Усредненная функция Дена для циклических групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 2. С. 19-23.

УДК 512.54

Т.Н. Мустафинова

УСРЕДНЕННАЯ ФУНКЦИЯ ДЕНА ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП

В работе приводится вычисление усредненной функции Дена для конечных циклических групп.

Ключевые слова: конечная циклическая группа, функция Дена, усредненная функция Дена, асимптотическое свойство.

1. Введение

Понятие функции Дена является классическим в теории групп. В 1993 г. М. Громов [1] дал определение усредненной функции Дена. Тогда же он выдвинул гипотезу о субквадратичности усредненной функции Дена для конечно порожденных абелевых групп. Ее справедливость установлена Е.Г. Кукиной и В.А. Романьковым [2]. Другая гипотеза Громова, касающаяся усредненной функции Дена для конечно порожденных нильпотентных групп, подтверждена В.А. Романьковым [3-4]. В данной статье приводится вычисление усредненной функции Дена для конечных циклических групп в их стандартном представлении.

2. Определения и некоторые известные результаты

Пусть О = Рг / К - конечно определенная группа, представленная как факторгруппа свободной группы /у конечного ранга г от множества свободных порождающих Хг — ..., хг} по нормальной подгруппе

Ы — пе1(г1,... ,гт). Обозначим через Р^) соответствующее представление группы G через порождающие элементы и определяющие соотношения. Любое (не обязательно редуцированное) слово w в алфавите Хг определяет элемент группы /у. Через мы обозначаем его длину. Естественный гомоморфизм ф группы /у на группу G позволяет говорить о значении слова w в группе G. В частности, запись w — Gv означает, что значения слов w, V в группе G совпадают. Очевидно, что равенство w — О1 и включение w в Ы равносильны. Они эквивалентны тому, что в группе /у существует запись вида w = д1д2 ...др, где множители сопряжены определяющим словам или их обратным.

Определение 1. Площадью слова w — 01 относительно представления Р^) называется наименьшее значение р, для которого существует запись указанного вида. Определим Дк= [ж =0 1||М| = к} - множество слов алфавита Хп, значение которых в группе G равно 1, а длина равна фиксированному числу к. Полагаем шк — и1^кА1.

Определение 2. Функцией Дена группы G относительно представления Р^) называется функция D(k) = тах{5№ | w Е шк}.

Назовем две функции f и g эквивалентными, если существуют положительные константы а1,а2,Ь1,Ь2,с1,с2,й1,й2 такие, что для любого п верно

а1^с1 п) + ^п + ^ < ^п) < а^п) + Ь2п + <12- (1)

Известно (см. [5]), что функции Дена группы G относительно двух различных представлений группы G эквивалентны. А это означает, что имеет смысл говорить о функции Дена группы G (не поясняя, в каком представлении рассматривается группа). Известно также (см. [6]), что линейность функции Дена эквивалентна тому, что группа гиперболическая. По теореме А.Ю. Ольшанского [7], если функция Дена субквадратична, то группа гиперболическая. Известно, что функция Дена свободной абелевой группы конечного ранга г > 2 квадратична.

© Мустафинова Т.Н., 2016

Определение 3. Усредненной функцией Дена группы G относительно представления Р^) называется функция

о(к) = ^ (2)

Определение 4. Точной усредненной функцией Дена группы G относительно представления Р^) называется функция

lim

fc^OT

пк п

3

ада =:

|Дк1

(3)

3. Вычисление |Ак|для групп Жп

Для вычисления точной усредненной функции Дена нужно знать мощность множества Дк. В этом пункте вычисляется |Ak| для серии конечных циклических групп Жп. В ходе вычислений была выдвинута следующая гипотеза.

Гипотеза: Для группы Жпимеем lim ^ =

1 !■ |Дк| 2

= - при нечетных значениях п и lim —г = -

п 1 fc^OT 2К п

при четных значениях n. При достаточно больших значениях k возможные экспоненты слов равновероятны.

