МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 2. С. 19-23.
УДК 512.54
Т.Н. Мустафинова
УСРЕДНЕННАЯ ФУНКЦИЯ ДЕНА ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП
В работе приводится вычисление усредненной функции Дена для конечных циклических групп.
Ключевые слова: конечная циклическая группа, функция Дена, усредненная функция Дена, асимптотическое свойство.
1. Введение
Понятие функции Дена является классическим в теории групп. В 1993 г. М. Громов [1] дал определение усредненной функции Дена. Тогда же он выдвинул гипотезу о субквадратичности усредненной функции Дена для конечно порожденных абелевых групп. Ее справедливость установлена Е.Г. Кукиной и В.А. Романьковым [2]. Другая гипотеза Громова, касающаяся усредненной функции Дена для конечно порожденных нильпотентных групп, подтверждена В.А. Романьковым [3-4]. В данной статье приводится вычисление усредненной функции Дена для конечных циклических групп в их стандартном представлении.
2. Определения и некоторые известные результаты
Пусть О = Рг / К - конечно определенная группа, представленная как факторгруппа свободной группы /у конечного ранга г от множества свободных порождающих Хг — ..., хг} по нормальной подгруппе
Ы — пе1(г1,... ,гт). Обозначим через Р^) соответствующее представление группы G через порождающие элементы и определяющие соотношения. Любое (не обязательно редуцированное) слово w в алфавите Хг определяет элемент группы /у. Через мы обозначаем его длину. Естественный гомоморфизм ф группы /у на группу G позволяет говорить о значении слова w в группе G. В частности, запись w — Gv означает, что значения слов w, V в группе G совпадают. Очевидно, что равенство w — О1 и включение w в Ы равносильны. Они эквивалентны тому, что в группе /у существует запись вида w = д1д2 ...др, где множители сопряжены определяющим словам или их обратным.
Определение 1. Площадью слова w — 01 относительно представления Р^) называется наименьшее значение р, для которого существует запись указанного вида. Определим Дк= [ж =0 1||М| = к} - множество слов алфавита Хп, значение которых в группе G равно 1, а длина равна фиксированному числу к. Полагаем шк — и1^кА1.
Определение 2. Функцией Дена группы G относительно представления Р^) называется функция D(k) = тах{5№ | w Е шк}.
Назовем две функции f и g эквивалентными, если существуют положительные константы а1,а2,Ь1,Ь2,с1,с2,й1,й2 такие, что для любого п верно
а1^с1 п) + ^п + ^ < ^п) < а^п) + Ь2п + <12- (1)
Известно (см. [5]), что функции Дена группы G относительно двух различных представлений группы G эквивалентны. А это означает, что имеет смысл говорить о функции Дена группы G (не поясняя, в каком представлении рассматривается группа). Известно также (см. [6]), что линейность функции Дена эквивалентна тому, что группа гиперболическая. По теореме А.Ю. Ольшанского [7], если функция Дена субквадратична, то группа гиперболическая. Известно, что функция Дена свободной абелевой группы конечного ранга г > 2 квадратична.
© Мустафинова Т.Н., 2016
Определение 3. Усредненной функцией Дена группы G относительно представления Р^) называется функция
о(к) = ^ (2)
Определение 4. Точной усредненной функцией Дена группы G относительно представления Р^) называется функция
lim
fc^OT
пк п
3
ада =:
|Дк1
(3)
3. Вычисление |Ак|для групп Жп
Для вычисления точной усредненной функции Дена нужно знать мощность множества Дк. В этом пункте вычисляется |Ak| для серии конечных циклических групп Жп. В ходе вычислений была выдвинута следующая гипотеза.
Гипотеза: Для группы Жпимеем lim ^ =
1 !■ |Дк| 2
= - при нечетных значениях п и lim —г = -
п 1 fc^OT 2К п
при четных значениях n. При достаточно больших значениях k возможные экспоненты слов равновероятны.
