Устойчивость пластин при чистом сдвиге за пределом упругости с учетом сжимаемости материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИС К И Ц А Г И Т ом XI 19 8 О

№ 1

УДК 629.7.015.023.2

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН МРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ С УЧЕТО/М СЖИМАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА

В. Л. Белоус

В статье рассмотрены некоторые задачи устойчивости при чистом сдвиге прямоугольных пластин за пределом упругости с учетом сжимаемости материала. Результаты представлены в виде графиков коэффициентов устойчивости для пластин с разными граничными условиями на краях. Для пластин из сплавов В95ичТ1 ШбчТ дана зависимость критических напряжений от отношения ширины пластины к ее толщине. Показано, что расчет по предложенному методу может дать выигрыш в массе пластины по сравнению с приближенным расчетом по методу Влейха. Выигрыш тем больше, чем ближе критические напряжения к пределу текучести.

В авиационных конструкциях имеется ряд элементов, которые можно моделировать прямоугольными пластинами, находящимися в состоянии чистого сдвига или близкого к нему. Такие элементы встречаются в стенках лонжеронов, обшивках крыла и др. При этом во многих случаях критические напряжения сдвига могут превышать предел упругости.

Вопросам устойчивости пластин за пределом упругости при чистом сдвиге посвящен ряд работ. В большинстве из них (см., например, [1—3]) не учитывается сжимаемость материала, что приводит, как показано в данной статье, к завышенным значениям критических напряжений. Работа [4], основанная па теории течения, учитывает сжимаемость материала, однако и ней результаты приведены только для квадратной пластины.

В настоящей статье задача устойчивости прямоугольных пластин при чистом сдвиге за пределом упругости рассматривается на основе деформационной

теории пластичности с учетом сжимаемости материала. Решение представлено в зависимости от обобщенных параметров, что позволяет использовать его для пластин различного удлинения изготовленных из различных материалов.

1 Прямоугольная пластина, длина которой равна а, ширина />, толщина о, нагружена в своей плоскости равномерно распределенными касательными усилиями Аг.і \.| приложенными к кромкам пластины, как показано на рис. 1. Под действием этих усилий в плоскости пластины возникнут постоянные во всех ее точках касательные напряжения т — Л:ху 5. Уровень напряженности пластины характеризуется величиной интенсивности напряжен и й

:/ = I 3 т. (1)

При возрастании усилий Л'ЛЧ, касательные напряжения 7 могут достигнуть кри-

тического значения тКр, при котором пластина примет новую слегка искривленную форму равновесия.

В зависимости от геометрических параметров пластины потеря устойчивости ■ее может произойти либо в пределах упругости, если тКр о,щ/1 3, либо за пределом упругости, если "кр>~пц1 3, где з,(1ц — напряжение, соответствующее пределу пропорциональности на диаграмме интенсивности ^Для определения критического напряжения ~Кр и форм равновесия пластины воспользуемся дифференциальным уравнением устойчивости (22) и выражениями (15) и (23) из работы [о]. Учитывая, что и рассматриваемом случае нагружения пластины

О, по формулам (15) получим = 0, хЛ-у = т,з/ 1/| 3, по форму-

лам (23) будем иметь:

(і. =

3 Г-2 1 +

^ ■

‘■с '

(2)

В силу этого дифференциальное уравнение (22) превращается в следующее:

О, (3)

дхих

эде-ЦВИ-но в, :н ия

ІИГЄ

ает-

вы-

рип

;ны

1ИС-

ной

єно

для

а о.

сн-

1од

ее

1НЫ

(1)

ри-

ен-

I)

(4)

где — прогиб пластины;

ИсУ 12(1 V?; ■

где О — цилиндрическая жесткость пластины при изгибе.

Вошедшие в (2) и (4) касательный модуль £к. секущий модуль £с и коэффициент Пуассона м определяются выражениями:

й-;

(5)

- си,

2

\£с_

П'1> £ ■

(6)

(7)

Модули £к и Яс и коэффициент Пуассона ■/ являются постоянными величинами в пределах пропорциональности

ек «= £с -- |

I при пц

\ п |> I

11 переменными за пределом пропорциональности.

