CC BY
36
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
45
УДК 629.113
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЕМ ДВУХОСНОГО АВТОМОБИЛЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ РЕГУЛЯТОРА
ТОРМОЗНЫХ СИЛ
В.А. Богомолов, проф., д.т.н., И.Л. Разницын, доцент, к.ф.-м.н., Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет
Аннотация. Используя теорию Ляпунова устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений, проанализированы возможные варианты компоновки регулятора тормозных сил автомобиля.
Ключевые слова: автомобиль, тормозная система, регулятор тормозных сил, дифференциальное уравнение, теория Ляпунова.
СТІЙКІСТЬ ПРОЦЕСУ КЕРУВАННЯ ГАЛЬМУВАННЯМ ДВОВІСНОГО АВТОМОБІЛЯ ПРИ ВИКОРИСТАННІ РЕГУЛЯТОРА ГАЛЬМІВНИХ СИЛ
В.О. Богомолов, проф., д.т.н., І.Л. Разніцин, доцент, к.ф.-м.н., Харківський національний автомобільно-дорожній університет
Анотація. Використовуючи теорію Ляпунова стійкості рішень звичайних диференціальних рівнянь, проаналізовано можливі варіанти компонування регулятора гальмівних сил автомобіля.
Ключові слова: автомобіль, гальмівна система, регулятор гальмівних сил, диференціальне рівняння, теорія Ляпунова.
STABILITY OF TWO-AXLE VEHICLE BRAKING PROCESS CONTROL WHEN USING THE BRAKING FORCE REGULATOR
V. Bogomolov, Prof., D. Sc. (Eng.), I. Raznitsyn, Asso^ Prof., Ph. D. (Phys.-Math.), Kharkiv National Automobile and Highway University
Abstract. Using the Liapunov’s theory of solution stability of ordinary differential equations, the possible variants of vehicle braking force regulator arrangement are analyzed.
Key words: vehicle, braking system, braking force regulator, differential equation, Liapunov’s theory.
Введение
В настоящее время появляется все больше работ, посвященных устойчивости движения автомобиля [1-3] и, в частности, режиму торможения [4, 5], поскольку именно устойчивость является параметром, определяющим безопасность дорожного движения.
Анализ публикаций
Известно, что процесс движения (торможения) автомобиля описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, напр. [5-8 и др.], и поэтому для исследования устойчивости их решения целесообразно применить теорию Ляпунова [9, 10].
46
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
Цель и постановка задачи
Проанализируем возможные варианты компоновки регуляторов тормозных сил (РТС) в тормозной системе двухосного автомобиля на предмет устойчивости режимов торможения с ними.
Исходные дифференциальные уравнения
Исходные дифференциальные уравнения получим, используя уравнения Лагранжа 2-го рода [11, 12]
где і - радиус инерции подрессоренной массы автомобиля относительно поперечной оси, проходящей через центр масс автомобиля; m - масса автомобиля; z, ф, zb z2 - обобщенные координаты, обозначенные на рис. 1.
П = 2 [ z2 (Q + C2 ) + ф2 (Qa2 + C262)]; (5)
Ф = 2[z2 (k1 + k2 ) + ф2 (k1a2 + k2b2)] . (6)
Подставляя (4)-(6) в (1), получаем
d ґ дТ"
dt ldq j J
dT_
5д}
дП дФ
5д} + dq j
(1)
где q - обобщенная координата; q - обобщенная скорость; Т - кинетическая энергия; П - потенциальная энергия; Q}- - обобщенные вынуждающие силы, соответствующие избранным обобщенным координатам qj; Ф - диссипативная функция Релея.
mz + (k1 + k2) z + (C1 + C2) z = 0;
< mi2ф + (k1a2 + k2b2)ф + (C1a2 + C2b2)ф= (7) = (T +T2)(h - z).
Первое уравнение системы (7) не зависит от параметра ф, его характеристическое уравнение имеет вид [10]
a0A,2 + a1X + a2 = 0, (8)
Для сил сопротивления в колебательной си- где все коэффициенты положительны стеме, действующих на отдельные точки и
пропорциональных их скоростям [12] a0 = m; a1 = k1 + k2; a2 = C1 + C2.
n n <}2
ф = £ Ml
(2)
где &г- - скорость в i-й точке; ц - соответствующий коэффициент вязкости.
Принятая расчетная «плоская» [5] схема колеблющегося автомобиля представлена на рис. 1.
При принятых допущениях [8, 12]
Q k1 b
Q 1 1
zя і z + a • ф; z1 = z + a • ф; (3)
z2 ? »z - b •ф; z2 « z - b • ф
получаем
T = 2(mz2 + mi2ф2) , (4)
Корни характеристического уравнения (8)
±yjaj2 - 4a0a2
-a1 ± лla, -'
^1,2 = ~
2a0
(9)
могут быть или комплексными с отрицательной действительной частью, или действительными отрицательными. Оба эти случая указывают на устойчивое решение этого уравнения [10].