Эта гипотеза доказана для всех рассмотренных в данной статье групп.
Вычисление |Дк| для группы Ж3.
Рассмотрим группу Ж3 в стандартном представлении p(Z3) = <а|а3>.
Всего 2fc слов длины fc. Определим rfc = (ш = 2за1|||ш|| = к} - множество алфавита
значение которых в группе Ж3 равно а1, а длина - фиксированному числу fc, i £ {1; 2}.
Установим биекцию /: т,1 ^ т2 для любого слова ш ' ' = а-61«-62
... а
г2
rfc
алфавита /(«) = , где £ {-1; 1}, i £ {1, ..., fc}.
1Т11 = 1т21 = 1тй1, так как элементы а, ^взаимно обратные.
Исходя из этого, получим формулу
2* = |Дк|+2|тл|. (4)
Любое слово из Дк имеет вид: «0а, где «0 £
2 —1 ,- 1 т2-1 или «0а \ где «0 £
Таким образом, ^ = К-^ + кй-^ = = 2|тл-1|. Значит, 2^ = |Дк| + |Дк+1| ^ |Дк+1| = «0 £ т*-2 или «0а-Ч гДе «0 £ Дк-2. Таким образом, |Дк| = |т2-2 | + |^3-21 + 2|Дк-21 = 2|т2-2| +
2^ 3'
Вычисление |Дк| для группы 24.
Рассмотрим группу 24 в стандартном представлении р(24) = <а|а4>.
Всего имеется 2^ слов длины Заметим, что для того, чтобы ш = 2 1 нужно, чтобы длина слова была четной, т. е. к = 2т. Определим = (ш = 24а1|||ш|| = к} - множество слов алфавита значение которых в группе 24 равно а1, а длина - фиксированному числу Так как нас интересуют только четные значения а слова четной длины могут быть равны только 1 и а2, то рассматривать помимо Дк мы будем также . Исходя из вышесказанного, получим: 2^ = |Дк| + |т||.
Любое слово из Дк имеет вид «0а6, где е £ {-1;1} «0 £^-1 или т^.
Отсюда следует, что|Дк| = |т2|. Тогда 2^-1 = |Дк|, выдвинутая гипотеза подтверждена и в этом случае:
2*-1 1 Нт —— = —.
^го 2К 2
Вычисление |Дк|для группы 25.
Рассмотрим группу 25 в стандартном представлении р(25) = <а|а5>.
Всего имеется 2^ слов длины Определим = (ш = 25а1|||ш|| = к} - множество слов алфавита значение которых в группе 25 равно а1, а длина - фиксированному числу I £ {1; 2; 3; 4}. Аналогично случаю 23 заключаем, что из взаимной обратности элементов и а и а4 следует, что |тЦ = |т;*|, и так как а2 и а3взаимно обратные, то |т21 = |т3|.
Исходя из этого, получим формулу: 2^ = |Дк| + 2|тЦ + 2|т||. Любое слово из Дк
А — 1
имеет вид: «0а, где «0 £ т4-1 или «0а 1, где «0 £ Таким образом, |Дк| = |т^-1| +
+ 1т4 -11 = 2|т1-1|. Также любое слово из Дк
^ 3 — 1 — 1 имеет вид: «0аа, где «0 £ т,3-2; «0а 1а 1, где
= 2« - |Дк|.
2^ 2
Утверждение: |Дк| = ^ + (-1)^^. Доказательство.
Докажем утверждение при помощи математической индукции.
Проверим базу индукции: при к = 2
1.1 22 , ,., 2 4+2
имеем |Д2| = + (-1)2 ~ = ~ = 2.
Действительно: Д2= {аа-1;а-1а}, значит
|Д21 = 2.
Пусть для к эта формула верна, докажем, что утверждение верно и для к + 1. Из формулы (4) получаем: |Дк+х| = 2* - + (-1)*2) =
—+(-1)*+12.
