Устойчивость движения машины с электродвигателем постоянного тока Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

1993. 307 с.

21. Элементы привода приборов: расчет, конструирование, технологии // В.Е. Старжинский [и др.]. / под ред. Ю.М. Плескачевского. Минск: Беларуская навука, 2012. 769с.

V.M. Medunetsky, E.V. Shalobaev, S.S. Reznikov, V.E.Starzhinsky SERVICE CONDITIONS, CRITERIA OF QUALITY AND METHODS OF INCREASE OF QUALITY INDICATORS SMALL MODULAR GEARINGS

In work service conditions are stated, criteria of quality are formulated, methods of improvement of quality мелкомодульных tooth gearings are specified.

Key words: Small modular gearings, reliability and working capacity increase.

Получено 3.12.12

УДК 621.01

А. А. Джомартов, д-р техн.наук, зам. директора, (727)272-34-26, legsert@mail.ru (Казахстан, Алматы, ИММаш)

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ C ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Рассмотрена задача устойчивости и стабилизации движения машины с электрическим двигателем постоянного тока с постоянным возбуждением и малой индуктивностью якоря.

Ключевые слова: устойчивость, стабилизация, электрический двигатель, постоянный ток, машина.

Постановка задачи исследования

Рассмотрим динамическую модель машины, представляющую собой систему, состоящую из звеньев, которые обладают определенными массовыми и инерционными характеристиками. Для описания такой системы могут быть использованы различные методы, в том числе второй закон Ньютона, принцип Даламбера, принцип наименьшего принуждения Гаусса, принцип стационарного действия Гамильтона. Будем пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, которые наиболее удобны при описании динамики подобного типа объектов.

Математические модели электрических машин представляют собой сложные системы нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому современные методы управления, основанные на теории линейных систем, не могут быть эффективно использованы для управления машиной. Нелинейные методы управления, разработанные для многомерных систем, часто оказываются несостоятельными в задачах управления машиной, так как для их применения необходимо располагать математической моделью,

которая очень точно воспроизводит динамику машины. Поскольку разработка точной математической модели сопряжена с большими трудностями, то исследование устойчивости возмущенного уравнения представляется важной задачей.

Уравнения Лагранжа второго рода, как известно, имеют вид:

д_ дг

гдЕЛ

ддк

дЕ

ддк

ёк, к = 1 п

(1)

где Е = Т — П — функция Лагранжа системы, Т - кинетическая энергия системы, П - потенциальная энергия системы, дк - обобщенные координаты, - обобщенные скорости, Qk - обобщенные силы.

В частности, кинетическая энергия Т имеет вид

1 _ ^ Т = ^^ 3(д)д,

__Т _!_* Т _

где д = (д1,...,дп) , д = (д^...,дп) , 3(д)- симметрическая положительно

-определенная матрица моментов инерции. Потенциальная энергия

дП(д)

П = П(д), и Введем следующие векторы:

ддк

0, к = 1, п.

G (д) =

гш > (дТ >

дд1 (ё1 ^

дТ _

' дд , ё =

дП дТ V ёп J

Кддп J Кддп J

Тогда уравнение движения (1) в векторной форме принимает следующий вид:

т

3(д )д + 3(д )д — — + о (д ) = ё . (2)

дд

Электрические двигатели постоянного тока широко применяются в различных отраслях промышленности. Значительное распространение электродвигателей постоянного тока объясняется их ценными качествами: высокими пусковым, тормозным и перегрузочным моментами, сравнительно высоким быстродействием, что важно при реверсировании и торможении, возможностью широкого и плавного регулирования частоты вращения. Электродвигатели постоянного тока используют для регулируемых приводов, например, для приводов различных станков и механизмов. Мощности этих электродвигателей достигают сотен

киловатт. В связи с автоматизацией управления производственными процессами и механизмами расширяется область применения маломощных двигателей постоянного тока общего применения мощностью от единиц до сотен ватт.

Случай 1. Рассмотрим динамику машины в предположении, что в качестве приводов используются электрические двигатели постоянного тока с постоянным возбуждением и малой индуктивностью якоря. Тогда уравнения (2) могут быть записаны в виде:

"Л Т^1

(J0 + J(д ))? + (J(д ) + ад - — + О (д ) = Т0й, (3)

од

где J0, В0, Т0- постоянные диагональные матрицы:

(J^^ 0 ... 0 ^ (Вп 0 ... 0 ^ (Ти 0 .. J 22 .. 0 ^ 0 В22 ... 0 ^ 0 Т22 ..