При возрастании интенсивности напряжений сверх зП11 модули £к и £с уменьшаются, оставаясь в пределах £>£с^>£к> 0, а коэффициент Пуассона возрастает от ч = -/уПр до своего предельного значения ч = 0,5. Из (5) и (6) следует, что для определения касательного и секущего модуля необходимо иметь диаграмму интенсивности ~1 — Ф (ег) для материала, из которого изготовлена пластина, устойчивость которой рассматривается. Эта диаграмма определяется из эксперимента, и как показано в работе [5]. она совпадает с обычной диаграммой з — £, получаемой из испытании образцов на растяжение или сжатие. На рис. 2 приведена диаграмма интенсивности, полученная из испытаний па сжатие коротких образцов, в долевом направлении из ковано-катаной плиты толщиной 3 = — 60 мм. Материал плиты В95пчТ1, имеющий модуль упругости £ 7,2-]01 Н/мм-,

предел пропорциональности ош( = - 400 Н мм-, предел текучести а02 — 520 П мм2,

коэффициент Пуассона мупр = 0,3. Там же приведены кривые зависимостей Ек = = ЕК1Е и Ес = ЕС1Е от аI, вычисленные посредством формул (5) и (6), при этом вместо (6) была использована приближенная формула численного дифференцирования

Рис. 2

0 50 1/fVn

-----с учетом сжимаемости.

-----Вез учета, сжимаемости.

Рис. 3

На рис. 3 приведены аналогичные кривые а—г, Ек и Ес для ковано-катаной плиты из Д16чТ толщиной 5 = 60 мм, имеющей Е = 7,2-Ю4 Н/мм2, аШ1 = 220 Н/мм2, = 335 Н/мм2.

Кривые, приведенные на рис. 2 и 3, являются исходными при определении критических напряжений за пределом упругости.

Дифференциальное уравнение (3), к которому свелась задача устойчивости пластины за пределом упругости может быть решено точно в случае весьма длинных пластин, у которых отношение сторон ajb = со. В пределах упругости для таких пластин точное решение уравнения (3) было получено Саутсвеллом [6]. Для пластин с конечным отношением сторон ajb уравнение (3) может быть решено только приближенно, например, методом Бубнова — Галеркина. Для решения рассматриваемой здесь задачи устойчивости прямоугольных пластин при чистом сдвиге мы будем пользоваться методом Бубнова — Галеркина и используем имеющиеся в литературе решения.

2. Рассмотрим сначала устойчивость при чистом сдвиге удлиненных пластин, у которых отношение сторон а/Ь^> 4. Для таких пластин допустимо использовать решение, полученное для бесконечно длинной пластины. Форму выпучивания потерявшей устойчивость шарнирно-опертой на продольных краях бесконечно длинной пластины, зададим уравнением

Т^у тс

w = A sin sin -у (х — ay), (8)

где b — ширина пластины; s —длина полуволны в направлении оси Ох\ а — тангенс угла наклона узловой линии х—ау — 0 к оси Оу.

Уравнение (8) является приближенным выражением прогиба пластины, так как оно не удовлетворяет дифференциальному уравнению решаемой задачи и удовлетворяет граничным условиям только частично. Тем не менее, как показал С. П. Тимошенко [7], решение, полученное на основе аппроксимации (8), в упругой области, дает вполне удовлетворительные результаты для критических напряжений сдвига, отличающиеся в большую сторону от точного значения критического напряжения на несколько процентов.

ку

Подставим (8) в (2) и затем результат подстановки умножим на sin — ’’ X sin — (х — ay) dxdy и проинтегрируем по х от х = 0 до х = а и по у от у О

до у — Ь, получим уравнение, из которого найдем

т$ О

ткр = к №~Ъ ’

где

2а

Ь'2

Ф + 6 а2 + 2 03 + — (1 + 2 а2 03 + а I)

(Ю)

есть коэффициент устойчивости.

