CC BY
54
1ИНАР4
1ОКЛАД НА СИМПОЗИУМЕ "НЕДЕЛЯ Г МОСКВА, МГГУ, 25.01.99 - 29.01.99
I
^ Р.Г. Петроченков, 2000
УДК 622.02:553 ' ' '
Р.Г. Петроченков
УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД (ГОРНЫХ ПОРОД И КОМПОЗИТОВ НА ИХ ОСНОВЕ) ОТ СОСТАВОВ
При расчетах параметров технологических процессов горного производства часто требуется знание упругих свойств горных пород [1, 2, 3]. Кроме того, к композиционным строительным материалам на заполнителях из горных пород предъявляются определенные требования к их деформационным свойствам [4 - 7, 13, 14]. Знание упругих свойств различных строительных изделий из естественного камня и искусственных композитов позволяет рассчитывать механические напряжения, возникающие в отдельных элементах строительных конструкций. Обеспечение возможности прогнозирования упругих свойств гетерогенных сред (естественных и искусственных композитов) также дает возможность рассчитывать главные напряжения и относительные деформации непосредственно в их составляющих, минуя экспериментальное определение упругих свойств гетерогенных сред [4 - 7, 10 - 14], т.е. без применения феноменологического подхода. Все это открывает новые перспективы в области совершенствования физических процессов горного производства, а также дает возможность оптимизировать упругие и прочностные свойства строительных композитов на кондиционных и некондиционных заполнителях из горных пород.
1. Вывод зависимостей упругих свойств гетерогенных сред от составов по моделям из комбинаций последовательной и параллельной схем
Модуль объемной упругости изотропных многокомпонентных гетерогенных сред типа статистических механических смесей с изотропными или квазиизотропными составляющими на осно-
п
вании аддитивности напряжений ( X о1т1 = ох) и объем-
1=1
п
ных относительных деформаций ( X етц = ех) [4 - 14], а
1=1
также выполнения закона Гука для многокомпонентной гетерогенной среды (композита) в целом и ее составляющих можно выразить в следующих видах: п п
К? = ох/е? = ( X от)/( X ет^ =
1=1 1=1
n n
= (X Gi-mi)/(X (o/K)m) = i=1 i=1
nn
= (X SiKmi)/(X Si-mt), (1)
i=1 i=1
где Ox, O - средние напряжения в многокомпонентной гетеро-генной среде (композите) и ее i -ой составляющей; SX, Si - средние объемные относительные деформации в многокомпонентной гетерогенной среде и ее i -ой составляющей; Kx, Ki - модули объемной упругости многокомпонентной гетерогенной среды и ее i -ой составляющей; n - количество составляющих многокомпонентной гетерогенной среды; mi - объемное относительное содержание i -ой составляющей многокомпонентной гетерогенной среды (композита) в долях
n
единицы. Причем всегда X mi = 1.
i=1
Как показывают теоретические и экспериментальные исследования, закономерности распределения средних главных напряжений и относительных деформаций в составляющих многокомпонентных гетерогенных сред зависят от их структуры, упругих свойств составляющих и их объемных относительных содержаний [4 - 14 и многие др.].
Если напряжения в составляющих многокомпонентной гетерогенной среды типа статистических механических смесей при их деформации изменяются в одинаковой степени, т.е. равны в составляющих в каждый момент деформирования (о = idem) и в гетерогенной среде. Например, это имеет место при всестороннем сжатии смесей из не смешивающихся между собой жидкостей, твердо жидкостных смесей или композитов с сильно пластичной матрицей (например, наполненный минеральными заполнителями полиэтилен), то на основании выражения (1), учитывая, что n
X oimi = ох, получим i=1
n n n n
Kx= (X Oi-mi)/[X (o/K)m] = (Oi X mi)/[Oi X (m/K)] = i=1 i=1 i=1 i=1
n
= 1/( X m/K) = KZmp. (2)
i=1
Т.е. модуль объемной упругости определяется при равенстве напряжений в составляющих многокомпонентной гетерогенной среды (о = idem) по формуле гармонического средневзвешенного, что соответствует последовательной схеме нагружения не связанных между собой элементов (составляющих) гетерогенной среды.
Если при нагружении многокомпонентной гетерогенной среды внешними силами (напряже-ниями) относительные деформации в составляющих и в гетерогенной среде будут одинаковы в каждый момент деформирования (S = idem), то
n
на основании выражения (1), учитывая, что X S mi=sx, полу-
i= 1
чим
n n n n
Kx = ( X S Ki mi)/( X S mi) = (Si X K m)/(Ei X mi) = i=1 i=1 i=1 i=1
n
= X Kmi = Kxap. (3)
i=1
Т.е. модуль объемной упругости при равенстве объемных относительных деформаций в составляющих (s = idem) определится по формуле арифметического средневзвешенного, что соответствует параллельной схеме нагружения не связанных между собой элементов (составляющих) гетерогенной среды. При этом модули сдвига обеих составляющих не должны быть равны нулю. Выражения (2) и (3) строго выполняются для модуля Юнга слоистых сред с несвязными слоями при их нагружении, соответственно в направлениях перпендикулярно и вдоль слоев.
Как указывалось выше, в большинстве реальных многокомпонентных гетерогенных сред с нерегулярной структурой, как напряжения, так и относительные деформации в их составляющих неоднородны. Можно показать, что в этом случае экспериментальные значения модуля объемной упругости гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей будут находиться в области между, рассчитанными по формуле арифметического средневзвешенного и рассчитанными по формуле гармонического средневзвешенного.
Имеются попытки представления структуры многокомпонентных гетерогенных сред (компози-тов) различными сочетаниями последовательных (перпендикулярно слоистости) и параллельных (параллельно слоистости) схем. В работах [15 - 19], на основании модельного представления статистической механической смеси в виде последовательно и параллельно соединенных элементов из материалов с отличными упругими свойствами, даются формулы для определения модулей Юнга гетерогенных сред основанных на этих моделях. Однако формулы, полученные, например, в работах [16, 17], включают коэффициенты с неясным физическим смыслом и которые к тому же необходимо определять экспериментально. Кроме того, не ясно как на основании этого подхода можно получить усредняющую функцию, например, для коэффициента Пуассона композита.
Если при определении модуля объемной упругости многокомпонентных гетерогенных сред принять одинаковый вклад последовательных и параллельных схем, то в качестве первого приближения можно использовать формулу типа
Kx(a-S)ap = (U2)(KZap + Kxap). (4)
Усредняющие функции для упругих модулей и обратных модулям упругости величин - коэффициентов податливости (сжимаемости) должны быть для многокомпонентных гетерогенных сред типа статистических механических смесей одинаковыми (подобными). Это необходимо для того, чтобы при их использовании получать одинаковые результаты при расчете как напряжений по известным заранее значениям относительных деформаций, так и относительных деформаций по известным значениям напряжений. Однако коэффициент объемной сжимаемости px = 1/Kx выразится на основании уравнения (4) после подстановки n o^aoii
ешаёша вместо К обратной ему величины Р следующим образом:
Рх(а-г)гар = 2Рхар'Рхгар/(Рхар + Рхгар)- (5)
Если принять из тех же соображений для расчета коэффициентов объемной сжимаемости многокомпонентных гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей одинаковый вклад последовательных и параллельных схем, то в качестве приближения можно использовать следующее выражение:
Ра>г)ар = (1/2)(Рар + Ра-ар), (6)
которое согласно закону Гука может быть преобразовано к виду
Ка(а-г)гар = 2КЕарКЕгар/(КЕар + КЕгар). (7)
Вышесказанное свидетельствует о приближенности выражений (4) - (7) для расчета модулей объемной упругости гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей. В тоже время выражения (4) и (7) дают правдоподобную вилку (границы изменения значений модулей объемной упругости) для большинства гетерогенных сред.