J0 =

'11 0

0

0

J п

В0 =

V ~ •• пп у V

й - вектор входных напряжений. Для решения

0

0

В

Т0 =

пп у

0 ^ 0

00

задачи стабилизации положения равновесия воздействие й (г )вида:

движения

,-0 -0ч

(д , д ) можно использовать

... Т

*пп у

относительно управляющее

й(г) = Т(—1О (д (г)) - А (д (г) - д 0) - Вд (г).

(4)

Управление такого вида легко применить на практике, так как матрицы А и В могут быть выбраны диагональными. Величину слагаемого Т0-1О( д(0)- компенсирующего влияние гравитационных сил, легко вычислить в реальном времени, поскольку каждая компонента вектора О( д (г)) является элементарной арифметической комбинацией тригонометрических функций от обобщенных координат, которые характеризируют вращательные движения звеньев машины, и линейных функций от обобщенных координат, характеризирующих поступательные движения звеньев.

Уравнение замкнутого контура управления, который возникает при использовании управления (4), получается подстановкой (4) в (3) и имеет вид

... -ВТ

(Jo + J(д))д + (J(д) + В)д - — + А(д - д0) = 0,

од

В = В0 + Т0 В, А = Т0 А.

(5)

Для доказательства устойчивости положения равновесия (д 0, д 0 = 0)

рассмотрим функцию Ляпунова вида

_ _._ 1 _._ т _ 1 _ _0 Т _ _0

у(д,д)=^д ^0 + (д))д + 2(д- д ) А(д- д ) =0 ,

для которой оказывается справедливым неравенство

V = —qTBq < 0.

Причем V = 0 только лишь при q 0, q 0 = 0. Следовательно, все условия теоремы Ляпунова об устойчивости и все условия теоремы Барбашина -Красовского об устойчивости в целом выполнены. Первым слагаемым функции Ляпунова (6) является кинетическая энергия системы (5), второе слагаемое отражает влияние на систему (5) вектора обратной связи по

положению A(q — q0), который был искусственно введен в систему и занял место вектора потенциальных сил G (q).

Случай 2. Рассмотрим а качестве приводов электрические двигатели постоянного тока с независимым возбуждением и получаем их уравнения движения с помощью функции Лагранжа - Максвелла. Приведенный момент инерции Jnk и приведенный момент сил Mnк - заданные функции угла поворота якоря (ротора) электродвигателя. Обозначим индуктивность обмоток возбуждения и якоря через Лвк ,Л як, взаимную индуктивность через Mк, токи в обмотках возбуждения и якоря соответственно через iвк, гяк . Тогда функция Лагранжа - Максвелла получает вид:

Л = -1(Л вкй + Л якгяк + 2М^як + -Sn^p. (7) 2 к

Пусть ik = const, тогда относительно обобщенных координат qk, ik уравнения Лагранжа-Максвелла примут вид:

д_ dt

dt

(дК>

д~к у

дА

= —М

дЧк

Л

= uk — ixkRxk, к = 1, n,

(8)

где ик - напряжение приложенное к обмотке якоря, Rяk - сопротивление этой обмотки.

Введем передаточное число редуктора

дк 1 Г~ тк = , к = 1, п .

дк

Тогда по закону сохранения количества энергии

ёк ■ дк = МпкЧк, к = й, ~к = —, ёк = —, к = 1п . (9)

тк тк

Для существующих конструкций электродвигателей постоянного тока можно полагать

5

dM

к

^к

Nk = сотг, к = 1, п .

(10)

Тогда с учетом формул (9) и (10) функцию Лагранжа - Максвелла можно представить в виде

Л = 2 (Л1 * + 1Т (д) * + дТ л 2(д )д),

где

Л1 = dгag{Ля!,...,ЛЯп},л2 = diag) ^

т1 тп

__т

I(д) = (м 1 • *в1,...,мп ■ *вп) , *к = *як, к = 1,п, 1 = *п).

С учетом этого уравнение Лагранжа - Максвелла (8) можно представить в виде

д_ дг

д_ дг

Кддк у

АаЛл

дЛ_ ддк

м

пк

К^к у

йк- 1Л, к = 1п.

