УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 1 (2024). С. 99-110.

УДК 517.958

УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА

A.C. ШАМАЕВ, В.В. ШУМИЛОВА

Аннотация. Рассмотрена начально-краевая задача, описывающая движение двухфазной среды с периодической структурой. Первая фаза такой среды состоит из изотропного упругого материала, а вторая фаза — из несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта. Данная задача состоит из дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвертого порядков, условий непрерывности перемещений и напряжений на границах фаз, а также однородных начальных и граничных условий. С помощью метода преобразования Лапласа выведена соответствующая усредненная задача - начально-краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Показано, что коэффициенты и ядра сверток усредненных уравнений находятся с помощью решений вспомогательных периодических задач на единичном кубе. В случае слоистой среды решения периодических задач выписаны в явном виде, благодаря чему выведены аналитические выражения для усредненных коэффициентов и ядер сверток. В частности, установлено, что вид и свойства усредненных ядер сверток зависят от объемной доли жидких слоев внутри ячейки периодичности.

Ключевые слова: усреднение, уравнения движения, двухфазная среда, упругий материал, жидкость Кельвина-Фойгта.

Mathematics Subject Classification: 35В27

1. Введение

Построение строго обоснованных усредненных моделей микронеоднородных сред относится к числу основных направлений теории усреднения уравнений с частными производными. С точки зрения практических приложений большой интерес вызывают усредненные модели двухфазных сред, имеющих е-периодическую структуру и состоящих из твердого материала и жидкости. Динамика таких твердо-жидких сред описывается начально-краевыми задачами для дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, коэффициенты которых — е-периодические функции пространственных переменных. Их непосредственное численное решение для сред, состоящих из многих тысяч или миллионов ячеек периодичности, сопряжено с существенными трудностями. С другой стороны, для некоторых моделей двухфазных сред удается вывести соответствующие им усредненные модели, построенные при е ^ 0. Как правило, усредненные модели периодических твердо-жидких сред представляют собой начально-краевые задачи для уравнений с постоянными коэффициентами. Следует напомнить, что согласно основной идее теории усреднения, решения исходных и соответствующих усредненных задач при малых е должны быть близки друг к другу.

A.S. Shamaev, V.V. Shumilova, Homogenization of motion equations for a medium consisting

of an elastic material and an incompressible kelvin-voigt fluid.

(с) Шамаев A.C., Шумилова B.B. 2024.

Работа выполнена по теме государственного задания (номер госрегистрации 124012500443-0).

Поступила Ц февраля 2023 г.

В работах [1]-[9] были построены усредненные модели движения периодических двухфазных сред, у которых одна фаза состоит из упругого или вязкоупругого материала, а другая фаза — из вязкой ньютоновской жидкости. Согласно результатам этих работ, усредненные уравнения являются интегро-дифференциальными даже в том случае, когда исходные уравнения движения для каждой отдельной фазы — дифференциальные,

В данной работе рассматривается задача усреднения для начально-краевой задачи, описывающей движение двухфазной среды с е-периодической структурой, В качестве фаз взяты изотропный упругий материал и несжимаемая вязкоупругая жидкость Кельвина-Фойгта, Описание и свойства такого рода неньютоновских жидкостей можно найти, например, в работах [10], [11]. С помощью метода преобразования Лапласа и результатов работ [6]-[8] выписывается усредненная задача — начально-краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Коэффициенты и ядра сверток усредненных уравнений находятся с помощью решений ряда вспомогательных периодических задач на единичном кубе. Показывается, что в случае слоистой среды решения периодических задач можно выписать в явном виде и тем самым получить явные аналитические выражения для усредненных коэффициентов и ядер сверток.

