УСРЕДНЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АРГУМЕНТА ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 2 (2023). С. 55-64.

УДК 517.983

УСРЕДНЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АРГУМЕНТА ФУНКЦИЙ

Р.Ш. КАЛЬМЕТЬЕВ, Ю.Н. ОРЛОВ, В.Ж. САКБАЕВ

Аннотация. Изучаются усреднения итераций Фейнмана-Чернова случайных опера-торнозначных сильно непрерывных функций, значениями которых являются ограниченные линейные операторы на сепарабельном гильбертовом пространстве. В данной работе мы рассматриваем усреднения для определенного семейства таких случайных операторнозначных функций. Линейные операторы, являющиеся значениями рассматриваемых функций, действуют в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на конечномерном евклидовом пространстве и задаются случайными аффинными преобразованиями аргумента. При этом композиции независимых одинаково распределенных случайных аффинных преобразований представляют собой некоммутативный аналог случайных блужданий.

Для операторнозначной функции, являющейся усреднением итераций Фейнмана-Чернова, мы доказываем оценку сверху на норму и что замыкание производной этой операторнозначной функции в нуле является генератором сильно непрерывной полугруппы. В работе получены достаточные условия для сходимости математического ожидания последовательности итераций Фейнмана-Чернова к полугруппе, разрешающей задачу Коши для соответствующего уравнения Фоккера-Планка.

Ключевые слова: итерации Фейнмана-Чернова, теорема Чернова, операторнознач-ный случайный процесс, уравнение Фоккера-Планка.

Mathematical Subject Classification: 47D06, 47D07, 60В15, 60J60.

1. Введение

Теория статистических свойств произведений независимых случайных матриц и композиций независимых случайных преобразований интенсивно развивалась во второй половине XX века, ее основные положения можно найти, например, в работах [1]-[5].

В данной работе изучаются усреднения итераций Фейнмана-Чернова для определенного класса случайных операторнозначных процессов со значениями в алгебре ограниченных линейных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве. Линейные операторы, являющиеся значениями рассматриваемых случайных процессов, действуют в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на конечномерном евклидовом пространстве и задаются случайными аффинными преобразованиями аргумента. При этом композиции независимых одинаково распределенных случайных аффинных преобразований представляют собой некоммутативный аналог случайных блужданий.

Математические модели, в которых возникают композиции случайных операторнозначных функций, возникают в задачах классической и квантовой механики для систем, находящихся в случайных нестационарных полях [6] [13]. Усредненная динамика таких систем имеет как теоретический, так и практический интерес с точки зрения анализа средних значений наблюдаемых. В частности, важно представлять, в какой мере усреднение решений

H.Sil. Kalmetev, Yu.N. Orlov, V.Zh. Sakbaev, Averaging of random affine transformations of variables in functions.

(с) Кальметьев Р.Ш., Орлов Ю.Н., Сакбаев В.Ж. 2023.

Поступила 21 декабря 2022 г.

некоторого эволюционного уравнения е нестационарными параметрами связано с решением уравнения, усредненного по этим параметрам. Использование для этой цели процедуры усреднения с помощью построения эквивалентных по Чернову полугрупп является весьма эффективным методом, который был развит в [14] [16].

В данной работе для определенного класса операторнозначных функций, порождаемых преобразованиями аргумента, получены достаточные условия для сходимости математического ожидания последовательности итераций Фейнмана-Чернова случайных аффинных преобразований аргумента функции к полугруппе, разрешающей задачу Коши для соответствующего уравнения Фоккера-Планка, По сравнению с результатами работы [17] рассмотрен более широкий класс случайных преобразований и убрано требование независимости случайных линейной части аффинного преобразования и преобразования сдвига.