(11)

Рассматривая совместно уравнения (2) и (11), получаем систему:

д ( дЕ 1 дЕ

1

дКддк У ддк тк ^Кддк у

д_ дг

V Ч к у

( дЛЛ Л

Кд*к у

d ( дЛ 1 ЭЛ

= ик - ¡кЯк, к = 1, п

или

& дТ 31(д)~ 1

^(д) + Л2(д))д + V(д) + Л2(д))д- —--* --Л2(д)д + О(д) = 0

дд дд 2

~ д г ~ _ ___

Л1 — +1 (д) = Ьи - Яг, дг

где

Л 2(д) = diag

1

т

_

2 2

, Л1 = diag•

Л

21

Л

I (д)

м 1 • iвl V т1

т

Мп • iвn

т

т

т

, Ь = diag •{—,...,- 1

п У

т

т

Я = dшg ^

т

т

д I (—)

Положим к =—, 1(—) = J (—) + л2(—)• дд

Тогда окончательно получим уравнение движения машины

в следующем виде:

дТ - 1 & -_

J(д)д + J(д)д-—-к --Лж)д + G(д) = о

дд 2

Л-

di dt

+ Кд = Ьи -11.

(12)

(qо, д 0

Рассмотрим условия устойчивости положения равновесия

г0

0, i = 0)системы (12). Из системы уравнений (12) имеем

& д т di 1 * |

1 (—)— + 1(—)— —т - кя(Ьи - Л1 — - к— ) — Л2 (—)— + о (—) = о.

дд dt 2 ]

Стабилизирующее управление и выберем в виде

и = Ь 1

Л1 — - я К-С (— - —0) + ЯК-о (—) dt

где с,я - симметрические положительно-определенные матрицы. Тогда замкнутая система примет вид

1 дд+1 (— )— -дт+кяк—+с (— - —0) -1Л2 дд = о. I

дд 2

В качестве функции Ляпунова возьмем функцию

V = 2—т1 (—)— + 2(— - —0)ТС(—-—0).

Полная производная от V по t в силу системы (12) будет

и = —т7(д)— + 2)— + —Тс (— 0) =

—Т

= д

— дТ 1 -1 (—) — +--кя ~1к— - С (д - —0) + - Л 2(—)—

дд 2

+

+2 . (—,—+—ТС(— - Г, = -—ТкЯ-1к— , о.

Нетрудно показать, что V = 0 только лишь при q = q 0. Частный случай. Рассмотрим частный случай, когда в системе (12) потенциальная энергия П имеет вид:

П = — ч 0)Т ■П0(q-q0),

где П0 - симметрическая положительно-определенная постоянная пхп

матрица и G(Ц) = П0 (Ц — ц 0).

Управление й выберем в виде й = — Roi , где

^ = ^{R01,•••,^п }^ 0В качестве функции Ляпунова возьмем функцию

V = 2 ЧТ^ (Ч) + 2 ^ А1 + ^(Ч — Ч 0)Тп 0(ц — Ч 0). Полная производная от V по г в силу системы (12) будет

ЦТ7(Ч)Ч + 1(Ч)Ч + iTЛ! + ЦТп0(Ч — Ч0) = 2 дг

&T

= ч

— .. dT — 1 ~ • J(ч—+ Ki +-А1(ч)ч -Go(4- ч°) dq 2

+

+1 чтJ(ч)ч + iT [_-Кч -R0i -R i ] + чтп0(Ч-ч0) = iT(R0 + R)i p 0.

Отсюда получим также устойчивость положения равновесия.

Заключение

Решена задача устойчивости и стабилизации движения машины-автомата с электрическим двигателем постоянного тока с независимым возбуждением. Исследования на устойчивость относительно положения равновесия проведены на основе второго метода Ляпунова. Получено управляющее воздействие для стабилизации движения относительно положения равновесия.

Список литературы

1. Ляпунов А.М. Общая задача устойчивости движения. М.;Л.: Гостех-издат, 1950. 472 с.

A.A. Djomartov

THE STABILITY OF MOTION OF MACHINE WITH DC MOTOR

We consider the problem of stability and stabilization of the machine automaton with an electric DC motor with constant excitation and lowinductance armature.

Key words: stability, stabilization, DC motor, direct current, machine.

Получено 3.12.12