CC BY
13
10. Randall R.B. Vibration-based condition monitoring: industrial, aerospace and automotive applications. John Willey& Sons. March 2011, 289 p.
11. Petukhov V. Diagnostika elektrodvigatelei. spektral'nyi analiz modulei vektorov Parka toka i napryazheniya [Diagnostics of electric motors. Spectral analysis of modules of vectors of the Park of current and voltage]. Novosti elektrotekhniki [Electrical Engineering News], 2008. No. 1(50). Pp. 33-37.
12. Taylor Y.Y. The Vibration Analysis Handbook. VC1, 2003. 375 p.
13. Yakubov M.S., Faizullaev Zh.S. Informatsionno-matematicheskaya model' diagnostirovaniya ekspluatatsionnogo rezhima tyagovogo elektrodvigatelya [Information-mathematical model for diagnosing the operating mode of a traction motor]. Mezhdunarodnyi zhurnal «Khimicheskaya tekhnologiya. Kontrol' i upravlenie» [International journal "Chemical technology. Control and management"], 2018. No. 3. Pp. 85-92.
14. Petukhov V. Diagnostika sostoyaniya elektrodvigatelei: Metod kontrol'nogo analiza potreblyaemogo toka [Diagnostics of the state of electric motors: A method of control analysis of the consumed current]. Novosti elektrotekhniki [ElectricalEngineering News], 2005. No. 1(31). Pp. 23-28.
15. Kuntsov V.V. et al. Razrabotka metodiki tokovoi diagnostiki asinkhronnykh dvigatelei po nestatsionarnym rezhimam raboty [Development of a methodology for current diagnostics of asynchronous motors by non-stationary operating modes] Vest-nik Yuzh. Ural. gos. un-ta [The bulletin of South Ural State University], 2009. No. 34 (167). Pp. 123-129.
16. G0ST-17509-72 Nadezhnost' izdelii mashinostroeniya. Sistema sbora i obrabotki informatsii, metody opredeleniya toch-echnykh otsenok pokazatelei nadyozhnosti po rezul'tatom nablyudenii [G0ST-17509-72. Reliability of mechanical engineering products. System for collecting and processing information, methods for determining point estimates of reliability indicators based on the results of observations]. 1972. 57 p.
17. Tonkikh V.G. Metod diagnostiki asinkhronnykh elektrodvigatelei v sel'skom khozyaystve na osnove analiza ikh vnesh-nego magnitnogo polya [A method of diagnostics of asynchronous electric motors in agriculture based on the analysis of their external magnetic field]. Barnaul, 2009. 181 p.
18. Goryainov V.T. Statisticheskaya radiotekhnika. Primery i zadashi [Statistical radio engineering. Examples and problems]. Moscow: Sov. Radio Publ., 1980. 544 p.
19. Juan Pablo Amezquita-Sanchez, Daniel Morinigo-Sotelo, Konstantinos N. Vibration analysis as a diagnosis tool for health monitoring of industrial machines [electronic media]. URL: https://www.hindawi.com/journals/sv/about/.
20. Trout J. Vibration analysis explained [Electronic media]. URL: https://www.reliableplant.com/vibration-analysis-31569.
21. Mohamadi Monavar H., Ahmadi H., Mohtasebi S.S. and Hasani S. "Vibration condition monitoring techniques for fault diagnosis of electromotor with 1,5 kW power [Electronic media]. URL: https://scialert.net/abstract/?doi=jas.2008.1268.1273.
