CC BY
45
УДК 550.834
М.Н. Дмитриев, В.В. Лисица ИНГГ СО РАН, Новосибирск
УСТОЙЧИВОСТЬ И ОТРАЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА M-PML ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ СРЕД
M.N. Dmitriev, V.V. Lisitsa
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS (IPGG)
Acad. Koptyug av. 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
STABILITY AND REFLECTIVITY OF M-PML FOR ANISOTROPIC ELASTIC MEDIA
This paper presents a detailed study of Multiaxial Perfectly Matched Layer which was designed to overcome PML’s instability caused by anisotropy. We prove that the higher tangential damping is the stronger the artificial reflections are. On the base of this research was proposed the algorithm to construct stabilization parameter in nearly optimal way. The results of the numerical experiment are presented in the paper.
Введение
Моделирование волновых процессов зачастую проводится в некоторой целевой подобласти неограниченной области (пространства, полупространства). По этой причине возникает проблема введения искусственных слабоотражающих граничных условий для ограничения расчетной области. В данной работе мы остановимся только на так называемых идеально согласованных слоях или PML (от английского Perfectly Matched Layers).
PML - специальным образом сконструированный слой, окаймляющий расчетную область и обеспечивающий затухание решения по мере его распространения. Данный подход получил весьма широкое распространение при моделировании волновых процессов в изотропных упругих средах (Collino et al. 2001). Однако, как показано в работе (Becache et al. 2003) использование PML в случае анизотропных сред может приводить к неустойчивости. В данной работе рассматривается модификация PML, называемая multiaxial PML или M-PML, предложенная в работе (Meza-Fajardo et al. 2009), обеспечивающая устойчивость решения для любого типа анизотропии. Тем не менее, авторами не было сформулировано условия выбора стабилизирующего параметра и этот самый выбор проводился апостериорно. В настоящей работе формулируется условие оптимального выбора параметров M-PML, обеспечивающих устойчивость и минимизирующих коэффициенты отражения от искусственной границы. M-PML
Рассмотрим гиперболическую систему уравнений: dtu — А\д\и — = ^ (1)
где 1 dt'g JL.
дх)
Данное представление верно для системы уравнений динамической теории упругости и системы уравнений акустики с точностью до выбора вида матриц Л\ и A2.
M-PML для системы (1) в направлении х\ записывается в виде:
+ d\U — А^д^и = 0,
2 2
dtU + d2U - А2д2и =
1 ?
где u +и =и , а параметры d\ и d2 есть демпфирующие функции, зависящие от х\. Более того, предположим d2 = ßd\, параметр ß е [ОД] будем в дальнейшем называть стабилизационным параметром.
В силу того, что M-PML относится к искусственным слабоотражающим граничным условиям, важным этапом его исследования является изучение коэффициентов отражения, возникающих при прохождении волны через границу расчетная область - PML. Для построения коэффициентов отражения рассмотрим частный случай (1), а именно систему уравнений акустики. На рисунке 3 представлены абсолютные значения коэффициентов отражения в зависимости от угла падения волны для различных значений нормализованной демпфирующей функции t,2- d2! со, со - круговая частота. Можно видеть, что для типичных значений демпфирующих функций коэффициенты линейно зависят, как от величины стабилизирующего параметра, так и от значения демпфинга для достаточно широкого диапазона углов падения. По этой причине, для минимизации отражений необходимо либо уменьшать демпфинг, что приводит к увеличению вычислительных затрат, либо минимизировать значения стабилизационного параметра. Для решения задачи выбора данного параметра ниже сформулировано необходимое условие устойчивости M-PML , позволяющее минимизировать стабилизирующий параметр. Более того, условие сформулировано для M-PML, построенного для произвольной строго гиперболической системы уравнений (2).
Необходимое условие устойчивости
Пусть система (1) является строго гиперболической, для устойчивости M-PML (2) необходимо выполнение следующего неравенства:
Vk € lr,Sl(k)l'i(k) + ßs2ik)l2ik) > О,
VkeR2,ßS{ (k)Vt (к) + S2 (k)V2 (k)> 0. (3)
T
где Sj = kj /со - компоненты вектора медленности, V = (V\, V2) = У ^ со
- вектор групповой скорости.
Численные эксперименты
Целью данных экспериментов являлось численное исследование устойчивости M-PML для анизотропных упругих сред. Регулярная область
имела размер 950 x950 м. Ширина поглощающего слоя 50 м. Моделирование проводилось с использованием схемы на сдвинутых сетках. Начальные условия выбирались нулевыми. Точечный источник - внешние силы, вводился в виде правых частей, функция источника - импульс Риккера с центральной частотой 30 Гц.