Минимальное значение коэффициента устойчивости к получается при значениях $\Ь и а, обращающих в нуль производные:

дк дк а7х/*) = 0 и да =0‘ (11)

Подчиняя (10) условиям (11), после преобразований получим уравнение

_______________1 —а'

1 4- 2 а2 б3 -)- а4

3 а2

(12)

из которого для каждого значения 03 определим а = ат. Затем находим соответствующее значение длины полуволны

5 \

I — у 1 + 2 ат 63

и коэффициента устойчивости

кт'т

I 1 + 2 ат + ат + 3 а- + 03

(13)

(14)

Определив таким образом &т!п и учитывая (4) и (9), найдем критическое значение напряжения сдвига:

■Ес

“К|>

12(1 — V2) (, Ь

(15)

В табл. I приведены результаты решения уравнения (3) для бесконечной длинной пластины и вычислений по формулам (12), (13) и (14) величин ат, (з/Ь)т и кт|п для ряда значений 03 в пределах 1 > 63;>0,5, 03 = 1 соответствует упругому решению, а 03 = 0,5— чисто пластическому решению, учитывающему сжимаемость материала

Аналогичным образом могут быть получены коэффициенты устойчивости для бесконечно длинной пластины с жестко защемленными продольными краями, взяв в качестве аппроксимирующей функции для прогиба выражение:

2 гу\ п ЧЮ = А | 1 — С05 ——— (х — ху).

(*)

Уравнение (3) того же типа,что и уравнение устойчивости при сдвиге орто тропной пластины.

д1 да дх т д4 да г)2 да

£>1 + 2 £>3 д-+ О., —

дг'

дхду2

N г

2 с)у4 ^ ХУ дхду

= 0.

(16)

Таблица

Вели чи-н ы 3 Формула

1 ,о 0,9 0,8 0,7 0.6 0,5

ат 0,707 0.691 0,675 0,660 0,644 0,627 (12)

(51Ь)т 1,225 1.204 1,179 1,158 1,136 1,115 (13)

кт'т 5,65 5,47 5,27 5,07 4,87 4,66 (14)

кт\п 5,65 5.44 5,23 5,02 4,80 4,58 (18)

*«шп = 2 У"(1

Совпадение уравнений (3) и (16) получается при

£>,=== /)2 = О и /Э3 = /1>В3, (17)

Сходство уравнений (3) и (16) важно тем, что для решения уравнения (3) можно использовать имеющиеся в литературе решения уравнения устойчивости (16) для ортотропных пластин, полученные разными авторами.

Л. И. Балабух в работе [8], исследуя устойчивость удлиненных ортотропных пластин, приводит приближенные формулы для критических касательных усилий. Полагая в этих формулах =й2 = Г) и £>3 = £)03 получим выражения для коэффициента устойчивости, входящего в (15)

03) (3 + 03) (18)

для пластины шарнирно-опертой на продольных краях и

Атт = 3,5 у (1 + е3) (3 + У (19)

для пластины, продольные края которой жестко защемлены. Рассчитанные по формуле (18) значения &т1п приведены в нижней строке табл. 1. Эти значения почти не отличаются от соответствующих значений кт-т, вычисленных по формуле (14). Это и следовало ожидать, так как формулы (14) и (18) получены при одной и той же аппроксимации прогибов пластины. Точность формул (14) и (18) для коэффициентов устойчивости может быть установлена только путем сравнения с результатами точного решения. Так для случая упругой задачи 63 = 1 Саутсвелл получил точное значение коэффициента устойчивости £т1п = 5,34. Это значение отличается от £т1п = 5,65, вычисленного по формуле (18) на 6%. Формула (19), в основе которой лежит аппроксимация прогиба по выражению (*), при 03 = 1 даст значение ктхп — 9,9, превышающее точную величину 8,98 на 10%. Можно полагать, что такую же точность формулы (18) и (19) будут давать в случае упругопластической потери устойчивости бесконечно длинных пластин при чистом сдвиге. Чтобы уточнить формулы (18) и (19) и приблизить их показания к точным, следует в этих формулах числовые коэффициенты заменить соответственно на 1,888 и 3,18. Вычисление критических напряжений в пластинах за пределом упругости усложняется тем, что в правую часть формулы (15), входят величины, зависящие от критического напряжения. Вследствие этого определение критического напряжения по этой формуле может быть выполнено только методом последовательных приближений. Вычисление можно упростить, если вместо прямой задачи решать обратную, т. е. по данной величине критического напряжения определить критическую величину отношения ширины пластины к ее толщине ЬЪ по формуле:

Е с

гшт 12(1 -V-1) ТК,

= 0,9096 I /:

Ес

(20)

кр ' КР ... ‘ — ' "КР

Результаты вычислений по формуле (18) коэффициента устойчивости и по формуле (20) величины (6/6)Кр, выполненные для шарнирно-опертой пластины из материала В95пчТ1 приведены в графе 7 и 8 табл. 2.

