CC BY
45
С.А. Бабкин
УСТАНОВЛЕНИЕ ЦЕНЫ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ТОВАРОВ НА ОСНОВАНИИ СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ВИЛКОКСОНА DEFINITION OF RADIO PRODUCT COST BASED ON VILKOKSON STATISTICAL CRITERION
Предложена методика установления идентичности и однородности на основе критерия знаков (критерий Вилкоксона).
The method of establishing identity and homogeneity, using the signs criterion (Vilkok-son criterion) is offered.
Согласно ст. 40 НК РФ, для целей налогообложения принимается цена товаров, работ или услуг, указанная сторонами сделки. Пока не доказано иное, предполагается, что эта цена соответствует уровню рыночных цен. Налоговые органы при осуществлении контроля за полнотой исчисления налогов вправе проверять правильность применения цен по сделкам лишь в следующих случаях:
- между взаимозависимыми лицами;
- по товарообменным (бартерным) операциям;
- при совершении внешнеторговых сделок;
- при отклонении более чем на 20% в сторону повышения или понижения от уровня цен, применяемых налогоплательщиком по идентичным (однородным) товарам (работам, услугам) в пределах непродолжительного периода времени [1].
Задачи установления «справедливой» цены радиотехнических товаров (работ, услуг) возникают в связи: с приобретением новых приборов и устройств; с продвижением на рынки новых радиотехнических товаров; выполнением работ, не имеющих аналогов; реализацией опытных моделей и образцов товаров и ознакомлением с ними потребителей и т.д.
В ст. 40 НК РФ введены понятия идентичных и однородных товаров. Идентичными признаются товары, имеющие одинаковые характерные для них основные признаки. При определении идентичности товаров учитываются, в частности, их физические характеристики, качество и репутация на рынке, страна происхождения и производитель. Однородными признаются товары, которые, не являясь идентич-
ными, имеют сходные характеристики и состоят из схожих компонентов, что позволяет им выполнять одни и те же функции и (или) быть коммерчески взаимозаменяемыми.
Однако в ст. 40 не приводится методика установления идентичности или однородности. В работе [2] показано, что эффективным средством решения этой проблемы является применение критерия знаков или критерия Вилкоксона.
Итак, наряду с упомянутым критерием знаков для проверки гипотезы об однородности радиотехнических приборов и устройств (обобщённо — товаров) может быть использован критерий Вилкоксона [3, 4].
Как и в критерии знаков, пусть для оценки однородности двух товаров выбрано т признаков: х{1/1 ,х^1/),...,х^') — для первого товара; х[2),х(22),...,х(^) — для второго. Для критерия Вилкоксона ситуации
х1 > х[2^ (1)
приписывается число 1, а ситуации
х1 < х((2)
— число 0. В том случае, если соответствующие признаки могут быть сопоставлены количественно, это просто неравенства. Если же признаки носят качественный характер, под символами «>» или «<» в формулах (1), (2) понимается «лучше» или «хуже».
Различие упомянутых критериев состоит в следующем. В критерии Вилкоксона ситуациям, описываемым формулами (1), (2), приписываются значения 1 или 0 соответственно. Поэтому, если в качестве статистики критериев выбрать среднее арифметическое, то для однородных объектов она будет распределена около 0,5 (для критерия знаков эта статистика распределена около 0).
Простейшая процедура состоит в том, чтобы просто заменить наблюдения х1 их рангами, т. е. упорядочить по величине и1+и2= п наблюдений и заменить значение х1 его рангом Я1. Мы тогда получаем набор из п значений Я1, представляющий собой перестановку первых п натуральных чисел, из которых п1 относятся к первой выборке и п2 — ко второй [3,4].
Поскольку выбранная статистика эквивалентна использованию среднего значения первой выборки х1, ранговый критерий, получаемый из неё заменой наблюдений их рангами, эквивалентен использованию суммы рангов первой выборки.
П1
*1
S = X^ . (3)
I=1
Если гипотеза об однородности справедлива, следует, очевидно, ожидать, что
наблюдения из первой и второй выборок будут хорошо перемешаны, так что ранги пер-
вой выборки не будут иметь никакой тенденции скапливаться у какого-нибудь или у обоих концов интервала от 1 до п. Определим статистику и, которая считает, сколько раз элемент первой выборки превосходит элемент второй выборки, т. е.
П1 п2
и =ХхЬу , (4)
1=^=1
где Ц = +1, если R1 ^ RJ,
Ц = 0, в противном случае.
Очевидно, что статистика и принимает значения от 0 до п1п2.
В данной двухвыборочной ситуации статистики (3) и (4) функционально связаны, т.е.
и = S - ^2п1(п1 +1). (5)
Чтобы доказать (5), необходимо только заметить, что
п1
Л
п1
X (XI -1)
1=1
12
и = Х X Ьц
1=1. ;
Таким образом, мы можем пользоваться любой из статистик и и 8, какая удобнее. Как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения статистика и проще.
Для нахождения распределения статистики и можно получить её характеристическую функцию непосредственно из характеристической функции статистики
<2, где 2 — число инверсий рангов, Известно [2], что 2 основана на -2-п(п -1) возможных сравнениях между п наблюдениями, тогда как и основана на п1п2 сравне-„ИЯх мевду первЫМ„ «, и вТОрЫМи Ю „Их, прИ ЭТоМ -- Ц «внутренних»
сравнений для первой выборки и 1 п2(п2 -1) для второй выборки исключаются. Мы
можем записать это соотношение символически как
Qn = Qn1 + Qn2 + и. (6)
Поскольку при гипотезе Н0 компоненты в правой части (6) взаимно независимы, мы имеем соотношение между характеристическими функциями
Ф п(0) = Фп1(0)Фп2(0)Ои(0), где первые три характеристические функции — суть характеристической функции 2 при объёмах выборок, указываемых индексами при ф, а О и (в)—характеристическая функция и. Таким образом,
Фи(в) = Фп(0)/{}Фп1(е)Фп2(0)}. (7)
После логарифмирования получаем
^и(в) = У п(0) -У щ(0) -У п2(0). (8)
Подставляя у в правую часть (8), находим
1 ” В2.(10) ] Г п ] 2.
