CC BY
2
КОГНИТИВНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.958 1!Ш1!ЫЫ..ЬтЕ1
DOI: 10.25559^тТО.17.202104.847-859
Устойчивость различных стационарных точек при малых колебаниях аэродинамического маятника в потоке квазистатической среды
Д. В. Беляков
ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», г. Москва, Российская Федерация
Адрес: 125993, Российская Федерация, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4 dimbel@ramЫerru
Аннотация
В статье построена и исследована математическая модели малых колебаний аэродинамического маятника в потоке движущейся среды. В качестве модели воздействия среды на тело принята модель квазистатического обтекания пластинки средой. Согласно этой гипотезе, аэродинамические силы, действующие на тело, прикладываются в центре давления. В нашей задаче центр давления является подвижным относительно пластинки. Получены уравнения движения для рассматриваемого тела. Проведен переход к новым безразмерным переменным. Показано нарушение единственности при определении угла атаки. Проведен параметрический анализ областей неоднозначности. Найдены все стационарные точки, являющиеся решениями уравнений равновесия. Показано, что в наиболее характерном положении равновесия, соответствующем состоянию покоя областей неоднозначности нет. Проведено исследование устойчивости различных нетривиальных положения равновесия, в которых реализован критерий Гурвица и изображены области устойчивости. Показано, что силы аэродинамического воздействия для тел с одними формами могут способствовать развитию автоколебаний, а для других затуханию. В математическом пакете MATLAB 18 написан комплекс программ, позволяющий находить стационарные точки, строить области устойчивости для каждой из них и проводить численное интегрирование уравнений, описывающих колебания тела, для того, чтобы подтвердить адекватность построенной математической модели.
Ключевые слова: тело, стационарный режим, устойчивость, область устойчивости флаттер Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Для цитирования: Беляков Д. В. Устойчивость различных стационарных точек при малых колебаниях аэродинамического маятника в потоке квазистатической среды // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2021. Т. 17, № 4. С. 847-859. doi: https://doi. org/10.25559/SITITO.17.202104.847-859
G ®
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.
Vol. 17, No. 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
Stability of Various Stationary Points with Small Oscillations of the Aerodynamic Pendulum in the Flow of a Quasi-Static Medium
In the article, a mathematical model of small oscillations of an aerodynamic pendulum in the flow of a moving medium is constructed and investigated. As a model of the effect of the medium on the body, the model of quasi-static flow around the plate by the medium is adopted. According to this hypothesis, the aerodynamic forces acting on the body are applied at the center of pressure. In our problem, the pressure center is movable relative to the plate. The equations of motion for the body under consideration are obtained. The transition to new dimensionless variables has been carried out. The violation of uniqueness in determining the angle of attack is shown. The parametric analysis of the ambiguity areas is carried out. All stationary points that are solutions of the equilibrium equations are found. It is shown that there is no ambiguity in the most characteristic equilibrium position corresponding to the state of rest. A study of the stability of various non-trivial equilibrium positions in which the Hurwitz criterion is implemented, and the stability regions are depicted is carried out. It is shown that the forces of aerodynamic action for bodies with some shapes can contribute to the development of self-oscillations, and for others to attenuation. The mathematical package MATLAB 18 contains a set of programs that allows you to find stationary points, build stability regions for each of them and perform numerical integration of equations describing body vibrations in order to confirm the adequacy of the constructed mathematical model.
Keywords: body, stationary mode, stability, stability region, flutter
The author declares no conflict of interest.
For citation: Belyakov D.V. Stability of Various Stationary Points with Small Oscillations of the Aerodynamic Pendulum in the Flow of a Quasi-Static Medium. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies andIT-Education. 2021; 17(4):847-859. doi: https:// doi.org/10.25559/SITITO.17.202104.847-859
D. V. Belyakov
Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation Address: 4 Volokolamskoe shosse, Moscow 125993, Russian Federation dimbel@rambler.ru
Abstract
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Введение
Исследования флаттера в СССР начались в середине 30-х годов. Советская авиация столкнулась с тем, что при увеличении скорости, при некотором критическом ее значении, самолеты начинало сильно трясти и они разрушались в воздухе. Вибрация нарастала настолько быстро, что у лётчика не оставалось времени на снижение скорости. От начала вибраций до разрушения самолета проходили считанные секунды. Над явлением флаттера ломали голову многие математики. Огромный вклад в решение проблемы внесли Е.П. Гроссман и М.В. Келдыш. С точки зрения теории колебаний летательный аппарат представляет из себя автоколебательную систему, источником энергии в которой служит набегающий поток, на который реагирует конструкция самолета. При интенсивных колебаниях аэродинамические напряжения могут достигнуть разрушающих значений. М.В. Келдыш показал, что флаттер это форма потери устойчивости он имеет резонансную природу, т. е. аналогичен эффекту резонанса, наблюдаемому при колебаниях упругой пружины с прикрепленной массой т и коэффициентом упругости k. Рассмотрим одну модельную задачу, в которой можно, несмотря на наличие нелинейных аэродинамических эффектов, можно использовать методы теории устойчивости по первому приближению.