2. Исходная модель двухфазной среды

Рассмотрим ограниченную область П С К3 с гладкой границей дП, заполненную двухфазной средой с периодической микроструктурой. Периодом этой среды является куб у£ = еУ, где У = (0,1)3 — единичный куб, а величина е много меньше линейных размеров области П. Разобьем У на два открытых, непересекающихся подмножества У1 и У2 с гладкой общей границей Г У = У1 и У2 и Г, Введем множества

Е3 = У (У3 и (дУ3 п дУ) + к), в = 1, 2,

кей3

полученные У-перподнчееким продолжением множеств У3 на всё пространство К3, Обозначим П 3£ = П П еЕ3 и далее считаем, что множеетво П1£ занято изотропным упругим материалом, а множество П2е — несжимаемой вязкоупругой жидкостью Кельвина-Фойгта, Определяющие соотношения, связывающие компоненты тензоров напряжений и малых деформаций в упругой фазе П1£, имеют вид

= а^ккекк(и£), (2,1)

где и£(х, ¿) — вектор перемещений, о£ и е(и£) — тензоры напряжений и малых деформаций соответственно, а — положительно определенный тензор модулей упругости,

1 ( ди£ ди£ \

еш(и£) = ехш(и£) = 2 ( + ^Т ) , а^кк = \Sijfikh, + ц($гк+ ).

Здесь А и ^ — параметры Ламе, ^ > 0 ЗА+2^ > 0, а — символ Кронекера, Отметим, что в (2,1), как и всюду далее, предполагается суммирование по повторяющимся индексам, а индексы %,], к, если не оговорено иное, принимают значения от 1 до 3,

П2

/ дь£ \ ( д 2ь£ \

а£ = -8^р£ + 2^ + Жеу , (2.2)

где р£(х, ¿) — давление, ^ — коэффициент вязкости жидкости, а г = — время ретардации (запаздывания) [10].

Начально-краевая задача, описывающая движение двухфазной среды в области П, записывается в виде

д2и£ даЧ

сИУ

Рз ди£

дЬ2 дхн

+ Мх, г) В X (0,т), 8 = 1,2,

0 в П>2£ х (0,т), [ие]|р£ = 0, [а'п]|Гв = 0

(2.3)

и£(х, ¿)|да = 0, и£(х, 0)

ди£

(х, 0) = 0,

где р3 = сош! — плотность среды в П5£; /(х, ¿) € Н2(0,Т;Ь2(П)3) — вектор объемной силы; \д] |г£ — скачок функции д при переходе через поверхность Г£ = дП1е П дП2е; п = (п1, п2, п3) — единичный вектор нормали к поверхности Г£, направленный из твердой фазы в жидкую.

Вариационная формулировка задачи (2.3) имеет следующий вид: найти и£({) и р£(Ь) со значениями в Н^П)3 и Ь2(П2е) соответственно, удовлетворяющие интегральному тождеству

Е

8=1

Р* I •и йх + [ щ^кнекн(и£) е ^ (у) йх

д 2

П1£

+ 2 г] е

и 4 ( е*(,и) йх + 2в / ( е*(,и) йх ^ П2£ П2£

- р£&\\У(1х = / •удьх Уь € Н1(П)3

п2£ п

для почти всех Ь € (0,Т), условию несжимаемости жидкой фазы

ди£

сИУ

0 в П2е х (0,Т)

и однородным начальным условиям

ди£

и (0) = 0, — (0) = 0.

(2.5)

(2.6)

Существование и единственность решения задачи (2,4)-(2,6) при фиксированном е > 0 доказываются так же, как и в работах [1], [2], в которых был рассмотрен случай двухфазной среды, состоящей из упругого материала и вязкой ньютоновской жидкости.

Из интегрального тождества (2.4) мы можем вывести ряд априорных оценок, равномерных по е. Прежде всего, полагая V = ди£/И в (2.4), получаем

где

'«) = £

Рз

8=1

ди£

д

< 2 [ Г • — ¿х

м<2} 1 и dх,

п

(1х + а^кнекь(и£)е^(и£) с1х + 2в

(2.7)

(ди. \

в,х.