Здесь числовые значения интенсивности напряжений с,-; относительные значения касательного модуля Ек—Ек/Е и секущего модуля Ёс — Ес/Е непосред-

Таблица 2

с|» Н/мм2 1 3 ’ Н/мм- £к Ес V 6з ^тт Л/о (Ь/Ь)*

1 1 2 3 4 1 5 1 6 1 7 8 V)

400 231 1 1 0,3 1 5,34 38.9 39,9

420 243 0,855 0,972 0,306 0,904 5,15 36,8 36,4

440 254 0,654 0,955 0,309 0,75 4,84 34,6 33,3

460 266 0,505 0,933 0,313 0,64 4,61 32.7 30,5

480 277 0,309 0,889 0,322 0,498 4,32 30,4 26,4

500 289 0,139 0,803 0,339 0,389 4, 1 27,7 21,2

520 300 0,035 0,628 0,374 0,355 4,03 24,2 14,7

Таблица 3

в/. Н/мм2 стг Vз Н/мм2 Ек £с V е3 ^т\п 6/5

1 2 з 4 5 6 7 8 9

220 127 1,0 1.0 0,3 1,0 5,34 52,3 52,3

240 139 0,74 0,98 0,304 0,804 4,946 47,6 40,53

260 150 0,556 0,960 0,308 0,666 4,67 45,35 35,35

280 162 0,444 0,880 0,324 0,621 4,57 40,7 31,98

300 173 0,34 0,830 0,334 0,558 4,45 37,8 28,68

320 185 0,251 0,766 0,347 0,511 4,35 36,4 25,54

340 196 0,140 0,651 0,370 0,459 4,24 31,2 21,37

360 208 0,069 0,516 0,397 0,439 4,2 27,1 17,51

380 219 0,0056 0,270 0,446 0,437 4,4 19,6 9,34

ственно сняты с кривых, представленных па рис. 2. Величины V и 03 подсчитаны соответственно по формулам (2) и (7).

Аналогичные вычисления были выполнены для шарнирно опертой бесконечно длинной пластины из материала Д16чТ, результаты которых сведены в табл. 3, при этом были использованы кривые, приведенные на рис. 2.

Зависимости критических напряжений ткр от отношения Ь/Ь, построенные по данным 2 и 8 граф табл. 2 и 3, представлены на рис. 5 сплошными линиями. Штрихпунктирными линиями на рис. 3 показаны для срав-

нения ткр, вычисленные в предположении, что материал не сжимаем (\ = 0,5). Как видно из фигуры, пренебрежение сжимаемостью материала приводит к завышению критических напряжений до 20%. По мере приближения напряжений к пределу текучести завышение уменьшается. Чтобы графиками, приведенными на рис. 3, можно было пользоваться для определения критических напряжений сдвига удлиненных пластин, у которых а/Ь^ 4, при других граничных условиях на продольных краях, на оси абсцисс вместо ЩЬ отложены значения Ь)Уп о, где п = 1 для пластин с шарнирно-опертыми продольными краями; л=1,65 —

для пластин с жестко защемленными краями; п = 1,33 — для пластин, у которых

один продольный край шарнирн ооперт, другой жестко закреплен.

Для сравнения в последней графе табл. 2 и 3 приведены значения (Ь/о)*, вычисленные по приближенной формуле

(±)* = ]/ . _Ц , (2.)

\ 5 / I 12(1-*) ткр

рекомендуемой Ф. Блейхом [9], вошедший в (21) коэффициент пластичности

7) =£к.

Сопоставляя числа последних двух граф табл. 2 и 3, видим, что при одинаковой ширине пластины Ь и одинаковом критическом нанряжении ткр получаются разные толщины (см. табл. 4).

При этом толщина 5, вычисленная по более точной форме (20), оказывается меньше толщины пластины о*, вычисленный по приближенной формуле (21). Выигрыш в массе пластины достигает 10—20% для пластины из сплава Д16чТ и 10—30%—для пластины из сплава В95ичТ1.