33
Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтвердили выдвинутую гипотезу для рассматриваемого случая, так как
2|Дк-21. Значит, 2fc = |Дк| + |Дк+1| + |Дк+2|-2|Дк| ^ |Дк+21 = 2fc + |Дк| — |Дк+11(2).
Утверждение: Имеет место формула
2fc 2//i + Vs\fc /—i — ^=- + -1
+
2
5 5 П 2 Доказательство.
Докажем утверждение при помощи математической индукции.
Проверим базу индукции: к = 2. Имеем
|д=|=22+к(^)2+(-¥1)2)=2.
Тогда ^^((^Ч^И
Это действительно так: Д2= {аа 1;а 1а}. |Д21 =2.|Дз1 = 0.
Пусть для к и для к + 1 эта формула верна, докажем, что она верна и для к + 2.
— 2к +
2к 2 5+5
|Ak+zl = 1 +J5'
+
2k+1 2 (1+J5\
+
,
5 5 \Д 2 ) \ 2
Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтвердили выдвинутую гипотезу и в этом случае:
lim -
2к
Вычисление |Дк| для группы 16.
Рассмотрим группу Ъ6 в стандартном представлении р(26) — {ala6}.
Всего 2к слов длины к. Заметим, что для того, чтобы слово ш — z 1 нужно, чтобы длина слова была четной, т. е. к — 2т. Определим
4 — (ш а1|||ш|| — к} - множество алфавита Хп, значение которых в группе Ъ6 равно а1, а длина - фиксированному числу к, i Е {1; 2; 3; 4; 5}.
Так как нас интересуют только четные значения к, а слова четной длины могут быть равны только 1, а2 и а4, то рассматривать помимо Дк мы будем также t^tj*. Так как а2 и а4 обратные, то 141 — 141, аналогично случаю Ъ3.
Исходя из этого, получим формулу: 22т — — IA2J +2lr2J.
Любое слово из Д2т имеет вид: ш0аа, где
4 —1—1 ,-2 г-
ш0 Е т4т—2 или ш0а 1а 1, где ш0 Е т2т—2, где ш0 Е Л2Ш,
Таким образом, ^J — 2l4m—2l + 2^2m—2l Значит, 22т — lA2m+2 l - 1Д2т1 ^ Дт+2 l — 22m+lA2ml
2k 2
Утверждение |Дк| — Y + — 2m. Доказательство.
Докажем утверждение при помощи математической индукции.
Проверим базу индукции: при т — 1
1.1 22 2 4+2
имеем |Д2| — —I- - — — — 2.
2 3 3 3
Действительно, Д2— {аа—1;а—1а}, значит
Ш — 2.
Предположение индукции: Пусть для k эта формула верна, докажем, что утверждение верно и для k + 2 = 2m + 2.
■ + -
3
/п2т
Получаем: — 22т + (— + 2)—-
Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтверждили выдвинутую гипотезу и в этом случае: 2к 2
к^т 2К 3 Вычисление |Дк| для группы
Рассмотрим группу 11 в стандартном представлении р(17) — {а\а1}.
Всего имеется 2к слов длины к. Определим 4 — (ш а1\||ш|| = к} - множество слов
алфавита Хп, значение которых в группе Ъ7 равно а1, а длина - фиксированному числу к, I Е [1; 2; 3; 4; 5; 6}. Аналогично случаю Ъ3, так как элементы а и а6 обратные, то \4\ —
— \4\, так как а2 и а5 обратные, то \4\ —
— 1x^1, так как а3 и а4 обратные, то \т3\ = \4\.
Исходя из этого, получим формулу 2к — \Дк\ + 2\4\+2\4\ + 2\4\.
Любое слово из Дк имеет вид ш0а, где ш0 Е
или ш0а-1, где ш0 Е т^_1.
Таким образом, |Дк| = \т:1_1\ + \4_1\ —
— 21ти1.