Из (2.7) имеем

£ «У1 №х + /

п п

ди£

д

2

х < 2

п

¿х + £, к1

шт{ рь Р2>

2

2

1£

1

откуда, используя неравенство Гронуолла, получаем оценки ди£

dt

L~(0,T ;L2(n)3)

^ с\\f||1, ||е(И£)|| L~(0,T ;L2(ni£)3)

\~atj

^ с||/||i,

(0,T ;L2(Q2£)3)

Wf ||L2(0,T; L2(Q)3),

где С обозначает различные положительные постоянные, не зависящие от е. Из этих оценок и неравенства Корна следует также, что

¡КН^О/Т; Я0!(П)3) ^ С||/1|1.

Аналогично можно показать, что д 3и£

dt3 дги£

L~(0,T ;L2(Q)3)

^ СW/Ня2(0,T;L2(П)3),

L~(0,T ;Я0(П)3)

^ СW/Ня^(0,T;L2(n)3) j ^ = 1, 2.

Из полученных оценок следует, в частности, что после возможного изменения на множестве нулевой меры Лебега и£ е С 1([0,Т]; ЯО(П)3) П С2([0,Т]; Ь2(П)3) [11],

Остается получить оценку для давления р£(х,Ь). Для этого рассмотрим задачу

(1шд£ = Р£ в П х (0,Т), д£(ж,*)|эп = 0, (2.8)

где

Р£ (x,t)

p£(x,t) в П1£ х (0,т),

|^i£ |

П2£

p£(x,t) В ^2£ х (0,т).

Нетрудно проверить, что

J Р£ (x,t) dx = 0, ||Р£ ||l2(0,T ; L2(n)) ^ С ||_р£ || L2 (0,T; L2(n2e)).

П

Известно [12], что решение задачи (2,8) существует и для него выполнена оценка

||?£ ||L2(0,T ;Н|1(П)3) ^ С WP£ Wl2(0,t ; L2(n)).

Теперь возьмем в интегральном тождестве v = q£ — решение задачи (2,8), Тогда, принимая во внимание приведенные выше оценки для и£.; нетрудно получить, что

\\р£ ||L2(0,T;L2(П2£)) ^ С.

3. Усредненная модель двухфазной среды

Чтобы выписать усредненную задачу, соответствующую задаче (2,3) при е ^ 0, продолжим $ (х,Ь) нулем при Ь < 0 и Ь>Т. Затем мы применим к (2.4)-(2.6) преобразование Лапласа по времени ¿, обозначая изображение функции д(Ь) через д\ ми д(\), где А — параметр преобразования Лапласа, Следуя рассуждениям, приведенным в работах [6]-[8]

е

1

1

при выводе усредненных моделей двухфазных сред, можно показать, что

Иш 1ик(х) — ик(хМ2 йх = 0, Иш |Рх(х) — р\(х, е-1х)|2 йх = 0, £^0 У £^0 У

П П2£

Иш |е(и\(х)) — е(ик(х)) — тк(х, е-1х)|2^х = 0, ы\(х, у) = еу(ук(х, у)),

П

Ух(х, У) = ОТ(у)ди*, Рх(х, У) = РкЛУ),

дхн дхн

где пары {Ок'(у) € Н^г(У)3/Ш3, Рккн(у) € Ь2)ет(У2)} есть решения вспомогательных задач па ячейке У ("рег" означает У-периодичность), а и\(х) € Н0)(П)3 — решение усредненной задачи в изображениях Лапласа

дак

РоЛ2им = д^Т + Ьг(х) в П, их1дп = 0. (3.1)

Здесь р0 = |У1|р1 + |У2|р2 — плотность, а ак — тензор напряжений усредненной среды, записанный в изображениях Лапласа. Для рассматриваемой нами двухфазной среды компоненты тензора ак имеют вид

гз

при

= Щкк(^) екн(и\) (3.2)

Щкк(^) = |У1|%кН + ^Н'П + $гк$кк + ) + / ^ш^^О^)

+ ^ (2 \(п + вХ)еУ(ОкН) — 5г]Ркхн) ¿у,

а пары {Я\Н(у), Ркн(у)} есть решения У-периодичееких задач

✓ о

— ^\якхн,Рк;н))=0 в У, <ЦууЯкхн = — бкн в У2,

Я^йу = 0, \ОГ]|г = 0, \а(\Якк, Р\Н)ч]|г = 0,

(3.3)

У

где ^ — компоненты единичного вектора нормали к поверхности Г, (0) (ГлкК ркНч _ ) + ш в У1,

!

