CC BY
7
II. МЕХАНИКА
УДК 539.3:533.5:517.9
П.А.ВЕЛЬМИСОВ, С V КИРЕЕВ, А.О.КУЗНЕЦОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА
Рассматривается двухточечная задача об изгибных формах пластины- полосы в сверхзвуковом потоке газа, описываемых нелинейным уравнением и нелинейными граничными условиями. Задача с линейными граничными условиями рассматривалась в [1 , 2] Для поиска малы" решений задачи применяются методы теории ветвления [3]. Получены условия статической неустойчивости (бифуркации) и асимптотика прогиба пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа.
Рассмотрим двухточечную задачу об изгибных формах пластины-полосы в сверхзвуковом потоке га?а [4], [5], описываемых нелинейным уравнением :
X (
Цк) = КЫ) + У а. . -ви<"[*'г4г=0
2 0) К(*>)=т>"" + а\'\ д= а«Р'У , М = -
V М1 - 1 а
при следующих граничных условиях в точках х = 0, х-£
к=I
Здесь О - нагибная жесткость пластииы; V, /?0, а- скорость газа, плотность и скорость звука, соответствующие однородному потоку; Я -число Маха. и/ - коэффициенты, хаоак1ершу юш ие жесткость основания;
интегральный член учитывает нелинейное воздействие продольного уси-* ,
лия; а и' - член, учитывающий аэродинамическое воздействие; «0 = 1 (а0 = 2) соответствует одностороннему (двустороннему) обтеканию пластины; н>(х) - прогиб пластины; все коэффициенты, входящие в уравнение, постоянные. В (2) ¿> = 0или Ь = £; коэффициенты
с!> Фц (1 = 0 + п, 7 = 0 п?) - произвольные, часть из них может равняться
нулю: в зависимости от значений этих коэффициентов условия могут быть и ли линейными, иш: нелинейными
Из 81 варианта ..тнейных граничных условий (2) исследовано 28. Из них только для 6 удалось разрешить сисгему (1), (2). Задача с тремя из них исследовалась в [1 , 2]. Для трех других приведем только дисперсионные соотношения для собственных значений оператора
2) и>'(0) = 0, и>'(1) = 0,
1) н>'(0) = 0, и>"(Г) - О,
и>"'(0) = 0, ¿0и>"'(1)=<*,к>(1),
еоб
1 Л
1 Л
+ — е 2
и
со» -
Г л 1
I 2
-5--1 -- е
3) н"(0) = 0, ^40 = 0, н'"'(0) = 0. =
3
-ж 2 =0.
Для поиска малых решений задачи О). (2), ответвляющихся ог нулевого, применим методы теории ветгления [3].
Пидрооно рассмотрим уравнение (1), осчав.^ня только перчым член ряда •
Вп"" + а м>' + а3н>3 - Ш* } и>':ск = 0.
СЗ)
Перейдем в уравнении (3) к безразмерным переменным. После »амены
х=£х. = (4)
где £ - некоторый характерный размер, а величины с чертой - безразмерные переменные, приходим к уравнению
я
я/ _з
И' — — -
ее
1
в
— йГ'2</х = 0.
О
(5)
у
и/"" +
Будем изучать решения этого уравнегия при следующих нелинейных граничных условиях
я
^'"(0) = ^ (0), = соответствующих жесткому защемлению на правом конце и упругому закреплению с нелинейной реакцией на левом конце (момент пропорционален кубу угла поворота, а пер урезывающая сила пропорциональна ку-
бу прогиба) В дальнейшем изложении для упрощения записи мы будем опускать черточки, но понимая все величины как безразмерные.
Производная Фрешс оператора К(и>) опредетяет фредгольмов оператор А(и>) = 0, действующий из пространства С4^ [0,1] в пространство С" [01].
«'•Г
и>"(0) = 0, и>(1) = 0, н;"'(0) = 0; *'(!) = 0.
О '
(7)
(8)
Общее решение уравнения (7) имеет вид :
ж Г
н>(;с) = с, + сгс + е 2
с} сое
ч
7э
Ч
У
+ сА вш
\\
2
(9)
где с,, с2, с3, сА - константы, а величина я определяется из соотношения
з а £ =
з
п
(Ш
V 1 • '
Собственные числа Я - я3 оператора К(и>) определяются из дисперсионного соотношения :
1 ш
« - + сое
-5
Ч
= 0
(П)
Собственным числам из (11) отвечает собегвенмая функция
о * • К3 I (р~2.' Ззш ——
4 2 3.,
ез11 + _ 2с>,.х/1 .