Постановка задачи
Рассматрива ется задача о теле, представляющем из себя тонкую пластинку, установленную ортогонально стержню длины г . Тело закреплено в центре масс с помощью двух упруг их элементе 13 и совершает автоколебания I! потоке среды (см. рисунок 1). Введем неподвижную систсму координат СавУ. Будем считать, что в положении покоя маятник занимает положение равновесия° в котором он ориентирован по потоку. Будем считать, что центр масс тела может двигаться только по вертикальной прямой, а сивы деформации элементов крепления зависят от отклонений линейным образом и сводятся к восстанавливающей силе ^ = -кх и возвращающему моменту М = . Аэродинамические силы, приложенные к телу ериняты в соответствии с эмпирической теерией стационарного обтекания плоск 011 пластины.
Р и с. 1. Колебания тела сложной конфигурации в потоке среды F i g. 1. Complex Configuration Body Oscillations in Environment Flow
В рассматриваемой модели предполагается, что центр давления пластинки точку А можно считать подвижной относительно пластинки. Аналогичная задача, только с неподвижным центром давления рассматривалась в работе [1]. Сдвиг центра давления описывается функцией l(a) (см. рис 4 для X = 8 ), которая описывает расстояние между центром давления А и геометрическим центром пластинки G. Зависимость l(a) определена из продувок прямоугольных пластинок с заданным удлинением в аэродинамической трубе и является экспериментальными данными1. Аэродинамические силы, действующие на каждую пластинку, разложим на две составляющл е: сила сопротивления SA, направленная против скорости 'л точки А относительно потока среды, и подъемная сила PA, направленные ей ортогонально. При этом величины аэродинамических сил равны:
| SA |= s(a)V¡ = 0.5pacx(a)V¡ \Pa\= P(a)VA = 0.5 pac y (a)V¡
где a - угол атаки между вектором VA и пластинкой p,s - аэродинамические функции углов атаки ñx, ñy - безразмерные аэродинамические функции (см. рис 2,3 для X = 8 ), p - плотность воздуха, a - площадь одной пластинки. Вид аэродинамических функций для разных форм пластинок приводится в работе2. Будем считать, что среда не влияет на стержень. Составим уравнения движения рассматриваемого тела. В качестве обобщенных координат, определяющих положение тела, введем координату y центра масс тела и угол 3 отклонения пластинки от горизонтали.
Тогда теорема о движении центра масс в проекции на ось oY и теорема об изменении кинетического момента будут иметь вид:
my = s(a)VA(l(a)3sin3- r3cos 3-y)-p(a)VA(r3sin3+l(a)3cos3+V)-ky ^
J3 = r VAr(a) - l(a)VA n(a) - c3
где
r(a) = p(a) sin a- s(a) cos a n(a) = p(a) cos a + s(a) sin a
аэродинамические Функции нормальной и касательной сил. Кинематические соотношения, связывающие Va,a с y,y,3,3, имеют вид:
(2)
VA sin a = l(a )3 - y sin3 + V cos3 VA cosa = r3 + y cos3 + Vsin3
Таким образом, построена математическая модель колебаний пластинки, представляющая замкнутую систему уравнений (1)-(2).
Введем новые безразмерным переменным: Y = У_ безразмерная координата центра масс (здесь b - шири" b
на пластинки)
V безразмерное время
1 Табачников В. Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Труды ЦАГИ. 1974. № 1621. С. 79-93.
2 Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Изд-во Наука, 1988. 328 с.
Vol. 17, No. 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
Q =
ьз
v безразмерная угловая скорость
и = ^ безразмерная скорость центра давления
м = тЪ безразмерная масса
0.5 ра
к = _ к__, безразмерный коэффициент жесткости пружины
0.5 ра¥2
C
0.5 paV2 безразмерный коэффициент восстанавливающего момента пружины
j = J безразмерный момент инерции
0.5 pab
е(а) =11аа- безразмерная функция сдвига центра давления * = í^™™,»
При переходе к новым безразмерным переменным уравнения
(1) преобразуются к виду:
MY = cx (a)U (RQcosS + Qs(a)srnS-Y) + cy (a)U (RQsinS+Qír(a)cosS + 1)-KY JS = U2 (RcT(a)-s(a)cn (a))- CS (3)
cn(a), cT(a) изображены на рисунках 5,6 для Х = 8
После простых преобразований кинематические соотношения
(2) будут иметь вид:
(4)
U sin a = s(a)Q - Y sin S + cos S U cos a = RQ + Y cos S + sin S
Таким образом, построена математическая модель колебаний пластинки, представляющая замкнутую систему уравнений
(3)-(4).
