Устойчивость течений колебательно возбужденных газов. Энергетический подход Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 735-737

УДК 532.5.013.4

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНО ВОЗБУЖДЕННЫХ ГАЗОВ.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

© 2011 г. Ю.Н. Григорьев1, И.В. Ершов1

1Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск ^Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет

grigor@ict.nsc.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

В рамках энергетической теории устойчивости сжимаемых течений рассмотрена линейная и нелинейная устойчивость плоскопараллельных течений колебательно неравновесного газа. Показано, что создаваемый термической релаксацией диссипативный эффект существенно повышает устойчивость течений и подавляет вихревые возмущения.

Ключевые слова: устойчивость, колебательная неравновесность, уравнение Ландау - Теллера, функционал энергии, критическое число Рейнольдса.

Линейная устойчивость невязких сдвиговых течений

Математической моделью течений колебательно неравновесного газа служит система уравнений двухтемпературной гидродинамики. Она включает в себя систему Навье—Стокса сжимаемого газа и уравнение Ландау—Теллера, описывающее релаксацию колебательных мод в терминах колебательной температуры:

(

Р

T дТ

—-+ui—v

dt dx_

\

Y

d

dTv

’ dxi

\

P(T - Tv)

ууЯеРг дxiк

Уравнение состояния записывается через статическую температуру потока уМ0p =pT. Уравнения двухтемпературной газовой динамики (ГД) получаются из нее занулением всех коэф -фициентов молекулярного переноса. Устойчивость невязких сдвиговых течений рассматривалась в [1] на основе линеаризованной системы ГД. Для интеграла энергии в форме

u2 + v2 + m2 p2 +

Y vTv

Y M(2

dQ

о /

получено уравнение энергетического баланса

•P(T - T) dQ-

dE _ с dU y

------— — I uv---------------------dQ —

dt J dy

Y2 M о2

3 i <(Tj—LLdQ,

2 Re,

YT

где последний интеграл в правой части положительно определен и в явном виде показывает диссипативный эффект процесса колебательной релаксации, повышающий устойчивость

сжимаемого плоскопараллельного течения по сравнению со случаем идеального газа в локальном термодинамическом равновесии. Изучена устойчивость течений относительно плоских волн q х exp[ia(x - ct)], где a > 0 - вещественное волновое число; c = cr + ici — комплексная фазовая скорость. Для функции давления получено самосопряженное уравнение вида

[W2(n-1)H' + [a2(m2M2 -W~2)W2n +

+ nWn (Wn-3W')'] — 0,

p — WnH, W — Us - c * 0.

При n = 0 из его квадратичной формы следует первое условие Рэлея, необходимое для развития неустойчивости:

U ■ — a < c < b — U .

min r max

При некотором дополнительном ограничении на ее основе доказывается теорема Ховарда о полукруге, ограничивающем фазовую скорость развивающейся неустойчивости неравенством

[cr - (a + b)/2]2 + c2 < [(a - b)/2]2.

При n = 1 получается соотношение, обобщающее на случай колебательно возбужденного газа известное условие Рэлея о необходимости точки перегиба на профиле скорости для развития инерционной неусточивости. Кроме того, при n = 0 рассчитывались инкременты нарастания возмущений для профиля скорости Us = th у. Показано, что релаксация, подобно сжимаемости, снижает инкременты нарастания неустойчивых мод.

T

Критические числа Рейнольдса для плоского течения Куэтта

Для оценки влияния релаксации на критические числа Рейнольдса рассматривалась устойчивость плоского течения Куэтта на основе энергетической теории устойчивости, распространенной авторами на случай течений колебательно возбужденного газа. Из полной системы уравнений двухтемпературной гидродинамики с коэффициентами переноса, зависящими от температуры, выводились уравнения для возмущений гидродинамических переменных. Последние использовались в двух вариантах — линеаризованном для малых амплитуд возмущений и нелинейном, без ограничения на амплитуды. Для них строились уравнения энергетического баланса для интеграла энергии в форме

Е =

1Г

2і

р(«2 + V2 + Т '2 +уу X) +

1

уМ с

-Р

ёО.

-2

-1

О

Рис. 1

значения критических чисел Рейнольдса Яес достигаются на продольных модах в > О, 5 = О. На рис. 1 представлены изолинии числа Рейнольдса Яе(Р, 5) для числа Маха потока М0 = = 0.5 и объемной вязкости пь = О.

На рис. 2 показано, что возрастание степени неравновесности колебательной моды и времени колебательной релаксации приводит к росту значений критических чисел Рейнольдса.

Отсюда в соответствии с энергетической теорией устойчивости при ёЕ/& = 0 получались вариационные задачи для критических чисел Рейнольдса Яес . Соответствующие уравнения Эйлера—Лагранжа после отделения периодических переменных приводятся к спектральным задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых спектральным параметром служит число Рейнольдса. Их анализ показал, что качественные свойства спектров собственных значений для линеаризованного и нелинейного случаев совпадают.

Задачи решались численно методом колло-каций с использованием ^-^-алгоритма. Расчеты показали, что в обоих случаях минимальные

Рис. 2

Диссипация возмущений при закритических числах Рейнольдса

Для закритических чисел Рейнольдса на основе численного интегрирования полной системы уравнений двухтемпературной гидродинамики исследовано влияние релаксации на развитие неустойчивости Кельвина — Гельмгольца. Рассматривался поток с иХх2) = Ш у, Т = = Ту = 1. В качестве начальных возмущений компонент вектора скорости и термодинамических величин использовались рассчитанные в [1] невязкие возмущения с наибольшими инкрементами нарастания. Результаты показывают, что возмущением колебательных мод можно на 10—15% повысить среднюю скорость диссипации кинетической энергии эволюционирующей вихревой структуры.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 08-01-00116.

Список литературы

1. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения колебательно возбужденного двухатомного газа // ПММ. 2011 (в печати).

в

1

STABILITY OF VIBRATIONALLY EXCITED GAS FLOWS. ENERGETIC APPROACH

Yu.N. Grigoryev, I. V. Ershov

Linear and nonlinear stability of plane-parallel vibrationally excited gas flows were considered in a framework of the energetic theory. It was shown that the dissipative effect created by thermal relaxation increases essentially the stability of such flows and suppresses vortex disturbances.

Keywords: stability, vibrational nonequilibrium, Landau- Teller equation energy functional, critical Reynolds number.