Информация об авторах
Якубов Мирджалил Сагатоич - канд. техн. наук, профессор, профессор кафедры электроснабжения, Ташкентский государственный транспортный университет, г. Ташкент, e-mail: etkmyakubov@yandex.ru Исроилов Улугбек Шавкатович - старший преподаватель кафедры электротехники, Ташкентский государственный транспортный университет, г. Ташкент, e-mail: etkmyakubov@yandex.ru
Каримов Ислом Азим угли - ассистент кафедры электроснабжения, Ташкентский государственный транспортный университет, г. Ташкент, e-mail: Smartstar3009101@gmail.com
DOI 10.26731/1813-9108.2021.2(70).43-51
Information about the authors
Mirdzhalil S. Yakubov - Ph. D. of Engineering Science, Professor, Professor of the Subdepartment of Power Supply, Tashkent State Transport University, Tashkent, e-mail: etkmyakubov@yandex.ru
Ulugbek Sh. Isroilov - Senior Lecturer of the Subdepartment of Electrical Engineering, Tashkent State Transport University, Tashkent, e-mail: etkmyakubov@yandex.ru
Islom Azim ugli Karimov - assistant of the Subdepartment of Power Supply, Tashkent State Transport University, Tashkent, e-mail: Smartstar3009101@gmail.com
УДК 621.311.6
Устойчивость работы параметрического умножителя числа фаз на основной частоте
И. М. Бедрицкий, К. К. Жураева, Л. Х. Базаров
Ташкентский государственный транспортный университет, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Резюме
Умножители числа фаз находят применение в устройствах автоматики, радиоэлектронной аппаратуры, средств связи в случаях, когда нет возможности воспользоваться многофазными цепями или их применение связано с определенными техническими или экономическими трудностями. Наибольшее распространение получили устройства такого типа в виде умножителя числа фаз, которые находят применение в однофазных цепях для питания трехфазных потребителей. С точки зрения схемотехники, наиболее простыми являются умножители числа фаз на базе нелинейных LC-цепей, имеющие высокую надежность и относительно невысокие габариты при питании устройств малой и средней мощности. Однако умножители числа фаз на базе LC-цепей при определенных условиях могут работать в резонансных режимах, следовательно, в них могут возникать скачки напряжений или токов. В статье рассматривается работа параметрического умножителя числа фаз, работающего на основной частоте, находящего применение в однофазных цепях для питания трех-
фазных потребителей, с точки зрения теории устойчивости колебательных процессов. Исследование устойчивости умножителя числа фаз проводится по критерию устойчивости Гурвица. Анализируются характерные как схемотехнические, так и режимные параметры умножителя числа фаз на базе LC-цепей и их влияние на его устойчивую работу. Получены данные, что изменение нагрузки преобразователя числа фаз на базе LC-цепей от короткого замыкания до холостого хода на режим устойчивости не влияет. Сделан вывод, что с точки зрения теории устойчивости колебаний предлагаемая цепь является пригодной для разработки реальных умножителей частоты малой и средней мощности.
Ключевые слова
устойчивость колебаний, параметрический умножитель числа фаз, критерий устойчивости, границы устойчивости, скачкообразное изменение параметров
Для цитирования
Бедрицкий И.М. Устойчивость работы параметрического умножителя числа фаз на основной частоте / И. М. Бедрицкий, К. К. Жураева, Л. Х. Базаров // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2021. - № 2 (70). -С. 43-51. - DOI: 10.26731/1813-9108.2021.2(70).43-51
Информация о статье
поступила в редакцию: 12.01.2021, поступила после рецензирования: 09.02.2021, принята к публикации: 25.02.2021
Stability of the parametric phase number multiplier at the fundamental frequency
I. M. Bedritskii, K. K. Zhuraeva, L. Kh. Bazarov
Tashkent State Transport University, Tashkent, the Republic of Uzbekistan
Abstract
Phase number multipliers are used in automation devices, electronic equipment, communications in cases where there is no possibility to use multiphase circuits or their use is associated with certain technical or economic difficulties. Devices of this type in the form of a phase number multiplier, which found application in single-phase circuits for powering three-phase consumers, got the most widespread use. From the point of view of circuitry, the simplest are phase multipliers based on nonlinear LC circuits, which have high reliability and relatively small dimensions when powering devices of low and medium power. However, phase number multipliers based on LC circuits can operate in resonant modes under certain conditions, hence, voltage or current surges may occur in them. The article considers the work of a parametric phase number multiplier operating at the fundamental frequency, used in singlephase circuits for powering three-phase consumers from the point of view of the theory of stability of oscillatory processes. The stability of the phase number multiplier is studied according to the Hurwitz stability criterion. The characteristic circuit design and operating parameters of the phase multiplier based on LC circuits and their influence on its stable operation are analyzed. According to data obtained, the change in the load of the phase number converter based on LC circuits from short circuit to no-load does not affect the stability mode. It is concluded that from the point of view of the theory of vibration stability, the proposed circuit is suitable for the development of real frequency multipliers of low and medium power.
Keywords
stability of oscillations, parametric phase number multiplier, stability criterion, stability boundaries, abrupt change of parameters
For citation
Bedritskii I. M, Zhuraeva K. K., Bazarov L. Kh. Ustoichivost'' raboty parametricheskogo umnozhitelya chisla faz na osnovnoi chastote [Stability of the parametric phase number multiplier at the fundamental frequency]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2021, No. 2 (70), pp. 43-51. - DOI: 10.26731/1813-9108.2021.2(70).43-51
Article info
Received: 12.01.2021, Revised: 09.02.2021, Accepted: 25.02.2021
Введение фазных потребителей. Самыми простыми с точки
Искусственные умножители числа фаз применя- зрения схемотехники являются умножители числа
ются для питания в устройствах автоматики, радио- фаз на базе нелинейных LC-цепей [3, 5-7], имеющие
электронной аппаратуры, средств связи и электро- высокую надежность и относительно невысокие
технологических устройств в случаях, когда рядом габариты при питании устройств малой и средней
нет многофазных цепей или их применение встреча- мощности. Однако умножители числа фаз на базе
ет технические или экономические трудности [1-5]. LC-цепей могут работать в резонансных режимах,
Наиболее распространенными устройствами такого следовательно, в них могут возникать скачки
типа являются умножители числа фаз, находящие напряжений или токов. Поэтому исследование
применение в однофазных цепях для питания трех- устойчивости работы LC-умножителей и определе-
ние границ его устойчивой работы представляет существенный научный интерес.