Неоднозначность определения угла атаки
В уравнения движения (3)-(4) рассматриваемой задачи входят функции cx(a),cy(a),cT(a),cn(a),e(a), являющиеся экспериментальными данными3. Решение задачи (3)-(4) можно найти только численно. При численном интегрировании уравнений движения, нужно сначала определить угол атаки из соотношений (4). Разделим первое уравнение (4) на второе и, избавляясь от U , получим:
(5)
ж a )Q - i sin s + coss
tga
e(a)Q - Y sin 3 + cos 3
пространстве. Можно изображать поверхности а=а(3, О), а = а(3,0), а = а(0, У) только при фиксированных значениях с У, либо 3, либо 3 . Подробная графическая интерпретация результатов решений уравнения (6) для прямоугольной пластинки с удлинением 1 = 8, из которой видно нарушение единственности определения угла атаки при некоторых значениях У ,3,3., проведена в работе [1].
Изобразим некоторые из этих поверхностей со складкой, внутри которой кинематические соотношения (4) имеют ровно по три решения. Остановимся на области неоднозначности для поверхности а = а(У,О) при фиксированном значении 3 = п изображен на рисунке 2.
10
ОТ ФАЗ ОВЫХ ПЕР I
Р и с. 2. Решения уравнения (6) в случае 3 = —
F i g. 2. Solutions to equation (6) in the case 3 = n
При уменьшении значения скорости центра масс 3 до нуля на рассматриваемой поверхности, и области неоднозначности уменьшаются в размерах и появляется симметрия. Изобразим на рисунке 4, последовательно находя численное решение уравнения (6), другую поверхность a = a(Q,Y) на участке неоднозначности при фиксированных значениях
угла 3 ориентации тела. Построенная для случая 3 = 0 поп
верхность симметрична относительно точки (0,0,—) и имеет по краям две складки, которые меньше по размеру, чем при 3 = П. 10
RQ + Y cos3 + sin3
Умножим правую и левую части уравнения (5) на знаменатель RQ + Y cos 3 +sin 3 ф 0
Если знаменатель все-таки обращается в нуль, то тогда может быть потеряно решение а =П-
2
Получим нелинейное уравнение (6), равносильное соотношению (5):
(RQ + Y cos 3+sin 3)tga -Y cos 3-- sin 3 = e(a)Q (6)
Мы можем решить уравнение (6) и найти угол атаки a при различных значениях фазовых переменных Y,3,3. Поверхность a = a(Y ,3,3) нельзя геометрически изобразить в трехмерном
Р и с. 3. Решения уравнения (6) при 3 = 0 . Области неоднозначности F i g. 3. Solutions of equation (6) at 3 = 0 . Areas of ambiguity
3 Локшин Б. Я., Привалов В. А., Самсонов В. А. Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. М.: Изд-во МГУ 1992.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 4. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
COGNITIVE INFORMATION TECHNOLOGIES IN CONTROL SYSTEMS
Возникает вопрос: какое решение при прохождении области неоднозначности является истинным, и по какому правилу можновыборатл нужную летвь поимоделиповании? Вентне-однознтчность углл атаки озиачвет, чде неодно-
значено те^1педео^е'С5с аэрьдид^1^яоеыпие фунпцин и сдвиг цек^-тра давления. Учитывая то, что характер обтекания маятника носит непрерывный характер, значения угла атаки a нужно выбирать, сохраняя его непрерывность. Приступим к проведению анализа положений равновесий для нашего тела.
Решение уравнений ыавновесия
Расспетрим 00ступателтое движтниы теоа. Найдем нозмож-ные стационарные решения.