Реальные значения модуля объемной упругости и обратной ему величины - коэффициента объемной сжимаемости многокомпонентных гетерогенных сред типа статистических механических смесей не должны зависеть от способа усреднения, см. формулы (4) - (7). Т.е., если структура гетерогенной среды типа статистических механических смесей не меняется, а также упругие свойства составляющих подчиняются закону Гука, то прогнозные значения при любом способе усреднения должны удовлетворять условию Рх = 1/Кх
Для обеспечения одинаковости усредняющих функций для модуля объемной упругости и обратной ему величины коэффициента объемной сжимаемости многокомпонентных гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей необходимо использовать геометрическую средневзвешенную из выражений (4) и (7) или из выражений (5) и (6), что равноценно. В результате для вычисления модуля объемной упругости и коэффициента объемной сжимаемости многокомпонентных гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей получим следующее выражение
Ка(геом) =(КЕар-К£гар)1/2=1/(РЕар'РЕ гар)Ш = 1/Рагеом) .(8)
Эти усредняющие функции подобны как для прямых (модуль объемной упругости) так и обратных (коэффициент объемной сжимаемости) величин.
Такой подход в случае линейных физических полей можно применить к многокомпонентным гетерогенным средам типа статистических механических смесей для нахождения усредняющих функций других их физических свойств, например, коэффициентов теплопроводности, электропроводности, диэлектрической проницаемости и т.п. и обратным им величин (удельное тепловое сопротивление, удельное электрическое сопротивление и т.п.). При этом можно получить для расчета этих параметров формулы подобные выражению (8).
Для оценки упругих свойств многокомпонентных гетерогенных сред со структурой типа механических статистических смесей в настоящее время используется формула ло-
гарифмического средневзвешенного [15, стр. 44], которую можно представить в виде
Кх = (Кі)т‘ ■ К2Г2 ■ КГ3...........(К)т.......(Кп)т". (9)
Недостаток формулы (9) заключается в том, что она хотя и достаточно хорошо позволяет прогнозировать значения модулей объемной упругости многокомпонентных гетерогенных сред со структурой типа механических статистических смесей и к тому же она может быть преобразована к виду подобному для расчета обратных модулям объемной упругости величин - коэффициентов объемной сжимаемости, но однако не имеет строгого физического обоснования. Кроме того, эту формулу используют для расчета всех упругих модулей квазиизотропных гетерогенных сред, что применительно к ним приводит к противоречию с обобщенным законом Гука. Формула (9) не удобна для практического использования и вследствие вышеуказанных причин не нашла широкого применения.
Для описания поведения изотропных многокомпонентных гетерогенных сред при их неравномерном всестороннем сжатии или растяжении требуется две упругие характеристики. За вторую упругую характеристику, по-видимому, следует взять модуль сдвига, так как при чистом сдвиге объемные деформации отсутствуют, что косвенно свидетельствует о независимости усредняющих функций для модуля объемной упругости и сдвига многокомпонентных гетерогенных сред. Используя вышеизложенный подход, можно вывести аналогичные по виду формулы и для расчета модуля сдвига многокомпонентных гетерогенных сред, как это было сделано для модуля объемной упругости. Эти формулы представлены ниже:
"
Оіар = X Gi ■ті; і=1
^(а-г)ар = (1/2)(Оіар + Оігар),
О1(а-г)гар = 2ОІар О1гар/(О1ар + аігар);
О1(геом) (О1ар ОХгар) ,
Оі = (аі)т1 ■ (а2)т2 ■ ((3)т3......(а,г ■ ■ ■ ■ (О)
"
Оігар = 1/( X т/аі). і=1
Формально вилку для модулей объемной упругости и сдвига многокомпонентных гетерогенных сред типа статистических механических смесей и подобных им структур, если их структура предусматривается постоянной, можно сужать. Для этого надо провести дальнейшее усреднение полученных усредняющих функций типа (4), (7) и (11), (12) так же как они в свою очередь были получены из формул арифметического (3), (10) и гармонического (2), (15) средневзвешенных. Проводя такое усреднение, например, для модуля объемной упругости гетерогенной среды, получим:
КХ (а-г)ар(2-е усрднение) = (1/2)(КЕ(а-г)ар + КЕ((а-г)гар); (16)
КЕ(а-г)гар(2-е усрднение) = 2КЕ(а-г)ар'КЕ(а-г)гар/(КЕ(а-г)ар +
+ Кх(а-г)гар). (17)
Проводя еще один цикл усреднения, в результате будем иметь
КЕ(а-г)ар(3-е усрднение) = (1/2)(КЕ(а-г)ар(2-е усрднение) +
+ КЕ(а-г)гар(2-е усрднение)); (18)
КХ(а-г)гар(3-е усрднение) = 2КХ(а-г)ар(2-е усрднение)' X *КХ(а-г)гар(2-е усрднение)/(КХ(а-г)ар(2-е усрднение) +
+ КХ(а-г)гар(2-е усрднение)). (19)
(10)
(11)
(12)
(13)
, (14)
(15)
В таблице 1 показано последовательное приближение расчетных значений усредняющей функции для модуля объемной упругости двухкомпонентного композита вплоть до третьего цикла приближения с точностью до семи значащих цифр.
Такое последовательное приближение можно продолжать и далее, однако, уже в третьем цикле приближения расчетные значения по формулам (18) и (19) практически совпадут с их расчетными значениями по формуле (8). Скорее всего, теоретически в пределе они точно совпадут с оценкой модуля объемной упругости композитов по формуле (8), а если такое приближение осуществить для модуля сдвига - с оценкой по формуле (13). Сказанное в равной степени справедливо не только для двухкомпонентного композита, но и для многокомпонентных гетерогенных сред указанной структуры.