Структура данной работы выстроена следующим образом. За введением следует вторая глава, содержащая необходимые предварительные сведения, включающие теорему Чернова и используемые определения случайного оператора и математического ожидания от случайного оператора, В третьей главе определяется рассматриваемый класс случайных операторнозначных функций и доказываются вспомогательные леммы, В четвертой главе формулируется и доказывается являющаяся основным результатом данной работы теорема 4,1 о сходимости последовательности усреднений итераций Фейнмана-Чернова к соответствующей усредняющей по Чернову полугруппе,

2. Предварительные сведения

Пусть X - банахово пространство, В(Х) - пространство линейных ограниченных операторов в X. Также введем обозначение R+ = [0,

Операторнозначная функция F(t) : R+ ^ В(X) называется сильно непрерывной, если для любого и0 € X и любого t0 ^ 0 выполняется равенство

lim \\F(t)ua - F(to)uo\\x = 0. (2.1)

t^t 0

Введем обозначение Cs (R+ ,B(X)) для топологического векторного пространства сильно непрерывных операторнозначных функций U(t) : [0, ^ В(X),

Топология Tg в Cs(R+,ß(X)) порождается семейством полунорм

Фt,v(U)= sup \\U(t)v\\x, VT> 0, Vv € X. (2.2)

te[o,T]

Отметим, что если U, {Un}^=0 € CS(R+,B(X)), то

Un U & lim sup \\Un(t)v - U(t)v\\x = 0, VT > 0, Vv € X. (2.3)

П^ж te[0,T]

Операторнозначная функция U (t) : R+ ^ В (X) называется полу группой, если U (0) = I (тождественный оператор) и U(t1 +t2) = U(t1) о U(t2), Vt1,t2 € R+. Полугруппа называется сильно непрерывной или Со-полугруппой, если для любого и0 € X выполняется равенство

lim \\U(t)uo - щ\\х = 0. (2.4)

Доказательство основного результата данной работы существенно использует теорему Чернова [18], для ее формулировки введем понятие эквивалентности по Чернову.

Определение 2.1. Будем говорить, что сильно непрерывная операторнозначная функция F(t) : R+ ^ В (X) эквивалентна по Чернову сильно непрерывной полугруппе U(t) : R+ ^ В(Х), если Fn (£) U(t).

В приведенных выше обозначениях теорема Чернова формулируется следующим образом:

Теорема (Чернов, 1968). Пусть операторнозначная функция Р(¿) е С5(К+,Б(X)) удовлетворяет условиям:

1. Р(0) является, тождественным оператором,,

2. ||^(1)\\в(н) ^ еа\ Ъ ^ 0 при некотором а> 0,

3. оператор ^ замыкаем и его замыкание является, генератором сильно непрерывной полугруппы и(¿).

Тогда, функция Р(Ь) эквивалентна по Чернову полугруппе и(£).

Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •), Введем понятия случайного оператора в Н и его математического ожидания. Пусть тройка (О, А,^) - вероятностное пространство.

Определение 2.2. Отображение А : О ^ В(Н) будем называть случайным, оператором в Н, если функции (Аи, ь) являются, (О, А)-измеримыми (т.е. являются, случайными величинами) при всех и,ь е Н.

Определение 2.3. Математическим, ожиданием (или усреднением) случайного оператора А будем называть оператор ЕА е В(Н) такой, что

(ЕАи,ь) = Е(Аи,ь), Уи,у еН. (2.5)

Достаточные условия существования усреднения случайного оператора можно найти, например, в работе [19].

3. Случайные аффинные преобразования аргумента функций

Рассмотрим случайную операторнозначную функцию Р(Ь) : К+ ^ АА^(КП) со значениями в группе аффинных преобразований конечномерного евклидова пространства следующего вида

^(1)х = е^+т+щ2)£ ++ ^ + ^2), г е К+, $ е Кга, (3.1)

где при %,] е 1,..., п компоненты {Aгj}, {Вг^}, {Нг}, {дг} являются вещественными случайными величинами, а {Rгj(s)} и {гг(в)} - случайные непрерывно дифференцируемые функции, обращающиеся в ноль в точке 5 = 0. При этом все случайные величины предполагаются совместно распределенными па вероятностном пространстве (О, А,^).

При произвольном фиксированном ш е О справедливо следующее представление для функции Р (Ь),

Лемма 3.1. В некоторой окрестности, нуля функция Р(£) вида, (3.1) представим,а, в виде композиции Р2(£) о Р1 (¿), где

3 3

Р1(г)х = ет+2 )х + дг + г0 (12), Р2(г)х = еА^ X +

где {(До)г j(s)} и, {(го)г(з)} — некоторые непрерывно дифференцируемте функции, обращающиеся в ноль в точке з = 0.