Таким образом, для определения условий устойчивости рассматриваемого автомобиля при торможении в дальнейшем будем рассматривать только второе уравнение системы (7).
Примем следующие допущения:
- автомобиль тормозит на ровном и прямом участке дороги. Тогда для первого уравнения системы (7) начальными условиями будут являться: z0 = 0; z0 = 0. В этом случае его решение принимает вид [12]
z0 =0;
(10)
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
47
Рис. 1. Расчетная схема плоской модели автомобиля: С1л, С1п, С2л, С2п - жесткость упругих элементов передней и задней подвески левого и правого колес автомобиля соответственно; k1n, kin, k2jl, k2n - вязкость амортизаторов; Pi, P2 - реакция дороги на колеса переднего и заднего мостов; T1, T2 - тормозные силы; G = mg - вес автомобиля
- во время движения автомобиля справедливо считать, что h » z ; это также свидетельствует в пользу допущения (10);
- тормозные силы равны [13]
Т1 = П1Рд!; T2 = n2Рд2 , (11)
ственно); d1, d2 - коэффициенты, обеспечивающие динамическое перераспределение тормозных сил, уже в процессе торможения; Рд1, Рд2 - выходные давления из РТС:
- с учетом (10), в (3) будем считать
где n1, n2 - коэффициенты эффективности тормозных механизмов передней и задней осей автомобиля; Рд1, Рд2 - давление в приводных пневмо(гидро)камерах тормозных механизмов.
Для существующих наиболее распространенных конструкций регуляторов тормозных сил [4, 5, 13] можно считать
z1 = аф; z2 = -Ьф. (14)
Подставляя (10)-(14) в (7), получаем исходное уравнение
mi2 ф+ ( k1a2 + k2b2 )ф + +j^Qa2 + C2b2 )- Pdh(an1S1d1 = Pdh(n1S1 + n2 S2).
Ьщ S2d2)
ф = (15)
Рд1 = Рд • ^(1 + Z1 • d1); (12)
Рд2 = Рд • S2(1 + Z2 • d2), (13)
где Рд - приводное давление на выходе из тормозного крана (главного тормозного цилиндра); S1, S2 - коэффициенты, обеспечивающие перераспределение тормозных сил в статике, т.е. в зависимости от статической нагрузки на оси (первой и второй соответ-
Условно разделяя конструкции РТС на две большие группы [4, 5]:
- статические, когда
Si Ф cons/1, di = 0; (16)
- динамические, когда
Si Ф const, di Ф 0 . (17)
Проанализируем сначала первую группу.
48
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
Тормозные системы со статическим РТС
В случае установки РТС в контуре привода тормозных механизмов заднего моста в (15)
d = d2 = 0; S1 = 1; S2 > 0. (18)
Для такой схемы тормозной системы условием устойчивого решения является
а2С + Ь2С2 >
г п (24)
> Г Pg • h • а • n • S • d1 1 .
L g 1 Jmax
Характеристическое уравнение имеет вид (8) со всеми положительными коэффициентами, а значит, такая схема обеспечивает устойчивое торможение.
Аналогичный вывод следует и для схем:
- со статическим РТС в контуре переднего моста, когда в (15)
d = d2 = 0; S2 = 1; S1 > 0; (19)
Динамические РТС в контурах обоих мостов автомобиля
Тогда в (15)
d > 0; d2 > 0; S1 > 0; S2 > 0. (25)
Коэффициент я 2 теоретически может быть отрицательным, и поэтому процесс торможения может быть неустойчивым.
- со статическим РТС в контурах обоих мостов, когда в (15)
d = d2 = 0; S1 > 0; S2 > 0 . (20)
Динамический РТС в контуре заднего моста
В этом случае в(15)
d = 0; d2 > 0; S1 = 1; S2 > 0. (21)
У характеристического уравнения (8), в этом случае, все коэффициенты положительны (15), поэтому такая схема торможения дает устойчивое решение.
Динамический РТС в контуре переднего моста
Условие устойчивого решения
С1а2 + C2b2 > LPJ1h(an1S1d1 - bn2S2d2 ] . (26)
РТС с комбинированным модулем связи с пневмоподвеской
Интересно исследовать конструкцию РТС, устанавливаемого в сочетании с пневмоподвеской. Условно назовем ее с комбинированным модулем связи с подвеской [5]. Такой регулятор устанавливается в тормозном контуре заднего моста, а сигнал загрузки осей получает и от передних пневмобаллонов, и от задних. Регулировка тормозных сил осуществляется пропорционально разности давлений в пневмобаллонах.