Эта гипотеза доказана для всех рассмотренных в данной статье групп.

Вычисление |Дк| для группы Ж3.

Рассмотрим группу Ж3 в стандартном представлении p(Z3) = <а|а3>.

Всего 2fc слов длины fc. Определим rfc = (ш = 2за1|||ш|| = к} - множество алфавита

значение которых в группе Ж3 равно а1, а длина - фиксированному числу fc, i £ {1; 2}.

Установим биекцию /: т,1 ^ т2 для любого слова ш ' ' = а-61«-62

... а

г2

rfc

алфавита /(«) = , где £ {-1; 1}, i £ {1, ..., fc}.

1Т11 = 1т21 = 1тй1, так как элементы а, ^взаимно обратные.

Исходя из этого, получим формулу

2* = |Дк|+2|тл|. (4)

Любое слово из Дк имеет вид: «0а, где «0 £

2 —1 ,- 1 т2-1 или «0а \ где «0 £

Таким образом, ^ = К-^ + кй-^ = = 2|тл-1|. Значит, 2^ = |Дк| + |Дк+1| ^ |Дк+1| = «0 £ т*-2 или «0а-Ч гДе «0 £ Дк-2. Таким образом, |Дк| = |т2-2 | + |^3-21 + 2|Дк-21 = 2|т2-2| +

2^ 3'

Вычисление |Дк| для группы 24.

Рассмотрим группу 24 в стандартном представлении р(24) = <а|а4>.

Всего имеется 2^ слов длины Заметим, что для того, чтобы ш = 2 1 нужно, чтобы длина слова была четной, т. е. к = 2т. Определим = (ш = 24а1|||ш|| = к} - множество слов алфавита значение которых в группе 24 равно а1, а длина - фиксированному числу Так как нас интересуют только четные значения а слова четной длины могут быть равны только 1 и а2, то рассматривать помимо Дк мы будем также . Исходя из вышесказанного, получим: 2^ = |Дк| + |т||.

Любое слово из Дк имеет вид «0а6, где е £ {-1;1} «0 £^-1 или т^.

Отсюда следует, что|Дк| = |т2|. Тогда 2^-1 = |Дк|, выдвинутая гипотеза подтверждена и в этом случае:

2*-1 1 Нт —— = —.

^го 2К 2

Вычисление |Дк|для группы 25.

Рассмотрим группу 25 в стандартном представлении р(25) = <а|а5>.

Всего имеется 2^ слов длины Определим = (ш = 25а1|||ш|| = к} - множество слов алфавита значение которых в группе 25 равно а1, а длина - фиксированному числу I £ {1; 2; 3; 4}. Аналогично случаю 23 заключаем, что из взаимной обратности элементов и а и а4 следует, что |тЦ = |т;*|, и так как а2 и а3взаимно обратные, то |т21 = |т3|.

Исходя из этого, получим формулу: 2^ = |Дк| + 2|тЦ + 2|т||. Любое слово из Дк

А — 1

имеет вид: «0а, где «0 £ т4-1 или «0а 1, где «0 £ Таким образом, |Дк| = |т^-1| +

+ 1т4 -11 = 2|т1-1|. Также любое слово из Дк

^ 3 — 1 — 1 имеет вид: «0аа, где «0 £ т,3-2; «0а 1а 1, где

= 2« - |Дк|.

2^ 2

Утверждение: |Дк| = ^ + (-1)^^. Доказательство.

Докажем утверждение при помощи математической индукции.

Проверим базу индукции: при к = 2

1.1 22 , ,., 2 4+2

имеем |Д2| = + (-1)2 ~ = ~ = 2.

Действительно: Д2= {аа-1;а-1а}, значит

|Д21 = 2.

Пусть для к эта формула верна, докажем, что утверждение верно и для к + 1. Из формулы (4) получаем: |Дк+х| = 2* - + (-1)*2) =

—+(-1)*+12.

