Научная статья на тему 'УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ ЮНГА И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ОТ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДЛОЖЕК GaAs'

УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ ЮНГА И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ОТ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДЛОЖЕК GaAs Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
291
155
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Артамонов Владимир Владимирович, Притчин Сергей Эмильевич

Решается вопрос усовершенствования математической модели, описывающей зависимость модуля Юнга (Е) и коэффициента Пуассона (н) подложек GaAs, выращенных в кристаллографической ориентации (100), (110) и (111), от произвольного кристаллографического направления. Определяются матрицы направляющих косинусов для трех ориентаций и рассчитываются значения Е и н с шагом 10. Разрабатывается программа, позволяющая рассчитать требуемое значение Е и н для выбранного направления. Расхождение между расчетными значениями Е и н и экспериментальными данными для главных направлений не превышает 4,7 %.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Артамонов Владимир Владимирович, Притчин Сергей Эмильевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Improvement of mathematical models between Young’s modulus and Poisson’s ratio of the crystallographic orientation of GaAs Substrates

We solve the problem of improvement of mathematical models describing the dependence of Young’s modulus (E) and Poisson’s ratio (н) GaAs substrates grown in the crystallographic orientation (100), (110) and (111) of any crystallographic direction. Defined matrixes of direction cosines for the three orientations, and calculated the values ??of E and н in increments of 10. Developed software that allows you to calculate the required value of e and н for the chosen direction.

Текст научной работы на тему «УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ ЮНГА И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ОТ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДЛОЖЕК GaAs»

УДК 681.5+548.55

В. В. АРТАМОНОВ, С.Э. ПРИТЧИН

УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ ЮНГА И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ОТ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДЛОЖЕК GaAs

Решается вопрос усовершенствования математической модели, описывающей зависимость модуля Юнга (Е) и коэффициента Пуассона (н) подложек GaAs, выращенных в кристаллографической ориентации (100), (110) и (111), от произвольного кристаллографического направления. Определяются матрицы направляющих косинусов для трех ориентаций и рассчитываются значения Е и н с шагом 10. Разрабатывается программа, позволяющая рассчитать требуемое значение Е и н для выбранного направления. Расхождение между расчетными значениями Е и н и экспериментальными данными для главных направлений не превышает 4,7 %.

1. Введение

Арсенид галлия (GaAs) как полупроводник является третьим по масштабам использования в промышленности после кремния и германия. В то же время по физическим характеристикам GaAs - более хрупкий материал, чем кремний. Подложки из арсенида галлия гораздо сложнее для изготовления и примерно впятеро дороже, чем кремниевые, что ограничивает применение этого материала.

Характеристики приборов, которые изготавливаются на основе GaAs, во многом превышают параметры приборов, изготавливаемых на основе кремния и германия. В настоящее время проявляется значительный интерес к влиянию механических свойств GaAs, таких как модуль Юнга (Е) и коэффициент Пуассона (н), на параметры и надежность полупроводниковых приборов. Знание механических свойств GaAs имеет важное значение для многих практических применений, которые определяются этими свойствами, например изгиб, термоупругие напряжения, внутренние деформации и хрупкость [1].

Вопросу исследования влияния механических свойств на параметры арсенида галлия было посвящено достаточно большое количество работ [2 - 4]. Однако вопрос определения влияния кристаллографических направлений на механические свойства GaAs, связанные с модулем Юнга, коэффициентом Пуассона, фотоупругими и пьезооптическими константами, остается открытым.

Существующие модели [5,6] позволяют определить значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона для главных кристаллографических направлений. В то же время весьма актуальным является определение этих значений для произвольного кристаллографического направления.

Цель данной работы - усовершенствование математической модели определения зависимости модуля Юнга и коэффициента Пуассона от кристаллографического направления в подложках арсенида галлия.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

- усовершенствовать математическую модель, позволяющую определить зависимость модуля Юнга и коэффициента Пуассона от произвольного кристаллографического направления;

- разработать алгоритм и программное обеспечение для вычисления значений модуля Юнга и коэффициента Пуассона для подложек GaAs;

- выполнить оценку отклонения рассчитанных данных от экспериментальных значений.

2. Постановка задачи

Как известно, арсенид галлия является анизотропным кристаллом. Рассмотрим влияние анизотропии на механические свойства GaAs. В общем случае константы упругости и модули упругости анизотропного материала являются компонентами тензора 4-го порядка, который связывает два тензора второго ранга.

68

Запишем закон Гука, определяющий соотношение между напряжением и деформацией:

s = sa, (1)

где s - константа упругой податливости.

В то же время можно записать (1) в следующем виде:

1

c = -, a = cs, (2)

s

здесь с - константа упругой жесткости.