Доказательство. По формуле Бейкера-Кэмпбелла-Хауедорфа (см., например, [20]) при достаточно малых £ выполнено равенство

е-А^еА^1+вг+2) = евг+ЯоЦ3) ^ ^

причем {(Яо)г-, (^)} также являются непрерывно дифференцируемыми и равны нулю в точке в = 0, Тогда при Го (Ь33) = г(Ь 2) — еАл/ГьдЬ получаем

^(1)х = еА^ (е+т+к(г3)х + д^ + М + г(13) — еА^дЪ = Р2(г) о Р1(1)х. (3.4)

58

р.ш. кальметьев, ю.н, орлов, в.ж. сакваев

□

Случайная операторнозначная функция Р(¿) (3,1) порождает случайную оператор-нозначную функцию Ирí ^ 0, со значениями в пространстве линейных ограниченных операторов, действующих в Н = Ь2(К""), таким образом, что при каждом фиксированном ш Е О выполняется равенство

ир(г,ш)и(х)= и(Р(г,ш)х), Уи еН. (3.5)

Согласно теореме 1 из работы [17] при условии

У | (е^+В1+к{1)) | 2 < ^

п

существует математическое ожидание

Шр(Ь)и = J и о ^(¿)ф,(ш) ЕН, Уи Е Н. (3.7)

п

Пусть выполняются следующие условия: А1, операторы А,Въ Д'(£) при каждом Ь Е [0,Т] принимают значения в шаре радиуса

р0 < пространства В (К") с вероятностью 1; А2, распределение случайного вектора ({Аг^}) дискретно и симметрично; АЗ. ЕИг = 0;

А4, оператор А диагонализируем с вероятностью 1; А5. ^ А = 0 с вероятностью 1.

А6. ковариационная матрица случайного вектора ({Aгj}, {Вгj}, {¡г}, {дг}) является положительно определенной; В условии А6 имеется в виду следующее. Рассмотрим компоненты матриц А, В и компоненты векторов ¡г, д как один случайный вектор размерности 2п2 + 2п. Ковариационная матрица такого вектора по определению является положительно полуопределенной. В А6 же накладывается условие, что она строго положительно определена. Отсюда следует, что все вторые моменты ({Аг^}, {Вг^}, {¡г}, {дг}) строго больше нуля, а все их попарные корреляции строго меньше 1, иначе ковариационная матрица была бы вырожденной.

Лемма 3.2. Пусть задана случайная операторнозначная функция Р вида (3.1), для, которой выполнены условия А1-А2. Тогда, для, некоторого положительного а справедлива, оценка

||Е7р(*)||в(н) ^ (3.8)

Доказательство.

ЦЕйр (*)||В(Н) = вир

N1« = !•/

К"

и(Р (Ь)х)й^(ш)

йх

Ф Г Г 2 ф Г Г 2

^ вир / / 1и(Р(¿)ж)| ¿^(^¿х = вир / / 1и(Р(¿)ж)|

N1 «=111 1М1 «=1

К" п п К"

= вир [ [ 1и(х)121 сЫ(Р-1(г)) Ыхс1р(ш) = 1Е Ш Р-1(г))\ 1М1«=и з

п К"

= Ее-^(а^+вь+щ))

В приведенных выше выкладках в соответствующих переходах используются:

(3.9)

2

(!) неравенство Коши-Буняковекого-Шварца,

(2) теорема Фубини,

(3) теорема о замене переменной в интеграле Лебега, По формуле Тейлора получаем:

\\EUfШв(ч) < (Ее-1 = (1 — АггV — Вгг1 — о(г)^ 2 , (3.10)

причем ЕАгг = 0, так как случайные величины Агг ограничены (А1) и распределены симметрично (А2), а математическое ожидание от остаточного члена является о(Ь) в силу условия А1, Тогда для некоторого а> 0 имеем при Ь е [0,Т]:

\\EUf(1)1\в{ЫЩ) < (1+ ь (—ЕВгг + о(Ь)))1 ^ 1 + оЛ ^ еа'. (3.11)

□

Лемма 3.3. Пусть задана случайная операторнозначная функция Р вида (3.1), для, которой выполнены условия А1-АЗ. Тогда, для любого и е СО^К"-)

(ЕйР )'0 и =Е(Вг3хд + 1 Агк Ак3х3 + дг )дги

1 2 (3.12)

+ -Е (АгкА>1 хкх1 + 2АгкУхк + кг№) дгд3и.