33

Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтвердили выдвинутую гипотезу для рассматриваемого случая, так как

2|Дк-21. Значит, 2fc = |Дк| + |Дк+1| + |Дк+2|-2|Дк| ^ |Дк+21 = 2fc + |Дк| — |Дк+11(2).

Утверждение: Имеет место формула

2fc 2//i + Vs\fc /—i — ^=- + -1

+

2

5 5 П 2 Доказательство.

Докажем утверждение при помощи математической индукции.

Проверим базу индукции: к = 2. Имеем

|д=|=22+к(^)2+(-¥1)2)=2.

Тогда ^^((^Ч^И

Это действительно так: Д2= {аа 1;а 1а}. |Д21 =2.|Дз1 = 0.

Пусть для к и для к + 1 эта формула верна, докажем, что она верна и для к + 2.

— 2к +

2к 2 5+5

|Ak+zl = 1 +J5'

+

2k+1 2 (1+J5\

+

,

5 5 \Д 2 ) \ 2

Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтвердили выдвинутую гипотезу и в этом случае:

lim -

2к

Вычисление |Дк| для группы 16.

Рассмотрим группу Ъ6 в стандартном представлении р(26) — {ala6}.

Всего 2к слов длины к. Заметим, что для того, чтобы слово ш — z 1 нужно, чтобы длина слова была четной, т. е. к — 2т. Определим

4 — (ш а1|||ш|| — к} - множество алфавита Хп, значение которых в группе Ъ6 равно а1, а длина - фиксированному числу к, i Е {1; 2; 3; 4; 5}.

Так как нас интересуют только четные значения к, а слова четной длины могут быть равны только 1, а2 и а4, то рассматривать помимо Дк мы будем также t^tj*. Так как а2 и а4 обратные, то 141 — 141, аналогично случаю Ъ3.

Исходя из этого, получим формулу: 22т — — IA2J +2lr2J.

Любое слово из Д2т имеет вид: ш0аа, где

4 —1—1 ,-2 г-

ш0 Е т4т—2 или ш0а 1а 1, где ш0 Е т2т—2, где ш0 Е Л2Ш,

Таким образом, ^J — 2l4m—2l + 2^2m—2l Значит, 22т — lA2m+2 l - 1Д2т1 ^ Дт+2 l — 22m+lA2ml

2k 2

Утверждение |Дк| — Y + — 2m. Доказательство.

Докажем утверждение при помощи математической индукции.

Проверим базу индукции: при т — 1

1.1 22 2 4+2

имеем |Д2| — —I- - — — — 2.

2 3 3 3

Действительно, Д2— {аа—1;а—1а}, значит

Ш — 2.

Предположение индукции: Пусть для k эта формула верна, докажем, что утверждение верно и для k + 2 = 2m + 2.

■ + -

3

/п2т

Получаем: — 22т + (— + 2)—-

Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтверждили выдвинутую гипотезу и в этом случае: 2к 2

к^т 2К 3 Вычисление |Дк| для группы

Рассмотрим группу 11 в стандартном представлении р(17) — {а\а1}.

Всего имеется 2к слов длины к. Определим 4 — (ш а1\||ш|| = к} - множество слов

алфавита Хп, значение которых в группе Ъ7 равно а1, а длина - фиксированному числу к, I Е [1; 2; 3; 4; 5; 6}. Аналогично случаю Ъ3, так как элементы а и а6 обратные, то \4\ —

— \4\, так как а2 и а5 обратные, то \4\ —

— 1x^1, так как а3 и а4 обратные, то \т3\ = \4\.

Исходя из этого, получим формулу 2к — \Дк\ + 2\4\+2\4\ + 2\4\.

Любое слово из Дк имеет вид ш0а, где ш0 Е

или ш0а-1, где ш0 Е т^_1.