Зависимости не рассмотренных выше упругих характеристик двухкомпонентных или многокомпонентных композитов от состава, таких как модуль Юнга Е^, коэффициент Пуассона 1-х, модуль продольной упругости Мх и параметр Лямэ Ах и других комплексных упругих параметров целесообразно (так как в других случаях они будут слишком громоздкими) выразить через уже полученные зависимости Кх и Ох по следующим известным формулам:
Таблица 1
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МОДУЛЯ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО КОМПОЗИТА С РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНЬЮ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Объемное относительное содержание заполнителя Фор-
0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 мула
Модуль объемной упругости, 104 МПа
Оценка по формуле арифметического средневзвешенного
1 2,875 4,75 6,625 8,5 10,375 12,25 14,125 16 (3)
Первое приближение от верхней границы
1 2,003872 3,028061 4,083584 5,191176 6,395047 7,809211 9,845109 16 (4)
Второе приближение от верхней границы
1 1,814522 2,538462 3,29276 4,136665 5,156587 6,54656 8,914825 16 (16)
Третье приближение от верхней границы
1 1,804643 2,491247 3,197794 4,002257 5,007866 6,424794 8,866287 16 (18)
Геометрическое средневзвешенное между оценками по формулам (4) и (7)
1 1,804615 2,490799 3,196383 4,0 5,005657 6,42364 8,866155 16 (8)
Оценка при выполнении гипотезы о существовании упругого потенциала
1 1,517241 2,153846 2,956522 4,0 5,411765 7,428571 10,54545 16 (28)
Третье приближение от нижней границы
1 1,804588 2,490352 3,194974 3,997744 5,00345 6,422487 8,86022 16 (19)
Второе приближение от нижней границы
1 1,794763 2,444032 3,102828 3,86785 4,859146 6,303029 8,817749 16 (17)
Первое приближение от нижней границы
1 1,625173 2,048863 2,501936 3,082153 3,918127 5,283909 7,984543 16 (7)
Оценка по формуле гармонического средневзвешенного
1 1,132743 1,306122 1,542169 1,882353 2,415094 3,368421 5,565217 16 (2)
Еа = 9Ка^/(3Ка + Gа); (20)
Уа = (3Ка - 2^)/2(3Ка + Gа); (21)
Ха = КЕ - (2/3)ба (22)
МЕ = Ка + (4/3)Gа. (23)
2. Сравнение расчетных зависимостей упругих свойств двухкомпонентных композитов от составов по моделям из комбинаций последовательной и параллельной схем
К сожалению, несмотря на многочисленные теоретические исследования деформационных свойств гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей и подобных им структур, экспериментальные исследования значительно отстают от первых. В литературе имеются многочисленные данные об упругих свойствах естественных и искусственных композитов, однако, эти данные, как правило, не полные. Поэтому они не дают возможности проведения полноценного и качественного сравнения расчетных зависимостей упругих свойств гетерогенных сред от составов с экспериментальными зависимостями. Кроме того, трудно проверить те или иные теоретические положения вследствие отсутствия полной информации об условиях подготовки образцов к исследованию, методов проведения испытаний, данные о составе композитов, свойствах составляющих гетерогенные среды (композиты) материалов и многое другое. Особенно следует отметить то обстоятельство, что при изучении свойств композиционных материалов с квазиизотропными составляющими необходимо знание двух упругих характеристик с достаточно высокой точностью, что практически не возможно получить методом статических испытаний при современной технической и аппаратурной оснащенности специализированных лабораторий. Поэтому в литературе, как правило, приводятся результаты по
экспериментальному исследованию одного из упругих параметров гетерогенных сред со структурой типа статистических механических смесей и подобных им структур. Наилучшим образом изучены динамические модули упругости гетерогенных сред и их составляющих. Что касается экспериментальных исследований композитов динамическими методами, то здесь еще много не ясных вопросов требующих своего разрешения, например, затухание упругих волн на границах раздела фаз и многое другое. Вследствие этого экспериментальные данные по упругим свойствам композитов полученные динамическим методом не совсем подходят для проверки той или иной теории или модели гетерогенных сред, работающих в статических условиях.
Вследствие отсутствия полноценных экспериментальных исследований зависимостей упругих свойств композиционных материалов от их составов в данной работе в основном будет приведено сопоставление расчетных данных по свойствам искусственных композитов различных составов со структурой близкой к структуре типа статистической механической смеси. Поэтому обговорим общие условия представления расчетных результатов для последующего анализа. Для лучшего понимания и простоты изложения далее будем рассматривать двухкомпонентные искусственные композиты. Так как для двухкомпонентных композитов сумма объемных относительных содержаний при отсутствии пористости или ее пренебрежении всегда равна единице, то зависимости свойств двухкомпонентных композитов от содержаний составляющих можно выразить через объемное относительное содержание одной из составляющих. Поэтому все зависимости свойств двухкомпонентных композитов от состава будут ниже представлены в виде их зависимостей от объемного относительного содержания заполнителя. При этом объемное относительное содержание
связующей части композита определяется через выражение т1 = тсв = 1 - тзап = 1- т2. Здесь и далее упругие свойства связующего композитов имеют индекс 1, а свойства заполнителя композитов имеют индекс 2. Это сделано для краткости записи.
Так как сравниваемые расчетные характеристики часто близки по значениям, то их сравнение удобно демонстрировать в численном, а не графическом виде. Поэтому сравнение расчетных характеристик двухкомпонентных композитов через характеристики их составляющих при отличных объемных содержаниях составляющих и по различным формулам будут демонстрироваться в табличной форме. Результаты расчетов здесь и далее в большинстве случаев приведены с точностью до четырех значащих цифр, то есть с точностью порядка 0,1 %. В таблицах также приведены расчетные значения свойств двухкомпонентных композитов таких составов, которые в случае искусственных композитов не реализуются на практике. Это сделано, для того чтобы более наглядно показать и проанализировать теоретические зависимости. Так же в некоторых таблицах могут быть повторно приведены рассчитанные раньше показатели. Это сделано для удобства сравнения результатов расчетов по различным формулам. Для наглядности упругие модули составляющих (крайние столбцы таблиц) даны округленно и, как правило, в целых числах. В основном рассматриваются композиты с сочетанием свойств составляющих характерными для основных строительных композитов типа полимербетона, тяжелого и легкого бетонов. Упругие свойства растворного камня тяжелого и легкого бетонов приняты одинаковыми. Некоторые крупные заполнители различных композитов принимались одинаковыми (полимербетон и тяжелый бетон). Это делалось для лучшего понимания тенденций изменения упругих свойств для композитов различных типов от их составов.
В основном, кроме случаев, оговоренных специально, в Таблица 2
расчетах приняты следующие упругие свойства составляющих. Полимербетон: полимерное связующее Е1 = 0,333-104 МПа, у1 = 0,333, заполнитель (типа гранита) Е2 = 13,5-104 МПа, у2 = 0,25. Свойства составляющих тяжелого бетона: связующее (растворный камень при В/Ц = 0,4, отношении песка к цементу П/Ц = 3) Е1 = 2,5-104 МПа, у1 = 0,125, заполнитель (типа гранита) Е2 = 13,5-104 МПа, у2 = 0,25. Свойства составляющих легкого бетона: связующее (растворный камень) Е1 = 2,5-104 МПа, у1 = 0,125, заполнитель (туф) Е2 = 0,25-104 МПа, у2 = 0,20. В случае отличия упругих свойств составляющих от указанных выше они приводятся в крайних столбцах таблиц. Переход от технических упругих характеристик (Е и у) к (К, О, А и М) и другим комплексным упругим параметрам можно сделать, используя таблицу 1.1, приведенную в работе [4, стр. 21].
В таблице 2 приведены для сравнения расчетные зависимости модуля объемной упругости композитов со свойствами составляющих характерными свойствам составляющих композиционных материалов типа полимербетона, тяжелого, легкого бетонов от состава по формулам (2), (3), (4), (7) и (8). Модули объемной упругости составляющих приведены в крайних столбцах таблицы.