¥и(9) = -пхп210 + Х 2. ГХ-Х-Х К.2. -1) =
и^ 2 1 2 £ 2.(2.)! 1.41 ^ .41'
1 В (10) . п1
= —п1п210 + X —2------------Х{(п2 + .)2. - .2.}.
2 1 2 .=1 2.(2.)! .41й 2 ' ;
Семиинварианты и равны, следовательно,
Хі = 2П1П2>
= В2.і П1
Х2Л+1 = 0, і > 1,
Хі = ^1{(п2 + Ю2і - s2J}
2і в=1
В частности, мы находим
Х2 = 112п1п2(п + 1).
(11)
Соотношение (11) показывает, что распределение и симметрично, каковы бы ни были значения п1 и п2. Вследствие (5) распределение 8 имеет те же семиинварианты,
за исключением того, что её среднее равно :~п1(п -1).
Точное распределение 8 или и может быть легко получено из соотношения между производящими функциями частот (ПФЧ), аналогичного (7),
Gu(e) =
Ґ \"1 * п '
V п1 у
G(0,n)/^(0,п^(0,п2)}.
где Ои (0) — ПФЧ для и, а G(9, п) — ПФЧ для 2. Подставляя её значение, получим
Gu(0) =
( п V1
V п1 У
П(08 -1)
8=1__________
п
П (08 - 1)П (08 -1)
8=1 8=1
V п1 У
П
8=1
( 0п2 +8 1 'А
08 - 1
(12)
Коэффициент во втором сомножителе в правой части (12) равен числу способов, которыми можно выбрать п} из первых п2 натуральных чисел так, чтобы их сумма была
равна ■~п1 (п1 +1) + и . Мы обозначим это число через Ди, п}, п2), а накопленную сумму
таких чисел — через
(13)
г=2п1(п1+1)
п
п
п
Асимптотическая нормальность и при гипотезе Н0 сразу следует из (10). Если П1,П2 ^ да так, что 0 < Нтп /п2 = X < да , будем без различия писать N для обозначения щ ,П2 или п. Тогда х2у имеет, самое большее, порядок так что, как мы
и видели в (11), х2 имеет порядок ^. Таким образом,
X '( X 2)'= 0(Н2'+1-3') = 0(Нн),
откуда
кт X 2 у/(X 2 У = 0. У > 1,
N ^да
и распределение U сходится к нормальному со средним и дисперсией, указанными в (10), (11). Сходимость к нормальному распределению быстрая, и нормальное приближение эффективно, когда nj и п2 превышают 7-8.
Критерий Вилкоксона состоятелен против альтернатив, при которых распределения наблюдений Fj и F2 порождают различные средние ранги в своих выборках. Ясно, что это произойдет тогда и только тогда, когда вероятность P того, что наблюдение из Fj превосходит наблюдение из F2, отлична от 1/2.
Если мы рассмотрим одностороннюю альтернативную гипотезу, что распределение второй выборки стохастически «больше»:
Нх: Ц(х) > F2( х) при всех х, (14)
то нетрудно доказать, что односторонний критерий Вилкоксона является несмещённым. Для любой пары Fjt F2 определим функцию h(x) равенством
F2(h(x)) = F1(x), (15)
так что из (14) следует
h(x)> x . (16)
Рассмотрим теперь две выборки, в которых п2 элементов второй выборки преобразованы из Xj, в h(xi), а первая выборка оставлена без изменений. Мы видим из (14), что если преобразованные выборки подчиняются распределениям Fj и F2, то до преобразования их распределения были одинаковы. Если теперь область в преобразованном выборочном пространстве имеет вероятность Р, то неравенство (16) и условие, принятое выше, обеспечивают нам, что в непреобразованном выборочном пространстве её вероятность будет а < D. Поскольку а есть размер критерия над непреоб-разованными величинами, а Р — его мощность против (14), то мы видим, что критерий не смещён.
ЛИТЕРАТУРА
1. Налоговый кодекс Российской Федерации. Ч. 1 и 2. — М.: ОМЕГА-Л, 2005.
— 640 с.
2. Экспертные системы в организации налогового учёта: монография / С.В. Бухарин [и др.]; под ред. проф. С.В Бухарина. — Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2003. — 146 с.
3. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. — 899 с.
4. Кендэл М. Ранговые корреляции. — М.: Статистика, 1975. — 220 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ СТАТЬИ:
Бабкин Сергей Александрович. Адъюнкт кафедры инженерно-технического обеспечения деятельности УИС.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: vorhmscl@comch.ru
Россия, 394065 г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (4732) 476-478.
Babkin Sergey Alexandrovich. Post-graduate cadet of the chair of technical-engineering maintenance of the penitentiary system.
Voronesh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (4732) 476-478.
Ключевые слова к статье: математическая модель; экспертное пространство; математическая статистика; математическое ожидание; критерий знаков; функция распределения.
Keywords: mathematical model; expert space; mathematical statistics; mathematical expectation; the criterion of signs; distribution function.
УДК 621
