CC BY
8
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2003. №3. С. 16-18.
© Омский государственный университет УДК 512.54
УСРЕДНЕННАЯ ФУНКЦИЯ ДЕНА ДЛЯ ГРУППЫ Z2 *
Е.Г. Кукина
Омский государственный университет, кафедра информационных систем 644077, Омск, пр. Мира, 55А
Получена 21 апреля 2003 г.
The main result of this paper establishes an equivalence between the average Dehn function for a group Zо and the function y/n.
1. Введение
Пусть С = Р„/К — конечноопределенная группа и ^(С) = (ж1 ... хп ... гт ) — ее представление. Любое слово го алфавита Х„ = {ж1... ,тп} определяет элемент группы Р„. Кроме того, естественный гомоморфизм ф : Р„ —>■ С позволяет говорить о значении слова го в группе С. Если значения слов го, V в группе С совпадают, пишем го =а V. Через |го| обозначим длину слова го. Положим также |го|<5 = ??гт||г'| V =а го|.
Очевидно, что равенство го =а 1 эквивалентно тому, что в группе Р„ существует запись вида
w = 919-2 ■■■9р,
(1)
где д{ = (,-) для некоторого /; 6 6 ±1,
1] 6 {1,... т}, г 6 {1,.. .р}. Как обычно, запись д^ означает сопряжение
Определение 1. Площадью БУ1 слова го =а 1 относительно представления называется
наименьшее значение р, для которого существует запись вида (1).
го < k> — мно-
Определим П^ = =с 1 жество слов алфавита Х„, значения которых в группе С равны 1, а длина не превосходит фиксированного числа к.
Определение 2. Функцией Дена группы С относительно представления называется функция
О (к) = тах 5'т. (2)
*Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (грант Е-02-10-191), Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01-00674) и проекта «Университеты России» (Алгебраическая геометрия над группами).
Определение 3. Назовем две функции / и д эквивалентными, если существуют константы ах, а-2, &1, Ъ-2, с-1, с-2, й\, , («1, а-2, с\, с2 > 0) такие, что для любого к верно
+ +<¿1 <д{к) < а2/(с2А + &2)+¿2- (3)
Часто используют другое определение эквивалентности функций, где (3) заменено на «1/(01 &) + Ьхк+с/х < д(к) < а2/(с2А)+62А+(/2. Такое определение не позволяет выделять функции, меньшие линейных.
Известно (см. [1]), что функции Дена группы С относительно двух различных представлений ^(С), О (С?) эквивалентны. А это означает, что имеет смысл говорить о функции Дена группы С (не поясняя, в каком представлении рассматривается группа).
Определение 4. Усредненной функцией Дена группы С относительно представления называется функция
а(к)
Е su
wtzQk
(4)
cardflk
Во второй части статьи явно вычислена усредненная функция Дена для группы Z2 относительно представления íp(Z2) = (а|о2). Доказано, что эта функция эквивалентна s/k.
В третьей части статьи доказано следствие. Оно отвечает на вопрос В.Н. Ремесленникова, заданный автору.
Пусть свободная абелева группа ранга п задана в стандартном представлении
<P(Z") = (.ть ... хп |x¡xj = XjXi Vi, j e {1... n}).
Рассмотрим Ф„д. — множество слов длины к в алфавите Х„. Определим функцию
J2 \и'Ы'г
сп(к)
car<N?„ к
Усредненная функция Дена для группы Ж,2
17
Следствие. Для любого натурального п функция с„(к) жвивалентна \/к,.
2. Вычисление усредненной функции Дена для группы Z2
А;
множество
Определим Ак = |и> =а 1 |ч слов алфавита Х„, значения которых в группе С равны 1, а длина равна фиксированному числу к.
Определение 5. Точной усредненной функцией Дена группы С относительно представления ^(С) называется функция
6(к) =
Е
тЕ Ак
сагс1,Ак
(5)
Посчитаем точную усредненную функцию Дена 6(к) для группы Ъ-2. Пусть Бк — случайная величина, площадь случайного слова длины к. Понятно, что 6(к) = По формуле полной
вероятности
М(5Ь+2) =М(М(5Ь+2|5Ь)) =
(здесь Бк — площадь слова, состоящего из к последних букв исходного слова длины А;+ 2). Продолжаем равенство, применив формулу полной вероятности
= М(5Ь+2|5Ь = О)-■Ркч0 +М(М(5ь+2| (Бк |Бк ф 0))) ■ (1 - Ль,о) =
(здесь Л..,о — вероятность того, что ломаная длины к имеет площадь 0). Продолжаем равенство. Учитываем, что первые две буквы с вероятностью ^ дают дополнительную площадь 0, с вероятностью ^ добавляют к площади единицу и с вероятностью ^ уменьшают площадь на 1.