V3 Л .у.х: + -ч 2 6/
2 6
Сопряженная задача может быть получена из билинейной формы [ъ]
|и(и>"" + Я • м'')сЬс= 0,
(12)
Л.*(и) = и'"'-А-и'= О,
и"(0) = 0, м"'(0) - X • м(0) = 0. м(1) = 0, и'(1) = 0. Она имеет те же собственные числа (11) и собсгвенную функцию-
(13)
-, V г
у/{х) = е +
1 $
- + > г
42
( п; V
л/3
-е1 мп
41 2 Л
/ '„ чЛ
[ л/3
и „
е ■ собя
'л
ч
X
■ ■■■ . е - бш
2
Ч
+
-ях
т
л
/
ч
2
Таким образом, фредгольмов оператор АГ(и>) не является самосопряженным
3 3
Полагая е = Л-з0 - точка бифуркации) и применяя лемму Шлшд^а [3], запишем уравнение (5) в виде системы
ЭР а ?
4 ' " ' В I О ' (15)
где \ср у\ и - некоторые оиорто!ональные системы относительно
внешнего произведения
1
<и/о >- |и(х)й>(х)^х. о
Применение методов теории ветв тения к системе (15) затруднительно из-за несамосопряженносхи оператора £(и>) и наличия неоднородных краевых условий. Сделаем замену переменных
и>(х) = у(х) + -(1-хГ .и> (и) + -(1- х)2 л хгс1,н (0). (16)
Система (15) примет вид
1
V"'•+ (~Г + * V - 0 - х)с*к'\0) - (I - М^Щ +
♦ 1(1 -<V4(1 -+Ы-х^лм*«* *>-
!Л»3( о)+ 1
з 2
/3 1 1
= £ ■ г - 4у' - (1 н х)аи>'3(0) - (I - х) х3с/*н>3(0) + (1 - х)2х%^3р» +
в' - я - 1 - 1 — - - - 3 , 3//\ч . \2 „ ...3,
" - О
- (1 - .х^и>'3(0) - (1 - X) х3с1.м>\0) + - х)2^си^^еЬс-^- --[V + + [{[- х)гс.*'\ГО + - х)г 1дЛ/.>Ло)]3
Л х. Э
(17)
с однооодными краевыми условиями
у"(С) = 0, у(1) = 0, у"'(0) = 0, '/С) = 0- О8)
Сисгема (17) не может быть решена точно из-за присутствия №(0) и и>'(0)-Согла :но [4],разложим у(.г) и и>(л) в ряд по степеням £ и ,9:
^ = 2 , (19)
Вестник УлГТУ. 1/99
47
где щ =0, у0/- = 0, т к. (1) - задача о точке бифуркации. В дальнейшем значения и^(0) и м/(0), входящие в (17), заменим на первое слагаемое из разложения (19):
^10 - ф =
Для определения V^ получаем рекуррентную систему :
Ал>п = -<р', &зоГ- ^ -<ръ + у"} (р'2 <1к (о - 20и.)^*#>3(0) -
^ ^ о
- ¿3[у(1 - х):хЧ^'(О) - (1 - хк,<р'3(0) - ^(1 - х)хъс1.(р\щ -
- < - (1 - х)1 с,(р'ъ{$) + 1(1 - х)2 0),уг > р,...
I 2 э
1 огда второе уравнение системы (15) представляет собой уравнение разветвления
...= 0 (20) и дает асимптотику разветвляющихся решений
у{х) = ± 1-^<р + о ¿Г
1/ Т 1 ,
О I ч
» —У) /
ЯЩП £ = -ЩП Ц , •
с коэффициентами
1
= -<(р\ц/>=-
о
-(1 - х)с,р'3(0) т фс3^3С0Г))- < -(1 - х)2с^'3(0) +
1 6 I
^ О ¿>0 0
2 о
I
+ С.1Р' (0))] ху/с!х + {-■ -ар'3(0))|х><& + ^а.срЧЩх'у/сЫ-
о - 2 о 6 0
1 • I 1 5
- Г^3(0)|лс4ЮЕ&- 1 Ч0)|х-иЛ = - Щ + - 4? + Д5).