Также любое слово из Дк имеет вид ш0аа, где ш0 Е 4_2; ш0а-1а-1, где ш0 Е 4_2 или ш0а-1а, где ш0 Е Дк-2. Таким образом, |Дк| =
= 1т2-21 + 14-21 +21Дк-21=21т2-21+21Дк-21
Также любое слово из Дк имеет вид ш0ааа, где ш0 Е 4_3; ш0а_1а_1а_1, где ш0 Е
31
т3-3; ш0а 1а 1а, где ш0 Е т^_3; ш0ааа 1, где ш0 Е т6б-3. Таким образом,
1Дк\ — 14-з1 + |т3_з! + 314-з1 + 31т6-з1 —
= 214-з1 + б14-з1 Значит, \Дк+з \ = 2к + \Дк\ + 2|Дк+1| - Д«!-
2
Утверждение: \Дк\ — — + ^ (х1к + х2к + х3к), где х1к,х2к, х3к - корни уравнения х3 + х2 — 2х-1 = 0.
Доказательство.
Докажем утверждение при помощи математической индукции.
Проверим базу индукции: к = 1, к = 2, к = 3. Имеем:
Х1 + Х2 + Х3 — — 1, Х1Х2 + Х1Х3 + Х2Х3 — 2, Х1Х2Х3 — 1.
х12 + х2 + х32 — (х1 + х2+ х3)2 — —2(х1х2 + х1х3 + х2х3) — 1 — (—4) — 5. х13 + х23 + х33 —
— (Х1 +Х2+ Хз)3 — 3(х1 + Х2 + Х3~)(Х1Х2 + Х1Х3 + Х2Хз)
+
+3(х1х2х3) — —1 — 6 + 3 — —4. 21 2 , „ 1 г 2 2 ^2 + Х3
\Д1\^^(Х11+Х21+Хз1)^^—0,
22 2 4 10
Д\ —- + ^(х12+Х22+Х32-)—- + — —2,
23 2 8 8 \Дэ\ —-^(Х13+Х23+Х33)—~^—0.
Несложно проверить, что это так: Д1— 0,Д2— [аа_1;а_1а}. \Д2\ — 2,Д3— 0. Предположение индукции. Пусть для к, к + 1, к + 2 эта формула верна, докажем, что утверждение верно и для к + 3. Получаем:
(2к 2 ~ + 1(
1Дк+з1—2к+\^^(Х1к+Х2к+Хзк)) +
2к+1 2
+2(- + - (xik+1 + Х2к+1 + хзк+1) ) -2к+2 2
+ -(хк+2 +хк+2 +х3к+2) ) ^
7 7
2к+з 2
|Дк+3 I—— + 2 (х1к + 2^1к+1 - Х1к+2 +Х2к +
+2х2к+1 - х2к+2+х3к + 2х3к+1 - х3к+2).
2
Так как х1,х2,х3 - корни уравнения х3 + х2 - 2х - 1 = 0, то + 2хгй+1 - Х;*+2 =
2&+3
= х;*+3, где ¿£{1;2;3}. Тогда |Дк+з|= —+ 2(х1^+3 + х/+3+х3*+3).
Что и требовалось доказать. Таким образом, мы подтвердили выдвинутую гипотезу в рассмотренном случае: 2^+3 2
lim ■
—+ у(х1к+3 +Х2к+3+Х3к+3) 1
2^ 7'
4. Вычисление точной усредненной функции Дена для групп 2„
Выше была выдвинута гипотеза для |Дк|. Обозначим^ = .
Рассмотрим слова длины к площади с. Эти слова имеют пс буква6 (е £ {-1; 1}), а остальные к-пс букв состоят из равных частей букв а и а-1. Таким образом, всего слов ( к\
площади с имеется 2 I е-пс ). Рассмотрим случай к = 2т. Тогда слово может иметь только четную площадь, т. е. с = 2р:
Я?™ — 2
I2 <
2т
2т — 2nt I —
[т]
4У£( 2т .).