Постановка задачи
Рассмотрим параметрический умножитель числа фаз по схеме (рис. 1) [7], где 52, ^з - площади сечений стержней; , Х2, Х3 - средние длины магнитных линий; ф1, ф2, ф3 - мгновенные значения магнитных потоков в стержнях магнитопровода; ^, &2 - активные проводимости первичных обмоток; Ж, Ж - числа витков первичных обмоток; гх, г2 - мгновенные значения тока в первичных об-мгновенные значения тока в прово-
димостях первичных обмоток; С, С - емкости конденсаторов, подключенных параллельно первичным обмоткам; г , г - мгновенные значения тока в конденсаторах; г = 1т ■ 8т( Ш + ) - мгновенное значение питающего тока, в первом приближении принятого синусоидальным; и = ит ■ 8т( Ш + фм ) -мгновенное значение питающего напряжения; Ж, Ж, Ж - числа витков вторичных обмоток умножителя; А, В, С, 0 - соответственно выводы начала искусственных фаз умножителя и нулевой точки.
мотках; igl, ig2
b • S + b ■ S — b ■ S =
_ к • l2 • b2 9 -12 • w2 + i • W 1 "
u = W • S — + W • S ^
(1)
dt
dt '
1 = li + lsi,
где мгновенные значения токов в ветвях цепи могут
к ■ ■ Ь2
быть найдены из выражений г2 =-2——;
Ж
гС = Ж2 ■ С ■ ■ Щ ; гя2 = Ж2 ■ &2 ■ ^; С 2 2 Ж2 & 2 2 2 Я
к • L • Ь
db
— ; Кл = Ж ■ & ■ --1. В этой упро-
Ж &1 1 1 л
щенной модели умножителя числа фаз не применяется модель характеристики намагничивания сердечника в виде петли гистерезиса [15, 16], так как нелинейные индуктивности ^ и работают в
режиме, близком к насыщению, а ширина петли гистерезиса близка к нулевому значению.
Преобразуем систему (1), для чего произведем замену переменных:
db2 _ р. d2b2 _ dF
dt
dt2 dt
(2)
dF
Выразим через полученное выражение - и по-
dt
сле преобразования получим:
dF dt
= b9(i + -Ж) - h
1 W
l^ WW • L^
l w+l
dt
dbi ( W^W • gi • Si + -I2 • gi • Si
к • L
-F
g 2 • S2 — + Wi W2 • g 2 • S2
к • L
Рис. 1. Параметрический умножитель числа фаз Fig. 1. Parametric multiplier of the number of phase
С учетом аппроксимации кривой намагничивания
H = k-b9 [8-14] после некоторых преобразований эта схема опишется системой уравнений
db
Выразим —1 в соответствии с (1), получим dt
db u - W2- S2-F dt ~ W-S '
Введем обозначения:
A = W2-S2; B = W-S; D = 1 + K = L + W^;
22 11 w L W-L ^WWLSl+WUJLSL.^ = Wh «2- S2+W -W2- g2- S2.
N =
kL kL '
kL
+
+
С учетом принятых обозначений получим выраже-dF
ние для-:
dt
„ b9-D - b¡ -k + (u ~ A'F-L) - F- M dF _ 1 2 D
dt N
Учитывая, что u = Um - sin(«t + Vu ) , выражение (1) преобразуется к виду db1 Um sin( rnt + yu) - A-F
dt
B
dF bl-D - b\-K + Umsin( + V) - AF L-F-M
B
dt db1=F dt
N
(3)
Эту систему используем как основу для исследования на устойчивость работы параметрического умножителя числа фаз.
Решение задачи
Найдем общие выражения для исследования устойчивости умножителя числа фаз по критерию устойчивости Гурвица [17, 18]. Известна система дифференциальных уравнений (3), описывающая электрическое состояние цепи. Для уменьшения числа неизвестных выразим F из (2) и, подставив его в (3), после преобразования получим:
. тЪп
—1 = Ах-ит а! + ) -т т
(4)
= хю - cos ю t - ую - sin ю t;
= тю - cos ю t - пю - sin ю t;
(5)
dbj dt db2 dt
d.b. , 2 . dnч .