= 2^,0+ (1- Рк,оУ
|М(5Ь|5Ь ф 0) + 1м(5ь + 1|Бк ф 0) + 1
+ -М(5Ь - 1|Бк ф 0))= -РКо + (1 - Рк,о)-•М(5Ь|5Ь ф 0).
Очевидно, что р(Бк = Б\Бк ф 0) = •
Поэтому ф 0) = Окончательно
получаем
6(к + 2) = --Рк,0 + 6(к).
(6)
1 ск
Заметим, что ¿(2) = а Л;,о = Таким образом мы полностью вычислили функцию 6 (к).
Чтобы определить ее поведение, используем формулу Стирлинга. Получим: —§= < Рк о <
2 V 7тк '
к , где С, И — некоторые положительные постоянные. Понятно, что 6 (к) имеет смысл только при четных к. Для к = 21 имеем
6(21 + 2) = I Е Л»,о + ¿(2) < I Е ^ + I.
Аналогично
Заметим, что Е — нижняя сумма Дарбу
I Г— I
ддя / 27Ш. = V След°вательно, Е <
Следовательно,
I
Заметим также, что Е .-¡^ — верхняя сум-
1+1 ■ п.—
..........- тк- Следова-
1
тельно,
ма Дарбу для /
ч О к+ 2 Б 1
Получили 6 (к) эквивалентна Докажем, что функции 6 (к) и о~(к) эквивалентны. Заметим, что
а(2к) =
Е 22Ч{Я)
4=1_
| (22к - 1) '
т. к. сагдЛ2к = 22к,саг<т2к = Е 224 = | (22& ~ 1)
4=1
Из (6) следует, что 6(к) возрастает. Поэтому
а(2к) < ¿(2к). Очевидно также, что
3 • 22к6(2к) 3 ,
а(2к) >
4•(22к - 1) - 4
> 76(2к).
Получили, что 6 (к) эквивалентна о~(к) и Значит, функции а (к) и эквивалентны.
18
Е.Г. Кукина
3. Сокращения в свободной абеле-вой группе
Докажем следствие, заявленное во введении.
Вначале рассмотрим свободную абелеву группу ранга 1. Пусть и> — произвольное слово длины 2к алфавита А'1. Понятно, что \vo\i равна удвоенной площади слова и> в группе Z■2 относительно представления ^Р(Хо) = (а|о2). Получаем, что с-1(2к) = 25г0(2к). Кроме того, очевидно С1(2&) - 1 < с1(2к + I) < С!(2к) + 1. Отсюда следует, что функция с\(к) эквивалентна у/к.
Далее доказательство ведем методом математической индукции. Пусть следствие доказано для свободных абелевых групп рангов меньше п. Докажем его для группы Ж,".
Пусть и' — произвольное слово длины к алфавита Х„ . В этом слове букв Х1 и 1о букв х-2,...х„ {11 + 1-2 = к). Пусть и<1 — слово, полученное из и' опусканием букв х-2 ... х„, а № — слово, полученное из и> опусканием букв XI. Заметим, что и>|%-п. = |го1|г+ (к-'г)?;"-1-
Зафиксируем буквы х-2 ... хп, а вместо букв XI будем подставлять по очереди все слова длины 11 от буквы XI. Получили семейство слов, среднее значение функции • для которых равно с1№) + и'2¡Ъ"-1 ■ Теперь во всех словах этого семейства будем фиксировать буквы XI, а вместо букв х-2 ... х„ подставлять всевозможные слова длины 1-2 от букв х-2 ... хп. У полученного множества ФпДуц, среднее значение функции | • равно С1{1,1) + с„_1(/2).
По предположению индукции получаем А у/1, >
с1(г),с„_1(г) > ВуД.
Далее: 2Ау/к, > А (у/к + у/к) > с-1(к) + + С-П-1 (к) > В(уД~1 + у/Г2) > Ву/к„ Первое неравенство верно в силу возрастания функции у/к, а последнее - в силу ее выпуклости вверх (вогнутости) .
Так как множество Фпд. распадается на множества вида ФпДуш, то среднее значение функции \-\z-n. на множестве Фпд. (т.е. функция с„(к)) будет удовлетворять тем же неравенствам:
2А\/к > сп(к) > В у/к,.
То есть функции у/к и сп(к) эквивалентны, что и требовалось доказать.
[1] Epstein D.B.A., Cannon J.W., Holt D.F., Levy S.V.F, Paterson M.S. and. Thurston W.P. Word Processing in Groups, Jones and Bartlett, Boston M.A., 1992.