Z_i Vm — ш/
Пусть у = т - т, тогда I =- . Так как I
изменяется от 0 до [—], то _/ изменяется от т - п [—] = I (£ = т(тойп) до т. Из этого следует, что Д2т можно ограничить с двух сторон следующим образом:
— —
7 = 0
Ш1(т—Д(2т)—
=0
n т
4т /2т\
=0
—2/(2т)—4(1т(27)—1(2т)],«
=0 =0 =0
^т^^)- ПМ?)-
Здесь П^т^)-^^))
можно
заменить на константу, зависящую от n:
П(^п=от(2;т) — Хп=оУ(2;т)) — С(п).
Таким образом, получаем:
т
4т v^ /2т\
vZU) —
=0
т =0
т т
4т: (?)-&■(?).
Рассмотрим выражение
4тут /2т\ 4ут
Известно(см.[8], стр. 495, формула 6), что первое слагаемое вычисляется следующим образом
—
4ту (2Ш) = 2т22т + 2т (2Ш) п у (7 / п п(т).
7 = 0
Также известно, что второе слагаемое
вычисляется так (см. [8], с. 495, формула 12): —
=0
Тогда получим:
п ^ т ^ 2— п^т/
Из формулы Стирлинга (&:! (-) ) по-
лучаем:
2т (_т)
( т )
4ят(т?)
4 ятп(^)
■ - С(п) < Й2т < ■
Тогда:
22тТт nV^
- C(n) < Й2т <
4nmn(j)
22тVm nV^
Следовательно, Я2
Из
вышесказанного
следует:
Вернемся к вычислению усредненной функции Дена:
ff(fc)'
21
Sjf=iVi-=r ^V^
2
2 2f=12i i=1 n
Ограничим функцию снизу:
Zf=1V2i 2f=1V2i 2f=1V2i Vfc2fc Vfc £k=12; = 2k+1 - 1 " 2k+1 " 2k+1 " ~2".
Ограничим функцию ff(fc) сверху:
к
< 12к
2к+1 -Vfc
. к к 2l V1 Vfc ,-v1 1 Г-
T < 1 2^-1 — 1 2 < 2 .
< ff(fc) < 2Vfc.
Следовательно,
Таким образом, если сформулированная гипотеза верна, то усредненная функция Дена для группы Жп эквивалентна V^-
ЛИТЕРАТУРА
[1] Gromov M. Asymptotic invariants of infinite groups // Geometric Group Theory (edited by A. Niblo and M.A. Roller). London Math. Society Lecture Notes, 182. Cambridge: Cambridge Univ.Press, 1993. 295 p.
[2] Кукина Е. Г., Романьков В. А. Субквадратич-ность усредненной функции Дена для свободных абелевых групп // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. С. 772-778.
е
е
2
=0
=0
2
n
= n
т
n
n
=0
=1
[3] Романьков В. А. Субкубичность усредненной функции Дена нильпотентных групп ступени 2 // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. С. 663-672.
[4] Романьков В. А. Об асимптотическом росте усредненной функции Дена для нильпотентных групп // Алгебра и логика. 2007. Т. 46. С. 60-74.
[5] Epstein D. B. A., Cannon J. W, Holt D. F., Levy S. V. F, Paterson M. S., Thurston W. P. Word Processing in Groups. Boston: Jonesand Bartlett, 1992.
[6] Лысенок И. Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Известия АН СССР. Серия математическая. 1989. Т. 53. № 4. С. 814-832.
[7] Ol'shanskii A.Yu. Hyperbolicity of groups with subquadratic isoperimetric inequality // Internat. J. Algebra Comput. 1991. Vol. 1. P. 281-290.
[8] Прудников А. П., Брычев Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды : в 3 т. Т. 1. Элементарные функции. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002.