Сравнивая результаты расчетов, приведенных в табл. 2, приходим к выводу, что различия в расчетных значениях модулей объемной упругости композитов всех рассмотренных типов по составам в диапазоне изменения объемного относительного содержания составляющих от нуля до единицы по формулам (2), (3), (4), (7) и (8) весьма существенны. При отличии модулей объемной упругости составляющих композита более чем в девять раз различия в аналогичных свойствах композитов достигают 100 и более %. Как видно из таблицы формулы (4) и (7) существенно сужают вилку расчетных значений модулей объемной упругости композитов всех рассматриваемых типов, по сравнению с формулами (3) и (2). Наиболее широкая вилка модуля объ-
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МОДУЛЯ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ (РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ПО СОСТАВАМ И ПО РАЗЛИЧНЫМ ФОРМУЛАМ) ОТ ОБЪЕМНОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО СОДЕРЖАНИЯ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Объемное относительное содержание заполнителя
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1
Модуль объемной упругости, 104 МПа
Композит со свойствами составляющих характер шыми полимербетону
0,333 1,2 2,067 2,933 3,8 4,667 5,533 6,4 7,267 8,133 9,0 (3)
0,333 0,784 1,24 1,701 2,171 2,655 3,161 3,711 4,359 5,316 9,0 (4)
0,333 0,665 0,924 1,172 1,435 1,732 2,09 2,558 3,247 4,509 9,0 (8)
0,333 0,564 0,688 0,808 0,949 1,129 1,381 1,73 2,419 3,824 9,0 (7)
0,333 0,369 0,413 0,469 0,542 0,643 0,789 1,023 1,452 2,50 9,0 (2)
Композит со свойствами составляющих характерными тяжелому бетону
1,0 1,8 2.6 3,4 4,2 5,0 5,8 6,6 7,4 8,2 9,0 (3)
1,0 1,449 1,91 2,38 2,87 3,4 3,971 4,623 5,43 6,599 9,0 (4)
1,0 1,405 1,778 2,153 2,553 3,0 3,525 4,179 5,061 6,402 9,0 (8)
1,0 1,364 1,657 1,946 2,226 2,647 3,129 3,779 4,716 6,221 9,0 (7)
1,0 1,098 1,262 1,364 1,552 1,8 2,142 2,647 3,462 5,0 9,0 (2)
Композит со свойствами составляющих характерными легкому бетону
1,0 0,914 0,828 0,742 0,656 0,569 0,483 0,397 0,311 0,225 0,139 (3)
1,0 0,766 0,637 0,546 0,471 0,407 0,348 0,292 0,239 0,188 0,139 (4)
1,0 0,751 0,608 0,509 0,434 0,373 0,32 0,273 0,228 0,185 0,139 (8)
1,0 0,737 0,58 0,475 0,4 0,341 0,295 0,255 0,218 0,181 0,139 (7)
1,0 0,617 0,446 0,35 0,287 0,244 0,212 0,187 0,168 0,152 0,139 (2)
емной упругости наблюдается для композита со свойствами составляющих характерными полимербетону. И это естественно, так как у рассмотренного композита отношение модулей объемной упругости заполнителя и связующего составляет 27. Усредняющие функции модуля объемной упругости композитов по формулам (4), (7) и (8) являются функцией только модулей объемной упругости составляющих композита и их объемных относительных содержаний, т.е. напрямую не зависят от значений модулей Юнга и коэффициентов Пуассона составляющих композитов. Наибольшие отличия в расчетных значениях модулей объемной упругости композитов, как правило, наблюдаются при равенстве объемных относительных содержаний составляющих, тогда как в области малых значений содержания одной из составляющих они, как правило, минимальны и в пределе стремятся к нулю.
В таблице 3 приведены сравнения расчетных зависимостей модуля сдвига двухкомпонентных композитов от объемного относительного содержания заполнителя по формулам (10), (11), (12), (13) и (15) со свойствами составляющих характерными свойствам составляющих композиционных материалов типа полимербетона, тяжелого и легкого бетонов. Модули сдвига составляющих композитов приведены в крайних столбцах таблицы.
Сравнивая табл. 2 - 3, можно сделать для зависимостей модуля сдвига от состава двухкомпонентных искусственных композитов выводы аналогичные, как и для модуля объемной упругости. Наиболее достоверные результаты для модулей объемной упругости и сдвига реальных строительных композитов, по-видимому, лежат между значениями модуля объемной упругости рассчитанными по формулам (4) и (7), а для модуля сдвига по формулам (11) и (12), но экспериментальные их значения должны быть несколько смещены в сторону свойств связующей части композитов (матрица). Поэтому формулы (4), (7) и (11), (12) по сути дела определяют вилку (предельные значения) модуля объемной упру-Таблица 3
гости и сдвига реальных многокомпонентных гетерогенных сред (композитов) со структурами несколько отличными от структуры типа статистических механических смесей.
Интересно в отдельности для каждого упругого параметра и основных типов композиционных материалов рассмотреть характер их зависимостей от объемного относительного содержания составляющих с использованием значений Ка и &а рассчитанных по формулам (8) и (13) соответственно. Эти зависимости представлены в таблице 4. Соответствующие упругие свойства составляющих можно видеть в первом и последнем столбцах таблицы.
Таблица 4 дает представление об изменчивости упругих свойств основных строительных композитов в зависимости от изменения объемных относительных содержаний составляющих на основе модели композита состоящей из последовательных и параллельных схем. Реализуемые на практике объемные относительные содержания заполнителя (заполнителей) составляют от 50 до 85 %.
Вышеизложенный подход к нахождению вида усредняющих функций для упругих свойств двухкомпонентных и многокомпонентных гетерогенных сред имеет чисто формальный характер, поэтому требует дальнейших исследований для определения области применимости полученных формул. Например, при приближении отношения модуля сдвига и модуля объемной упругости обеих составляющих к нулю усредняющая функция для модуля объемной упругости должна стремиться к формуле гармонического средневзвешенного. Однако это не учитывается в вышеизложенном подходе.
