Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.9

Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний*

В. С. Анищенко, С. М. Николаев

Саратовский Государственный Университет 410026, Россия, Саратов, ул. Астраханская, 83 E-mail: wadim@chaos.ssu.runnet.ru, sergeyn@chaos.ssu.runnet.ru

Получено 11 сентября 2006 г.

Вводится новая автономная дифференциальная динамическая система размерности N = 4, имеющая в качестве решения устойчивые двухчастотные колебания. Показано, что система из двух генераторов квазипериодических колебаний с симметричной связью может иметь в качестве решения устойчивый четырехмерный тор с резонансными структурами на нем в виде трехмерного и двумерного тора. Установлено, что с ростом интенсивности шума, чем выше размерность тора, тем быстрее он разрушается.

Ключевые слова: квазипериодические колебания, синхронизация, хаос

V. S. Anishchenko, S. M. Nikolaev Stability, synchronization and destruction of quasiperiodic motions

We propose a new autonomous dynamical system of dimension N = 4 that demonstrates the regime of stable two-frequency motions. It is shown that system of two generators of quasiperiodic motions with symmetric coupling can realize motions on four-dimensional torus with resonant structures on it in the form of three- and two-dimensional torus. We show that with increase of noise intensity the higher the dimension of torus the faster it is destroyed.

Keywords: quasiperiodic motions, synchronization, chaos

Mathematical Subject Classifications: 39Axx, 93D05

‘Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы».

Введение

Квазипериодические колебания, их устойчивость, бифуркации и переходы к хаосу продолжают оставаться предметом детальных исследований специалистов [1,2]. Это обусловлено тем, что квазипериодические автоколебания являются наиболее сложными из регулярных и реализуются, как правило, в многомерных динамических системах N > 3. Интерес к анализу динамики систем с квазипериодическими аттракторами высокой размерности во многом обусловлен желанием решить проблему турбулентности [3]. В частности, до сих пор остается не совсем ясным вопрос о реализации механизма Ландау-Хопфа [4, 5], который предполагает возможность перехода к хаотической динамике за счет каскада бифуркаций рождения квазипериодических колебаний нарастающей размерности. Интерес к анализу этого механизма несколько уменьшился в связи с появлением результатов работ [6, 7], из которых следовало, что переход к хаосу осуществим при возмущении систем, реализующих режим трех- и четырехчастотных колебаний. Если это так, казалось бы, можно исключить из рассмотрения многомерные торы (N > 4), так как они не являются структурно устойчивыми. Однако возникает ряд проблем, требующих детального обсуждения. Во-первых, многими авторами установлено, что режимы квазипериодических автоколебаний с числом независимых частот N > 4 наблюдаются и могут быть устойчивыми (см. например [8]).

Далее, известно, что переход к хаосу возможен при разрушении тора минимальной размерности (N = 2) [9, 10]. Возникает вопрос, в чем состоит принципиальная особенность динамики систем в режиме трех- и четырехмерного тора? Ведь именно результат работ [6, 7] послужил основанием ввести в рассмотрение механизм Рюэля—Такенса в качестве альтернативы механизма Ландау—Хопфа!

В настоящей работе мы постараемся детально исследовать устойчивость, синхронизацию и индуцированный внешним шумом переход к хаосу в системе, реализующей режим автоколебаний с четырьмя независимыми частотами. Полученные результаты будут использованы в дальнейшем при анализе динамики систем, реализующих квазипериодические автоколебания более высокой размерности N > 4.

Для достижения поставленной цели мы вводим в рассмотрение новую автономную диссипативную динамическую систему, реализующую режим двухчастотных автоколебаний. Для получения четырехчастотных автоколебаний, которым в фазовом пространстве отвечает устойчивый четырехмерный тор, мы используем систему двух симметрично связанных систем, каждая из которых имеет решение в виде двухчастотных колебаний.

1. Генератор квазипериодических колебаний с двумя независимыми частотами

Рассмотрим в качестве исходной известную модель генератора Анищенко—Астахова [10], схема которого представлена на рис. 1. Генератор включает классический генератор Ван дер Поля, в котором введена дополнительная нелинейная инерционная обратная связь. Уравнения генератора представляют собой трехмерную динамическую систему с тремя параметрами:

X = тх + у — хх — йхъ,

У = —х, (1.1)

X = — дх + дФ(х).

Первые два уравнения системы (1.1) описывают генератор Ван дер Поля. В этом легко убедиться, положив X = 0, и используя Ф(ж) = ж2. Как было показано, система (1.1) реализует переход

Рис. 1. Схема генератора Анищенко—Астахова.