При 7 = 0,0 = Оиз киоемати ческ их со оодошени0 (^учитывая, что в* = const,Y, = const следует, что tga, = ctgO,, откуда а,+в,= . Запишем уравнения равновесия для системы (7)
Г cy (а ) - kY, = O
71
RcT (а ) - s (а )cn (а ) = C (— а,)
(7)
Подробный анализ решений системы (7) в системе МАТЪАВ для пластинок, имеющих удлинение восемь при уменьшении коэффициента жесткости с от больших значений до нуля при К > 0 (тело ориентировано по потоку) и К < 0 (тело ориентировано против потока), был проведен в работах [2-6]. Можно отметить, что при уменьшении коэффициента появляются новые положения равновесия, происходит их ветвление и число стационарных точек увеличивается и когда мы доходим до С = 0, мыимеемуже счетноемножествостационарныхточек[7]. У рассматриваемого тела есть неочевидные изолированные положения равновесия. Все найденные стационарные точки
симметричны относительно положения
в = O, Y = O
тверждает симметрию рассматриваемой задачи. Для всех найденных стационарных точек уравнение (6) преобразуется к виду: tgа = сЩб . Это уравнение при фиксированном в имеет только одно решение, которое никогда не попадает в область неоднозначности. Таким образом, целесообразно проводить исследование устойчивости в рассматриваемых стационарных точках.
На этом анализ простейших положений равновесия можно закончить. Далее будет проведено исследование устойчивости произвольного положения равновесия: в = в,,У = У, в общем случае.
Построениеобласти устойчивости для произвольных стационарных точек
Будем считать, что маятник совершает малые колебания около произвольного положения равновесия У = У,,3 = 3, Исследуем его устойчивость. Для исследования устойчивости воспользуемся критерием Гурвица [8] для системы четвертого порядка.
Пусть У ^ У, и 3^3,. Введем малые отклонения: У = У, +АУ, 3 = 3, +А3.
Линеаризуем уравнения движения (3)-(4), если АГ ^ 0 и А3^ 0
Система уравнений первого приближения и условия Гурвица приведеныдляданнойзадачи в статье [2]. Их общий вид мы приводить не будем из-за того, что это доста-точнобольшиеигромоздкие выражения. Изобразим области устойчивости для положения У = 0,3, = 0 и для других положений (А,У.), близких к тривиальному положению равновесия на плоскости безразмерных параметров (Я,$). Рассмотрим, также некоторые другие стационарные точки, близкие к центральному положению равновесия [9-16].
что под-
1.5 ALFA
система устойчива
/
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
R
Р и с. 4. Область устойчивости в центральной точке у = 0,3, = 0 и C = 7 F i g. 4. Stability area at the central point Y, = 0,3 = 0 and C = 7
Vol. 17, No. 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
0.5
2.5
3
50
О 0
50
Исследуем как меняется область устойчивости с левой стороны от центральной точки Г, = 0,3, = 0 при уменьшении С.
ALFA
Р и с. 5. Область устойчивости при Y* = 0.345,3* = 0.0681 и C = 7 F i g. 5. Stability area at Y* = 0.345,3*= 0.0681 and C = 7
Ветви обоих парабол стали немного шире и размер области устойчивости увеличивается
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 4. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
Происходит дальнейшее увеличение области устойчивости. Нижняя парабола немного смещается вправо
10
-101-^-^-^-^-^-^-1
-2 -1 0 1 2 3 4 5
ALFA
система устойчива
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
R
Р и с. 7. Область устойчивости при Y* = 0.596 , 3* = 0.139 и C = 3 F i g. 7. Stability area at Y* = 0.596 ,3*= 0.139 and C = 3
Происходит дальнейшее увеличение области устойчивости. Нижняя парабола еще смещается вправо
10
-101-^-^-^-^-^-^-1
-2 -1 0 1 2 3 4 5
ALFA
система устойчива
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
R
Р и с. 8. Область устойчивости при Y* = 0.612 3* = 0.145 и C = 2.75 F i g. 8. Stability area at Y* = 0.612,3* = 0.145 and C = 2.75
Vol. 17, No. 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
Исследуем как меняется область устойчивости с левой стороны от центральной точки Г = 0 Д = 0
ALFA
Р и с. 9. Область устойчивости при Y* = -0.288,3* = -0.059 и C = 7.5 F i g. 9. Stability area at Y, = -0.288,3, = -0.059 and C = 7.5
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
R
Р и с. 10. Область устойчивости при Y* = -0.335 3* = -0.066 и C = 7.1 Fi g. 10. Stability area at Y. = -0.335,3.= -0.066 and C = 7.1
Здесь также происходит расширение и смещение парабол.
Граница области устойчивости является параболой и соответствует появлению нулевого корня в характеристическом уравнении. Такая граница области устойчивости соответствует ветвлению положений равновесия [17-20].
