирование шины.

This paper studies one geometric multigrid method in a rolling tire problem, finding components that make it reasonably effective for solving systems that are large enough for real simulation. Its distinct feature is grid refinement in circumferential direction only.

Key words: multigrid method, tire simulation.

При численном моделировании качения шины приходится решать контактные задачи на каждом шаге дискретизации по времени [1]. Для этого используется контактный итерационный алгоритм [2-4], на каждой итерации которого встает необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений после дискретизации задачи методом конечных элементов. Размер системы, которую следует решать, составляет от 200 до 500 тысяч уравнений, причем число узлов в окружном направлении выбирается от 60 до 200. Такой размер системы позволяет использовать для решения системы многосеточные методы (ММ) [5]. Контактный алгоритм и внутренний итерационный процесс составляют вместе двухступенчатый итерационный метод, основное достоинство которого — небольшое число внутренних итераций.

Целью настоящей работы является исследование эффективности одного варианта ММ. Особенность данного варианта ММ состоит в измельчении сетки только в окружном направлении. Дело в том, что двумерная сетка в меридиональном сечении является очень сложной, что исключает применение геометрических ММ, когда измельчение идет по всем направлениям. Именно сильной неоднородностью и анизотропией материала обусловлена проблематичность применения геометрического ММ.

При использовании многосеточных методов система уравнений решается на нескольких сетках. Эффективность метода зависит от ряда факторов: функции перевода векторов с сетки на сетку; методов сглаживания и последующей коррекции ошибки; типа применяемых сеток и типа цикла. В то время как для многих модельных задач эти составляющие ММ хорошо исследованы, для нестандартных задач их правильный выбор требует проведения численных экспериментов.

Запишем решаемую линейную систему как

Lu = f. (1)

Простейшим вариантом многосеточного метода является V-цикл, составляющий основу для более сложных и эффективных ММ. Необходимо задать по крайней мере две сетки, грубую и мелкую, причем

1 Лопухин Константин Александрович — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kostia.lopuhin@gmail.com.

2 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shesheni@mech.math.msu.su.