3. Сравнение зависимостей упругих характеристик двухкомпонентных композитов с различными соотношениями свойств составляющих по различным моделям
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МОДУЛЯ СДВИГА КОМПОЗИТОВ (РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ПО СОСТАВАМ И ПО РАЗЛИЧНЫМ ФОРМУЛАМ) ОТ ОБЪЕМНОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО СОДЕРЖАНИЯ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Объемное относительное содержание заполнителя
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Модуль сдвига, 104 Мпа
Композит со свойствами составляющих ха рактерными полимербетону
0,125 0,652 1,18 1,707 2,235 2,762 3,29 3,817 4,345 4,873 5,4 (10)
0,125 0,396 0,668 0,942 1,22 1,503 1,796 2,106 2,458 2,953 5,4 (11)
0,125 0,301 0,428 0,549 0,677 0,822 0,997 1,228 1,576 2,245 5,4 (13)
0,125 0,229 0,275 0,32 0,376 0,45 0,553 0,716 1,011 1,707 5,4 (12)
0,125 0,139 0,155 0,177 0,205 0,244 0,302 0,395 0,572 1,034 5,4 (15)
Композит со свойствами составляющих характерными тяжелому бетону
1,00 1,44 1,88 2,32 2,76 3,2 3,64 4,08 4,52 4,96 5,40 (10)
1,00 1,264 1,537 1,822 2,122 2,444 2,798 3,204 3,696 4,355 5,40 (11)
1,00 1,252 1,499 1,752 2,023 2,324 2,669 3,082 3,603 4,313 5,40 (13)
1,00 1,24 1,461 1,686 1,93 2,21 2,545 2,964 3,513 4,271 5,40 (12)
1,00 1,089 1,195 1,324 1,484 7 8 40 7 5 2,328 2,872 3,75 5,40 (15)
Композит со свойствами составляющих ха )актерными легкому бетону
1,00 0,91 0,821 0,731 0,642 0,552 0,463 0,373 0,283 0,194 0,104 (10)
1,00 0,724 0,594 0,505 0,433 0,370 0,312 0,258 0,205 0,154 0,104 (11)
1,00 0,7 0,549 0,452 0,38 0,323 0,274 0,23 0,19 0,149 0,104 (13)
1,00 0,676 0,508 0,404 0,333 0,281 0,24 0,206 0,175 0,144 0,104 (12)
1,00 0,538 0,368 0,279 0,225 0,189 0,162 0,142 0,127 0,114 0,104 (15)
Таблица 4
РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ ЮНГА Е2 (МОДУЛЬ НОРМАЛЬНОЙ УПРУГОСТИ), КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА vz, ПАРАМЕТРА ЛА-МЭ Я2 И МОДУЛЯ ПРОДОЛЬНОЙ УПРУГОСТИ М2 КОМПОЗИТОВ СО СВОЙСТВАМИ СОСТАВЛЯЮЩИХ ХАРАКТЕРНЫМИ КОМПОЗИТАМ ТИПА ПОЛИМЕРБЕТОНА (ПБ), ТЯЖЕЛОГО (ТБ) И ЛЕГКОГО (ЛБ) БЕТОНОВ ОТ ОБЪЕМНОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО СОДЕРЖАНИЯ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Объемное относительное содержание заполнителя Тип
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Модуль Юнга, 104 МПа. Формула (20)
0,25 0,664 0,953 1,228 1,516 1,843 2,24 2,767 3,563 5,12 13,5 ПБ
2,25 2,682 3,108 3,546 4,013 4,524 5,099 5,767 6,574 7,6 9,0 ТБ
2,25 1,602 1,266 1,046 0,883 0,751 0,639 0,539 0,446 0,352 0,25 ЛБ
Коэффициент Пуассона. Формула (21)
0,333 0,302 0,298 0,3 0,296 0,295 0,294 0,293 0,292 0,288 0,25 ПБ
0,125 0,151 0,166 0,176 0,185 0,192 0,195 0,208 0,217 0,23 0,25 ТБ
0,125 0,145 0,153 0,157 0,161 0,164 0,167 0,17 0,175 0,183 0,2 ЛБ
Параметр Лямэ, 104 МПа. Формула (22)
0,187 0,388 0,542 0,631 0,847 1,024 1,238 1,518 1,934 2,703 5,4 ПБ
0,333 0,502 0,661 0,821 0,992 1,185 1,411 1,694 2,072 2,631 3,6 ТБ
0,333 0,285 0,242 0,208 0,181 0,158 0,137 0,119 0,102 0,086 0,069 ЛБ
Модуль продольной упругости, 104 МПа. Формула (23)
0,563 0,897 1,277 1,638 2,018 2,447 2,969 3,658 4,692 6,678 16,2 ПБ
2,333 2,883 3,326 3,836 4,38 4,979 5,662 6,471 7,474 8,809 10,8 ТБ
2,333 1,684 1,34 1,112 0,941 0,803 0,685 0,58 0,481 0,383 0,278 ЛБ
В принципе зависимости упругих свойств (модулей объемной упругости и сдвига, а соответственно и связанные с ними упругие характеристики) многокомпонентных гетерогенных сред (композитов) со структурой типа статистических механических смесей и подобных им структур не могут быть определены однозначно через их состав (свойства составляющих и их объемные относительные содержания). В усредняющие функции необходимо введение поправок, например, учитывающих степень матричности составляющих и соотношения модуля сдвига составляющих к модулю их объемной упругости. Тогда при постоянстве объемных относительных содержаний составляющих упругие свойства композита могут принимать различные значения в пределах вилки из-за изменения структуры и состава композита.
Изменение структуры естественных композитов (горных пород) под воздействием долговременных геологических факторов (температура и давление) в отдельных случаях может приводить к появлению анизотропии свойств (слан-цева-тость). При этом вдоль слоистости (сланцева-тости) зависимость модуля Юнга будет приближаться к зависимостям, определяемым формулами типа (4), (3) и в отдельных случаях превосходить их, а перпендикулярно слоистости (сланцеватости) он будет приближаться к зависимостям определяемыми формулами типа (7) и (2). В искусственных композитах их структура в некоторых пределах может регулироваться технологиями приготовления сухой шихты из смесей заполнителей и не отвержденных связующих и другими технологическими приемами. Например, послойной заливкой не отвержденных смесей различных составов при изготовлении конкретных строительных изделий. Однако у большинства строительных композитов, например, полимербетонов, тяжелых и легких бетонов и других композитов, получаемых литьевым способом, при любых содержаниях заполнителя матрицей всегда будет связующая часть композита. Степень матричности искусственных композитов будет зависеть от свойств связующего. Т.е. будет определяться вязкостью не отвержденного связующего, которая
может обеспечивать получение как структуры композитов с плавающим, так и контактирующим заполнителями. Степень матричности у композита с контактирующим заполнителями естественно значительно выше, чем у композита с плавающим заполнителем.
Если для реальных композитов известны закономерности изменения степени матричности от объемных относительных содержаний составляющих, то могут быть установлены и более точные зависимости модулей объемной упругости и сдвига от составов двухкомпонентных композитов, например, чем по формулам (8) и (13). Более сложной проблемой представляется определение степени матричности каждой из составляющей многокомпонентных гетерогенных сред. В перспективе степень матричности составляющих гетерогенных сред различных типов можно установить с применением методов стереометрической металлографии [20].
В работе [21] рассмотрены комбинации зависимостей модуля объемной упругости и сдвига двухкомпонентных композитов матричной структуры по модели “сфера (включение) в сфере (матрица)”. В случае, когда степень матрич-ности обеих составляющих одинаковая, предложены следующие формулы для определения зависимостей модуля объемной упругости и сдвига двухкомпонентных композитов от состава:
^Ематр(1-2) = (^Ематр-1'^Ематр-2)1/2 = {[3КгК +4G^(K^■m^ + +
К2т2)][3КгК + 4G2(Kl■ml + К2-т2)]/[3(К2-т1 + +Кут2) + 4^][3(Кгт1 + Кт) + 4G2]}1/2; (24)
GEмaтp(1-2) = (GSматр-1 ■ G Ематр-2) , (25)
где КЕматр(1-2), ^матр(1-2) - модуль объемной упругости и
сдвига композита, в котором степень матричности обеих составляющих одинакова.
В свою очередь модуль сдвига G£MaIp-1 матричного композита, где матрицей является первая состав-ляющая, определяется по следующей формуле:
GSмaтp1 = ^м^1м-т1м + ^2в[15(1 - И1м)/(7 - 5и1м) -
т1м]}/^1м[1 + 2(4 - 5Им)■ т2в/(7 - 5им)] +
+ 2G2в • т1м(4 - 5 ум)/(7 - 5 ум)}, (26)
где У1м, У2в - коэффициенты Пуассона первой составляющей (матрицы) и второй составляющей (включение) соответственно; G1м, G2в - модуль сдвига первой составляющей (матрицы) и второй составляющей (включение) соответственно; т1м, т2в - объемное относительное содержание матрицы и включения (композита по модели “сфера в сфере”) в долях единицы.