Доказательство. Найдем значение (Е(Ур)'0и = (Е ^(*)и-и^ При и е С^К"-), соглас-

но формуле Тейлора:

Е1/р (г)и(х) = Еи(Р (г)х)

= Е^и(х) + дги(х) (Р(г)х — х)г + 1 дгд3и(х) (Р(г)х — х)г (Р(¿)х — х) + г(г)^ ^

и(х) + дги(х)Е (Р(¿)х — х)г + -дгд3и(х)Е((Р(Ь)х — х)г (Р(Ь)х — х) ) + Е(г(г)),

1 —( 2

где

г(г) = дг д3 дк и(( )(Р (г)х — х)г(Р (г)х — х)(Р (г)х — х)к, (3.14)

и ( лежит между 0 и (Р(Ь)х — х) и зависит от ш.

В свою очередь для Е(Р(Ь)х — х) по формуле Тейлора получаем:

х — ху =Е | (л~.¡л/г + а) + \(Агк\Д + ВгкЬ)(Ак3лД + Вк3ъ) + о(Ъ) | хи

Е(^(г)х — х)г =Е ^(Аг3^1 + Вг + 1(АгкV + Вгк^(Ак3^ + Вк¿) + о(г)^ X? + ЕкгV + Едгг = Е^Вг^ + 1АгкАк^ + дг^ г + о(г).

Далее аналогично для мономов степеней 2 и 3 имеем: Е(( ^ (г)х — х)г(Р (г)х — хУ)

= Е{((Аг3^1 + вг3г) + 1(Агк V + вгк г)(Ак3^1 + вк3 г) + о(г))х] + кг V + дч)2 (з.1б)

= Е (АгкА31 хкх1 + 2АгкУхк + ьги3) г + о(г),

Е(( ^ (г)х — х)г(Р (г)х — х)(Р (г)х — х)к) = 0(г). (3.17)

В формулах (3.15)—(3.17) учтены условия А1-АЗ из формулировки теоремы, при этом все остаточные члены класса о(Ь) определены и равномерно липшецевы по ш на отрезке [0, ( Р(Ь)х — ж)]. Из разложений (3.14)-(3.17) следует утверждение леммы. □

По лемме 3,1 в некоторой окрестности нуля функция F(t) представима как композиция F2(t) оF\(t) вида (3,2), Случайные функцни F\(t) ъ F2(t) также в свою очередь порождают операторнозначные функции EUPl (i) и EUp2 (t)■ При этом производные (EUPl )0и (EUp2)о _ это операторы, областью определения которых являются подпространства, на которых дифференцируемы в пуле EUPl (i) и EUp2 (t) соответственно.

Операторы Hj, j = 1, 2, определим следующим образом. При u Е С0?

Нги = (EUPl)'0и = E (В\jXj + gi) diu, (3.18)

П2и = (EUp2 )'0и = 1 E(Azk хк + ti )dt(Ajl xl + hj)dj u. (3.19)

При этом заданный на пространстве С^ оператор (EÜp2 )0 определяет замыкаемую неположительную квадратичную форму к2. За область определения оператора Н2 берется область определения Фридрихеова расширения оператора (EÜP2 )0 : С0 ^ Н, т.е. оператора, ассоциированного с замыканием квадратичной формы к2.

В силу предположений AI-A3 оператор (3.18) определен на D(H2) поскольку существуют постоянные сг,с2 > 0 такие, что

(Н1и,Н1и) ^ сг ||и|| 2Н + с21(и)Н2и)1 Уи Е D(H2). (3.20)

Поэтому положим D(Hг) = D(H2).

Заметим также, что F2(t) в силу предположения A4 представима в виде композиции случайного ортогонального преобразования S\, случайного самосопряженного преобразования S2 и едвига ¿3 на случайный вектор ЛлД. Таким образом, получаем

Up2 (t)u = ÜSs(Vt) о ÜS2 (Vt) о USl (Vt)u, и ЕН, t ^ 0. (3.21)

При этом оператор S3 неперестановочен с S1 и S2, поэтому для получения в результате композиции преобразования F2 необходимо, чтобы оператор S3 действовал последним.