Модель 1
сп = 5.72 • Ю10 кг/(м ■ с2), с22 = 4.84 • Ю10 кг/(м • с2), с33 = 1.56 • Ю10 кг/(м ■ с2),
с12 = 3.75 • Ю10 кг/(м ■ с2), р = 2500 кг/м3.
Модель 2
сц = 4.0-10^ кг/(м ■ с2), с22 = 2.0-10^ кг/(м • с2), С33 = 2.0-10^ кг /(м • с2),
с12 =7.5Л010 кг!(м-с2\ р = 2000 кг!м3.
На рисунках 1, 4 изображены снимки волнового поля в различные моменты времени для представленных выше моделей для параметров /3 = 0.15 и 0 = 0.08 соответственно. В обоих случаях классический PML является неустойчивым. Неустойчивости M-PML для данных стабилизирующих параметров не наблюдается.
На рисунке 2 изображены снимки волнового поля в различные моменты времени для задачи акустического каротажа скважины с металлической
обсадкой ( Vp =5100 м/с, Vs =3100 м/с, р = 1Ш)кг/м3 ) заполненной жидкостью (Vp =1500 м/с, Vs = 0 м/с, р = 1000 кг/м3) С вмещающей средой (
Ур=А215м/с, Vs=25\9 м/с, р = 2200 кг/м3 ). Регулярная область имела
размер 100x200 м. Ширина поглощающего слоя з м. Видно, что наличие резкоконтрастной границы в скоростной модели приводит к неустойчивости классического PML, в то время как M-PML является устойчивым в случае ¡3 = 0.2.
Выводы
В работе изучены отражательные свойства M-PML. Показано, что M-PML не является идеально согласованным и обладает большей отражающей способностью по сравнению с классическим PML и, следовательно, требует больших вычислительных затрат. Для уменьшения вычислительных затрат был сформулирован критерий оптимального выбора стабилизирующего параметра.
Благодарности
Работа выполнена совместно с научно-исследовательским центром компании Шлюмберже (Schlumberger Moscow Research), а также при частичной финансовой поддержке РФФИ, гранты №07-05-00538, №08-0500265.
200 400 600 800 1000 / = 0.16
200 400 600 800 1000
і = 0.29
200 400 600 800 1000
і = 0.45
200 400 600 800 1000 / = 0.16
200 400 600 800 1000
і = 0.29
о
200
400
600
800
1000
//
200 400 600 800 1000
і = 0.45
Рис. 1. Снимки волнового поля в различные моменты времени для модели 1. Сверху - классический РМЦ снизу М-РМЬ
О
20
40
60
80
100
120
140 41
1ЄО
180
200
50 < (т)
Рис. 2. Снимки волнового поля в различные моменты времени для задачи акустического каротажа. Сверху - классический РМЦ снизу М-РМЬ
— 42=°
— VO-oi n
t2=0 1 ff T 4 1
// 1 1' I!
1 /1 I
/ / j / j i
t f > ■ / / j
/
у У Г / ■ / / .
—
— Ц=005 -V 11
V01 t,=001 ;h
4 1 / I.
/ 1 / 1
/ :
7
/ / / ^ - /
/ ■ ✓ /
-r-S- У
Рис. 3. Абсолютные значения коэффициентов отражения в зависимости от угла падения для различных значений нормализированной демпфирующей функции. Слева - коэффициент отражения для дифференциальной задачи,
справа - для конечно-разностной
/ = 0.13
/ = 0.16
/ = 0.3
/ = 0.13
/ = 0.16
0 200 400 600 800 1000
/ = 0.3
Рис. 4. Снимки волнового поля в различные моменты времени для модели 2. Сверху - классический РМЦ снизу М-РМЬ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Collino F., Tsogka C. Application of the perfectly matched layer absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media// Geophysics. -2001. - v. 66. - pp. 294-307.
2. Becache E., Fauqueux S., Joly P., Stability of perfectly matched layers, group velocities and anisotropic waves// J. Comput. Phys. - 2003. - v. 188. - pp. 399-133.
3. Kristel C. Meza-Fajardo, Apostolos S. Papageorgiou A nonconvolutional split-field, perfectly matched layer for wave propagation in isotropic and anisotropic elastic media: stability analysis// Bulletin of the Seismological Society of America. - 2008. - v. 98. - pp. 1811-1836.
© М.Н. Дмитриев, В.В. Лисица, 2010