Аналогично модуль сдвига ^матр-2 матричного композита, где матрицей является вторая составляющая, определится по следующей формуле:
^матр2 = G2м{G2м•m2м + Glв[15(1 - У2м)/(7 - 5У2м) -т2м]}/^2м[1 + 2(4 - 5 У2м) • т1в/(7 - 5у2ы)] +
+ 2Glв • т2м(4 - 5 У2м)/(7 - 5 У2м)}, (27)
где У1в, У2м - коэффициенты Пуассона первой составляющей (включение) и второй составляющей (матрицы); G1в, G2м -модуль сдвига первой составляющей (включение) и второй составляющей (матрицы) соответственно; т1в, т2м - объемное относительное содержание включения и матрицы композита по модели “сфера в сфере” в долях единицы.
В работах [4 - 14] рассмотрены выводы зависимостей модулей объемной упругости и сдвига многокомпонентных гетерогенных сред и двухкомпонентных композитов со структурой типа статистических механических смесей при выполнимости для них гипотезы о существовании упругого потенциала, т.е. равенства удельной механической энергии деформации в составляющих. Формулы для расчета упругих свойств многокомпонентных и двухкомпонентных композиционных материалов представлены ниже. Для многокомпонентных гетерогенных сред:
Ка = [ £ т1(К1)1/2]/[ £ т1/(К1)1/2]; (28)
і=1 і=1
і=1 і=1
Для двухкомпонентных гетерогенных сред (композитов):
КЕ =[(К1)1/2^ т1+(К2)1/2^ т2]/[т1/(К1)1/2+т2/(К2)1/2]; 30)
Gz = [(Gl)1/2■ т1 + ^2)1/2-m2]/[ml/(Gl)1/2 + m2/(G2)1/2]. (31)
Таким образом, при справедливости гипотезы о существовании упругого потенциала усредняющие функции для модуля объемной упругости и сдвига, как для многокомпонентных, так и для двухкомпонентных гетерогенных сред идентичны, см. выражения (28) и (29) и выражения (30) и (31). Также можно показать, что для любых видов напряженно-деформированного состояния многокомпонентных гетерогенных сред удельные энергии механических деформаций, как в гетерогенной среде, так и ее составляющих одинаковы.
Модуль Юнга Е^, коэффициент Пуассона у£, модуль продольной упругости М-£ и параметр Лямэ А%, можно выразить по формулам (20), (21), (22) и (23), где К^ и ^ в свою очередь определяются по формулам (28), (29), (30) и (31). В случае, когда коэффициенты Пуассона составляющих многокомпонентных гетерогенных сред равны между собой, то усредняющие функции для модуля Юнга, модуля продольной упругости и параметра Лямэ будут подобны усредняющим функциям для модулей объемной упругости и сдвига, см. формулы (2) - (4) и (7) - (15).
Рассмотрим теперь отличия расчетных зависимостей модуля объемной упругости двухкомпонентных композитов (основных типов по составам) от изменения объемных относительных содержаний составляющих, если их структура подобна структуре композитов типа статистических механических смесей. Т.е. по формулам: (28) (гипотеза о существовании упругого потенциала); (8) (геометрическая средневзвешенная между оценками по формулам (4) и (7)); (24) (геометрическая средневзвешенная для матричных композитов между оценками, когда первая составляющая является матрицей и когда вторая составляющая является матрицей). Соответствующие упругие свойства составляющих можно видеть в первом и последнем столбце таблицы.
Рассмотрим теперь отличия расчетных зависимостей модуля сдвига композитов (основных типов по составам) при тех же условиях от изменения объемных относительных содержаний составляющих. Формула (29) соответствует гипотезе о существовании упругого потенциала. Формула (13) соответствует геометрической средневзвешенной между оценками по формулам (11) и (12). Формула (25) соответствует геометрической средневзвешенной для матричных композитов между оценками, когда первая составляющая является матрицей (формула (26)) и, когда вторая составляющая является матрицей - (формула (27)).
Таблица 5
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МОДУЛЯ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ СО СВОЙСТВАМИ СОСТАВЛЯЮЩИХ ХАРАКТЕРНЫМИ КОМПОЗИТАМ ТИПА ПОЛИМЕРБЕТОНА, ТЯЖЕЛОГО И ЛЕГКОГО БЕТОНОВ ПО РАЗЛИЧНЫМ МОДЕЛЯМ ОТ ОБЪЕМНОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО СОДЕРЖАНИЯ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Объемное относительное содержание заполнителя Фор-
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 мула
Модуль объемной упругости, 104 МПа
Композит со свойствами составляющих характерными полимербетону
0,333 0,665 0,924 1,172 1,435 1,732 2,09 2,558 3,247 4,509 9,0 (8)
0,333 0,515 0,731 0,993 1,319 1,732 2,274 3,019 4,103 5,827 9,0 (28)
0,333 0,541 0,746 0,971 1,233 1,553 1,962 2,521 3,355 4,833 9,0 (24)
Композит со свойствами составляющих характерными тяжелому бетону
1,0 1,405 1,778 2,153 2,553 3,0 3,525 4,179 5,061 6,402 9,0 (8)
1,0 1,286 1,615 2,0 2,455 3,0 3,667 4,5 5,571 7,0 9,0 (28)
1,0 1,306 1,646 2,034 2,486 3,021 3,669 4,478 5,521 6,935 9,0 (24)
Композит со свойствами составляющих характерными легкому бетону
1,0 0,751 0,608 0,509 0,434 0,373 0,32 0,273 0,228 0,185 0,139 (8)
1,0 0,802 0,654 0,539 0,448 0,373 0,310 0,257 0,212 0,173 0,139 (28)
1,0 0,798 0,653 0,542 0,454 0,381 0,32 0,266 0,22 0,178 0,139 (24)
Как видно из таблиц 5 и 6 расчетные значения модуля объемной упругости по формулам (8), (28) и модуля сдвига по формулам (13), (29) равны по своим значениям при равенстве объемных относительных содержаний составляющих. Для композитов со свойствами составляющих подобными полимербетону и тяжелому бетону значения модуля объемной упругости по формуле (8) выше, чем по формуле (28) при объемном относительном содержании заполнителя меньше 0,5, а после превышения этого значения ниже. Для тех же композитов значения модуля сдвига по формуле (13) выше, чем по формуле (29) при объемном относительном содержании заполнителя меньше 0,5, а после превышения этого значения ниже. В то время как у легкого бетона для модулей объемной упругости и сдвига все наоборот. Отличия в их значениях возрастают при увеличении объемного относительного содержания заполнителя, особенно у полимербетона, но до известных пределов. Как видим из таблиц 5 и 6 расчетные значения модуля объемной упругости и сдвига композитов всех рассмотренных типов по формулам (24) и (25) не совпадают с расчетными значениями по формулам (8), (28) для модуля объемной упругости и формулам (13), (29) для модуля сдвига при любых объемных содержаниях заполнителя. Таблица 6
Поэтому применимость этих формул для композитов любых структур все еще остается открытой. Для решения этого вопроса требуется организация широких корректных экспериментальных исследований упругих свойств искусственных и естественных гетерогенных сред различных составов.