R о

Рис. 2. Схема инерционного каскада дополнительной обратной связи: а) генератора Анищенко—Астахова, б) генератора квазипериодических колебаний.

к хаосу с соответствии с теоремой Шильникова [11] при условии, что нелинейная функция Ф(ж) является асимметричной относительно переменной x и задается в виде:

ф(х)=1 (x)x2 r (x)41,x<0 (12)

или, например: ( ' )

$(x) = exp x — 1.

Условия асимметрии (1.2) обеспечивают существование в системе (1.1) особого решения в виде петли сепаратрисы седло-фокуса и, как следствие, реализацию режима спирального хаоса. С физической точки зрения это достигается за счет самосогласованного воздействия на основной усилитель со стороны обратной связи, заданной третьим уравнением в системе (1.1). При

малых амплитудах сигнала x(t) это воздействие незначительно, и система (1.1) генерирует пре-

дельный цикл. С ростом параметра возбуждения m интенсивность колебаний x(t) растет, сигнал обратной связи z(t) нарастает тоже, что вызывает нелинейное управление коэффициентом усиления основного усилителя. Система реализует последовательность бифуркаций удвоения периода циклов и переход к хаосу.

С целью обеспечения незатухающих двухчастотных колебаний в систему (1.1) необходимо ввести элемент, характеризуемый собственной частотой, отличающейся от резонансной частоты контура генератора. Одним из возможных способов является использование колебательного контура в цепи дополнительной обратной связи. Необходимо сделать так, чтобы сигнал обратной связи z(t) включал колебания независимой частоты, которые будут модулировать коэффициент усиления и обеспечивать квазипериодические автоколебания.

Обратимся к схемам, представленным на рис. 2. На Рис. 2(а) показана схема инерционного каскада дополнительной обратной связи генератора Анищенко—Астахова. Каскад представляет

собой RC-цепочку, описываемую одномерным дифференциальным уравнением (третье уравнение в системе (1.1)). На рис. 2(б) представлена схема видоизмененного инерционного каскада, который включает колебательный контур некоторой резонансной частоты. Уравнения, описывающие схему рис. 2(б), имеют вид:

где 7 — параметр затухания, а д — параметр, представляющий нормированную резонансную частоту нового фильтра. Нетрудно убедится, что уравнения (1.3) описывают диссипативный колебательный контур в режиме вынужденных колебаний:

Введем видоизменную обратную связь в генератор рис. 1 так, чтобы управляющий сигнал обратной связи представлял собой г(і) = ф(і). Уравнения генератора будут иметь вид:

Система (1.5) является нелинейной диссипативной динамической системой размерности N = 4 и характеризуется четырьмя управляющими параметрами: т — параметр возбуждения, ё — параметр нелинейной диссипации, 7 — параметр затухания и д — параметр инерционности фильтра. Существенными параметрами системы (1.5) являются два: параметр возбуждения генератора т и параметр инерционности д, характеризующий резонансную частоту фильтра.

При задании Ф(ж) в соответствии с (1.2) система (1.5) имеет решения в виде устойчивых двухчастотных колебаний. Пример указанного режима иллюстрирует рис. 3.

На рис. 4 представлена бифуркационная диаграмма системы (1.5) на плоскости основных управляющих параметров т и д для фиксированных значений 7 = 0.2 и ё = 0.001. Функция Ф(ж) в (1.5) задавалась в виде I(ж)ж2 (1.2).

На линии т = 0 в соответствии с мягкой бифуркацией Андронова—Хопфа рождается устойчивый предельный цикл То, который при пересечении бифуркационной линии 1\ претерпевает бифуркацию удвоения периода, на линии 12 бифуркацию удвоения периода претерпевает цикл, возникший на линии її (рис. 4). Бифуркационная линия ^ отвечает условию выхода на единичную окружность пары комплексно-сопряженных мультипликаторов цикла Т0 и мягкому рождению двумерного тора (^1)2 = в±^в, бифуркация Неймарка). Естественно, двигаясь вдоль линии ^ угол в будет пробегать множество рациональных значений, отвечающих резонансам на торе. В качестве примера на рис. 4 нанесена область резонанса в = 1:4, ограниченная линиями седло-узловых бифуркаций резонансного цикла на торе 1Г, опирающаяся на точку А коразмерности 2. Выше линии рождения тора ^ показана линия 1и, при пересечении которой снизу вверх наблюдается переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний. На линии їс имеет место кризис (разрушение) возникшего на линии 1и хаотического аттрактора. Линия 1ас отвечает бифуркации слияния и последующего исчезновения пары седловых циклов. На рис. 4 черным выделена область значений параметров т и д, в которой проведены эксперименты рассматриваемые ниже.

