CC BY
27
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2
М. В. Кликушина
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ*
Эффект локализации формы потери устойчивости вблизи свободного края пластины, по-видимому, впервые был описан в работе А. Ю. Ишлинского [1]. Локализация прогибов цилиндрических панелей и круговых цилиндрических оболочек вблизи свободных или слабо закрепленных краев при потере устойчивости под действием осевого сжатия исследована в книге П. Е. Товстика [2].
Локализованное вблизи свободного края приближенное решение задачи устойчивости цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением при осевом сжатии построено в работах [3] и [4]. Точное решение этой задачи представлено в статье [5].
В данной работе рассматривается задача устойчивости под действием осевой нагрузки цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением со свободными краями. При сечениях, близких к квадратному, для нахождения приближенного значения критической нагрузки применяется асимптотический метод. В качестве начального приближения используется решение задачи устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением. Проведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов методом конечных элементов.
1. Формулировка проблемы.
Рассмотрим упругую оболочку с прямоугольным поперечным сечением (рис. 1) под действием однородной распределенной нагрузки Т = На, где Н — толщина оболочки, а — напряжение. Одна стенка оболочки представляет собой пластину длиной а и шириной Ь, другая — длиной а и шириной с.
Рис. 1.
Уравнение для определения бокового перемещения (х,у) стенки с номером к имеет вид [6]:
ПААт(к) (х,у) + Нат($ (х,у) = 0, к = 1, 2, 3,4. (1)
В силу симметрии рассматриваем только первую и вторую стенки оболочки.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00327). © М. В. Кликушина, 2004
Воспользовавшись соотношениями для поперечных сил Qx, Qy, изгибающих моментов Мх, Му, МХу и кривизн кх, ку, кху прямоугольной оболочки [6]
Qx
дМх дМ:
ху
Мх
д2г
дх2 '
Qy =
у д
ду2 '
дМ„ дМ:
ху
дх ду ' у ду ' дх Б (кх + ^Ку), Му = Б (ку + Vкх,), Мху = Б (1 - V)кху,
д2w ху дхду
и сделав замену Q* = Q^|Б ^ Q^, можем записать уравнение (1) в виде
дф • —^--1-----ь Л7Г
дх
,д2w(k)
0,
(2)
(3)
(4)
(5)
ду ду2
где Л = На/(Бп2) —параметр нагрузки. Областью изменения х и у является множество П1 = ([-6, 0] и [0, с]) х [—а|2, а|2].
ч-
«я
J
Л
Ь
1 - Г
Рис. 2.
уР>
Граничные условия в месте соединения пластин (рис. 2) могут быть записаны в виде [3]
w(1) (0, у) = w(2)(0,y) = 0, wХ1) (0, у) = wХ) (0,у), wХХХ (0,у) = wХХХ (0,у). (6) Пусть выполнены граничные условия дМ(к) дчп(к)
<4*° + ^ + = = 0 при у = -а/2, у = а/2, к = 1,2, (7)
соответствующие свободным краям оболочки.
В силу симметрии оболочки, можем рассмотреть 1|2 каждой стенки. Положим 6 = 1, с = 1+ е. Тогда область изменения координат И2 = ([—1|2, 0]и [0, (1+ е)|2]) х [—а|2, а|2].
Имеются симметричная и антисимметричная по х формы потери устойчивости. Наименьшее собственное значение краевой задачи (5)—(7) соответствует симметричной форме, для которой граничные условия имеют вид
1 Л _,п(1) , 1
^'(-^у) = № + %
)\-ТуУ
0,
(2) I 1 + £
I ——; У
ду
2
(8)
0.
2. Приближенное решение задачи. Рассмотрим случай, когда е мало. Разложим решение уравнения (5) в ряд по е. Будем искать только два первых члена асимптотических рядов:
к
к
х
у
w(x,y) = wo(x,y)+ ewi(x,y) + ..., A = Ao + eAi + ... (9)
Аналогично раскладываются в ряд и поперечные силы, моменты и кривизны.