а (О Ркн)

г3 , к ) \\(г1 + е\)(2еУ3(ОкН) + Ьк6,н + ^к) — 5г1Ркн В У2.

х

обратное преобразование Лапласа. Из (3.2) следует, что компоненты усредненного тензора а

а^ = Щкк^) * екн(и),

где О(Ь) — тензор ядер релаксации усредненной ер еды, а символ * обозначает операцию

91(^ * 92(^= 91(г — в) С/2 ( 5 )(1з. 0

Нетрудно видеть, что как оригиналы решений задач (3.3), так и компоненты тензора О(Ь) зависят от дельта-функции Покажем, что ОкН(у, и Ркн(у, Ъ) можно представить

в виде

лкИ г % (! \ гукИ/„.\ | т лгкИ

Я (у,^ = 5(1)гки(у) + шки(у,I), у е у,

Рки(у,г) = 5"(г)АкИ(у) + 8'(1)вки(у) + 8(г)ски(у) + 8ки(у,г), у е У2,

где Шки(у, Ь) и 8ки(у, Ь) те зависят от 5(1). Действительно, из (3,3) сразу следует, что пары {Zkh(y),Аkh(y)}a {Шки(у, Ь),8ки(у, Ь)} есть У-периодические решения задач

— (<т(г;;)(гкИ,Ак^=0 в У8 (з = 1,2), di^■yZkh = - в У2 [ Zkhdy = 0, ]|г = 0, а¡*)^к11,Ак11)и,|г = 0,

(3.4)

'У

и

(43)(^кИ,^кИ)) = 0 в У, сЦууШкИ = 0 в У2, Шки(у, 0) = БкИ(у), ^- (у, 0) = МкИ(у) в У2, (3'5)

[ Wkhdy = 0, [\УкИ]1г = 0, [а((3)(ШкИ,8кИ)р3]|г = 0, соответственно, где

Аки) = а^ки + аглтеУт^кИ), у е Уь аг?^ки, Аки) = 29е?+ 9(8^8^ + к) - 8^АкИ, у е У2,

{ %гтеУ1т (Wkh), уеУъ а1?№ки,8ки) = { /дWkh \ ( 32^уки \

Г ПГ) +2° 4( - уеГ2.

При этом пары {Ики(у), Вки(у)} и {Мки(у), Ски(у)} есть У-периодические решения задач

о

— (а(4)(ПкИ,ВкИ)^=0,сИ\-у0кИ = 0 в У2, Dkhdy = 0, а(,4) (Вки, Вки) р3 |г = 0,

(3.6)

и

д_ 9 Уj

(^г5)(МкИ,СкИ)^ =0, сНУу Мки = 0 в У2, МкЫу = 0, аг5)(МкИ, Ски)ц |г = 41^ки, Аки)и, |г,

(3.7)

г, \ > ^ > "г,

У2

соответственно, где

Вки) = 2г]е?, + 29е?, + г](8гк8,и + 8л83к) - 8г,ВкИ} аг5)(МкИ, Ски) = 2г]еу + 29еу, (Мки) - 8г,СкИ.

С помощью решений задач (3,4)-(3,7) тензор ядер релаксации D(t) можно записать в виде

D(t) = 8(г)а + 8'(г)/3 + 8"(¿)7 - д(г), (3.8)

где компоненты тензоров а, ß, 7, g(t) заданы формулами

аг]кН = \Yi\aijkh + J alflmevlm(Zkh) dy + J(2^(Dkh) + 2ве%(Nkh) - 5l3Ckh)dV)

Vi V2

ß^kh = v\Y2\(SikSjh + SihSjk) + j(2щ1 (Zkh) + 26el(Dkh) - 5lJBkh) dy,

V2

li3kh = e\Y2\(öikö.h + SihSjk) + i(29el(Zkh) - 5lJAkh) dy,

™ jh + U%h°3k ^( Z ) - ^ V2

3^kh(t) = -J a%]lmeUWkh) dy -J fo 4 ( + 20 4 (- 6tJSk^ dy.