я = ф,

ф = —7ф + 7Ф(ж) — дг.

(1.3)

г + 7І + дг = 7 Ф(ж).

(1.4)

Ж = тж + у — ж ф — ёж3,

У = —ж, г = ф,

ф = —7ф + 7Ф(ж) — дг.

(1.5)

Рис. 3. Режим квазипериодических двухчастотных колебаний: а) временная реализация, б) проекция фазового портрета, в) спектр мощности. (т = 0.06, д = 0.5, 7 = 0.2, d = 0.001)

Рис. 4. Бифуркационная диаграмма режимов генератора (7 = 0.2, d = 0.001). — линии бифуркаций

удвоения периода циклов, 1г — линия рождения тора, 1и — линия разрушения тора, 1С — линия разрушения хаотического аттрактора, 1Г — линии, ограничивающие область резонанса на торе 1 : 4,1^С — линии кратных циклов, А — точка коразмерности 2, отвечающая условию ф = 1:4.

2. Исследуемая система

Рассмотрим систему двух связанных генераторов квазипериодических колебаний (1.5) с симметричной связью. Уравнения системы имеют следующий вид:

ж і = тжі + уі — жі фі — йжі + к(ж2 — жі), у і = —жі> іі = фі,

ф і = —7^і + 7 ф(жі) — д*і, (2 1)

ж 2 = тж2 + У2 — ж2 ф2 — Йж| + к(жі — ж2), ( . )

у2 = —ж2,

І2 = ф2,

ф2 = —7Ф2 + 7 Ф(ж2) — 5і ^2.

Интенсивность связи определяется параметром к. Зафиксируем значения параметров т = 0.06, 7 = 0.2, ^ = 0.55, й = 0.001. Значение параметра т = 0.06 специально выбрано заметно меньше критического т = т* = 0.08, при котором имеет место разрушение двумерного тора в отдельном генераторе (см. Рис. 4). При фиксированном значении параметра д = 0.55 первый генератор в автономном режиме демонстрирует квазипериодические колебания с двумя независимыми частотами /оі и /п. Несущая частота /о2 и частота модуляции /і2 второго генератора управляются параметром ді. В случае д = ді все частоты колебаний генераторов различны. Таким образом, варьируя параметр ді второго генератора относительно фиксированного параметра д первого генератора, можно менять расстройку по частотам модуляции и несущей.

Как показали исследования [12], области захвата частот модуляции и частот несущей взаимодействующих генераторов системы (2.1) различны: область захвата частоты модуляции лежит внутри области захвата несущей. При приближении параметра ді к параметру д при фиксированном значении параметра связи к сначала захватываются несущие частоты, а затем частоты модуляции и, соответственно, числа вращения 0і и 02 колебаний генераторов (0 = /і//о). Данное явление показано на Рис. 5(а-в), на котором изображены зависимости несущих частот, частот модуляции и чисел вращения генерируемых колебаний от параметра ді.

Помимо анализа временных реализаций колебаний генераторов их спектров мощности эффекты частичного и полного захвата можно диагноситровать по полному спектру ляпуновских характеристических показателей (ЛХП). На рис. 6 представлена зависимость ЛХП от параметра ді, соответствующая графикам на рис. 51.

Вне области синхронизации спектр ЛХП включает в качестве старших четыре нулевых показателя:

0, 0, 0, 0, , , , .

————

При пересечении линии 1С число нулевых показателей уменьшается до трех:

0, 0, 0, —, —, —, —, —.

Имеет место первый частичный резонанс, которому отвечает трехмерный тор, лежащий на гиперповерхности четырехмерного тора. На этом этапе несущие частоты колебаний генератров становятся равными. В области захвата числа вращения число нулевых показателей равно двум:

0, 0, — , —, — , —, —, — .

1 Расчеты спектра ЛХП проводились с использованием программы SimPack с детальным учетом скорости сходимости, позволяющим оценивать погрешность вычислений.

а)

б)

в)

Рис. 5. Зависимость частот колебаний генераторов от параметра д\ при фиксированном значении параметра связи к = 0.003: а) частоты модуляции, б) несущие частоты, в) числа вращения.

Т4 Тз Т2 Тз

Рис. 6. Эволюция спектра показателей Ляпунова при изменени параметра д\ (т = 0.06,7 = 0.2, д = 0.55, <1 = 0.001, к = 0.003). Л7,8 не изображены.

