CC BY
39
УДК 536.25:517.3+621.31
УСТАНОВИВШЕЕСЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
ПЕРВОГО РОДА
О.А. Семенихин, В.А. Сумин
Изложены результаты решения пространственной задачи об отыскании стационарного температурного поля в прямоугольном параллелепипеде при граничных условиях первого рода как модельной задачи для свободно конвективного течения при малых числах Грасгофа. Для отыскания аналитического решения использован классический аппарат конечных интегральных синус-преобразований
Ключевые слова: температурное поле, граничные условия первого рода, интегральные преобразования
Введение. Известно [1], что при малых тепловых нагрузках в замкнутых объемах, содержащих, например, ньютоновскую жидкость, допустимо применять для описания гидротермической структуры свободноконвективного течения модельные представления о "ползущем" течении. Такая идеализация существенно линеаризует уравнения Обербека-Буссинеска [2], которые становятся несопряженными в том смысле, что возможно решение уравнения конвективного теплообмена без учета гидродинамической составляющей, так как из-за сравнительно медленного течения жидкости конвективными слагаемыми можно пренебречь [3]. Если к тому же интерес вызывает только стационарный случай, то в математической формулировке получается линейное уравнение эллиптического типа. Полученная таким образом оценка температурного поля в дальнейшем может использоваться в гидродинамических уравнениях для определения поля скоростей движения жидкости. В связи с вышесказанным на примере параллелепипеда продемонстрирован такой подход.
Постановка и решение задачи. Пусть в евклидовом пространстве задана область в виде правильного параллелепипеда
Б = (0 < х < й1;0 < у < И2;0 < г < ) ,
и пусть перенос теплоты в соответствии с законом Фика во внутренних точках области описывается уравнением Лапласа:
-ч 2 -ч 2 -ч 2
Э t Э t Э t ~ + ~ + ~ = 0'
Эх Эу Эг а на границе заданы условия первого рода
t (о, у, z ) = t,
(1)
(2)
Семенихин Олег Александрович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 243-76-70
Сумин Виктор Александрович - ВУНЦ ВВС ВВА, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (473) 221-23-70
t ( у, z ) = t ( х, 0, z ) = t ( х, h2, z ) =
= t ( x, у, о) = t ( x, y, h3 )= t0.
Систему (1) - (3) удобно представить в безразмерном виде:
Э2т 2 ЭT 2 ЭT
-+ A -+ B -= 0;
Э72 ЭZ2
(3)
ЭХ
T ( 0, Y, Z ) = 1; T (l, Y, Z ) = T (Х,0, Z ) = T (Х,1, Z ) = T (Х, Y ,0) = T (Х, Y ,l) = 0,
(4)
(5)
(6)
х у z h,
где Х = —, Y = —, Z = —, A = —, T =
h h h h "1 "2 "3 "2
t -1„
t1 - t0
Решение уравнений (4) - (6) получим с помощью конечного интегрального синус-преобразования [4], которое вначале применим по переменной У
т(ху,1) = ¥т(Х^) = |т(Х,У,2)яи(цу)СУ, (7)
Fy
где ц - корни характеристического уравнения sin ц = 0 .
Изображение системы (4) - (6) в этом случае будет:
Э2 F
Э2 F
-f + B2^--ц2 A2 Fr = 0.
