CC BY
42
УДК 517.929 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 3
А. Х. Гелиг
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТЕЙШЕМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ*
Исследование странных аттракторов [1], которые иногда возникают при одновременном наличии диссипативности и неустойчивости в малом, стимулировало в последние годы изучение устойчивости и колебательности нелинейных дискретных. Так, например, в [2, 3] было показано, что в нестационарном случае из устойчивости системы первого приближения не следует устойчивость нелинейной системы, и наоборот, существуют устойчивые нелинейные системы с неустойчивой системой первого приближения. Достаточные условия ограниченности и устойчивости решений нелинейных разностных уравнений были получены в [4, 5]. В настоящей заметке с помощью специальных полиномиальных функций Ляпунова исследуется устойчивость нелинейной дискретной системы в критическом случае одного равного единице корня характеристического уравнения линеаризованной системы. Для непрерывных систем устойчивость в простейшем критическом случае одного нулевого корня была исследована А. М. Ляпуновым [6].
Рассмотрим систему
Хп+1 = Хп + дхт + (ж„/| + ... + х^-Ч^Ууг + у** Qyn + г(Хп , Уп) к (!) Уп+1 = Ауп + (ХпР1 + ... + Х*Рк )Уп + I(Хп, Уп),
где п = 0,1, 2,..., хп е М1, д € М1, Уп € М9, /г € М9, Q е М9Х9, г е М1, А е М9Х9, Рг е М9Х9, I е М9, матрицы Q, А, Рг и векторы /г постоянные, матрица А устойчива по Шуру (все ее собственные числа лежат внутри единичного круга), в случае нечетного т det А = 0. Предполагается, что скалярная функция г(х, у) и векторная функция
I(х, у) в некоторой окрестности точки (0,0) непрерывны и удовлетворяют оценкам
|г(Хп ,Уп)| < с(|хт||Уп| + |Хп|т-1 + |Хп||Уп|2), (2)
II(Хп,Уп)| < с(|Хп|к+1|Уп| + |Хп|т+1), (3)
где с — положительная постоянная, а | | —евклидова норма.
Теорема 1. При д = 0 и четном т состояние равновесия хп = 0, Уп = 0 системы (1) неустойчиво.
При нечетном т оно асимптотически устойчиво, если д < 0, и неустойчиво при
д > 0.
Доказательство теоремы основано на следующем утверждении [7, 8].
Рассмотрим систему
^п+1 = И^п), ^п е М9, п = 0,1,..., (4)
где 6(г) —непрерывная вектор-функция, заданная в некоторой окрестности точки г = 0, 6(0) = 0.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума РАН (Программа №22) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проект НШ-2387.2008.1).
© А.Х.Гелиг, 2008
Пусть V(г) — скалярная непрерывная функция, V(0) = 0, Ш(г) = V(Ь(г)) — V(г). Лемма 1. Если в окрестности точки г = 0 при г = 0 V(г)Ш(г) < 0, то состояние равновесия = 0 системы (4) асимптотически устойчиво. Если функция V(г) знакопеременная в окрестности точки г = 0, а функция Ш(г) знакоопределенная, то состояние равновесия неустойчиво.
Доказательство теоремы. Рассмотрим сначала случай четного т. Возьмем функцию Ляпунова в виде
V(хп уп) хп + (хпм1 + • • • + хп мт—1)уп + упНуп (5)
где ц-мерные векторы м (1 < * < т — 1) и ц х ц-матрица Н будут определены ниже. Приращение функции Ляпунова
А= V (хп+ 1 7 уП+ 1 ) V (хП ? уП )
в силу системы (1) имеет вид
А К. = ж„ + + (Жп^1 + ... + С-1жт-1)Уп + + г(хп , Уп) + |м1[ж„ + джт+
+ (Жп^1 + . . . + хГ1^-!)^ + + г(ж„,у„)] + м2[Жп + дС +
+ (жп11 +...+жт 1/т-1)уп+уп^уп+г(жп7 Уп)]2 +...+мт,-1[хп+джт+
+ (жп11 + ... + жт 11т-1)Уп + УП^Уп + г(жП7 Уп)]т 1}{АУп + (хпР1 + ... + ЖПРй )Уп + + /(ж„, Уп)} + [Ауп + (х„Р1 + ... + Ж^РдОУп + /(х„, Уп)]1Н[Ауп+
+ (хпР1 + ... + хпРД )уп + /(хп7 уп)] хп (хпм1 + ... + хп мт—1 )уп упНуп.