Подстановка (9) в уравнение (5) и граничные условия (6)-(8) дает задачу нулевого приближения (слагаемые, не содержащие е) и задачу первого приближения (слагаемые с множителем е1). Краевая задача нулевого приближения выглядит так:
dQ0kX dQ0k) 2 d2w0k) , ,
dx dy dy2
Qo>y+ + 0 ~ ' (и)
M0k =0 при y = -a/2, y = a/2, k = 1, 2,
w0X (0,У) = w0,l (0,У1 w<o1,lx(0,y) = w<o,l х(0,У1 w01) (0, y) = w01) (0, y) = 0.
(12)
В качестве нулевого приближения wo для обеих стенок возьмем функцию, удовлетворяющую шарнирному опиранию [3]:
w0(x, y) = W(y) sin (nx).
Решение задачи первого приближения удовлетворяет уравнению
dQ(k) dQ(k) d2 w(k) д 2 w(k)
°4l,x , °4l,y , Л W1 , Л „2d w0 n > -I 0 По\
5--1--Б--Н^отг —^-ñ--1-Ai7Í =0, к =1,2, (13)
dx dy dy2 dy2
и граничным условиям
„(k) dM¡k)v 2 dw(k) Л 2 3w(k)
+ + = (14)
M(k =0 при y = -a/2, y = a/2, k =1, 2,
wiX (0,У) = w?,l (0,у1 w<i,lx(0,y) = w<i,l х(0,у1 w[1) (0,y) = w[1) (0,y) = 0,
(1) f 1 \ n (2) f1 \ 1 (2) fl
ю í --,y = o, w) í [ -,y ) = --W,
(15)
i,x [~2,PJ ' Wl'x \2,V) = ~2W°'XX \2'У) '
dMfi. \ í 1 \ 1 д / (,, дм0с).
Введем скалярное произведение по формуле
а/2 2
(1, д) = / ! = J fgdS,
-а/2 1 5
где г = -1/2 или 1/2 для первой и второй стенки соответственно.
Скалярно умножая каждое уравнение (13) на wgk) и упрощая с помощью (14)—(16),
получим:
51 + Л1П2К )
2л„(1) „,,(1) ^ - I
52 + Л1п2^0 ) ,щ
где
51 = +2М0(^11)
52 =
+2M02^yw12)
а/2
I а
а/2 0
0 , ш0,уу а/2 -а/2
0,уУ (2)
(17)
1/2 а/2
I а
а/2 1/2
0
w1,y ^
0 0
¿у + / в1
-1/2 -1/2
/2 + Л«/ I «.(1).«(1)
а/2 -1/2
1/2 1/2
¿у + / в2 0 0 /2 /1/2 +Ц / wl2Уw02)
а/2 0
¿х — 2М1^01)
а/2 -а/2
/2 -а/2
-1/2
/2
-а/2
0 0
1/2
¿х — I w01У ^
+
/2
¿х
¿х — 2Ml2^yw02)
1/2
/2
1/2
а/2 -а/2
а/2
(18)
а/2
¿х —
(2) (2) %у w1 )
/2
¿х
а/2
в4 = Ql:)y+
ду
дм^
дх
„М
— М(;уw0:У + М0;уwl;y — wГ) I Q0:x +
„(О
ду дх
(19)
г = 1, 2.
Для нахождения параметра Л1 сложим уравнения (17) с учетом граничных условий (14)—(16). Получим следующую формулу:
Л1 = 11^2,
(20)
где
а/2
а/2 -а/2,
11 = —2 1 / Ш(Ш" — п2Ш) ¿у — (1 — v)WW'
\-а/2
а/2 а/2
12 = / ШШ"¿у — ШШ' .
-а/2 -а/2
В антисимметричном случае (Ш(—у) = — Ш(у)) функция
Ш = С1 вИ (П71 у) + С2 вИ (П72у)
является решением уравнения для оболочки с квадратным поперечным сечением с двумя свободными краями [5]. Здесь 71 2 = « ± «/?, а = а/4 — Ло/2, /3 = л/%э/2 зависят от Л0.
Параметр Л0 в антисимметричном случае представляет собой решение уравнения [5]
(Л0 — 3 + 2v + V2)в вИ(апа) + (Л0 — 1 + 2v — V2)а бЬ (впа) = 0.
(21)
Аналогичные формулы получены для симметричного случая Ш(—у) = Ш(у).
Интегралы /1 и /2 в (20) находятся численным методом при разных значениях а и е. Считаем V = 0.3.