ЭХ2 ЭZ2 ^ r ;
Fr (0, Z) = -- (cosц- 1) ;
И
(8)
(9)
Ру (^ ^ ) = Ру (Х ,0) = Ру (Х Д) = 0. (10)
К системе (8) - (10) вновь применим преобразование (7), но уже по переменной 1
F
Fy (Х,Z)] = Fyz (Х) =}Fy (Х,Z) sin(gY)dZ, (11)
где g - корни характеристического уравнения sin g = 0 . В итоге изображение (8) - (10) запишется:
d2 Fz
dX2
-(m2 A2 + g2 B2) Fz = 0;
(12)
Fz (0) = — (cosm-1)(cosg- 1); (13) mg
Fz (1) = 0. (14)
Решение уравнения (12) с граничными условиями (13) и (14) таково:
fyz =
(cos m - 1) (cos g - 1)
jUgshsfm2 A2 + g2 B2
X sh
\lm2a2 + g2в2 (1 - x)'
(15)
Производя процедуру последовательного обращения для (15), запишем решение
T (X, Y, Z) = 4 ZZ
m=1 k=1
(cos mm -1)(cos gk -О
2,2 2 „2
X
Xsh
mju shV mmA + КB HA2 + gX (l - X)l sin (mmY) sin (gkZ) , (16)
где mm =pm , gk =pk .
Результаты расчетов по (16) представлены на рис. 1.
г)
д)
Рис. 1. Характерные поля температур при А=1 В=2: а - Х=0.25; б - Х=0.5; в - Х=0.75; г - Y=0.5; д - Z=0.5
Показано, что аналогичным образом представляются решения при задании ненулевого граничного условия на других гранях параллелепипеда с использованием принципа суперпозиции решений.
Например, задача
э 2т
+ A
э 2т
+ в
э 2т
= 0;
(17)
(18)
эх ЭY ЭZ
т (х ,1, Z ) = т (1, Y, Z ) = 1;
T (0,Y, Z) = т (х,0, Z) = т (X, Y, о) = т (x,Y,i) = 0, (19) имеет решение
X
т (X, У, 1) = 4 ЕЕ
к=1 п=1
(008 Лк - 1)(с08 у - 1)
Кгк 8Ь
1 2 2 2 Л. + у В
к ' п
8Ь
,2 2 2 1к + у В
к
-У
А
А2
+ 4 Е Е
(008 и -1)(008 у -1)
т=1 п=1 и у. А ^ + у2В
' т' к V т ' п
2 л2 2^2 п *
8Ь
V
2 2 2 2 и А + у В X
т
8Ш (ЛкХ ) 81П (у п1 ) +
81п ( и тК ) 81п (уп 1),
где и = рт , у = рп ,1 = рк . Результаты расчетов по (20) представлены на рис. 2.
а) б) в;
Рис. 2. Характерные поля температур при А=1 В=2: а - Х=0.5; б - У=0.5; в - 7=0.5
Задача
э2т 2 э2т 2 э2т
-+ А -+ В -
222
ЭХ ЭУ Э1
т (Х, 0,1) = т (Х, 1,1) = т (Х, У, 0) = т (Х, У, 1) = 0,
имеет решение
(с08 и - 1)(008 у - 1)
0; (21) т ( 0, У, 1) = т (1, У, 1) = 1;
(22) (23)
т (Х, У, 1) = 4 ЕЕ
т=1 п=1 и у. 8^/и2А2 + у2В2
' т ' к \ ' т ' п
'к
где ит = рт , у = р (рис. 3).
8Ь[VитА2+уВ2Х+>/итА2+у?В2 (1-Х)] 81П(итУ)81п(у, 1), (24)
а) б) в)
Рис. 3. Характерные поля температур при А=1 В=2: а - Х=0.5; б - У=0.5; в - 7=0.5
Задача
э 2т
2 Э2Т 2 + А-+ В
э2т
= 0;
ЭХ Э7 Э2 Т (1,7,2) = Т (Х,1,2) = Т (Х ,7,1) = 1;
(25)
(26)
Т ( 0,7,2 ) = Т (Х ,0,2 ) = Т (Х, 7 ,о) = 0. (27) имеет решение
Т (Х, 7, 2) = 4 2 2
т=1 п=1
¡С05тт - 1)(С05 у - 1)[^Х^УX
. Г 2.2 2 2
и у. и А + у в
' т' к \ ' т ' п
(ит7 ) (Уп2 ) +
¥ - (С05 Як - 1)(С05 Уп - 1)
+ 2 2-!—.-:—:--яЬ
ЯкУк5Ь
1 2 2-^2 Я + Упв
1 2 2^2 Я + у в
7
А2
5Ш (ЯкХ ) 5Ш (Уп2 ) +
(28)
А
+4 2 2
к=1 п=1
(С05Як - 1)(С05т - 1)
Як ит 5Ь
1 2 2.2 Я, + и А
кт
V
-1 2 2 2 Я + и А
кт
В
где ит = Рт , уп = рп , Як=рк (рис. 4).
