CC BY
181
УДК 681.5+548.55
В. В. АРТАМОНОВ, С.Э. ПРИТЧИН
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ ЮНГА И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ОТ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДЛОЖЕК GaAs
Решается вопрос усовершенствования математической модели, описывающей зависимость модуля Юнга (Е) и коэффициента Пуассона (н) подложек GaAs, выращенных в кристаллографической ориентации (100), (110) и (111), от произвольного кристаллографического направления. Определяются матрицы направляющих косинусов для трех ориентаций и рассчитываются значения Е и н с шагом 10. Разрабатывается программа, позволяющая рассчитать требуемое значение Е и н для выбранного направления. Расхождение между расчетными значениями Е и н и экспериментальными данными для главных направлений не превышает 4,7 %.
1. Введение
Арсенид галлия (GaAs) как полупроводник является третьим по масштабам использования в промышленности после кремния и германия. В то же время по физическим характеристикам GaAs - более хрупкий материал, чем кремний. Подложки из арсенида галлия гораздо сложнее для изготовления и примерно впятеро дороже, чем кремниевые, что ограничивает применение этого материала.
Характеристики приборов, которые изготавливаются на основе GaAs, во многом превышают параметры приборов, изготавливаемых на основе кремния и германия. В настоящее время проявляется значительный интерес к влиянию механических свойств GaAs, таких как модуль Юнга (Е) и коэффициент Пуассона (н), на параметры и надежность полупроводниковых приборов. Знание механических свойств GaAs имеет важное значение для многих практических применений, которые определяются этими свойствами, например изгиб, термоупругие напряжения, внутренние деформации и хрупкость [1].
Вопросу исследования влияния механических свойств на параметры арсенида галлия было посвящено достаточно большое количество работ [2 - 4]. Однако вопрос определения влияния кристаллографических направлений на механические свойства GaAs, связанные с модулем Юнга, коэффициентом Пуассона, фотоупругими и пьезооптическими константами, остается открытым.
Существующие модели [5,6] позволяют определить значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона для главных кристаллографических направлений. В то же время весьма актуальным является определение этих значений для произвольного кристаллографического направления.
Цель данной работы - усовершенствование математической модели определения зависимости модуля Юнга и коэффициента Пуассона от кристаллографического направления в подложках арсенида галлия.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
- усовершенствовать математическую модель, позволяющую определить зависимость модуля Юнга и коэффициента Пуассона от произвольного кристаллографического направления;
- разработать алгоритм и программное обеспечение для вычисления значений модуля Юнга и коэффициента Пуассона для подложек GaAs;
- выполнить оценку отклонения рассчитанных данных от экспериментальных значений.
2. Постановка задачи
Как известно, арсенид галлия является анизотропным кристаллом. Рассмотрим влияние анизотропии на механические свойства GaAs. В общем случае константы упругости и модули упругости анизотропного материала являются компонентами тензора 4-го порядка, который связывает два тензора второго ранга.
68
Запишем закон Гука, определяющий соотношение между напряжением и деформацией:
s = sa, (1)
где s - константа упругой податливости.
В то же время можно записать (1) в следующем виде:
1
c = -, a = cs, (2)
s
здесь с - константа упругой жесткости.
В общем случае при воздействии возмущающих факторов однородное напряжение и однородная деформация определяются тензорами второго ранга. Для произвольного однородного напряжения можно установить связь между компонентами деформации и напряжения как:
sij = sijklakl, (3)
или в виде:
akl = cijklsij, (4)
при этом справедливо следующее равенство для симметричных кристаллов:
cijkll = cijikl = cijlk . (5)
Константы упругой податливости Sjki и константы упругой жесткости сщ представляют собой тензор 4-го ранга. Для этого тензора полное число констант равно 81 (34 = 81). С учетом того, что тензор напряжения и тензор деформации симметричны, тензоры упругой податливости и упругой жесткости также симметричны. Следовательно, допустима перестановка i и j , а также к и i. Таким образом, можно утверждать что в нашем случае тензор 4-го ранга с имеет в общем 21 независимый компонент. С учетом симметрии кристалла цинковой обманки, которая представляет собой арсенид галлия, это число снижается до 3 (с1Ь с^ ^, ):
s11 s12 s12 0 0 0 '
s12 s11 s12 0 0 0
S = s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s44 0 0 . (6)
0 0 0 0 s44 0
0 0 0 0 0 s44 _
Арсенид галлия является анизотропным материалом, следовательно, упругие константы также анизотропны. Они являются функциями упругих констант в требуемой ориентации. При этом компоненты тензора упругих констант в произвольной ориентации могут быть получены из известного тензора путем поворота вдоль одной из кристаллической оси. В декартовой системе координат тензор упругой податливости арсенида галлия представляется матрицей (6).