Исследование показало, что силы аэродинамического воздействия для тел с одними формами могут способствовать развитию автоколебаний, а для других затуханию. Перейдем к следующему этапу данной работы - опишем программы, которые ищут стационарные точки, строят области устойчивости и реализуют численное интегрирование системы уравнений движения.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 4. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
е - COGNITIN/E INFORMATION TECHNOLOGIES
D. V. Ов[ьааод IN CONTROL SYSTEMS
855
Программа, численно решающая уравнений равновесия
В математическом пакете МА^АВ 18 написана программа, которая находитчисленное решение уравнений равновесия (7). Сначала изображаются правые илевые части второго уравнения системы (7), графики функций у = Кст(а)-е(а)сп(а) и У = С (-2-а).
Задача нахождения точек пересечения ерарюкол фунеций у = Кст(а)-е(а)дп(а) и у = С(--а)сводится к поиску численных решений системы уравнений:
Rct(a) - e(a)cn (a) - y = 0 C(§-a) - y = 0
При решении этой системы необходимо учесть, что аэродинамические функции ст(а),сп(а),е(а) для плоскихпрямоуголь-ных пластинок, представляют собой экспериментальные дан-ные.Далеевводим а,ст(а),сп(а),е(а)
Для решения систем нелинейных уравнений в среде програм-
сирсв анся MCTLAB используется процедура fsolve, входящая в па кет ра сширения Optimization Toolbox. Эта процедура позво-ля ет решить системы нелине й i^^ix уравнений вида: F (Х) = 0 методом наименьших евадратов. Необходимо пвдсосохити файл-фунвцию для этой системы уревнений. Прео(5раеован-иае гигаема .фавненийд.ля составления файи-фунсции будет имнев вид:
Э(0) = Jfi(X-"X2) = с(Пт-х(1))-х(2)
Тг2 (я1 ,x2) = Rspline(alfa,iK,x(1))-spline(alfa,in ,x(1))spline(alfa,^x(1))-x(2)
Значения cT(a),cn(a),s(a) в каждой точке итерационного процесса при поиске численных решений будем приближать кубическим сплайном.
После составления файла-функции в MATLAB графически вводится начальная точка итерационного процесса и происходит вызовпроцедуры fsolve:
params=ginput
y1=params
x=fsolve(@myfyn24,y1 ,optimset('Display','off));
тоцеы-вге- \
V
\ ^
:
4
Р и с. 11. Решения уравнения равновесия и вывод стационарной точки Fig.ll.Solutionsofthe equilibrium equationand derivationofthestationarypoint
16.5
16
15.5
15
14.5
14
-0.5
0.5
1.5
После завершения итерационного процесса найденное численное решение выводится с точностью, близкой к машинной.
Программа,интегрирующаяуравнения движения
В математическом пакете МА^АВ 18 написана программа, реализующая численное интегрирование уравнений (3)-(4), описывающих колебания пластинки. Сначала вводятся основные параметры. В начале программы находится стационарная точка и для нее строится область устойчивости на плоскости параметров —С . В программе задается интервал интегриро-
вания. Значения R и С вводятся путем выбора точки на графике области устойчивости.
При выполнении условий критерия Гурвица выводится сообщение: «Система устойчива». В противном случае выводится сообщение: «Система неустойчива». Начальные условия также выбираются графически.
При поиске численного решения используется процедура ode45, реализующая методы Рунге-Кутта четвертого и пятого порядка с переменным шагом. При поиске численного решения аэродинамические функции интерполируются кубическим сплайном [21-25].
Полученные путем интегрирования точки , изображаются как траектории в конфигурационном пространстве системы.
Vol. 17, No. 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА С НЕПОДВИЖНЫМ ЦЕНТРОМ ДАВЛЕНИЯ
( А
л "Л
I
Ё
i
i
0
teta
15
1G
1.5
-G.5
□.б
1.5
2
Р и с. 12. Решение задачи о колебаниях маятника с неподвижным центром давления F i g. 12. A solution of the problem of oscillations of a pendulum with a fixed pressure center
Заключение
Таким образом, в работе:
1. Создана математическая модель колебаний аэродинамического маятника в безразмерной форме.
2. Показано нарушение единственности при определении угла атаки. Приведены примеры областей неоднозначности.
3. Проведены численные исследования устойчивости, в которых реализован критерий Гурвица и изображена эволюция областей устойчивости на плоскости параметров Й,Я для различных стационарных точек.
4. Предложен комплекс программ, позволяющий строить области устойчивости и проводить численное интегрирование уравнений движения для исследуемой модели.