В работе [17] установлено, что для каждого г = 1, 2, 3, и каждого ш Е П однопарамет-рические семейства операторов USi(M)(t), t ^ 0, образуют сильно непрерывную унитарную группу операторов в пространстве Н, при выполнении условия А5 обладающую антиэрмитовым генератором LПоэтому в силу теоремы 1 работы [21] для каждого г = 1, 2, 3, и каждого и Е D((Lг(ш))2) верны равенства

Usi(w)(t)u = и + tLs^u + — L 1.{ш)и + ÜSi(t,w)u, и Е П, t ^ 0, (3.22)

причем при каждом ш Е П

tm 1 ll% (t,u)u\\и = 0. (3.23)

Поэтому в силу предположений А1-А5 получаем

Ef>SiH(t)u = и + t2Hs,и + Ri(t)u, t > 0, lim-2||ЗДН|H = 0. (3.24)

t £

Здесь HSi и = 1 EL %. и У и Е

Операторы HSj : С0 ^ Н, j = 1, 2, 3, плотно определены и неположительны. Как показано в [21], [22], фридрихеовы расширения операторов HS. : С™ ^ Н, j = 1, 2, 3, являются

генераторами iiSj сильно непрерывных сжимающих полугрупп etHsi в пространстве Н.

В приведенных выше обозначениях верна следующая

Лемма 3.4. Пусть задана случайная операторнозначная функция F вида (3.1), для, которой выполнены условия А1-А6. Тогда, оператор Н2, заданный как фридрихсово расширение оператора (EUP2 (t))'0 : PlLi D(HSi) ^ Н, имеет область определения D(H2) = Р|3=1 D(HSi) и является, неположительным самосопряженным.

Доказательство. В силу (3,22) на области определения (Е 11р2(¿))0 будет справедливо равенство

(Е (1))0и = Е (+ 2й|2 + \ь!з + Ь82 о Ьц + Ь8з о Ь82 + й^ о Ь^ и. (3.25)

Из антпэрмнтовостп операторов ЬЯ1 следует, что (Е11р2 (¿))0 является неположительным оператором:

(и, (Е иР2 (г))0и) =2Е((и,ЬIи) + (и, Ь%и) + (и, Ь%и)

+ 2(и, Ь|2 о Ьв1и) + 2(и, Ь|з о ЬЯзи) + 2(и, Ь^ о Ь^и)) (3-26)

= — Е\\(Ь|1 +Ь12 +ЬязН|2Н ^ 0. Аналогично рассуждениям в работе [17] рассмотрим квадратичную форму

3(и, и) = —(и, Н2\с^V) = [ Е (АгкА^хкX1 + 2АгкКхк + кгУ) д^д^х, (3.27)

•т™

для нее справедливо следующее представление

3(и,и)= [ Е\АгкХкдги + Ьгд1и\2(1х =[ Е\(^и,Ах + К)\2с1х

= \^и\2Е(е,Ах + h)2dx = \Чи\2 Уат(\х\(е, Ае') + (е,К))с1х (3.28)

•т™ ¿я™

\^и\2(\х\2 Уох(е,Ае') + 2р\х\\!Уат(е, Ае') Уат(е, К) + У&г(е,К))(1х,

22

\\ и

JR™

Чи

где е = |чи|, е' = -щ, р - линейный коэффициент корреляции случайных величин (е, Ае')

и (е, К). Заметим, что если случайные величины (е,Ае') и (е,К), являющиеся линейными комбинациями случайных величин {Аг^ и {Кг} соответственно, были бы линейно зависимыми, то тогда ковариационная матрица случайного вектора ({Аг^, {Кк}) была бы вырожденной, что противоречит условию А6, Отсюда следует, что Эу > 0 : \р\ < 1 — у. Тогда из (3.28) следуют неравенства

— (и, С^Н^ + Н^ + Н|з)и} ^ Р(и, и) ^ — (и, С^Н^ + Н^ + Я|з)и} , (3.29)

при некоторых С1,С2 > 0, Откуда следует, что область определения замыкания 3(и,и) совпадает с областью определения замыкания формы —(и, ( Н^ + Н|2 + Нз3)и). Отсюда также следует, что П3=1 ) С Б(Н2).