В выражении (6) константы упругой податливости вычисляются как:
s11 =
c11 +c12
(c11 c12)x (c11+2c12) ’
s12 =
11
(c11 c12)x(c11+2c12)’
s44
(7)
1
c
44
Для арсенида галлия значения констант упругой податливости [7] соотвественно равны: sn = 1.17 x 10-10 Па-1, s12 = - 0.37 x 10-10 Па-1, s44 = 1.68 x 10-10 Па-1.
Как принято в кристаллографии, в декартовой системе координат оси, обозначенные X, Y, Z, соответствуют главным кристаллографическим направлениям. Для арсенида галлия ориентации (100) и (111) такое соответствие показано на рис. 1.
69
Рис. 1. Совмещение декартовых осей и главных кристаллографических направлений для GaAs ориентации: а - (І00) и б - (11І)
Для заданного поворота осей на произвольный угол ц можно записать матрицу абсолютных углов между осями:
Фу
ф п 2-ф п 2
П у+ф ф п 2
п п 0
2 2
(8)
где Фij - угол между базовой и новой системой координат.
При повороте системы относительно оси Х ([100]) координаты любой точки в новой системе будут определяться уравнениями:
= X, = Ycosф-Zsinф, = Ysinф + Zcosф.
(9)
На основании (9) можно записать матрицу направляющих косинусов при вращении оси относительно кристаллографического направления [100] в виде:
qij[100]
0
cos ф sin ф
0
- sin ф cos ф
(10)
Соответственно, для двух оставшихся направлений можно записать следующие матри-
цы:
cos ф 0 sin ф cos ф - sin ф 0
qij[010] = 0 1 0 - sin ф 0 cos ф , qij[001] = sin ф cos ф 0 0 0 1
(11)
Рассчитать значение модуля Юнга и коэффициента Пуассона в произвольном направлении можно путем вычисления тензора упругой податливости в повернутой системе координат относительно базовой.
Перепишем выражение (4) в виде:
3 3
°ij = X X cijklskl. (12)
k=1l=1
В свою очередь при выполнении поворота обратный тензор упругой жесткости может быть вычислен как:
70
. 3 3 3 3
cijkl = X X XX QpiQqjQrkQslcpqrs
p=1q=1r=1s=1
(13)
где Qij - элементы матрицы направляющих косинусов.
Тогда тензор упругой податливости в соответствии с (2) может быть найден как:
S = inv(c/)-1, (14)
откуда модуль Юнга и коэффициент Пуассона можно определить по следующим выражениям:
Е/ =
а/ =-Т’vj = S j = 4
/
/ S i sn S i / sii
(15)
3. Практические результаты
Для вычисления модуля Юнга и коэффициента Пуассона в произвольном кристаллографическом направлении нами была разработана программа, интерфейс которой позволяет задавать значения констант упругой жесткости сц, с^, с44, рассчитывать значение для заданного кристаллографического направления или для всех направлений в заданной ориентации. Программа позволяет представлять полученные данные в графическом виде и имеет средства для настройки графического отображения данных. Интерфейс программы показан на рис. 2.
Рис. 2. Интерфейс программы вычисления модуля Юнга и коэффициента Пуассона в произвольной
кристаллографической ориентации
Рассчитанные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона для подложек арсенида галлия ориентации (100) в произвольном направлении представлены на рис. 3.
б
Рис. 3. Значение модуля Юнга подложек GaAs (а) ориентации (100) и коэффициента Пуассона (б) для произвольного кристаллографического направления
71
В результате выполненных расчетов были получены модуль Юнга и коэффициент Пуассона (рис. 4) для главных кристаллографических направлений ориентации (100): для направления [011] Е=121,28 ГПа, v =0,312 (максимальное значение); для направления [001] Е=85,26 ГПа, v =0,02 (минимальное значение).