В
2
(ЯкХ ) (и т7 ).
к=1 п=1
а) б)
Рис. 4. Характерные поля температур при А=1 В=2: а - Х=0.25; б - У=0.25
Кроме того, например, для задачи (4) -(6) можно вычислить среднее значение распределения температур в зависимости от геомет-
рических характеристик параллелепипеда А и В:
Т = Ш Т (Х, 7, 2) с1хс1ус12 = 4 2 2
( С05 ит - 1)( С05 У к - 1)
к= иук л/и А2 + у В в
/ 2 2 2 2 с Ь^ и А +Укв -1
. (29)
к т к
При этом количество теплоты, переданное через поверхности Х,У и 2, имеют вид:
ЭТ С05 и - 1)( С05 У к - 1)^и2тА +У2 в
дх =--= 4 2 2
Эх т=1 к=
i / 2 .2 2 2 иу 5Н итА +Укв
сЬ
О - Х )] 81П (и7 ) зш (Ук2 ) ,(30)
Я = ■
1У
ЭТ Э7
= -4 2 2
(С05 и -1)( С05 Ук -1)
, I 2 .2 ЛТ2"
Ук 5Ч иА +Укв
[^^^У (1 - Х )] С05 (и7 ) 51п (Ук2 ) , (31)
1 1 1
0 0 0
т=1 к=1
dT Л V . ( C0S Mm " l)( C0S g " l) ьГ Г^-W (l Hl • ( И ( И
=--= -4 V .V-r^-sh [Vr4 + gk5 (1 - x )_ sin (Г/ ) C0S Uz ) • (32)
Г shJm'a' + g'в2
'm y ' m ' k
а) б) в)
Рис. 5. Количество теплоты, переданное через поверхности а) - X, б) - У и в) - 7 при А=1, В=2, 7=0.5, У=0,5
Заключение. Полученные результаты подтвердили возможность применения аппарата конечных интегральных преобразований для построения структуры аналитического решения, которая может быть использована при синтезе модели конвективного теплопереноса в режиме «медленного» (ползущего) течения.
Литература
1. Latif, M. Heat convection [Text] /M. Latif - New York: Springer, 2009. - 552 p.
2. Карслоу, Г.С. Теплопроводность твердых тел [Текст] / Г.С. Карслоу, Д. Егер. - М.: Наука, 1964. - 489с.
3. Беляев, Н.М. Методы теории теплопроводности [Текст] / Н.М. Беляев, А.А. Рядно. - М.: Высш. шк., 2001. -Ч.1. -327 с.
4. Courant, R. Methods of mathematical physics [Text] . V.2. Partial differential equatins / R. Courant, D. Hilbert. - Singapore: Wiley - VCH, 1989. - 896 p.
5. Снеддон, Н. Преобразование Фурье [Текст] / Н. Снеддон. - М.: ИЛ, 1955. - 668 с.
Воронежский государственный технический университет
Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина», г. Воронеж
THE STEADY-STATE DISTRIBUTION OF TEMPERATURE IN A RECTANGULAR PARALLELEPIPED WITH INHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS
THE FIRST KIND
O.A. Semenihin, V.A. Sumin
The results of solving the spatial problem of finding the steady-state temperature field in a rectangular parallelepipide under the boundary conditions of the first kind, as a model problem for the free convective flow at small Grashof numbers. To find analytical solutions used classical apparatus of integral sine transformation
Key words: temperature field, the boundary conditions of the first kind, integral transforms