Vi V2

Нетрудно проверить, что Zkh(y) = Zhk(у) и аналогично для Dkh(y), Nkh(y), Wkh(y, t), Akh(y), Bkh(y), Ckh(y) и Skh(y, t). Кроме того, компоненты тензоров а, 7, g(t) удовлетворяют классическим условиям симметрии, т.е. aijkh = ajikh = aijhk = ahkij и аналогично для тензоров 7 и g(t).

Выполняя в (3,1) обратное преобразование Лапласа, получаем усредненную задачу, соответствующую задаче (2,3):

Ро -^ = ^ + Ь(х, t) в П х (0,Т), at oxj

ди

и(х, t)\dn = 0, и(х, 0) = — (х, 0) = 0,

где, учитывая представление (3,8), компоненты усредненного тензора напряжений о имеют вид

( ди \ ( д2и \

Oij = ®ijkhekh(u) + 3ijkh<2kh ( j + lijkhZkhi J — 9ijkh(t) * ekh(и).

Таким образом, усредненная модель движения исходной двухфазной среды записывается в виде начально-краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Доказательство существования и единственности решений периодических задач (3,4)-(3,7) в случае, когда множества Y2 и Е2 связны в Y и R3 соответственно, опирается на рассуждения, приведенные в работе [3] при исследовании решений периодических задач подобного типа. Кроме того, при выполнении указанных условий связности имеет место положительная определенность тензоров а и D(\) при А > 0, Положительная определенность последнего тензора, в свою очередь, является достаточным условием существования и единственности усредненной задачи (3,9) [3], [14]. Вместе с тем, как будет показано в следующем параграфе на примере слоистой среды, условие связности множеств Y2 и Е2 не является необходимым условием существования и единственности усредненной задачи (3,9),

Полученные в данном параграфе результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1. Пусть и£(х, Ь) — решение задачи (2,3). Тогда, для всех Ь е [0,Т]

Ит ^(х, Ь) — и(х, Ь)!2 йх = 0, Ит Ь£(х, Ь) - р(х, е-1х, ЬМ2 йх = 0, £—0 ^ £—^0 ^

п п2£

Ит |е(и£(х, 1)) - е(и(х, 1)) -т(х, е-1х, ЬМ2 йх = 0, £—0

где и(х, Ь) — решение усредненной задачи, (3,9),

ы(х,у,г) = ву(у(х,у,г)), у(х,у,г) = Zkh(y)^ + Wkh(у,г) * ^,

BWkh

Wkh(у, 0) = Dkh(y), (у, 0) = ыки(у) в У2,

д3ик „ии, , д2ик „ии, ., дик

р(х,у, I) = Аки(у)-^- + Вки(у)—к- + Ски(у) ^ + Бки(у, I)

*

дхид12 дхид1 дхи ' дхи'

а пары { Zkh(y),Аkh(y)}, ^ки(у, г),БкИ(у, *)}, ^^(у)^^^)} и {МкИ(у),СкИ(у)} есть У -периодические решения задач, (3,4)-(3,7).