а б
Рис. 4. Значение модуля Юнга подложек GaAs (а) ориентации (110) и коэффициента Пуассона (б) для произвольного кристаллографического направления
4. Выводы
Для оценки адекватности усовершенствованной модели мы выполнили сравнение экспериментальных данных, полученных различными авторами [5 - 8], с полученными нами расчетными данными. Результаты приведены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Экспериментальные и рассчитанные значения модуля Юнга, МПа
Ориентация (100) Ориентация (111) Ориентация (110) Источ.
[001] [011] [010] [111],[1І0],[ТІ2] [001] [111] [110]
85,3 121,3 85,3 121,3 85,3 141,2 85,3 [3]
85 122 85 122 85 142 85 [2]
85,29 121,5 85,29 121,5 85,29 141,1 85,29 [7]
85,26 121,28 85,26 121,1 85,26 145,013 85,26 Модель
Таблица 2
Экспериментальные и рассчитанные значения коэффициента Пуассона
Ориентация (100) Ориентация (111) Ориентация (110) Источ.
[001] [011] [010] [111],[110] ,[112] [001] [111] [110]
0,312 0,021 0,312 0,303 0,312 0,189 0,312 [3]
0,32 0,024 0,32 0,31 0,32 0,194 0,32 [2]
0,32 0,022 0,32 0,31 0,32 0,19 0,32 [8]
0,312 0,02 0,312 0,312 0,312 0,2 0,312 Модель
Сопоставление рассчитанных значений с полученными экспериментальными данными для углов, кратных 450, показывает хорошее совпадение между расчетными и экспериментальными данными. Отклонение между ними не превышает 4,7 %.
72
4. Выводы
1. Усовершенствована математическая модель зависимости модуля Юнга и коэффициента Пуассона от кристаллографической ориентации подложек GaAs, которая позволяет определить значения этих параметров в произвольном кристаллографическом направлении.
2. Разработана программа, позволяющая вычислять модуль Юнга и коэффициент Пуассона для произвольного кристаллографического направления GaAs, выращенного в кристаллографической ориентации (100), (110), (111).
3. Отклонение расчетных данных от экспериментальных значений не превышает 4,7 %. Список литературы: 1. Louail L., Maouche D., Roumili A., Shraoui F. Calculation of elastic constants of4d transition metals // Materials Letters. 2004. Vol. 58. P. 2975-2978. 2. Adachi S. GaAs and Related Materials: Bulk Semiconducting and Superlattice Properties/ World Scientific. 1994. P. 675. 3. Brantley W.A. Calculated elastic constants for stress problems associated with semiconductor devices/ Brantley W. A. // J. Appl. Phys. 1973. Vol. 44. Р. 534 - 536. 4. LouailL. Calculation of elastic constants of 4d transition metals/ Louail L. Maouche D. Roumili A. Ali Shraoui F. // Materials Letters. 2004. Vol. 58. P. 2975-2978. 5.Adachi S. GaAs and Related Materials: Bulk Semiconducting and Superlattice Properties / World Scientific. 1994. P. 675. 6. Оксанич А.П. Определение влияния кристаллографической ориентации на механические свойства арсенида галлия /А.П. Оксанич, С.Э. Притчин // Технічна електродинаміка. Харків: НТУ «ХПІ», 2012. С. 209-211. 7. Levinshtein M.E. Handbook series on semiconductor parameters. 1. Si, Ge, C (diamond), GaAs, GaP, GaSb, InAs, InP, InSb/ Levinshtein M. E., Rumyantsev S. L., Shur M. World Scientific Publishing Company. 1996. 218 p. 8. Bateman T.B. Elastic module of single-crystal Gallium Arsenide/ Bateman T.B., McSkimin H.J., Whelan J.M. // J. Appl. Phys. 1979. Vol. 30. Р. 444 - 445.
Поступила в редколлегию 22.02.2013 Артамонов Владимир Владимирович, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой геодезии, землеустройства и кадастра КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: энерго- и ресурсосберегающие технологии. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Первомайская, 20, тел.: (05366) 30157. Email: kafius@kdu.edu.ua
Притчин Сергей Эмильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры информационно-управляю-щих систем КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: автоматизация процессов управления производством полупроводниковых материалов. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Первомайская, 20, тел.: (05366) 30157, e-mail: pritchinse@ukr.net
73