Следует отметить, что в рассмотренных искусственных композитах отличия в значениях упругих свойств составляющих достигает от 5 до 27 раз. В тоже время для минеральных составляющих горных пород, особенно магматических, отличие в упругих свойствах составляющих редко достигают трех - четырех раз. Поэтому для многокомпонентных горных пород и других гетерогенных сред с изотропными и квазиизотропными составляющими и со структурой типа статистических механических смесей следует ожидать значительно меньшее расхождение в расчетных значениях упругих свойств по формулам (8) и (28), а также по формулам (13) и (29).
4. Метод расчета упругих свойств многокомпонентных гетерогенных сред с анизотропными составляющими
Для горных пород и других многокомпонентных гетерогенных сред с анизотропными составляющими и структурой типа
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МОДУЛЯ СДВИГА КОМПОЗИТА СО СВОЙСТВАМИ СОСТАВЛЯЮЩИХ ХАРАКТЕРНЫМИ КОМПОЗИТАМ ТИПА ПОЛИМЕРБЕТОНА, ТЯЖЕЛЫХ И ЛЕГКИХ БЕТОНОВ ПО РАЗЛИЧНЫМ МОДЕЛЯМ ОТ ОБЪЕМНОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО СОДЕРЖАНИЯ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Объемное относительное содержание заполнителя Фор
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 мула
Модуль сдвига, 10 4 МПа
Композит со свойствами составляющих ха рактерными полимербетону
0,125 0,301 0,428 0,549 0,677 0,822 0,997 1,228 1,576 2,245 5,4 (13)
0,125 0,213 0,318 0,448 0,611 0,822 1,105 1,507 2,121 3,174 5,4 (29)
0,125 0,252 0,372 0,503 0,656 0,844 1,084 1,412 1,902 2,777 5,4 (25)
Композит со свойствами составляющих характерными тяжелому бетону
1,00 1,252 1,499 1,752 2,023 2,324 2,669 3,082 3,603 4,313 5,40 (13)
1,00 1,201 1,427 1,658 1,981 2,324 2,726 3,205 3,783 4,497 5,40 (29)
1,00 1,209 1,438 1,695 1,987 2,322 2,714 3,181 3,75 4,465 5,40 (25)
Композит со свойствами составляющих характерными легкому бетону
1,00 0,7 0,549 0,452 0,38 0,323 0,274 0,23 0,19 0,149 0,104 (13)
1,00 0,771 0,609 0,489 0,396 0,323 0,263 0,213 0,171 0,135 0,104 (29)
1,00 0,752 0,592 0,478 0,39 0,321 0,264 0,216 0,174 0,138 0,104 (25)
статистических механических смесей в настоящее время используется следующий метод расчета их упругих свойств, например, см. работы [15, стр. 37 - 43, 22, стр. 75 - 111]. Сначала определяются модули объемной упругости и сдвига однофазных поликристаллов (минеральных составляющих), используя усреднение по Ройссу (Реуссу, Reuss) [23] и Фойгту (^а^) [24]. Затем рассчитываются их среднеарифметические величины (усреднение по Хиллу (НШ) [25]). Далее, используя усреднение по Хиллу, полученное на первом этапе для однофазных поликристаллов, рассчитываются модули объемной упругости и сдвига многокомпонентной гетерогенной среды по формулам арифметического и гармонического средневзвешенного. И только после этого производят окончательный расчет модулей объемной упругости и сдвига многокомпонентной гетерогенной среды, пользуясь формулами (4) для модуля объемной упругости и (11) для модуля сдвига. В совокупности такое усреднение, как на первом, так и втором этапе, носит название метод Фойг-та-Ройсса-Хилла. Однако на основании вышесказанного такое усреднение приведет к оценкам модуля объемной упругости и сдвига соответственно смещенными в сторону их оценок по формулам (3) и (11), т.е. по формулам арифметического средневзвешенного. Причем смещение расчетных значений модулей объемной упругости и сдвига происходит как на этапе определения этих усредненных свойств для однофазных поликристаллов, так и на этапе усреднения для многокомпонентных гетерогенных сред. В среднем для двухкомпонентных гетерогенных сред с квазиизотропными составляющими со структурой типа статистических механических смесей такая ошибка прогнозирования (второй этап) их упругих свойств составит. Для модуля объемной упругости гетерогенных сред со свойствами составляющих, характерными для тяжелых и легких бетонов, -порядка 10 - 15 % и сдвига - 5 - 15 %. Для гетерогенных сред со свойствами составляющих, характерными для полимербетонов, отличия будут гораздо более значительны, т.е. соответственно -50 и 80 %, см. таблицы 2 и 3. Для горных пород, учитывая не столь значительные отличия в упругих свойствах минеральных составляющих, различия в расчетах по различным моделям будут не столь существенны. Однако влияние отличия в расчетных значениях модулей упругости при расчете коэффициентов концентрации напряжений может оказаться более значительным, так как при их расчетах по соответствующим формулам используются разницы между соответствующими упругими свойствами составляющих и композитов [4 - 14, 21].
На наш взгляд методически более правильным будет следующий порядок расчета модулей объемной упругости и сдвига, а соответственно и других упругих свойств, многокомпонентной гетерогенной среды с анизотропными составляющими со структурой типа статистических механических смесей. После получения модулей объемной упругости и сдвига однофазных поликристаллов (составляющих многокомпонентной гетерогенной среды) по методу Ройсса (Ка(р)одф.ан..ь Садодф.аш) и Фойг-та (Кдфюдф.анл, Gx(ф)одф.aн..i) для всех i -ых составляющих их дальнейшее усреднение для каждой i -ой составляющей следует проводить не по методу Хилла (среднеарифметическое усреднение), а как среднегеометрическое усреднение, т.е. следующим образом:
КЕ(р-ф)одф .ан.. i (КЕ(р)одф .ан.. Г КЕ(ф)одф .aн..i) ; (32)
^(р-ф)одф .ан. Г (^(р)одф .ан. Г ■ ^(ф)одф .ан.г
)1/2. (33)
Затем по формулам типа (2) и (3) следует определить оценки модулей объемной упругости и сдвига многокомпонентной гетерогенной среды со структурой типа статистической механической смеси с анизотропными составляющими по формулам гармонического Кагар(м-ф)ан, Сагар(м-ф)ги. и арифметического Каар(м-
ф)ано Саар(м-ф)ан. средневзвешенных:
п
а
1/Кагар(м-ф)ан. = ( І 1 т1/Ка(р-ф)одф .ан..1); (34)
п
а
Каар(м-ф)ан. = і 1 Ка(р-ф)одф.ан.1 т1; (35)
п
а
1/^агар(м-ф)ан. = ( і 1 т1/Са(р-ф)одф.ан.1); (36)
п
а
Саар(м-ф)ан. = і 1 Са(р-ф)одф.ан.1^т1. (37)
Далее следует получить оценку модулей объемной упругости Ка(м-ф)ан. и сдвига Са(м-ф)ан. многокомпонентной гетерогенной среды с анизотропными составляющими и со структурой типа статистических механических смесей по формулам типа (8) и (13):
Ка(м-ф)ан. = (Кагар(м-ф)ан.Каар(м-ф)ан.) ; (38)
^а(м-ф)ан. = (Gагар(м-ф)ан.•Gаар(м-ф)ан.) . (39)
Расчет других упругих характеристик многокомпонентной гетерогенной среды указанного типа таких как модуль Юнга Еаги., коэффициент Пуассона уаан., модуль продольной упругости Маан. и параметр Лямэ Ааш,, целесообразно (так как в других случаях они будут слишком громоздкими) выразить через уже полученные зависимости Ка(м-ф)ан. и Gа(м-ф)aН. по формулам типа (20), (21), (22) и (23).