В этом случае, если допустить [5]
Когда в(15)
Рд2 = Р^2 [1 + (ЛРП2 - mAPnl )d2 ], (27)
d1 > 0; d2 = 0; S1 > 0; S2 = 0 . (22)
У характеристического уравнения вида (8) коэффициенты а1 и а2 (15) положительны, но
а2 = (С1а2 + С2Ь2) - Рд • h • а • n1 • S1 • d1
(23)
где ЛРп1, ЛРп2 - приращения давлений в пневмобаллонах пневмоподвески во время торможения автомобиля; m - коэффициент, учитывающий особенности конструкции модуля связи РТС с пневмоподвеской [5];
в первом приближении можно считать [14]
может быть отрицательным, и в этом случае в (9) может появиться положительный корень, а это признак наличия неустойчивого решения [10] дифференциального уравнения (15).
ЛРп1 = ЛРп2 = Р2 ^ (28)
где р1, р2 - постоянные коэффициенты, учитывающие особенности конструкций пневмобаллонов пневмоподвески.
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
49
Второе уравнение системы (7) в этом случае после соответствующих преобразований приобретает вид
ті2ф + (k1a2 + k2b2 )ф + [( C1a2 + C2b2) +
+P,hS2d2n2 (P2b + mPla)] -ф = Pdh (n + щ>S2).
Как видим, с таким РТC характеристическое уравнение будет также иметь вид (8), все коэффициенты у него положительны. Поэтому процесс торможения с этим РТС устойчив. При этом РТС может быть и статическим: S2 Ф const; d2 = 0, и динамическим:
S2 Ф const; d2 > 0 .
Выводы
Устойчивыми решениями, из рассмотренных, обладают приводы тормозных систем двухосного автомобиля:
- все схемы со статическими РТС;
- динамический РТС, устанавливаемый в контуре заднего моста;
- РТС с комбинированным модулем связи с подвеской.
Получены критерии для обеспечения устойчивого решения у схем:
- с динамическим РТС, устанавливаемым в контуре передней оси;
- с двумя динамическими РТС, устанавливаемыми в контурах и передней, и задней осей автомобиля.
Литература
1. Антонов Д.А. Расчет устойчивости движения многоосных автомобилей / Д.А. Антонов. - М.: Машиностроение, 1984. - 168 с.
2. Абдулгазис У.А. Динамика колеса и устойчивость движения автомобиля / У.А. Абдулгазис, А.У. Абдулгазис, Д.М. Клец, М.А. Подригало; под ред. проф. У.А. Абдулгазис. - Симферополь: ДИАИПИ, 2010. - 208 с.
3. Клец Д.М. Концепція забезпечення стабільності показників стійкості та керованості автомобілів: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.22.20 «Експлуатація та ремонт засобів транспорту» / Д.М. Клец. - Харків, 2015. - 40 с.
4. Богомолов В.А. Создание и исследование систем управления торможением
автотранспортных средств: дис. ... доктора техн. наук: 05.22.02 / Богомолов Виктор Александрович. - Харьков,
2001. - 439 с.
5. Туренко А.Н. Совершенствование способов регулирования выходных параметров тормозной системы автотранспортных средств / А.Н. Туренко, В.А. Богомолов, В.И. Клименко и др. - Х.: ХНАДУ, 2002. - 400 с.
6. Смирнов Г.А. Теория движения колесных машин: учеб. для студентов маши-ностр. спец. вузов / Г.А. Смирнов. - М.: Машиностроение, 1990. - 352 с.
7. Вахламов В.К. Автомобили. Эксплуатационные свойства: учебник / В.К. Вах-ламов. - М.: Изд. центр «Академия»,
2006. - 240 с.
8. Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля. Колебания и плавность хода / Р.В. Роте-нберг. - 3-е изд., перераб. и дополн. -М.: Машиностроение, 1972. - 392 с.
9. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения: учеб. пособие для вузов / Д.Р. Меркин. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1987. - 304 с.
10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУзов. Т. 2 / Н.С. Пискунов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 575 с.
11. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний: учебное пособие / Я.Г. Пановко. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1991. -256 с.
12. Туренко А.Н. Основы прикладной теории колебаний: учебное пособие /
А.Н. Туренко, В.А. Богомолов, В.И. Клименко и др. - Х.: ХНАДУ, 2002. - 130 с.
13. Туренко А.М. Функціональний розрахунок гальмівної системи автомобіля з барабанними гальмами та регулятором гальмівних сил / А.М. Туренко, В.О. Богомолов, В.І. Клименко та ін. - Х.: ХНАДУ, 2003. - 120 с.
14. Певзнер Я.М. Пневматические и гидропневматические подвески / Я.М. Певзнер, А.М. Горелик. - М.: Гос. науч.-техн. изд-во машиностроит. лит-ры, 1963. - 319 с.
Рецензент: В.И. Клименко, профессор, к.т.н.,
ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 28 января 2015 г.