В общем случае при воздействии возмущающих факторов однородное напряжение и однородная деформация определяются тензорами второго ранга. Для произвольного однородного напряжения можно установить связь между компонентами деформации и напряжения как:

sij = sijklakl, (3)

или в виде:

akl = cijklsij, (4)

при этом справедливо следующее равенство для симметричных кристаллов:

cijkll = cijikl = cijlk . (5)

Константы упругой податливости Sjki и константы упругой жесткости сщ представляют собой тензор 4-го ранга. Для этого тензора полное число констант равно 81 (34 = 81). С учетом того, что тензор напряжения и тензор деформации симметричны, тензоры упругой податливости и упругой жесткости также симметричны. Следовательно, допустима перестановка i и j , а также к и i. Таким образом, можно утверждать что в нашем случае тензор 4-го ранга с имеет в общем 21 независимый компонент. С учетом симметрии кристалла цинковой обманки, которая представляет собой арсенид галлия, это число снижается до 3 (с1Ь с^ ^, ):

s11 s12 s12 0 0 0 '

s12 s11 s12 0 0 0

S = s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s44 0 0 . (6)

0 0 0 0 s44 0

0 0 0 0 0 s44 _

Арсенид галлия является анизотропным материалом, следовательно, упругие константы также анизотропны. Они являются функциями упругих констант в требуемой ориентации. При этом компоненты тензора упругих констант в произвольной ориентации могут быть получены из известного тензора путем поворота вдоль одной из кристаллической оси. В декартовой системе координат тензор упругой податливости арсенида галлия представляется матрицей (6).

В выражении (6) константы упругой податливости вычисляются как:

s11 =

c11 +c12

(c11 c12)x (c11+2c12) ’

s12 =

11

(c11 c12)x(c11+2c12)’

s44

(7)

1

c

44

Для арсенида галлия значения констант упругой податливости [7] соотвественно равны: sn = 1.17 x 10-10 Па-1, s12 = - 0.37 x 10-10 Па-1, s44 = 1.68 x 10-10 Па-1.

Как принято в кристаллографии, в декартовой системе координат оси, обозначенные X, Y, Z, соответствуют главным кристаллографическим направлениям. Для арсенида галлия ориентации (100) и (111) такое соответствие показано на рис. 1.

69

Рис. 1. Совмещение декартовых осей и главных кристаллографических направлений для GaAs ориентации: а - (І00) и б - (11І)

Для заданного поворота осей на произвольный угол ц можно записать матрицу абсолютных углов между осями:

Фу

ф п 2-ф п 2

П у+ф ф п 2

п п 0

2 2

(8)

где Фij - угол между базовой и новой системой координат.

При повороте системы относительно оси Х ([100]) координаты любой точки в новой системе будут определяться уравнениями:

= X, = Ycosф-Zsinф, = Ysinф + Zcosф.

(9)

На основании (9) можно записать матрицу направляющих косинусов при вращении оси относительно кристаллографического направления [100] в виде:

qij[100]

0

cos ф sin ф

0

- sin ф cos ф

(10)

Соответственно, для двух оставшихся направлений можно записать следующие матри-

цы:

cos ф 0 sin ф cos ф - sin ф 0

qij[010] = 0 1 0 - sin ф 0 cos ф , qij[001] = sin ф cos ф 0 0 0 1

(11)

Рассчитать значение модуля Юнга и коэффициента Пуассона в произвольном направлении можно путем вычисления тензора упругой податливости в повернутой системе координат относительно базовой.

Перепишем выражение (4) в виде:

3 3

°ij = X X cijklskl. (12)

k=1l=1

В свою очередь при выполнении поворота обратный тензор упругой жесткости может быть вычислен как:

70

. 3 3 3 3

cijkl = X X XX QpiQqjQrkQslcpqrs

p=1q=1r=1s=1

(13)

где Qij - элементы матрицы направляющих косинусов.

Тогда тензор упругой податливости в соответствии с (2) может быть найден как:

S = inv(c/)-1, (14)

откуда модуль Юнга и коэффициент Пуассона можно определить по следующим выражениям:

Е/ =

а/ =-Т’vj = S j = 4

/

/ S i sn S i / sii

(15)

3. Практические результаты

Для вычисления модуля Юнга и коэффициента Пуассона в произвольном кристаллографическом направлении нами была разработана программа, интерфейс которой позволяет задавать значения констант упругой жесткости сц, с^, с44, рассчитывать значение для заданного кристаллографического направления или для всех направлений в заданной ориентации. Программа позволяет представлять полученные данные в графическом виде и имеет средства для настройки графического отображения данных. Интерфейс программы показан на рис. 2.

Рис. 2. Интерфейс программы вычисления модуля Юнга и коэффициента Пуассона в произвольной

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

кристаллографической ориентации

Рассчитанные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона для подложек арсенида галлия ориентации (100) в произвольном направлении представлены на рис. 3.