2 2 = -(ю m + 2ю--) sin ю t +
dt dt
2 dm
+ (-ю n + 2ю--) cos ю t.
dt
Подставив (5) в (4) получаем: хю - cos ю/ - ую - sin ю/ = A1 - Um sin(ю/ + yu) -
- A2 (тю - cos ю/ - пю - sin ю/),
.. 2 ~ dn. . 2 dmч
- (ю m + 2ю--) sin ю/ + (-ю n + 2ю--) cos ю/ =
dt dt
= D (x sin ю/ + y cos ю/)9 -
- (D (m sin ю/ + n cos ю t)9 + D3 (Um sin( ю t + yu) -
- D4(mffl - cos ю/ - пю - sin ю/).
Преобразуем полученные выражения по методу гармонического баланса. Для первого выражения имеем
хю - cos ю/ - ую - sin ю/ = AlUm sin ю/ - cos Vu +
+ AlUm cos ю/ - sin yu - Aю cos ю/ + А2пю - sin ю/. (6) Приравнивая в (6) коэффициенты при cosrat и sinrat получаем
I - ую = A1Um - cos Vи + A2пю, [хю = AjUm - sin Vu - A2mю.
(7)
^ = Di-bf - D2-b29 + D3-Um sin(ю + Vu) -dt
- D -db2
. D4 dt ' , ,1 А А П D K
где A1 = В; a2 = А; D1 = D; D2 = N; D ; D = AL - M.
3 BN BN N
Преобразуем (4) по методу медленно меняющихся амплитуд, считая, что неизвестные bx, b2 могут быть представлены следующим образом: b = хsin&t + у cos ю/,
b2 = m sin&t + п cos ю/, где x, y, m, n - медленно меняющиеся во времени амплитуды искомых колебаний. Найдем производ-dbx db2
ные -,- и учитывая, что x, y, m, n медленно
dt dt
изменяются во времени, в первом приближении получим
Для второго выражения двучлены (x sin ю t + y cos ю t)9 и (m sin ю t + n cos ю/)9 преобразуем по биному Ньютона. В полученных выражениях степени cosrat и sinrat преобразуем в сумму гармоник в первой степени и, не учитывая четные гармоники, а также гармоники выше первой, будем иметь
(х sin ю/ + у cos ю/)9 « sin ю/(0,5х9 +19,7х7у2 +
+ 29,5х5 у4 +19,7 х3 у6 + 2,5ху8) + (8)
+ cos ю/(14,8х8 у + 39,4 х6у3 + 29,5х 4у5 + + 9,8х2у7 + 0,5у9), (msin Ш + пcos Ш)9 « sin&t(0,5m9 + + 19,7m7 n2 + 29,5m V + 19,7m3n6 + + 2,5mn8) + cos Qt (14,8msn + 39,4m6n3 +
+ 29,5m V + 9,8m2n7 + 0,5n9).
Обозначим коэффициент при sinrat в (8) через X, при cosrat - через Y, а в выражении (9) коэффициент при sinrat через М, а при cosrat - через N. Учитывая принятые обозначения и сравнивая коэффициенты при sinrat и cosrat, преобразуем полученное выражение по методу гармонического баланса, получим систему:
dn
- (ш2m + 2ш—) = DX - DM + cos у и + Д,пш, dt
- ш2n + 2ш— = DY- DN + D,ü sinw - Dтш.
7, 1 2 3 m t u 4
dt
С учетом (6) и (7) имеем систему алгебраических и дифференциальных уравнений относительно медленно меняющихся амплитуд:
- ую = A1Um cos w u + А2пю хю = A^m sin wu - A2ma
dn
- (ю2т+2ю—) = DX - DM + DUm cos y„ + D4nai q0)
dt ( '
dm
- ю n + 2ю— = DY - D2N+D^m sin y„ - D4m®
dt
Y = 14,8(s - A )8(-c - A ) +
mn ' V 2m ' V 2n '
+ 39,4(s - A2m )6(-c - A2n )3 + + 29,5(s - A2m )4(-c - A2n )5 + + 9,8(s - A2m )2(-C - A2n )7 + 0,5(-C - An )9
(13)
При подстановке (12) и (13) в два нижних уравнения системы (10) после преобразований получим систему дифференциальных уравнений относительно производных медленно меняющихся амплитуд т и п:
Лп _ - ЕхХтп + Б2М - Бъит 008 -тт
■ (14)
dt 2a 2
dm _DJmn - DN + DUm sinV D4^m + an dt
2т 2
Обозначим т и п в установившихся режимах через т0 и п0. Подставив в (14) вместо т и п их уста-Преобразуем систему (10) относительно произ- новившиеся значения, а также приравнивая водных медленно меняющихся амплитуд, для чего лп лт
выразим из первых двух выражений (10) соответ- — = 0;-= 0, получаем систему алгебраических
Ж Ж
ственно y и X. Получаем
_ AUm coS V - A2n . х _ A1Um Sin Vu - A2m . Щ)
уравнений:
f- DlXm„(0) + DM(0) - D3Uя cos Vи
Обозначим C =
A1Um 'coS V u .S=AU m 'Sin V u
a
a
Подставим (11) в два последних выражения из (10) с учетом вновь принятых обозначений. Так как Х и У являются функциями х и у, то с новой подстановкой они станут функциями т и п. Получим:
Хтп = 0,5(5 - Ат )9 +19,7(5 - Ат )?Н - 4, )2 + +29,5(5 - А2т )5(-с - ^ )4 +
+19,7(5 - А2т )3(-С - Ап )6 + 2,5(5 - А2т )(-с - 4 )8, (12)
(15)
- Dr Xr n0+An Л+ D2 ■Mr n0+An
d (n0 + An)
2
Решая систему (15), можно найти установившиеся значения амплитуд т0 и п0.