0 и ^ ¿^
Коэффициенты L,,, Цо^, I И и имеют вид :
, 3 У . (4 л
L.,=-S+yJiS-e¿ Si™--5
2 1 2
I ш 1,523 9595 , 279 126 ls 2485 9s 847
/ —---es +---e s--eLS---+-e •
728-5 364 5 28-J 7-5 364 5 728-5
15V3 I 73 I 355л/3 Гл/З 22V3 i. . /л/3 "i
+-е2 sire — а\--е 2 sire—s\--sire—s +
14-5 У 2 J 364-5 2 ) 13-5 2 J
6979V3 I . fV3 Í 9/3 ^ . (7з "I 47/3 V • )
4- -__einl -с I J--o ¿ einl -с 1 -u • - o ¿ ci л I--с I
2366-5 { 2 "J 2 \ 2 "J 104-5 l2T
(Í
Z<2) = Vf ^ + 3vr352e 2 sin 4
V3 2
5
V ¿ У
2 + !. 2 J
+
3v'jíV Sin ^[l-i.j,
4? = d.
YiK
135 243
v 5
+ 54 e* + 9 +
2 5
72 180'
253 45 165У
+1 -
25 ; 180V3 99ч 3
e * +
Г___rz , , _ rr
\ 4 í rr \
\ s
9 S
>> 3
V 5"
447V3
85
!* . í /з 27л/3 $ • ГV3 1 291V3
e 2 si
IT1,
+-e1 sin —51 +1 - ,
5 Л 2 J V Is
\
-8W3
(JS] Í114V3 15V3
ч
Л Is I If Vs . -V J
e 2 sm —
5 + —■ +
\
1395 N 9
7 5" 2
+ с»
\vV-27V35'V sin) ^5
16 2 2 J
Согласно (16) и (20), H(jc) - v(x) ±
^30 '
(22)
Для полученных асимптитических решений (22) построены бифуркационные диаграммы , показывающие ависимость мяксиматьного прогиба пластины от скорости набегающего потока (У»а).
Здесь аг = 1, 9=1, ¿-10, р0=\, а = 330, /7 ^ Ю10
Вестник "^лИГУ. 1/99
49
А
М>
1.81Ч05 2Л2Ч05 3.13П05 2.33'Ю5 г
Рис.1. Бифуркационная ци грамма для нелинейных граничныл условий
Рис.2. Бифуркационная диаграмма для линейных граничных условий
Ес^ш возмущением = Л - ¿V ибразуется за счет изменения скорости
потока, го ветвление в точке /1о=л( надкритическое, т е. ~ откуда £^(/-'(1/))>0 образуется yв^личeниeм скорости потока. В то же время £(1/Д) > 0 при неизмеьной скорости потока может быть получено вследствие уменьшения изгибной жесткости, для которой ветвление будет подкри'хическим. На рисунке 1 представлена бифуркационная диаграмма, соответствующая нелинейным граничным условиям (Ь), а на рисунке 2 - бифуркационная диаграмма, отвечающая линейным 1ра-ничным условиям (8), соответствующим свободному и жестко защемленным концам.
аким образом, учет пропорциональности момента кубу угла поворо-50 Вестник УлГТУ 1/99
та и пропорциональности перерезывающей силы кубу прогиба в граничном условии уточняет бифуркационную диаграмму в сторону уменьшения максимального прогиба пластины
Полученные результаты могут быть использованы при расчете деформации упругих элементов тонкостенных конструкций, обтекаемых потоком газа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Асимптотика решений задачи об обтекании пластины-полосы сверхзвуковым потоком газа // Тезисы докладов научно-практической конференции '(Новые методы, средства и технологии в науке, промышленности и экономике». Ульяновск: У.ЛГУ, 1997. 4.2. С. 18.
2. Вельмисов П. А., Логинов Б.В Метод групповых преобразований и ветвление решений в двухточечных граничных задачах ээроупругости II Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 1995. С. 120
3. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. M Наука, 1969. 524 с.
4. Воль чир .А С Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука. 1972. 432 с.
5. Нановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М. Наука, 1979. 384 с
6. Найфэ А.Х. Методы возмущений. M : Мир, 1976. 456 с.
Вечьмисов Петр Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэроупругости, математической физике, устойчивости.
Кузнецов Александр Олегович, кандидат физико-математических наук, дицент кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Ташкентского государственного университета. Имеет статьи по теории дифференциальных уравнений и их приложениям,численным методам устойчивости.
Киреев Сергей В юдимиро&ич, аспирант Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Ульяновского филиала Московского государственного университета. Имеет статьи по аэрогидроупругости, устойчивости.
Вестник УлГТУ. 1/99
M
