Устойчивость слоистой композитной ортотропной оболочки вращения при неравномерном по угловой координате внешнем давлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1349-1350

УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТОЙ КОМПОЗИТНОЙ ОРТОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ПО УГЛОВОЙ КООРДИНАТЕ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ

© 2011 г. А.Н. Андреев

Кемеровский госуниверситет

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Предложена расчетная методика определения критических параметров устойчивости слоистой композитной оболочки вращения, нагруженной неравномерно распределенным внешним давлением. Приведены результаты исследований устойчивости конической оболочки.

Ключевые слова: оболочка вращения, устойчивость, неравномерное внешнее давление, расчетная методика.

1. Определение основного состояния оболочки

Основное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных дифференциальных уравнений изгиба многослойной оболочки, несущей поперечную нагрузку [1]

vaTав- Щуам аЯ = о,

гар_

(1)

Ьав^ + VpVaMaP = д„ (,, ф), - бв= 0.

Здесь Va - символ ковариантного дифференцирования, МаХ, ... - усилия и моменты в от-счетной поверхности оболочки, 5, ф — соответственно меридиональная и угловая координаты. Уравнения (1), дополненные соотношениями упругости, деформации—перемещения, связи между усилиями и моментами в отсчетной поверхности оболочки и внутренними напряжениями в ее слоях составляют систему пяти дифференциальных уравнений двенадцатого порядка [1] относительно пяти обобщенных перемещений w, и5, иф, П5, Пф. Эта система должна интегрироваться при соответствующих краевых условиях. В рассмотренном ниже случае жесткого защемления краев эти условия заключаются в 2п-периодичности решения по угловой координате и в обращении в нуль обобщенных перемещений на торцах оболочки:

дw

при 5 = 0,1 w = —— = и5 = иф=п5 =пф= 0. (2)

Интенсивность дп(5, ф) внешнего давления зададим формулой

д„(5,ф) = Р £ап(5)ехр(шф), (3)

где P = const — параметр интенсивности давления. Введя 12-мерный вектор y безразмерных кинематических и силовых параметров напряженно-деформированного состояния оболочки [1], запишем уравнения ее изгиба и соответствующие им краевые условия в матричной форме (x = s/l) A (x, d / Эф)Эу / dx = B(x, d / Эф)у + f (x, ф), (4) My (0, ф) = Ny(1, ф) = 0. (5)

Решение задачи (4), (5) строим в виде

у( x, ф) = X у n (x) ехр(шф),

(6)

позволяющем удовлетворить условию 2п-перио-дичности по угловой координате. Подстановка (6) в (4), (5) и отделение угловой координаты приводит к распадающимся по индексу п линейным краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате численного решения этих краевых задачи с применением метода инвариантного погружения [1] определялись коэффициенты уп(х) разложений (6), а вместе с ними и характеристики основного напряженно-деформированного состояния оболочки.

2. Определение критических интенсивностей давления и соответствующих им форм потери устойчивости

В основу анализа устойчивости оболочки положим неклассические уравнения [1]:

vaтав- $ум аЯ= 0,

V аР^аМав-

П=—х>

n=—«>

1350

А.Н. Андреев

Va (T )-Va {Ta %) = 0

аф ~

в которых Т ав ,Па — усилия и углы поворота основного состояния. Уравнения (7), дополненные соотношениями упругости, вариации деформаций вариации перемещения, связи между вариациями усилий и моментов в отсчетной поверхности оболочки и вариациями внутренних напряжений в ее слоях составляют систему пяти дифференциальных уравнений двенадцатого порядка [1] относительно вариаций пяти обобщенных перемещений w, и, и п, Подставляя характеристики основного напряженно-деформированного состояния в уравнения устойчивости (7), приходим к линейной краевой задаче на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными, которую запишем в матричной форме (^ = Р / Е1С)

A (х, д / Эф) ду /Эх = = B( х, д / Эф)у + Щ х, д / Эф)у, (8) My (0, ф) = ^(С, ф) = 0. (9)

Решение этой задачи также строится в форме (6) тригонометрических рядов Фурье по угловой координате. Подстановка этих рядов в (8), (9) и отделение угловой координаты приводит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, не распадающейся по индексу

Va S ав- Qe = 0,

(7)

суммирования n на независимые конечномерные системы, причем эта ситуация сохраняется даже в том случае, когда ряд (3), задающий распределение интенсивности внешнего давления, сводится к конечной сумме. Для этого случая нагруже-ния сформулирован алгоритм выделения конечномерной подсистемы. Получившаяся конечномерная краевая задача сведена к равносильной ей задаче определения характеристических чисел и собственных векторов системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода и решена численно с использованием метода Бубнова — Галер-кина в сочетании с обобщенной формой метода инвариантного погружения. Рассмотрена задача устойчивости жестко защемленной усеченной конической армированной оболочки, несущей поперечную нагрузку, распределенную по закону qn(x, ф) = P(1 + £cos Nip).

В расчетах использовалась структурная модель армированного слоя [1]. Выполнен параметрический анализ полученных решений. Даны численные оценки влияния поперечных сдвигов и моментности основного состояния на критические интенсивности внешнего давления.

Список литературы

1. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.

STABILITY OF A MULTILAYERED COMPOSITE ORTHOTROPIC SHELL OF REVOLUTION UNDER EXTERNAL PRESSURE NON-UNIFORMLY DISTRIBUTED ALONG THE ANGULAR COORDINATE

A.N. Andreev

A computational technique is proposed to determine critical parameters of stability of a layered composite orthotopic shell loaded with an external non-uniformly distributed pressure. The stability investigation results are given for a conical shell.

Keywords: shells of revolution, stability, non-uniform external pressure, computational technique.