Таким образом, |Дк| = \т:1_1\ + \4_1\ —

— 21ти1.

Также любое слово из Дк имеет вид ш0аа, где ш0 Е 4_2; ш0а-1а-1, где ш0 Е 4_2 или ш0а-1а, где ш0 Е Дк-2. Таким образом, |Дк| =

= 1т2-21 + 14-21 +21Дк-21=21т2-21+21Дк-21

Также любое слово из Дк имеет вид ш0ааа, где ш0 Е 4_3; ш0а_1а_1а_1, где ш0 Е

31

т3-3; ш0а 1а 1а, где ш0 Е т^_3; ш0ааа 1, где ш0 Е т6б-3. Таким образом,

1Дк\ — 14-з1 + |т3_з! + 314-з1 + 31т6-з1 —

= 214-з1 + б14-з1 Значит, \Дк+з \ = 2к + \Дк\ + 2|Дк+1| - Д«!-

2

Утверждение: \Дк\ — — + ^ (х1к + х2к + х3к), где х1к,х2к, х3к - корни уравнения х3 + х2 — 2х-1 = 0.

Доказательство.

Докажем утверждение при помощи математической индукции.

Проверим базу индукции: к = 1, к = 2, к = 3. Имеем:

Х1 + Х2 + Х3 — — 1, Х1Х2 + Х1Х3 + Х2Х3 — 2, Х1Х2Х3 — 1.

х12 + х2 + х32 — (х1 + х2+ х3)2 — —2(х1х2 + х1х3 + х2х3) — 1 — (—4) — 5. х13 + х23 + х33 —

— (Х1 +Х2+ Хз)3 — 3(х1 + Х2 + Х3~)(Х1Х2 + Х1Х3 + Х2Хз)

+

+3(х1х2х3) — —1 — 6 + 3 — —4. 21 2 , „ 1 г 2 2 ^2 + Х3

\Д1\^^(Х11+Х21+Хз1)^^—0,

22 2 4 10

Д\ —- + ^(х12+Х22+Х32-)—- + — —2,

23 2 8 8 \Дэ\ —-^(Х13+Х23+Х33)—~^—0.

Несложно проверить, что это так: Д1— 0,Д2— [аа_1;а_1а}. \Д2\ — 2,Д3— 0. Предположение индукции. Пусть для к, к + 1, к + 2 эта формула верна, докажем, что утверждение верно и для к + 3. Получаем:

(2к 2 ~ + 1(

1Дк+з1—2к+\^^(Х1к+Х2к+Хзк)) +

2к+1 2

+2(- + - (xik+1 + Х2к+1 + хзк+1) ) -2к+2 2

+ -(хк+2 +хк+2 +х3к+2) ) ^

7 7

2к+з 2

|Дк+3 I—— + 2 (х1к + 2^1к+1 - Х1к+2 +Х2к +

+2х2к+1 - х2к+2+х3к + 2х3к+1 - х3к+2).

2

Так как х1,х2,х3 - корни уравнения х3 + х2 - 2х - 1 = 0, то + 2хгй+1 - Х;*+2 =

2&+3

= х;*+3, где ¿£{1;2;3}. Тогда |Дк+з|= —+ 2(х1^+3 + х/+3+х3*+3).

Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтвердили выдвинутую гипотезу в рассмотренном случае: 2^+3 2

lim ■

—+ у(х1к+3 +Х2к+3+Х3к+3) 1

2^ 7'

4. Вычисление точной усредненной функции Дена для групп 2„

Выше была выдвинута гипотеза для |Дк|. Обозначим^ = .

Рассмотрим слова длины к площади с. Эти слова имеют пс буква6 (е £ {-1; 1}), а остальные к-пс букв состоят из равных частей букв а и а-1. Таким образом, всего слов ( к\

площади с имеется 2 I е-пс ). Рассмотрим случай к = 2т. Тогда слово может иметь только четную площадь, т. е. с = 2р:

Я?™ — 2

I2 <

2т

2т — 2nt I —

[т]

4У£( 2т .).