Список использованных источников
[1] Самсонов В. А. Беляков Д. В. Геометрический анализ при исследовании колебаний тела сложной конфигурации в потоке среды // International Journal of Open Information Technologies. 2019. Т. 7, № 9. С. 31-38. URL: https://www.elibrary.ru/item. asp?id=39529511 (дата обращения: 23.09.2021).
[2] Беляков Д. В. Задача об исследовании автоколебаний аэродинамического маятника в потоке среды // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2020. Т. 16, № 2. С. 449-459. doi: https://doi.org/10.25559/ SITIT0.16.202002.449-459
[3] Беляков Д. В. Математическое моделирование движения ротирующего спускающегося в воздухе объекта // Пятый Международный аэрокосмический конгресс IAC-06. Посвящается 20-летию вывода в космос орбитальной станции «МИР». Тезисы докладов. М., 2006. С. 62-63.
[4] Беляков Д. В., Самсонов В. А., Филиппов В. В. Исследование движений несимметричного тела в сопротивляющейся среде // Вестник Московского энергетического института. 2006. № 4. С. 5-10. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=9455853 (дата обращения: 23.09.2021).
[5] Беляков Д. В. Разработка и исследование математической модели движения несимметричного авторотирующего тела в квазистатической среде // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2007. № 11. С. 20-24. URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=9609383 (дата обращения: 23.09.2021).
[6] Samsonov V. A., Dosaev M. Z., Selyutskiy Yu. D. Methods of Qualitative Analysis in the Problem of Rigid Body Motion in Medium // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2011. Vol. 21, no. 10. P. 2955-2961. doi: https://doi.org/10.1142/ S021812741103026X
[7] Strickland J. H., Webster B. T., Nguyen T. A Vortex Model of the Darrieus Turbine: An Analytical and Experimental Study // Journal of Fluids Engineering. 1979. Vol. 101, issue 4. P. 500-505. doi: http://doi.org/10.1115/L3449018
[8] Лятхер В. М. Высотная ветровая электростанция с ортогональными агрегатами // Альтернативная энергетика и экология. 2014. № 7. С. 21-38. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=21497653 (дата обращения: 23.09.2021).
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 4. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
[9] Москатов Г. К., Чепелев А. А. Надежность и безопасность систем автоматического управления летательными аппаратами // Научный вестник оборонно-промышленного комплекса России. 2013. № 2. С. 41-63. URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=24276464 (дата обращения: 23.09.2021).
[10] Paraschivoiu I., Delclaux F. Double multiple streamtube model with recent improvements (for predicting aerodynamic loads and performance of Darrieus vertical axis wind turbines) // Journal of Energy. 1983. Vol. 7, no. 3. P. 250. doi: http://doi. org/10.2514/3.48077
[11] Alqurashi F., Mohamed M. H. Aerodynamic Forces Affecting the H-Rotor Darrieus Wind Turbine // Modelling and Simulation in Engineering. 2020. Vol. 2020. Article number: 1368369. doi: http://doi.org/10.1155/2020/1368369
[12] Parashivoiu I. Aerodynamic loads and rotor performance for the Darrieus wind turbines // Journal of Energy. 1982. Vol. 6. P. 406412. doi: http://doi.org/10.2514/6.1981-2582
[13] Досаев М. З., Самсонов В. А., Селюцкий Ю. Д. О динамике малой ветроэлектростанции // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416, № 1. С. 50-53. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=9533786 (дата обращения: 23.09.2021).
[14] Самсонов В. А., Селюцкий Ю. Д. Сопоставление различных форм записи уравнений движения тела в потоке среды // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. № 1. С. 171-178. URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=10293701 (дата обращения: 23.09.2021).
[15] Самсонов В. А., Селюцкий Ю. Д. О колебаниях пластины в потоке сопротивляющейся среды // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 4. С. 24. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=17636289 (дата обращения: 23.09.2021).
[16] Привалов В. А., Самсонов В. А. Об устойчивости движения тела, авторотирующего в потоке среды // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 32-38.
[17] Applications and Developments of Aeroelasticity of Flexible Structure in Flow Controls / J. Z. Zhang [и др.] // Advances in Mechanics. 2018. Vol. 48, issue 1. P. 299-319. doi: http://doi.org/10.6052/1000-0992-16-034
[18] Климина Л. А. Ротационные режимы движения аэродинамического маятника с вертикальной осью вращения // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2009. № 5. С. 71-74. URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=10293701 (дата обращения: 23.09.2021).