При этом становятся равными частоты модуляции и независимыми остаются лишь две частоты (несущая и частота модуляции). На поверхности четырехмерного тора появляется резонансная структура в виде двумерного тора.

Вне области синхронизации в системе (2.1) реализуется режим четырехмерного тора Т4. Этот режим можно назвать режимом биений при взаимодействии двумерных торов с различными числами вращения. С пересечением линий 1С внутрь области синхронизации имеет место переход Т4 ^ Т3, возникает трехмерный тор. Далее с пересечением линии 1т появляется двумерный тор Т3 ^ Т2. Таким образом, меняя параметр д1 относительно фиксированного парметра д, можно менять размерность резонансной струтктуры на четырехмерном торе.

3. Хаотизация квазипериодических колебаний под воздействием внешнего аддитивного шума

В соответствии с результатом Рюэля-Такенса при возмущении четырехмерного тора должна последовать хаотизация траекторий. Под возмущением в данном случае пони маются малые иенения вида функций в правых частях уравнений (2.1). Мы выберем наиболее общий способ: будем воздействовать на систему аддитивным источником белого шума. Согласно Винеру, белый шум содержит все возможные возмущения, однако надо отдавать себе отчет, что в этом случае система становится неавтономной. Уравнения системы примут вид:

х\ = тх\ + у\ — х\(р\ — (1х\ + к( Х2 — х\) + л/2-О^і (і),

Ш = -хъ

І1 = ф1,

01 = -7<рі +7Ф(жі) -дги

ж2 = тж2 + у2 - ж2</?2 - (1x1 + ^(жі “ Х2) + '

У2 = -х2,

І2 = Ф2,

Ф2 = -7^2 + 7Ф(Ж2) - ді^2.

Коэффициент \[2~В определяет интенсивность шумового воздействия, она одинакова для каждого из генераторов системы (3.1). Функции ^1 (і) и £2 (і) — случайные ^-коррелированные функции от времени с нормальным распределением и нулевым средним.

Согласно графику эволюции спектра ЛХП, показанному на Рис. 6, выберем три значения параметра д1, соответствующих колебаниям на двумерном, трехмерном и четырехмерном торе:

Т2 : д1 = 0.5505,

Тз : д1 = 0.555,

Т4 : д1 = 0.565.

Рассмотрим влияние белого шума интенсивности л/2 В на три выбранных режима. Все перечисленные режимы устойчивы к воздействию малого шума (\/2Г) < 0.0001). На рис. 7(а, б) изображены спектры колебаний при д = 0.5505. Данное значение параметра соответствует режиму двумерного тора в отсутствии шума. На Рис. 8(а, б) показаны спектры колебаний при д = 0.555, что соответствует режиму трехмерного тора. Спектры колебаний при значении д = 0.565, соответствующие четырехмерному тору, показаны на рис. 9(а, б). Как видно из приведенных рисунков, малый шум (Б = 0.0001) не разрушает установившихся для данных значений параметров квазипериодических колебаний. При увеличении шума (Б = 0.01) все три режима становятся

хаотическими. Необходимо выяснить: как зависит величина интенсивности шума, необходимая для перехода от квазипериодических к хаотическим колебаниям, от размерности тора?

а)

б)

Рис. 7. Спектры мощности колебаний а) \рШ = 0.0001, б) \рШ = 0.01. (д = 0.5505 — полная синхронизация)

а)

б)

Рис. 8. Спектры мощности колебаний а) л/213 = 0.0001, б) л/213 = 0.01. (д = 0.555 — частичная синхронизация)

I

I

а)

б)

Рис. 9. Спектры мощности колебаний а) \p2J3 = 0.0001, б) \p2J3 = 0.01. (д = 0.565 — несинхронный режим)

Для ответа на поставленный вопрос производился расчет старшего показателя Ляпунова выбранных режимов при увеличении интенсивности шума в системе. Результаты представлены на рис. 10. Как видно из рисунка, при увеличении интенсивности шума все рассматриваемые режимы разрушаются, и во всех случаях система переходит к режиму хаотических колебаний. Пунктирная линия на данном рисунке соответствует ошибке вычислений, которая составляла

0

Рис. 10. Зависимость старшего показателя Ляпунова от интенсивности шума л/213 для колебаний на Т4 (д = 0.565), Т3 (д = 0.555) Т2 (д = 0.5505).