Пусть в результате возмущения амплитуды колебаний получили малые приращения Лт и Лп, т. е. т = т + Лт п = п0 + Лп . С учетом сказанного из (15) получаем: - Бзит ооэ у и
(п0 + Лп) - т(т0 + Лт)
dt
d (m0 + Am)
2a
D1 ■Y n0+An ) - D2 ■Nr n0+An Ï + D3Um Sin V u
dt
Развернем значения d (m0 + Am)
d (n0 + An) dt
2
* (т0 + Лт) + т(п0 + Лп) 2т 2
Тейлора по малым приращениям Лп и Лт, и в силу их малости ограничимся слагаемыми с первыми степенями Лп и Лт . Для указанного
dt
из последнего выражения в ряд разложения найдем частные производные:
a
a
дХ
тп = 4,5(5-Л2т)8 • Л2 + 137,9(-с-Л2п)2(5-Л2т)6 • Л2 +
д т
+ 147,5(-С - Л2п )4(5 - Л2т )4 • Л2 + 59,1(-С - Л2п )6(5 - Л2т )2 Л + 2,5(5 - Л2т )(-С - Л^ )8 • Л2 ^ = -39,4(-с - Л2п)(5 - Л2т)7 • Л2 - 118(-с - Л2п)3(5 - Л2т)5 -
д п
-118,2(-с - Л2п )5 (5 - Л2т)3 • Л2 - 20(-с - Л2п)7 (5 - Л2т) • Л2 дУ
= 11 8,4(-С - Л2п )(5 - Л2т )7 • Л + 236,4(5 - ^ )5(-С - Л^ )3 • Л +
д т
+ 118(5 - Л2т )3 (-с - Л2п )5 • Л + 19,6(5 - Л^ )(-С - А„ )7 • Л
дУ
= -14,8(5 - Л2т )8 Л2 - 118,2(-с - Л2п )2(5 - Л2т )6 • Л2 -
д п .
- 147,5(-С - Л2п )4(5 - Л2т )"• Л2 - 68,6(-С - Л2п )6(5 - Л2т )2 • Л2 - 4,5(-С - Л2п )8 Л
дМ„
■ тп
д т
= 4,5т8 + 137,9п2т6 + 147,5п4т4 + 59,1п6т2 + 2,5п8 .
Шт". = 39,4т7п + 118т V + 118,2п3т5 + 20тп7 .
д п
дЫ,
тп
д
= 118,4тп7 + 2326,4п3т5 + 118п5т3 + 19,6п7т .
т
дЫ
= 14,8т8 + 118,2т6п2 + 147,5т4п4 + 68,6т2п6 + 4,5п8.