[19] Климина Л. А., Локшин Б. Я. Об одном конструктивном методе поиска ротационных и автоколебательных режимов в автономных динамических системах // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13, № 1. С. 25-40. doi: http://doi.org/10.20537/ nd1701003
[20] Климина Л. А. Метод формирования асинхронных автоколебаний в механической системе с двумя степенями свободы // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85, № 2. С. 152-171. doi: http://doi.org/10.31857/S0032823521020065
[21] Yao J., Yeo K. S. Free hovering of hummingbird hawkmoth and effects of wing mass and wing elevation // Computers & Fluids. 2019. Vol. 186. P. 99-127. doi: https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2019.04.007
[22] Hesamian G., Akbari M. G. A fuzzy additive regression model with exact predictors and fuzzy responses // Applied Soft Computing. 2020. Vol. 95. Article number: 106507. doi: https://doi.org/10.1016/j.asoc.2020.106507
[23] Radionov A. A., Gasiyarov V. R. Proceedings of the 7th International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2021) // Lecture Notes in Mechanical Engineering. Vol. II. Springer Cham, 2022. 849 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-030-85230-6
[24] Li Q., Hou P. Three-dimensional quasi-static general solution for isotropic thermoelastic medium with applications // Case Studies in Thermal Engineering. 2021. Vol. 25. Article number: 100897. doi: https://doi.org/10.1016/j.csite.2021.100897
[25] Liu X., Xu J., Liu Y. Trajectory tracking and point stability of three-axis aero-dynamic pendulum with MPC strategy in disturbance environment // Assembly Automation. 2021. Vol. 41, no. 3. P. 358-368. doi: https://doi.org/10.1108/AA-11-2020-0181
Поступила 23.09.2021; одобрена после рецензирования 15.10.2021; принята к публикации 29.10.2021.
|об авторе:|
Беляков Дмитрий Валерьевич, доцент кафедры компьютерной математики, Институт № 8 «Информационные технологии и прикладная математика», ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (125993, Российская Федерация, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4), кандидат технических наук, ORCID: https://oгcid. oгg/0000-0001-5093-2963, dimbel@rambler.ru
Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.
Vol. 17, No. 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
References
[1] Samsonov V.A., Belyakov D.V. Geometrical analysis in the study of body oscillations of complex configuration in the medium flow. International Journal of Open Information Technologies. 2019; 7(9):31-38. Available at: https://www.elibrary.ru/item. asp?id=39529511 (accessed 23.09.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[2] Belyakov D.V. The Problem of Studying the Self-Oscillations of an Aerodynamic Pendulum in the Flow of a Medium. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2020; 16(2):449-459. (In Russ., abstract in Eng.) doi: https://doi.org/10.25559/SITIT0.16.202002.449-459
[3] Belyakov D.V. Matematicheskoe modelirovanie dvizhenija rotirujushhego spuskajushhegosja v vozduhe ob'ekta [Mathematical modeling of the motion of a rotating object descending in the air]. Proceedings of the Fifth international Aerospace Congress IAC-06. Dedicated to the 20th anniversary of the launch of the MIR Space Station. Moscow; 2006. p. 62-63. (In Russ.)
[4] Belyakov D.V., Samsonov V.A., Filippov V.V. Motion Investigation of Asymmetric Solid in Resistant Environment. Vestnik Moskovskogo jenergeticheskogo instituta = Vestnik MEI. Bulletin of Moscow Power Engineering Institute. 2006; (4):5-10. Available at: https:// elibrary.ru/item.asp?id=9455853 (accessed 23.09.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[5] Belyakov D.V. Development and Features of Mathematical Model of Movement Asymmetrical Autorotating Bodies in Quasi-static to Environment. Mehatronika, Avtomatizacija, Upravlenie = Mechatronics, Automation, Control. 2007; (11):20-24. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=9609383 (accessed 23.09.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[6] Samsonov V.A., Dosaev M.Z., Selyutskiy Yu.D. Methods of Qualitative Analysis in the Problem of Rigid Body Motion in Medium. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2011; 21(10):2955-2961. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1142/ S021812741103026X
[7] Strickland J.H., Webster B.T., Nguyen T. A Vortex Model of the Darrieus Turbine: An Analytical and Experimental Study. Journal of Fluids Engineering. 1979; 101(4):500-505. (In Eng.) doi: http://doi.org/10.1115/L3449018