АЛ ~ 5 х 10-5. На рис. 11 представлена зависимость критических интенсивностей шума, отвечающих переходу к хаосу для торов различной размерности. При увеличении интенсивности шума сначала возникает хаотизация траекторий на четырехмерном торе, затем фиксируется хаос при воздействии на режимы трехмерного и двумерного торов.

Как видно из приведенных выше результатов, все рассмотренные режимы квазипериодиче-ских колебаний устойчивы к воздействию малого шума. Однако, с увеличением его интенсивности во всех случаях происходил переход к хаосу. Малого шума (у/2Л < 0.0001) недостаточно, чтобы возник хаотический режим колебаний. При увеличении уровня шума, начиная с определенной амплитуды в системе устанавливается хаотический режим колебаний. Вначале, при малых интенсивностях шума, хаос возникает на четырехмерном торе. Резонансные структуры в виде трехмерного и двумерного торов оказываются более устойчивыми к шумовому воздействию. С ростом интенсивности шума вначале разрушается трехмерный тор и, наконец, двумерный тор.

Отметим одно важное обстоятельство. Воздействие шума может приводить к переключению системы на другой, хаотический аттрактор, который может возникнуть в окрестности тора. Тор при этом может существовать и характеризоваться регулярной квазипериодической структурой траекторий. Специальные расчеты с изменинием начальных условий показали, что в окрестности тора других притягивающих множеств обнаружить не удалось. В связи с этим мы полагаем, что воздействие шума приводит к хаотизации траекторий именно на четырехмерном торе.

4. Выводы

В результате проведенных исследований в работе предложена новая схема генератора двухчастотных колебаний и сформулирована его математическая модель. Модель является автономной динамической системой в Я4 с четырьмя управляющими параметрами (1.5). В зависимо-

0,007

а

а 0,004

0,002

0,006

0,005

0,003

0,001

0

2

3

4

п

Рис. 11. Зависимость интенсивности шума, при которой происходит переход к хаосу, от размерности тора п.

сти от значений параметров генератор реализует режимы периодических колебаний, бифуркации удвоения периода циклов, бифуркацию мягкого рождения двумерного тора, удвоения тора и переходы к хаосу через разрушение двумерного тора.

Области синхронизации несущих частот и частот модуляции в рассматриваемой системе из двух генераторов с симметричной связью не совпадают, поэтому при вариации параметров можно реализовать колебания на четырехмерном торе и наблюдать резонансные структуры на нем в виде трехмерного и двумерного торов. При этом все перечисленные режимы устойчивы и не разрушаются при малом шумовом возмущении.

С ростом интенсивности возмущения движение на четырехмерном торе хаотизируется. Резонансные структуры в виде трехмерного и двумерного торов препятствуют эффекту хаотизации. Однако с ростом возмущения и эти структуры становятся неустойчивыми и имеет место переход к хаосу.

Результаты настоящей работы дают основание полагать обоснованным факт хаотизации траекторий на четырехмерном торе при шумовом возмущении. Новой деталью в рассмотренной проблеме является установление того, что эффекты синхронизации в виде резонансных структур на четырехмерном торе повышают устойчивость квазипериодических колебаний и для перехода к хаосу требуют увеличения интенсивности шумовых возмущений.

Список литературы

[1] Гонченко С. В., Стенькин О. В., Шильников Л. П. О существовании счетного множетсва устойчивых и неустойчивых инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса с гете-роклиническими касаниями // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 1, с. 3—25.

[2] Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е., Нейман А. Б., Стрелкова Г И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М., 2003.

[3] Фрост У., Моулден Т. Турбулентность. Принципы и применения. М.: Мир, 1980.

[4] Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР, 1944, т. 44, № 8, с. 339—342.

[5] Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure. Apple. Math., 1948, V. 1,p. 303-322.

[6] Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys., 1971, V. 20, p. 167-192.

[7] Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi periodic flows on Tm, m ^ 3 // Commun. Math. Phys., 1978, V. 64, p. 35-40.

[8] Tavakol R., Tworkovsky A. An example of quasiperiodic motion on T4 // Phys. Lett. A, 1984, V. 100, No. 6, 273.

[9] В. С. Афраймович, Л. П. Шильников Инвариантные двумерные торы, их разрушение и сто-хастичность // В сб. «Методы качественной теории дифференциальных уравнений», Горьковский госуниверситет, Горький, 1983, с. 3-26.

[10] Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

[11] Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutorial // Int. J. Bif. Chaos., 1997, V. 7, No. 9, 1953.

[12] Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: synchronization of quasiperiodic motions // Phys. Rev. E, 2006, V. 73, 056202.