Из вышеизложенного можно сделать следующие основные выводы:
• на основании проведенных теоретических исследований и сопоставления расчетных значений упругих свойств гетерогенных сред для расчета упругих свойств многокомпонентных гетерогенных сред различных составов со структурой типа статистической механической смеси с анизотропными составляющими (горные породы), необходимых для решения различных горно-технологических задач, рекомендуются использовать формулы (32) - (39);
• для строительных композитов различного назначения на основе заполнителей из горных пород (квазиизотропные составляющие) рекомендуется использовать в случае применения не пластичных в отвержденном виде связующих для расчетов их модулей объемной упругости с учетом конкретной структуры композитов формулы (8), (24) и (28), а для модуля сдвига -формулы (13), (25) и (29);
• для расчета коэффициентов концентрации напряжений в составляющих строительных композитов необходимо учитывать их степень матричности, при этом упругие свойства композитов должны рассчитываться через различные комбинации усредняющих функций в том числе и чисто матричного типа, см. Для модуля объемной упругости работы [26, с. 78, 27, с. 52 -55], а для модуля сдвига обзорную работу [26, с. 83].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород. - М.: Недра. 1978, -389 с.
2. Новик Г.Я., Зильбершмитд М.Г. Управление свойствами пород в процессах горного производства. - М.: Недра. 1994, -224 с.
3. Новик Г.Я., Ржевская С.В. Физикотехническое обеспечение горного производства. - М: Недра. 1995,-226 с.
4. Петроченков Р.Г. Строительные композиционные материалы с оптимальными свойствами на основе отходов горного производства. Часть 1. -М.: МГГУ. 1994,
- 114 с.
5. Петроченков Р.Г. Строительные композиционные материалы с оптимальными свойствами на основе отходов горного производства. Часть 2. - М.: МГГУ. 1995,
- 97 с.
6. Петроченков Р.Г. Упругие и прочностные свойства строительных композитов на заполнителях из местных пород и переработанных отходах горного производства.
- В сб.: Охрана природы, совершенствование техники и технологии на карьерах. - М.: МГГУ. 1994, с. 38 - 49.
7. Ржевский В.В., Вительс Л.Э., Пет-
роченков Р.Г. Выявление зависимостей и оптимизация физико-механических свойств наполненных фенольных пенопластов от параметров макроструктуры и состава. -Депонированная рукопись, № 1241-77.
1977, - 130 с.
8. Петроченков Р.Г. Коэффициенты объемной сжимаемости и теплового расширения магматических горных пород. - В сб.: Управление свойствами и состоянием массива горных пород. - М.: МГИ. 1979, с. 3 - 8.
9. Ржевский В.В., Петроченков Р.Г. Модуль объемной упругости гетерогенных материалов с изотропными составляющими. - Материалы Международной научнотехнической конференции по горному делу
и геологии. Ч. IY. - НРБ, Варна, София: ВГ-ГИ. 1973, с. 207 - 215.
10. Петроченков Р.Г. Метод расчета главных напряжений и относительных деформаций в составляющих полиминераль-ных горных пород в случаях их сложнонапряженного состояния. Горный информационно-аналитический бюллетень. Выпуск
3. -М.: МГГУ. 1997, с. 193 - 199.
11. Петроченков Р.Г. К вопросу учета неоднородности напряжений и деформаций по составляющим массива горных пород для решения задач управления состояния массива. - В сб.: Управление свойствами и состоянием массива горных пород. - М.: МГИ. 1979, с. 33 - 38.
12. Петроченков Р.Г. Обоснование необходимости учета главных напряжений в составляющих гетерогенных материалов при разработке их теорий прочности. Горный информационно-аналитический бюллетень. Выпуск 1, -М.: МГГУ. 1997, с. 159 -170.
13. Петроченков Р.Г. Влияние упругих свойств крупных заполнителей строительных композитов типа тяжелых бетонов на их прочностные свойства. - В сб.: Неделя горняка. - М.: МГГУ. 1994, с. 232 - 233.
14. Петроченков Р.Г. Упругие и прочностные свойства строительных композитов на заполнителях из местных пород и переработанных отходах горного производства.
- В сб.: Охрана природы, совершенствование техники и технологии на карьерах. - М.: МГГУ. 1994, с. 38 - 49.
15. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука. 1977, - 399 с.
16. Takaynagi M., Uemura S., Minali S. Application of equivalent model method to dynamic rheo-optical properties of crystalline polimer. J. Polymer Sci., C5, No. 5, 1965, p. 113.
17. Baresova V. Calculation of Young's Modulus of Two-Phase systems poly (ethylene glicol monomethacrylate)-water at low temperatures. Collect. Czechosl. Chem. Communs 34, No 2, 1969. - p. 537.
18.Ko K.C. Haas C.J. The effective modulus of rock asa composite material. Jnt. J. Rock. Mtch. And Mining Sci. 1972, 9, № 4, p. 531 - 541.
19. Kameswara Rao C.V.C., Swamy R.N. Mangat P.S. Mechanical behaviour of concrete as a composite material “Mater. of constr.” 1974, 7, № 40, p. 265 - 271.
20. Салтыков С.А. Стереометрическая металлография. - М.: Металлургиздат. 1958,
- 446 с.
21. Петроченков Р.Г., Комаров Д.В. Методика и программное обеспечение проектирования композиционных материалов на пористых связующих и заполнителях из отходов производств. Горный информационно-аналитический бюллетень. Выпуск 5, -М.: МГГУ. 1998, с. 169 - 183.
22. Беликов Б.П., Александров КС., Рыжова Т.В. Упругие свойства породообразующих минералов и горных пород. - М.: Наука. 1970, - 275 с.
23. Reuss A. Berechnung der Fliebgrenze von Mischkistallen auf Grund der Plastizitatsbedingung fur Einkrisalle Z. Angew. Math. und Mech. 9, No 1, 49. 1929.
24. Voight W. Lehrbuch der Kristallphysik. Berlin, Teubner. 1928. S. 962.
25. Hill R. The Elastic Behaviour of a Crystalline Aggregate,- Proc. Phys. Soc.,1952, A65, No 389. P.349.
26. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. Механика композиционных материалов, т. 2. - М.: Мир. 1973, с. 61 -101.
27. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир. 1982, - 334 с.
Петроченков, Ринальд Галактионович доцеш, кандидат технических наук, кафедра «Техно.Ю1 ия, механизация и ор| анизация откры тых i орных рабо|», Московский i осу-
тпспв'ннии горный университет