Z_i Vm — ш/

Пусть у = т - т, тогда I =- . Так как I

изменяется от 0 до [—], то _/ изменяется от т - п [—] = I (£ = т(тойп) до т. Из этого следует, что Д2т можно ограничить с двух сторон следующим образом:

— —

7 = 0

Ш1(т—Д(2т)—

=0

n т

4т /2т\

=0

—2/(2т)—4(1т(27)—1(2т)],«

=0 =0 =0

^т^^)- ПМ?)-

Здесь П^т^)-^^))

можно

заменить на константу, зависящую от n:

П(^п=от(2;т) — Хп=оУ(2;т)) — С(п).

Таким образом, получаем:

т

4т v^ /2т\

vZU) —

=0

т =0

т т

4т: (?)-&■(?).

Рассмотрим выражение

4тут /2т\ 4ут

Известно(см.[8], стр. 495, формула 6), что первое слагаемое вычисляется следующим образом

—

4ту (2Ш) = 2т22т + 2т (2Ш) п у (7 / п п(т).

7 = 0

Также известно, что второе слагаемое

вычисляется так (см. [8], с. 495, формула 12): —

=0

Тогда получим:

п ^ т ^ 2— п^т/

Из формулы Стирлинга (&:! (-) ) по-

лучаем:

2т (_т)

( т )

4ят(т?)

4 ятп(^)

■ - С(п) < Й2т < ■

Тогда:

22тТт nV^

- C(n) < Й2т <

4nmn(j)

22тVm nV^

Следовательно, Я2

Из

вышесказанного

следует:

Вернемся к вычислению усредненной функции Дена:

ff(fc)'

21

Sjf=iVi-=r ^V^

2

2 2f=12i i=1 n

Ограничим функцию снизу:

Zf=1V2i 2f=1V2i 2f=1V2i Vfc2fc Vfc £k=12; = 2k+1 - 1 " 2k+1 " 2k+1 " ~2".

Ограничим функцию ff(fc) сверху:

к

< 12к

2к+1 -Vfc

. к к 2l V1 Vfc ,-v1 1 Г-

T < 1 2^-1 — 1 2 < 2 .

< ff(fc) < 2Vfc.

Следовательно,

Таким образом, если сформулированная гипотеза верна, то усредненная функция Дена для группы Жп эквивалентна V^-

ЛИТЕРАТУРА

[1] Gromov M. Asymptotic invariants of infinite groups // Geometric Group Theory (edited by A. Niblo and M.A. Roller). London Math. Society Lecture Notes, 182. Cambridge: Cambridge Univ.Press, 1993. 295 p.

[2] Кукина Е. Г., Романьков В. А. Субквадратич-ность усредненной функции Дена для свободных абелевых групп // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. С. 772-778.

е

е

2

=0

=0

2

n

= n

т

n

n

=0

=1

[3] Романьков В. А. Субкубичность усредненной функции Дена нильпотентных групп ступени 2 // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. С. 663-672.

[4] Романьков В. А. Об асимптотическом росте усредненной функции Дена для нильпотентных групп // Алгебра и логика. 2007. Т. 46. С. 60-74.

[5] Epstein D. B. A., Cannon J. W, Holt D. F., Levy S. V. F, Paterson M. S., Thurston W. P. Word Processing in Groups. Boston: Jonesand Bartlett, 1992.

[6] Лысенок И. Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Известия АН СССР. Серия математическая. 1989. Т. 53. № 4. С. 814-832.

[7] Ol'shanskii A.Yu. Hyperbolicity of groups with subquadratic isoperimetric inequality // Internat. J. Algebra Comput. 1991. Vol. 1. P. 281-290.

[8] Прудников А. П., Брычев Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды : в 3 т. Т. 1. Элементарные функции. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002.