д
Подставим в найденные выражения значения т0 и Обозначим также
п0 установившегося режима и введем обозначения:
дХ дХ Х тп(т=т0, п=п0) = Х 0; Утп(т=т0, п=п0) = У 0 ;
тп(т=т0,п=п0) _ _ тп(т=т0, п=п0) _ _ (17)
X.......„ __ „, = Хп; У .......п __ = У,;
д т
дУ тп\ (т = т0, п= п0)
д т
дМтп (т = т0, п- = п0)
д т
дЫтп( т=т0, п = п0)
М тп(т=т0, п=п0) М0; Ытп(т=т0, п=п0) Ы0
Подставляя в выражения для производных выражения (16) и (17) после преобразований получаем
дУ
Л7- тп(т = т0, п=п0) Т7- ,л ,-х
= л;-~-= У2; (16)
дп
дМ
= м ■ _тп(т=т0, п=п0) = М ■ систему уравнений, учитывающую приращения
1 д 2
п
дЫ
_ ^у- _ тп(т=т0, п=п0) _ ^у-
М • Х(т0+Ат;п0+Дп) ^2 ' М(т0+Ат;п0+Дп) V„
2ю 2ю 2ю
(18)
~^4(п0+Ап) Ю(т0+Ат)
°2М0 Д3ит СОБ V, п0 ®т0 ,
—--1---------
2ю 2ю 2ю 2 2
. .ОД БМ1 ^ д ,ДХ2 Б2М2
+ Ат(——1 + ——1--) + Ап(—1—2 + ——2---);
2ю 2ю 2 2ю 2ю 2
д
от
п
2
Учитывая, что
d
( m0+ Am) dt
d
^(п0+Ап) dАn ,10ч
-, -=-, выражение (18) запишется в виде
dt dt dt
Am
dAm _(D1X1 + D2M, {DX2 + D2M2 Dt)^
dt 2ю 2 2ю 2
dt
2ю
2ю
(19)
Обозначим
+ dm
2ш
■г-ß
У =
D,7i + 02^^ ш. g =
дх2 + d2m2
2ш
DY +
2ш
2
2ш
.Dt 2
(20)
Алгебраизируем (19) и с учетом (20), получим систему
Р • Ат = а • Ат + В • Ап
В (21) Р • Ап = у • Ат + 5 • Ап
Реализация решений
На основании (21) составим характеристическое уравнение, для чего из верхнего выражения (21) выразим Ат и подставим в нижнее выражение. Сокращая полученное выражение на Ап, после преобразований получаем
Р2 -Р(а + 5)-а-5-у-р = 0.
В соответствии с критерием Гурвица, для затухания Ат и Ап необходимо, чтобы выполнялись условия:
-(а+ 8) > 0; (а-8-y-ß) > 0.
(22)
В выражении (22) заменим знаки неравенства на знаки равенства, выразим значение а из первого выражения, после подстановки во второе выражение, а также после преобразования получим выражение для некоторой функции, точки которой лежат на
поверхности раздела устойчивого и неустойчивого режимов работы цепи:
а = л/-у-Р . (23)
Для получения действительных значений а необходимо, чтобы подкоренное выражение было равно нулю или больше нуля, следовательно, возможны сочетания у и в только с разными знаками.
Далее показан график зависимости а = д/- у • В ,
представляющий собой поверхности, расположенные над вторым (57) и четвертым (52) квадрантами. В соответствии с (22), точки функции, лежащие
под поверхностями Б7 и Б2 (а < у • В) являются
точками неустойчивой работы устройства; точки, принадлежащие поверхностям Б7 и Б2
(а = д/— у • В) характеризуют работу цепи на границе устойчивой и неустойчивой областей; точки, лежащие выше поверхностей и Б2 (а > у • В)
характеризуют работу цепи в устойчивой зоне.
На границе устойчивости возможны два режима работы:
1. При - у = р или - В = у , когда одному значению а соответствует одно сочетание у и в (режимная точка находится на кривых оА или оА ) принадлежащих соответственно поверхностям 57, 52, при-
Рис. 2. График зависимости а = у • В Fig. 2. Dependency graph of а = у • В
2
чем в этом сочетании у ив в цепи невозможно скачкообразное изменение параметров.
2. При у > -р или Р > -у, когда одному значению а соответствуют два сочетания у и в, причем имеются две точки В и В' возможного неустойчивого равновесия, а в цепи возможны скачкообразные изменения параметров.
Заключение
Исследования работы умножителя с представленной схемой (см. рис. 1) при вариации параметров С1, С2 = 10-30 мкФ, W1, W2 = 300-450 витков, g1 =
= 0,0015 Ом-1, ^ = 0,0015-0,05 Ом4, Н = 0,11469, сталь магнитопровода - Э360 (3424), выполненные на основе выражения (23), показывают, что периодический процесс на основной частоте в данной цепи устойчив.
Изменение нагрузки преобразователя числа фаз от короткого замыкания до холостого хода на режим устойчивости не влияет.
С точки зрения теории устойчивости цепь пригодна для разработки реальных умножителей частоты.
Список литературы
1. Обзор схемных решений преобразователей числа фаз на трансформаторах / Г.Н. Ворфоломеев, С.В. Мятеж, Н.И. Щуров и др. // Совершенствование технических средств электрического транспорта. Новосибирск, 2001. С. 78-96.
2. Евдокимов С.А. Геометрический способ генерации схемных решений преобразователей числа фаз для выпрямителей // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2008. № 2(31). С. 107-120.
3. Каримов А.С., Рахимов Г.Р. Автопараметрические преобразователи числа фаз и частоты переменного тока. Ташкент : Фан. 1995. 275 с.
4. Преобразователи числа фаз в электротехнологии / С.Л. Назаров, В.Н. Удинцев, С.А. Бычков и др. // Урал. федер. ун-т им. Б.Н. Ельцина. Екатеринбург. 2019.