На П3=1 ) квадратичная форма оператора —Н2 мажорирует квадратичные формы

операторов — НЗначит область определения замыкания квадратичной формы оператора — Н2\рз в(н8.) содержится в областях определения замыканий квадратичных форм

операторов — Нli\^з о(й3-)■ Напомним, что при каждом 1 = 1, 2, 3 оператор —Нь^ является фридрихеовым расширением оператора — Н^\с~ [21]. Следовательно, область определения фридрихеова расширения оператора Н2\^з .) содержится в каждой из областей ), и значит

3

ОД) С П^(нНli). =1

Следовательно, оператор Н2, заданный как фридрихсово расширение оператора (Е [1р2и(1))'\t=0 : П) ^ Н имеет область определения 0(Н2) = О^Б^^) и самосопряжен. □

Лемма 3.5. Пусть задана случайная операторнозначная функция Р вида (3.1), для, которой выполнены условия А1-А6. Тогда, для любого и Е И(Н2) существует производная

(Е йр )'0 и = Н2и + Нги.

Доказательство. Для любого и Е 0(Н2) справедливо

(Е йр)'0и =(Е(йр2 о йР1 ))'0и = (Е(йр2 о йР1 - йР1 + йР1 ))'0и

= (Е((йр2 - I) ойр1 ))'и + (Ейр^'и = (е(Н + %)))^и + Нги (3.30) =Н2и + Нхи,

где Иш4\\ Ши\\н = 0. □

Лемма 3.6. Пусть задана, случайная, операторнозначная функция Р вида, (3.1), для, которой выполнены условия А1-А6. Тогда, замыкание оператора, (Е йр)0, является, генератором, сильно непрерывной полугруппы в пространстве Н.

( Е йр ) '0

представить как Н + Н2 = Н.

После выделения полного квадрата в формуле (3.28) получаем оценку для [(и, и):

[3(и, и) ^ |Уи|2(1 - р2)Уа,г(ё,К)(1х ^ а|||Уи|\\2, (3.31)

•т™

где а - некоторая положительная константа, не зависящая от и.

Поскольку полуторалинейная форма [ является положительной, то оператор Н2 является генератором сжимающей полугруппы в Н.

Квадратичная форма оператора 1 + (-Н2) мажорирует квадратичную форму оператора так как справедлива цепочка неравенств:

|( Н&, и)| ^ ||Е (^ОЩк.) \\|Х||Уг;|\£2(к) МЬ2 {Ж) ^ -С ((V, V) - е(Н2У, V)) (3.32)

при произвольном е € (0,1]. Поскольку Н = Н\ + Н2 и квадратичная форма оператора I-Н2 мажорирует квадратичную форму оператора Н\ в силу неравенства (3.32), то применима теорема о возмущении генератора полугруппы (см., например, [23]). Следовательно, оператор Н является генератором сильно непрерывной полугруппы в пространстве Н. □

4. Итерации Фейнмана-Чернова Для последовательности {Р^^)},к Е N независимых одинаково распределенных слу-

тельноети итераций Фейнмана-Чернова:

Р- (к)о...ор (к) • в Е ^ (4Л)

Определение 4.1. Усредняющей по Чернову полугруппой для, случайной оператор-йр Р

Шр, генератором которой является замыкание оператора, (Ейр)0.

Полугруппа Шр порождается решениями задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка

ди - ,

— = Ни, Щ = = ио (4.2)

для произвольного и0 е Н, и где оператор Н на области определения (Е1/р)0 задается дифференциальным выражением

Я = Е(Вг ^ + 1 АгкАк¿х> + дг)дг + 1Е ^АгкА^хкх1 + 2АгкЪ?хк + дгд3. (4.3)

Теорема 4.1. Пусть задана случайная операторнозначная функция Б вида, (3.1), для, которой выполнены условия А1-А6. Тогда, последовательность усреднений итераций Фейнмана-Чернова сходится в топологии, С8(К+, В(Н)) к соответствующей усредняющей по Чернову полугруппе:

Е ™)с„о*(™) ^ (I). (4.4)

Доказательство. Согласно леммам 2 и 3 в работе [17] в силу независимости элементов последовательности {Бк(¿)} для всех Ь > 0, п е N справедливо равенство :

Е ™)о...оГ1(™) = Е ™) о ... о Е ™). (4-5)

Сильная непрерывность функции Е ир(Ь) следует из того, что она является интегралом по вероятностной мере от функции, значениями которой являются сильно непрерывные оператор-функции.

Тогда дальнейшее доказательство теоремы по существу состоит в проверке выполнения условий 1-3 теоремы Чернова для функции Е ир (1).

1. Е Ир(0) по построению является тождественным оператором.