4. Случай слоистой среды

В том случае, когда среда состоит из чередующихся плоских упругих и жидких слоев, мы можем вывести формулы для компонентов тензоров а, /3, 7 и д(Ь) в явном виде. Для этого условимся считать, что слои параллельны плоскости Ох2х3, а мпожеетва У1 и У2 заданы в виде

м м

= и (12т, Я2ГП+1) х (0, 1)2, У2 = У (д2т-1, Я2т) X (0, 1)2, М > 1,

т=0 т=1

где 0 = q0 < < д2 < ... < д2 м < Ц2м+1 = 1- Отметим, что при таком предположении период У£ содержит М жидких слоев и М +1 упругих слоев, а в граничных условиях периодических задач р1 = 1, и2 = и3 = 0, Кроме того, если через q обозначить общую объемную долю жидкости внутри периода У£, то

к У21 |У21 м

Я = 1Ч7Т = ТЧ7Г = Ч2т - Я2т-1), 0 <д< 1.

|П| т

т=1

Выпишем решения периодических задач (3,4)-(3,7) при к ^ к, Легко проверить, что при к = 2 и к = 3

Z23(y) = D23(y) = М23(у) = W23(у, I) = (0, 0, 0), А23(у) = В 23(у) = С 23(у) = в 23 (у, 1) = 0.

Чтобы выписать решения остальных периодических задач, введем кусочно-линейную функцию

- У1 + С2т, У1 е (С[2т-1, Я2т), т =1,...,М,

4у1) = { т

+ С2т+1, У1 е (д2т, 0_2т+1) , т = 0,...,М,

где постоянные С2т и С2т+1 заданы выражениями

2 м

Т.(-1Г ^

т=1 /

2 м 2 м

я- Т.(-1)к(& + 2 £(-1)к«к)

к=1 к=т /

(2м

т=1

^т I -9-У! (-1)к(& + 2у\(-1)кд^ , т = 2,..., М,

С2м +1 = -^^МГ^ ( 1)

г(+0) = г(1 - 0), / z(yl)dyl = 0, [г]^^ = 0, т =1,..., 2М. Jo

( 1) 1 для продолжения то же самое обозначение. Нетрудно убедиться, что решения стационарных периодических задач записываются в виде

Zгг(y) = (z(yl), 0, 0), Z12(y) = (0, г(У1), 0), Z13(y) = (0, 0, г(У1)),

А1г (у) = В1г (у) = 0, А"(у) = -2в, В,,(у) = -2г],

^г(у) = D1j(y) = Мгг(у) = (0, 0, 0), N 12(у) = (0, С1 г (у 1), 0),

М13(у) = (0, 0, С1 г(У1)), С11 (у) = -^, С,,(у) = -

1 - 1 -

С*(у) = 0, С1 = -, г=1, 2, 3, з = 2, 3.

Далее, решения эволюционных периодических задач имеют вид Wгг(y,1) = (0, 0, 0), W 12(у,1) = (0, г(У1М1), 0),

W13(у, г) = (0, 0, г(У1)т(^), Бгг(у, I) = Б1 (у, 1) = 0, г=1, 2,33, 3 = 2, 3, где ш(1) — решение дифференциального уравнения

б/2 Ш

д(1 - ч) -¿2 + Г](1 - ^ + = 0,

удовлетворяющее начальным условиям

. . йш . .

ш(0) = 0, — (0) = С1.

Легко проверить, что ш(1) = с1ш0^), где

шо(г) = Ьехр ,

если г]2 (1 - д) = 4дцв,

Шо(Ч = ехР I--—1 ) - ехр I--2в—1 ) ,

у/В \

если г]2 (1 - д) > 4д¡лв, и

/ ч 9 ( V \ . (\

Шо(1) = Т-Бехр V "V

если г]2 (1 — д) < 4дц9. Здесь через О обозначен дискриминант квадратного уравнения

1 — д

9Л2 + г] Л = 0, (4.1)

т.е.

И = г]2 —

2 4др9

1—

Зная явные решения всех периодических задач, мы можем перейти к непосредственному вычислению компонентов тензоров а, 3->1 и д(Ь). Но перед этим нам следует иметь в виду, что = 0 как только 8^8кн + ^гк^ь + Ьл^к = 0. Более того, усредненная среда

является трансверсально изотропной, т.е. выполнены соотношения

02222(1) = 0П22(1) = Опзз(1), 0^12(^ = 0^(1),

И2222(^) — И2233(^) = 2И2323(').