5. Ферромагнитный преобразователь частоты и числа фаз в четыре раза : а. с. 1741239 / А.С. Каримов, М.Т. Турды-ев, З.Р. Худайкулов и др. № 1741239 ; опубл. 15.06.1992.
6. Сидоров С.А., Рогинская Л.З. Фазопреобразовательное устройство для несимметричных нагрузок : Электроэнергетические системы и сети Энергосбережение : сб. тр. Уфа, 2013. С. 121-125.
7. Using of the parametric nonlinear LC-circuitsin stabilized converters of the number of phases / I. Bedritskiy, K. Juraeva, L. Bazarov et al. // Jour. of Adv Research in Dynamical & Control Systems. 2020. Vol. 12. Iss. 06. P. 98-107.
8. Golubev A.N., Ignatenko S.V. Characteristics optimization for a frequency converter power filter as a function of phase number // Elektronechnic. 1999. № 7. P. 42-46.
9. Halilov N.A., Bedritsky I.M. To a question on approximation of curves of magnetization of electrotechnical steels // News of high schools of republic Uzbekistan. Engineering in Life Sciences. 2002. № 4. С. 33.
10. Привалов E.E. Электротехническое материаловедение : учеб. пособие. М. ; Берлин : Директ-медиа, 2015. 234 с.
11. Алиев И.И. Электротехнический справочник. Изд. 4-е, испр. М. : Радио Софт, 2006. 384 с.
12. Глебов Б.А., Каюков Д.С, Недолужко И.Г. Модели магнитных компонентов // Практическая силовая электроника. 2003. № 11. С. 20-26.
13. Simple Mathematical Model for Ferromagnetic Core Inductance and Experimental Validation / B. Nana, S.B. Yamgoue, R. Tchitnga et al. American Journal of Electrical and Electronic Engineering. 2015. Vol. 3. № 2. P. 29-36.
14. Пентегов И.В., Красножон А.В. Универсальная аппроксимация кривых намагничивания электротехнических сталей // Електротехшка i електромеханжа. 2005. № 7. С. 13-19.
15. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis // Journal of magnetism and magnetic materials. 1986. Vol. 61. № 06.
16. Nonlinear Transformer Model for Circuit Simulation / J.H. Chan, A. Vladimirescu, X.-C. Gao et al. Transactions on computer-aided design. 1991. Vol. 10. № 4. DOI: 10.1109/43.75630.
17. Файзиев М.М., Бейтуллаев Р.Х., Норбоев А.Э. Вопросы устойчивости решения феррорезонансного контура с линейной индуктивностью // Вестник науки и образования. 2017. № 1 (25). C. 15-18.
18. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Л. : Энергоатомиздат, 1990. 256 с.
References
1. Vorfolomeev G.N., Myatezh S.V., Shurov N.I., Chemodanova O.V., Chemodanov S.S., Fleisher O.N. Obzor skhemnykh reshenii preobrazovatelei chisla faz na transformatorakh [Review of circuit solutions of phase number converters on transformers]. Sovershenstvovanie tekhnicheskikh sredstv elektricheskogo transporta [Improvement of technical means of electric transport]. Novosibirsk, 2001. Pp. 78-96.
2. Evdokimov S.A. Geometricheskii sposob generatsii skhemnykh reshenii preobrazovatelei chisla faz dlya vypryamitelei [The geometric method of generating circuit solutions of phase number converters for rectifiers]. Nauchnyi vestnik Novosibir-skogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [The Scientific Bulletin of Novosibirsk State Technical University], 2008. No. 2(31). Pp. 107-120.
3. Karimov A.S., Rakhimov G.R. Avtoparametricheskie preobrazovateli chisla faz i chastoty peremennogo toka [Autopar-ametric converters of the number of phases and frequency of alternating current]. Tashkent: Fan Publ., 1995. 275 p.
4. Nazarov S.L., Udintsev V.N., Bychkov S.A., Tarasov F.E., Beavogi P., Abdullaev Zh.O. Preobrazovateli chisla faz v el-ektrotekhnologii [Phase number converters in electrotechnology]. Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin. Ekaterinburg, 2019.
5. Karimov A.S., Turdiev M.T., Khudaikulov Z.R., Ibragimov N.R. Ferromagnitnyi preobrazovatel' chastoty i chisla faz v chetyre raza [Ferromagnetic frequency converter andfour-fold phase number]. Copyright certificate SU 1741239 A1. June 15, 1992.
6. Sidorov S.A., Roginskaya L.Z. Fazopreobrazovatel'noe ustroistvo dlya nesimmetrichnykh nagruzok [A phase-converting device for asymmetric loads. Energy saving]. Ufa, 2013. Pp. 121-125.