б

Рис. 3. Значение модуля Юнга подложек GaAs (а) ориентации (100) и коэффициента Пуассона (б) для произвольного кристаллографического направления

71

В результате выполненных расчетов были получены модуль Юнга и коэффициент Пуассона (рис. 4) для главных кристаллографических направлений ориентации (100): для направления [011] Е=121,28 ГПа, v =0,312 (максимальное значение); для направления [001] Е=85,26 ГПа, v =0,02 (минимальное значение).

а б

Рис. 4. Значение модуля Юнга подложек GaAs (а) ориентации (110) и коэффициента Пуассона (б) для произвольного кристаллографического направления

4. Выводы

Для оценки адекватности усовершенствованной модели мы выполнили сравнение экспериментальных данных, полученных различными авторами [5 - 8], с полученными нами расчетными данными. Результаты приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Экспериментальные и рассчитанные значения модуля Юнга, МПа

Ориентация (100) Ориентация (111) Ориентация (110) Источ.

[001] [011] [010] [111],[1І0],[ТІ2] [001] [111] [110]

85,3 121,3 85,3 121,3 85,3 141,2 85,3 [3]

85 122 85 122 85 142 85 [2]

85,29 121,5 85,29 121,5 85,29 141,1 85,29 [7]

85,26 121,28 85,26 121,1 85,26 145,013 85,26 Модель

Таблица 2

Экспериментальные и рассчитанные значения коэффициента Пуассона

Ориентация (100) Ориентация (111) Ориентация (110) Источ.

[001] [011] [010] [111],[110] ,[112] [001] [111] [110]

0,312 0,021 0,312 0,303 0,312 0,189 0,312 [3]

0,32 0,024 0,32 0,31 0,32 0,194 0,32 [2]

0,32 0,022 0,32 0,31 0,32 0,19 0,32 [8]

0,312 0,02 0,312 0,312 0,312 0,2 0,312 Модель

Сопоставление рассчитанных значений с полученными экспериментальными данными для углов, кратных 450, показывает хорошее совпадение между расчетными и экспериментальными данными. Отклонение между ними не превышает 4,7 %.

72

4. Выводы

1. Усовершенствована математическая модель зависимости модуля Юнга и коэффициента Пуассона от кристаллографической ориентации подложек GaAs, которая позволяет определить значения этих параметров в произвольном кристаллографическом направлении.

2. Разработана программа, позволяющая вычислять модуль Юнга и коэффициент Пуассона для произвольного кристаллографического направления GaAs, выращенного в кристаллографической ориентации (100), (110), (111).

3. Отклонение расчетных данных от экспериментальных значений не превышает 4,7 %. Список литературы: 1. Louail L., Maouche D., Roumili A., Shraoui F. Calculation of elastic constants of4d transition metals // Materials Letters. 2004. Vol. 58. P. 2975-2978. 2. Adachi S. GaAs and Related Materials: Bulk Semiconducting and Superlattice Properties/ World Scientific. 1994. P. 675. 3. Brantley W.A. Calculated elastic constants for stress problems associated with semiconductor devices/ Brantley W. A. // J. Appl. Phys. 1973. Vol. 44. Р. 534 - 536. 4. LouailL. Calculation of elastic constants of 4d transition metals/ Louail L. Maouche D. Roumili A. Ali Shraoui F. // Materials Letters. 2004. Vol. 58. P. 2975-2978. 5.Adachi S. GaAs and Related Materials: Bulk Semiconducting and Superlattice Properties / World Scientific. 1994. P. 675. 6. Оксанич А.П. Определение влияния кристаллографической ориентации на механические свойства арсенида галлия /А.П. Оксанич, С.Э. Притчин // Технічна електродинаміка. Харків: НТУ «ХПІ», 2012. С. 209-211. 7. Levinshtein M.E. Handbook series on semiconductor parameters. 1. Si, Ge, C (diamond), GaAs, GaP, GaSb, InAs, InP, InSb/ Levinshtein M. E., Rumyantsev S. L., Shur M. World Scientific Publishing Company. 1996. 218 p. 8. Bateman T.B. Elastic module of single-crystal Gallium Arsenide/ Bateman T.B., McSkimin H.J., Whelan J.M. // J. Appl. Phys. 1979. Vol. 30. Р. 444 - 445.

Поступила в редколлегию 22.02.2013 Артамонов Владимир Владимирович, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой геодезии, землеустройства и кадастра КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: энерго- и ресурсосберегающие технологии. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Первомайская, 20, тел.: (05366) 30157. Email: kafius@kdu.edu.ua

Притчин Сергей Эмильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры информационно-управляю-щих систем КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: автоматизация процессов управления производством полупроводниковых материалов. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Первомайская, 20, тел.: (05366) 30157, e-mail: pritchinse@ukr.net

73

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.