2. По лемме 3.2 \\Е ир(1)\в(-и) ^ для некоторого положительного а.

3. По лемме 3.5 замыкание оператора (Е Ир)0, является генератором сильно непрерывной полугруппы ]¥р в пространетве Н.

□

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Н. Furstenberg. Non-commuting random products // Trans. Amer. Math. Soc. 108:3, 377-428 (1963).

2. B.H. Тутубалин. О предельных теоремах для произведений случайных матриц // Теория вероятн. и ее примен. 10:1, 19-32 (1965).

3. А.В. Скороход. Операторные стохастические дифференциальные уравнения и стохастические полугруппы ¡I Успехи матем. наук. 37:6, 157-183 (1982).

4. М.А. Berger. Central limit, theorem for products of random matrices // Trans. A MS. 285:2, 777-803 (1984).

5. М.Л. Мета. Случайные матрицы. M.: МЦНМО. 2012.

6. Н.Ю. Шубин. Статистические методы, в теории ядра, // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 5:4, 1023-1074 (1974).

7. А.С. Холево. Стохастические представления, квантовых динамических полугрупп // Тр. MIIAII СССР. 191, 130-139 (1989).

8. G. Teklemariam, Е. Fortunato, С.С. Lopez, J. Emerson, J. Paz, T.F.Havel, D. Cory. Method for modeling decoherence on a quantum-information processor // Phvs. Rev. A 67, 062316 (2003).

9. V.D. Lakhno. Translation-invariant bipolarons and the problem of high temperature superconductivity // Solid State Commun. 152:7, 621-623 (2012).

10. O. Castejon, V. Kaloshin. Random Iteration of Maps on a Cylinder and diffusive behavior // Preprint: arXiv:1501.03319 (2015).

11. C.B. Козырев. Модель вибронов в квантовом фотосинтезе как аналог модели лазера // Тр. МИАН. 306, 158-169 (2019).

12. S. Bonaccorci, F. Cottini, D. Mugnolo. Random evolution equation: well-posedness, asymptotics and application to graphs // Appl. Math. Optim. 84, 2849-2887 (2021).

13. F. Girotti, M. Horssen, R. Carbone, M. Guta. Large deviations, central limit, and dynamical phase transitions in the atom maser //J. Math. Phvs. 63, 062202 (2022).

14. Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов. Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов // Тр. МИЛИ. 285, 232-243 (2014).

15. Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов. Неограниченные случайные операторы и формулы Фейнмана // Изв. РАН. Сер. матем. 80:6, 141-172 (2016).

16. Дж. Гоф, Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов. Рандомизированное квантование га-мильтоновых систем // Доклады РАН. 498:1, 31-36 (2021).

17. Р.Ш. Кальметьев, Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев. Итерации Чернова как метод усреднения случайных аффинных преобразований // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 62:6, 1030-1041 (2022).

18. P. Chernoff. Note on product formulas for operator semigroups //J- Funct. Anal. 2:2, 238-242 (1968).

19. К.Ю. Замана, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов. Случайные процессы на группе ортогональных матриц и описывающие их эволюционные уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 60:10,1741-1756 (2020).

20. B.C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations // Springer. (2015).

21. К.Ю. Замана, В.Ж. Сакбаев. Композиции независимых случайных операторов и связанные с ними дифференциальные уравнения // Препринты 1111 \ ! им. М.В.Келдыша. 49 (2022).

22. К.Ю. Замана. Усреднение случайных ортогональных преобразований аргумента функций // Уфимск. матем. журн. 13:4, 23-41 (2021).

23. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов // М.: Мир. 1973.

Руетем Шайнурович Кальметьев, III I I им. М.В. Келдыша РАН, Миусская пл., 4, 125047, Москва, Россия; МФТИ,

Институтский пер., 9,

141700, г. Долгопрудный, Россия;

E-mail: kalmetev@phystech.edu

Юрий Николаевич Орлов, III I \ I им. М.В. Келдыша РАН, Миусская пл., 4, 125047, Москва, Россия; E-mail: ov3159f@yandex.ru

Всеволод Жанович Сакбаев, III I \ I им. М.В. Келдыша РАН, Миусская пл., 4, 125047, Москва, Россия; МФТИ,

Институтский пер., 9,

141700, г. Долгопрудный, Россия;

ИМВЦ УФИЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: fumi2003@mail.ru