а

/3, 7 и д(1), приведенные в предыдущем параграфе. После несложных преобразований мы приходим к следующему результату.

а 3

7 и д(Ь) имеют следующие ненулевые компоненты:

Л + 2р Л + 2ц(1 — 2д + 2 д2) Л + 2ц д2

аИИ ~ ' , аггг г " , аЩз

1 — 1 — 1 — Л + 2рд р

а11гг агг 11 , а1г1г а1гг1 аг1г1 аг11г

1 *-~1г1г *-~1гг1 *-~г1г1 ^гиг 1

1 — 1 —

агуг з = агуз г = р(1 — о), Згггг = 4г/ д, /ггц = 2щ,

3г = 3г = , г = 4 , г = 2 , г = г = ,

дшг(^ = дш1&) = ЯгшО = д гиг(^ = ™о(\*2 , г = 2, 3, ] = 5 — г.

(1 — )2

Легко проверить, что а и И(Л) = а + Л/ + Л2гу — д(Л) при Л > 0 — положительно

3 ( )

Для сравнения мы кратко опишем усредненные тензоры для слоистой среды, состоящей из изотропного упругого материала и несжимаемой ньютоновской жидкости (для нее следует принять 0 = 0 в определяющих соотношениях (2.2)). Как было показано в [16], для

а 3

что и выше, в то время как тензор 7 — нулевой. Что касается тензора д(1), то все его компоненты равны нулю, кроме

дшг(^ = дш1^) = дгшЩ = дгш(^ = —г.-^, г = 2, 3,

г](1 — д)2'

где мы обозначили

( )

сравнению свойств функций и «1(1). Прежде всего отметим общее свойство этих

функций, заключающееся в том, что 1и0({) ^ 0 и «1(Ь) ^ 0 при Ь ^ Однако в

остальном эти функции существенно отличаются друг от друга. А именно, «1(1) — положительная функция, строго убывающая при Ь > 0, в то время как поведение функции

и'о(^) зависит от доли жидкости д внутри периода. Если д < г/2/(^2 + 4^0), то 1и0({) — положительная функция, которая сначала строго возрастает, достигая максимума при

+ 0 л V + ^

í = ш-== ,

у/в ц -у/о

а затем строго убывает. Если д = г/2/(г/2 + 4^6), то функция 1и0({) также положительна и сначала строго возрастает, достигая максимума при £ = 26/ц, а затем строго убывает. Если же д > г/2/(г/2 + 4^9), то /ш0(Ь) > 0 при

( 4впк 2вп 4впк \ t + , к = 0,1, 2, \V-D yf—D V-DJ

V-D

и w0(t) < 0 при всех остальных значениях t > 0. Кроме того, функция w0(t) строго убывает на интервалах

2в( V \ 2в( V \

2пк + arceos —. < t < . ж + 2жк + arceos —.

V V-D\ лДГ-d )

уУ - Б) \ у/'П2 - и/

и строго возрастает на остальных интервалах полуоси Ь > 0. Таким образом, она имеет бесконечное число как точек максимума, так и точек минимума, причем ее максимальные и минимальные значения экспоненциально убывают по модулю при £ ^

В заключение необходимо отметить, что мы впервые обнаружили случай наличия максимумов у ядер сверток интегро-дифференциальных уравнений, возникающих при усреднении слоистых двухфазных сред с периодической структурой. Ранее нами было показано, что если первой фазой является упругий материал или вязкоупругий материал Кельвина-Фойгта, а второй фазой — вязкоупругий материал Кельвина-Фойгта или вязкая ньютоновская жидкость, то ядрами сверток усредненных уравнений являются затухающие экспоненты [16] [19]. Таким образом, для всех этих сред ядра сверток — положительные, строго убывающие функции при Ь > 0. В отличие от них, для среды, состоящей из упругого материала и жидкости Кельвина-Фойгта, число интервалов монотонности и точек максимума ядер сверток зависит от доли жидкости д внутри ячейки периодичности. А именно, можно найти такое число М0, что при 0 < д ^ М0 ядра сверток имеют два интервала монотонности и одну точку максимума, а при М0 < д < 1 — бесконечное число чередующихся интервалов возрастания и убывания, а также точек максимума и минимума.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. Sanchez-Hubert. Asymptotic study of the macroscopic behavior of a solid-liquid mixture // Math. Methods Appl. Sci. 2 (1980), 148.