7. Bedritskiy I., Juraeva K., Bazarov L., Saidvaliev B. Using of the parametric nonlinear LC-circuits in stabilized converters of the number of phases. Jour. of Adv Research in Dynamical & Control Systems, 2020. Vol. 12. Iss. 06. Pp. 98-107.
8. Golubev A.N., Ignatenko S.V. Characteristics optimization for a frequency converter power filter as a function of phase number. Еlektrotechnics, 1999. No. 7. Pp. 42-46.
9. Halilov N.A., Bedritsky I.M. To a question on approximation of curves of magnetization of electrotechnical steels. News of high schools of republic Uzbekistan. Engineering in Life Sciences, 2002. No. 4. P. 33.
10. Privalov E.E. Elektrotekhnicheskoe materialovedenie: uchebnoe posobie [Electrotechnical materials science: a textbook]. Moscow - Berlin: Direct-media Publ., 2015. 234 p.
11. Aliev I.I. Elektrotekhnicheskii spravochnik. Izd. 4-e, ispr. [Electrotechnical reference book. 4th ed., rev.]. Moscow: Radio Soft Publ., 2006. 384 p.
12. Glebov B.A., Kayukov D.S., Nedoluzhko I.G. Modeli magnitnykh komponentov [Models of magnetic components]. Prakticheskaya silovaya elektronika [Practicalpower electronics], 2003. No. 11.
13. Nana B., Yamgoue S.B., Tchitnga R., Woafo P. Simple mathematical model for ferromagnetic core inductance and experimental validation. American Journal of Electrical and Electronic Engineering, 2015. Vol. 3. No. 2. Pp. 29-36.
14. Pentegov I.V., Krasnozhon A.V. Universal'naya approksimatsiya krivykh namagnichivaniya elektrotekhnicheskikh stalei [Universal approximation of magnetization curves of electrotechnical steels]. Elektrotechnika i elektromekhanika, 2005. No. 7. Pp. 13-19.
15. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis. Journal of magnetism and magnetic materials. 1986. Vol. 61. No. 06.
16. Chan J. H., Vladimirescu A., Gao X.-C., Liebmann P. and Valainis J. Nonlinear transformer model for circuit simulation. Transactions on computer-aided design. 1991. Vol. 10. No. 4.
17. Fayziev M.M., Beitullaev R.H., Norboev A.E. Voprosy ustoichivosti resheniya ferrorezonansnogo kontura s lineinoi in-duktivnost'yu [Questions of stability of the solution of a ferroresonance circuit with linear inductance]. Vestnik nauki i obra-zovaniya [Bulletin of science and education], 2017. No. 1(25). Pp. 15-18.
18. Danilov L.V., Matkhanov P.N., Filippov E.S. Teoriya nelineinykh elektricheskikh tsepei [Theory of nonlinear electric circuits]. Leningrad: Energoatomizdat Publ., 1990. 256 p.
Информация об авторах
Бедрицкий Иван Михайлович - канд. техн. наук, доцент кафедры электроснабжения, Ташкентский государственный транспортный университет, г. Ташкент Жураева Камила Комиловна - PhD, доцент кафедры электроснабжения, Ташкентский государственный транспортный университет, г. Ташкент
Базаров Лазиз Холбобоевич - ассистент кафедры электроснабжения, Ташкентский государственный транспортный университет, г. Ташкент
DOI 10.26731/1813-9108.2021.2(70).51-60
Information about the authors
Ivan M. Bedritskiy -candidate of technical science, associate professor of the Department of Power Supply, Tashkent State Transport University, Tashkent
Kamila K. Jurayeva - PhD, associate professor of the Department of Power Supply, Tashkent State Transport University, Tashkent
Laziz Kh. Bazarov - assistant of the Department of Power Supply, Tashkent State Transport University, Tashkent
УДК 628.646
Компенсация действия давления рабочей среды в уплотнительных соединениях с тонкостенными элементами
Ю. И. Белоголов И
Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Российская Федерация И pr-mech@mail.ru
Резюме
Одним из направлений совершенствования уплотнительных соединений, в частности клапанов, работающих при высоких давлениях, температурах, различной агрессивности и в условиях эксплуатационных изменений рабочей среды (например, пульсация давления), может быть их частичная, либо полная разгрузка (уравновешивание). Под разгрузкой уплотнительного соединения обычно принято понимать компенсацию действия давления рабочей среды на элементы затвора с целью обеспечения в уплотнительном стыке соединения, постоянства усилия герметизации. Разгрузка уплотнительного соединения достигается за счет определенной конструкции затвора, на который действует давление герметизируемой среды, вследствие чего может достигаться эффект самоуплотнения соединения (при частичной