Результаты вычислений приближенного значения Л приведены в таблице 1. Каждая строка подразделяется на две, где в первую записываем значения Л для антисимметричной формы потери устойчивости, а во вторую — для симметричной.
0
0
0
Таблица 1
е \ а 0.4 1.0 2.0 4.0 8.0 10.0
0.0 1.518 2.043 2.366 2.310 2.310 2.310
7.317 2.593 2.261 2.310 2.310 2.310
0.1 1.354 1.788 2.143 2.079 2.079 2.079
7.161 2.411 2.025 2.079 2.079 2.079
0.2 1.191 1.534 1.920 1.847 1.848 1.848
7.005 2.229 1.789 1.849 1.848 1.848
0.3 1.028 1.279 1.697 1.616 1.617 1.617
6.849 2.046 1.553 1.618 1.617 1.617
Видно, что при малом в значения параметра А для симметричной и антисимметричной форм сближаются при увеличении длины оболочки а.
3. Расчет в программе А01НА. Рассмотрим оболочку длиной а, с шириной одной стенки— 1, шириной второй стенки— 1 + в, где в меняется от 0 до 0.3 с шагом 0.1, и толщиной К = 0.01.
При моделировании оболочки в силу симметрии по длине и ширине можем рассматривать область = ([_ 1/2,0] и [0, (1 + в)/2]) х [0, а/2], т.е. окончательно мы берем 1 /4 каждой стенки.
Значения параметра критической нагрузки запишем в таблицу 2, которая подразделяется таким же способом, как и предыдущая таблица. Здесь М — количество элементов, на которые мы разбиваем 1/4 каждой стенки:
Таблица 2
е \ а 0.4 1.0 2.0 4.0 8.0 10.0
0.0 1.489 2.025 2.374 2.314 2.329 2.332
7.318 2.586 2.265 2.314 2.329 2.332
0.1 1.308 1.766 2.138 2.071 2.084 2.084
7.160 2.338 2.017 2.072 2.084 2.084
0.2 1.120 1.513 1.899 1.831 1.841 1.839
7.002 2.187 1.773 1.833 1.841 1.839
0.3 0.955 1.289 1.679 1.609 1.619 1.618
6.870 2.010 1.554 1.613 1.619 1.618
м (20 х 8) (20 х 20) (10 х 20) (10 х 40) (6 х 60) (6 х 60)
При сравнении результатов асимптотического метода и расчетов методом конечных элементов видно, что относительная погрешность параметра нагрузки уменьшается при увеличении длины оболочки и уменьшении параметра сечения е.
При увеличении е до 0.3 погрешность между результатами асимптотического метода и результатами расчета с помощью программы ADINA увеличивается до 7, 6%.
На рис. 3 можно видеть разницу между величиной приближенного значения параметра Л и значения, вычисленного методом конечных элементов, на примере оболочки длиной a = 8.
Область применимости асимптотического метода здесь шире, чем для оболочки с шарнирно опертыми краями.
Форма потери устойчивости для оболочки длиной 6 при е = 0.2 приведена на рис. 4.
Видно, что при малых е форма потери устойчивости для оболочки с прямоугольным поперечным сечением не отличается от формы потери устойчивости для оболочки с квадратным сечением, т.е. локализована в окрестности свободного края.
Summary
M. V. Klikushina. The buckling of the shell with the rectangular cross-section and free edges.
The cylindrical shell with the rectangular cross-section and free edges compressed between two absolutely hard parallel plates is considered. The asymptotic method for solution of the buckling problem for this shell is applied. The approximate analytical value of critical loading of the shell is obtained. The results of asymptotic method and of finite element analysis are compared.
Литература
1. Ишлинский А. Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин // Докл. АН СССР, 1954. Т. 95, №3. С. 477-479.
2. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. С. 261-281.
3. Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 3. C. 97-101.
4. Filippov S.B., Haseganu E., Smirnov A. L. Buckling analysis of axially-compressed square elastic tubes with weakly supported edges // Technishe Mechanik, 2000. Т. 2, №1. С. 13-20.
5. Кликушина М. В., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением, имеющей два свободных края // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2001. Вып. 1. C. 86-92.
6. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. ОГИЗ-Гостехиздат, 1946. С. 291-302. Статья поступила в редакцию 7 октября 2003 г.