2. Э. Санчес-Паленсия. Неоднородные среды, u, теория колебаний. M.: Мир. 1984. 472 с.

3. R.P. Gilbert, A. Mikelic. Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part If) Nonlinear Analysis. 40:1 (2000), 185-212.

4. Th. Clopeau, J.L. Ferrin , R.P. Gilbert, A. Mikelic. Homogenizing the acoustic properties of the seabed, Part II // Math, and Comput. Modelling. 33 (2003), 821-841.

5. A. Meirmanov. A description of seismic acoustic wave propagation in porous media via homogenization // SIAM J. Math. Anal. 40:3 (2008), 1272-1289.

6. B.B. Шумилова. Усреднение уравнений акустики для частично перфорированного вязкоупру-гого материала с каналами, заполненными жидкостью // СМФН. 39 (2011), 185-198.

7. А.С. Шамаев, В.В. Шумилова. Усреднение уравнений акустики для вязкоупругого материала с каналам,и, заполненными вязкой сжимаемой жидкостью // Известия РАН. МЖР 2 (2011), 92-103.

8. А.С. Шамаев, В.В. Шумилова. Усреднение уравнений акустики для порист,ого вязкоупругого материала с долговременной памятью, заполненного вязкой жидкостью // Диф. уравнения. 48:8 (2012), 1174-1186.

9. S.A. Sazhenkov, E.V. Sazhenkova, A.V. Zubkova. Small perturbations of two-phase fluid in pores: effective macroscopic monophasic viscoelastic behavior // Сиб. электрон, матем. изв. 11 (2014), 26-51.

10. А.П. Осколков. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. МИЛИ СССР. 179 (1988), 126-164.

11. В.Г. Звягин, М.В. Турбин. Исследование начально-краевых задач, для, математических моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта // СМФН. 31 (2009), 3-144.

12. Ж.-JI. Лионе, Э. Мадженес. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Т. 1. М.: Мир. 1971. 372 с.

13. А.Л. Пятницкий, Г.А. Чечкин, A.C. Шамаев. Усреднение. Мет,оды, и приложения. Новосибирск: Тамара Рожковская. 264 с.

14. R. Dautrav, J.-L. Lions. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology. Vol. 5: Evolution Problems I. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. 2000. 739 p.

15. V.V. Shumilova. Homogenization of the system, of acoustic equations for layered viscoelastic media // J. Math. Sei. 261 (2022), 488-501.

16. B.B. Шумилова. Эффективный тензор ядер релаксации слоистой среды, состоящей из вяз-коупругого материала и вязкой несжимаемой жидкости // Известия РАН. МЖГ. 2 (2023), 1-9.

17. A.C. Шамаев, В.В. Шумилова. Спектр одномерных колебаний в комбинированной слоистой среде, состоящей из вязкоупругого материала и вязкой сжимаемой жидкости // Известия РАН. МЖГ. 1 (2013), 17-25.

18. A.C. Шамаев, В.В. Шумилова. Асимптотическое поведение спектра одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвина-Фойгта // Тр. МИАН. 295 (2016), 218-228.

19. В.В. Шумилова. Спектр собственных колебаний слоистой среды, состоящей из материала Кельвина-Фойгта и вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. электр. матем. известия. 17 (2020), 21-31.

Алексей Станиславович Шамаев,

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинекого РАН, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1, 119526, Москва, Россия E-mail: v.v.shumilova@mail.ru

Владлена Валерьевна Шумилова,

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинекого РАН, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1, 119526, Москва, Россия E-mail: v.v.shumilova@mail.ru