Таблица 4

ткр, Н/мм2 231 254 277 289 300 Н/мм2 Сплав

с* * 1 0,96 0,87 0,77 0,61 В95пчТ1

'кр, Н/мм2 127 139 162 185 219 Сплав

о/о* 1,0 0,88 0,81 0,78 — Д 16чТ

3. Устойчивость прямоугольных ортотропных пластин с конечным отноше-нием сторон а/Ь при чистом сдвиге изучены достаточно точно в упругой области потери устойчивости. Для нас представляет интерес результаты решения задач устойчивости ортотропных пластин. Эти результаты обычно представляются в виде серии графиков, позволяющих определить коэффициент устойчивости &тш. входящий в формулу (15) для критического напряжения тКр, в зави-

4------ г *

мости от двух параметров ) Ог\Ох-Ь1а и й31У0102. Такие графики приведены.

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

в ряде работ, наиболее полно они даны в работах [6, 10 и 11]. Эти графики используем для определения коэффициентов устойчивости при сдвиге пла-

стин за пределом упругости, перестроив их к виду более удобному для пользования, учтя при этом соотношения (17), из которых следует:

/ D

I ■ п~ -— ------и D3I X D4 — ®3-

} Dx а а

Построенные в этих параметрах графики коэффициентов устойчивости приведены на рис. 4 для пластины, у которой все края шарнирно оперты; на рис. 5 для пластины, у которой края х — 0 и х = а — жестко защемлены, а края у = 0 и v Ь — шарнирно оперты; на рис. 6 для пластины, у которой все края жестко защемлены.

На каждом из этих рисунков точки, лежащие на ординате f>3 = 1, дают значения коэффициентов устойчивости, получаемые из упругого решения задачи устойчивости гладких пластин, имеющих отношения bja, изменяющиеся в преде-Ь

лах На оси ординат 03 = О,4 отложены значения коэффициентов

устойчивости пластины, которая теряет устойчивость при сильно развитых пластических деформациях. Каждая из кривых определяет коэффициенты устойчивости для пластин bja = const в зависимости от параметра 03, вычисляемого по формуле (2) и зависящего от интенсивности напряжений пластины в закритиче-ском состоянии равновесия. Как пользоваться графиками, приведенными на рис. 4—6 покажем на примере.

Пример. Определить критическую толщину пластины из сплава В95пчТI, находящуюся под действием касательных напряжений т = 277 Н/мм2. Пластина имеет длину а — 350 мм, ширину Ь = 160 мм. Все края пластины жестко защемлены. Толщину пластины будем определять так, чтобы ткр = 277 Н/мм2, тогда по табл. 2 находим 03 = 0,498. Для этого значения 03 и отношения сторон bja =

0,455 по графику на рис. 6 определим коэффициент устойчивости km\n = 8,8, после чего по формуле (20) получим

Ь\Ъ = 0,9096 Y7200 1/

88 .-°’88Э._______L_ = 33,6.

1-0,3222 27,7

Искомая толщина пластины о = 160/33,6 = 4,8 мм. 142

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов С. Н. Устойчивость стержней и пластинок за пределом упругости. „Инженерный сборник", 1958, т. 26.

2. Арбузов В. Н. Устойчивость прямоугольных свободно опертых пластинок при сдвиге за пределом пропорциональности. Изв. вузов СССР—„Авиационная техника", 1958, № 2.

3. Моисеев В. И. Устойчивость прямоугольной пластинки при чистом сдвиге за пределом упругости. „Строительная механика и расчет сооружений44, 1970, № 5.

4. Николаев А. П. К исследованию устойчивости прямоугольной пластинки с учетом сжимаемости материала за пределом упругости. „Прикладная механика", 1968, № 4, вып. 3.

5. Белоус А. А., Белоус В. А. Устойчивость прямоугольных пластин за пределом упругости с учетом сжимаемости материала. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 6, 1977.

6. Southwell R. V. „Phil Mag“, т. 48, 1924.

7. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., Гостехиздат, 1946.

8. Б а л а б у х Л. И. Устойчивость фанерных пластинок. ТВФ, 1937, № 9.

9. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. Перевод с английского. М., Физматгиз, 1959.

10. S е у d е 1 Е., F 1 u g t е h n Z. „Motorluft", т. 24, 1933.

11. Johns D. I. Shear buckling of isotropuc and orthotropic plates. „А. Review. ARC", N 3677, 1971.

Рукопись поступила 29jX/I 1978