[8] Lyatkher V.M. High Jet Power Station with Orthogonal Power Units. Alternativnaya Energetika i Ekologiya = Alternative Energy and Ecology. 2014; (7):21-38. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=21497653 (accessed 23.09.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[9] Moskatov G.K., Chepelev A.A. Reliability and safety of feedback flight control systems. Scientific Bulletin of the military-industrial complex of Russia. 2013; (2):41-63. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=24276464 (accessed 23.09.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[10] Paraschivoiu I., Delclaux F. Double multiple streamtube model with recent improvements (for predicting aerodynamic loads and performance of Darrieus vertical axis wind turbines). Journal of Energy. 1983; 7(3):250. (In Eng.) doi: http://doi. org/10.2514/3.48077
[11] Alqurashi F., Mohamed M.H. Aerodynamic Forces Affecting the H-Rotor Darrieus Wind Turbine. Modelling and Simulation in Engineering. 2020; 2020:1368369. (In Eng.) doi: http://doi.org/10.1155/2020/1368369
[12] Parashivoiu I. Aerodynamic loads and rotor performance for the Darrieus wind turbines. Journal of Energy. 1982; 6:406-412. (In Eng.) doi: http://doi.org/10.2514/6.1981-2582
[13] Dosaev M.Z., Samsonov V.A., Seliutski Yu.D. On the Dynamics of a Small-Scale Wind Power Generator. Doklady Physics. 2007; 52(9):493-495. (In Eng.) doi: http://doi.org/10.1134/S1028335807090091
[14] Samsonov V.A., Selyutskii Yu.D. Comparison of Different Notation for Equations of Motion of a Body in a Medium Flow. Mechanics of Solids. 2008; 43(1):146-152. (In Eng.) doi: http://doi.org/10.1007/s11964-008-1015-x
[15] Samsonov V.A., Selyutskii Yu.D. About Vibrations of a Plate in a Flow of a Resisting Medium. Mechanics of Solids. 2004; (4):24. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=17636289 (accessed 23.09.2021). (In Russ., abstract in Eng.)
[16] Privalov V.A., Samsonov V.A. Ob ustojchivosti dvizhenija tela, avtorotirujushhego v potoke sredy [On the Stability of Motion of a Body Autorotating in the Flow of a Medium]. Izv. USSR Acad. Sci. MTT. 1990; (2):32-38. (In Russ.)
[17] Zhang J.Z., Liu Y., Sun X., Chen J.H., Wang L. Applications and Developments of Aeroelasticity of Flexible Structure in Flow Controls. Advances in Mechanics. 2018; 48(1):299-319. (In Eng.) doi: http://doi.org/10.6052/1000-0992-16-034
[18] Klimina L.A. Rotational modes of motion for an aerodynamic pendulum with a vertical rotation axis. Moscow University Mechanics Bulletin. 2009; 64(5):126-129. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.3103/S0027133009050069
[19] Klimina L.A., Lokshin B.Ya. On a constructive method of search for rotary and oscillatory modes in autonomous dynamical systems. Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2017; 13(1):25-40. (In Russ., abstract in Eng.) doi: http://doi.org/10.20537/nd1701003
[20] Klimina L.A. Method for Generating Asynchronous Self-Sustained Oscillations of a Mechanical System with Two Degrees of Freedom. Mechanics of Solids. 2021; 56(7):1167-1180. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.3103/S0025654421070141
[21] Yao J., Yeo K.S. Free hovering of hummingbird hawkmoth and effects of wing mass and wing elevation. Computers & Fluids. 2019; 186; 99-127. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2019.04.007
[22] Hesamian G., Akbari M.G. A fuzzy additive regression model with exact predictors and fuzzy responses. Applied Soft Computing. 2020; 95:106507. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1016Zj.asoc.2020.106507
[23] Radionov A.A., Gasiyarov V.R. Proceedings of the 7th International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2021). Lecture Notes in Mechanical Engineering. Vol. II. Springer Cham; 2022. 849 p. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1007/978-3-030-85230-6
[24] Li Q., Hou P. Three-dimensional quasi-static general solution for isotropic thermoelastic medium with applications. Case Studies in Thermal Engineering. 2021; 25:100897. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1016/j.csite.2021.100897
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 17, № 4. 2021
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
[25] Liu X., Xu J., Liu Y. Trajectory tracking and point stability of three-axis aero-dynamic pendulum with MPC strategy in disturbance environment. Assembly Automation. 2021; 41(3):358-368. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1108/AA-11-2020-0181
Submitted 23.09.2021; approved after reviewing 15.10.2021; accepted for publication 29.10.2021.
About the author:
Dmitry V. Belyakov, Associate Professor of the Department of Computational Mathematics, Institute of Computer Mathematics and Information Technologies, Moscow Aviation Institute (National Research University) (4 Volokolamskoe shosse, Moscow 125993, Russian Federation), Cand.Sci. (Eng.), ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5093-2963, dimbel@rambler.ru
The author has read and approved the final manuscript.
Vol. 17, No. 4. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