Ввиду свойств (2), (3) А^п, можно представить в виде
АК = [д + ^(хп,Уп)]хт + уп[М + Б (Жп,Уп)]Уп + (Жп«1 + ... + ЖГ^-ЛУп,
где
М = д + А1 НА — Н, й1 = ^1 + А М1 — м1,
«2 = 12 + А1М2 — М2 + РГМ1,
^т-1 ^т—1 + А мт—1 мт—1 + Рт-1М17
а функция 0(жп,уп) и матрица Б(жп,уп) обладают свойствами
^(0,0) = 0, Б'(0,0)=0. (7)
Возьмем в качестве матрицы Н в функции Ляпунова (5) решение уравнения
А1 НА — Н = д/ — д.
где / — единичная ц х ц-матрица, и определим коэффициенты М1,..., мт последовательно из системы
«1 =0, в2 =0, . . . , вт-1 = 0.
Тогда равенство (6) примет вид
АК = д(жт + | Уп |2 ) + $(Жп, Уп)хт + упБ (Жп, Уп)Уп.
В силу свойства (7) А^п в достаточно малой окрестности начала координат является знакоопределенной функцией относительно жп, уп. Поскольку функция (5) знакопеременная, то в силу леммы состояние равновесия жп =0, уп = 0 неустойчиво.
Рассмотрим теперь случай нечетного т. Возьмем функцию Ляпунова в виде
2
V(ж„, уп) = у- + у^#уп + (ж;;м* + ... + ж™м^_1)у„, (8)
где векторы М1,...,мт-1 и положительно определенная матрица Н будут выбраны ниже.
В силу системы (1) приращение функции (8) имеет вид
АУп = - [ж„ + дх™ + (жп1* + • • • + ж™ 11т_1)Уп + УпЯУп + г(хп, уп)]2 +
+ [АУп + (жпР1 + ... + жпрк )Уп + /(жп Уп)]1 Н[АУп + (жпР1 + ... + жпРк)Уп +
+ /(Жп, Уп)] + {м1[Жп + джт + (Жп^1 + ... + Жт-14-1)Уп + упдуп + г(Жп,Уп)]2 +
+ м2 [жп + дЖт + Ы + ... + Жт 11т-1)уп + упдуп + г(жп уп)]3 + ... +
+мт-1[жп+джт + (жп^1 +...+жт-1/т-1)уп+упдуп+кжп,уп)]т}х
2
х {Ауп + (жпР1 + • • • + жпР^ )Уп + /(жп, уп)}-^ — УпН'Уп —
— (жпм* +...+ж>т-1)уп.
Это выражение можно представить в виде
т
АVn = [д + 0(Жп,Уп)]жт+1 + уп[А1НА — А + Б'(Жп,Уп)]Уп + ^ жпв*Уп,
5 = 2
где 0(0,0) = 0, Б(0,0) = 0,
в2 = ^1 + А1 М1,
«3 = 12 + А1 М2 + Р* М1,
. (9)
«т = 1т-1 + А 1 мт-1 + Р1 Мт-2 + Р21 мт-3 + ... + Рт,-2и1.
Отметим, что если в (1) к < т — 2, то в (9) следует положить Р., = 0 для ] > к. Определим М1, М2,..., мт-1 последовательно из уравнений в2 =0, ..., вт = 0, а матрицу Н найдем из уравнения
А1 НА — Н = д/. (10)
В этом случае А^п примет следующий вид:
АК = д(жт+1 + |уп |2) + 0(жп, Уп)жт+1 + упБ (жп, Уп)Уп.
Если g < 0, то Д^П является отрицательно определенной функцией. Поскольку в этом случае в силу (10) матрица H положительно определенная, функция (8) положительно определенная и, в силу леммы, состояние равновесия xn =0, yn = 0 асимптотически устойчиво. Если g > 0, то Д^П является положительно определенной функцией. Функция (8) в этом случае знакопеременная, поскольку матрица H, являющаяся решением уравнения (10), отрицательно определенная. В силу леммы имеет место неустойчивость. Теорема доказана.
Литература
1. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 144 с.
2. Кузнецов Н.В., Леонов Г. А. Контрпример Перрона в дискретном случае // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. №5. С. 71.
3. Кузнецов Н. В., Леонов Г. А. Критерий неустойчивости по первому приближению нелинейных дискретных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2005. Вып. 3. С. 30-42.
4. Yuehui Peng. Asymptotic Stability for Nonlinear Difference Equations // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 182. P. 67-72.
5. John T. Edwards, Neville J. Ford. Boundedness and Stability of Solutions to Difference Equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2002. Vol. 140. P. 275-289.
6. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос. изд-во техникотеоретической литературы. 1950. 471 с.
7. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. M.: Наука, 1977. 397 с.
8. LaSalle J. P. The Stability and Control of Discrete Processes. New York: Springer-Verlag, 1986. 150 pp.
Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.
