Условные максимумы балансировочного аэродинамического качества неманевренного самолета Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987

№ 3

УДК 629.735.33.016.7 : 533.6.013.12/13

УСЛОВНЫЕ МАКСИМУМЫ БАЛАНСИРОВОЧНОГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА НЕМАНЕВРЕННОГО САМОЛЕТА

В. В. Рохин, В. К. Святодух, В. Б. Слуцкий

Для случая параболической поляры самолета без горизонтального оперения, параболической поляры оперения и линейной зависимости угла скоса потока у оперения е от коэффициента подъемной силы самолета без горизонтального оперения су б г 0 показано, что балансировочное аэродинамическое качество самолета Ка ал как функция трех переменных: су б г 0, центровки самолета х г и относительной площади горизонтального оперения 5Г.0 внутри области определения безусловных экстремумов не имеет, кроме значения Sr. о = 0. Рассмотрены различные условные максимумы

шах Кьал величины Кбал: при Sr. 0 = const, при *T=const, при постоянном

с

запасе продольной статической устойчивости самолета m/=const. Получены аналитические выражения для оптимальной центровки (при Sr.o = =const), оптимальной площади оперения (при хт =const) и соответствующих значений шах /(бал, а также приближенные соотношения для опти-

__ _ Q

мальных значений 5Г.0 и хт при т? = const . Показано, в частности, что направление смещения оптимальной центровки при изменении величины Sr о определяется только величинами max л и е (например, в случае

1 _ шах Кбая > ~ ПРИ увеличении Sr.0 центровка смещается вперед) и что

оптимальные величины Sr,0 (при хТ = const ) достигаются в области реализуемых значений.

Наличие на самолете горизонтального оперения оказывает существенное влияние на его аэродинамическое качество. Поэтому выбор параметров оперения и эксплуатационного диапазона центровок современных самолетов осуществляется не только из условия устойчивости и управляемости, но и из условия обеспечения минимальных потерь аэродинамического качества на балансировку. Особый интерес эта задача представляет при использовании активных систем управления, позволяющих обеспечивать устойчивость и управляемость в широком диапазоне центровок.

Вопросам влияния условий балансировки самолета на аэродинамическое качество посвящен ряд исследований. Так, в работах [1, 2] рассмотрена задача определения центровки, при которой обеспечива-

ется минимум балансировочного сопротивления при заданной величине коэффициента подъемной силы самолета. В работе [3] исследовано влияние запаса продольной статической устойчивости и постоянной составляющей продольного момента на величину балансировочного качества самолета. Общим для этих исследований является то, что площадь горизонтального оперения и угол скоса потока у горизонтального оперения считаются заданными (или варьируемыми) параметрами.

В данной статье площадь горизонтального оперения рассматривается как одна из независимых переменных и учитывается, что скос потока зависит от коэффициента подъемной силы самолета без горизонтального оперения. В такой постановке задача о максимуме балансировочного аэродинамического качества сводится к задаче об экстремумах функции трех переменных (коэффициента подъемной силы самолета без горизонтального оперения, площади горизонтального оперения и центровки самолета) с учетом того, что область определения этой функции ограничена из условий обеспечения устойчивости и управляемости самолета.

В статье исследуются условия, при которых реализуется максимум балансировочного аэродинамического качества неманевренных самолетов в зависимости от параметров компоновки и различных конструктивных ограничений.

1. Будем использовать следующее приближенное выражение для аэродинамического качества самолета [3]:

^__________су б. г. о су г. о Зг. о_

СX б. Г. О "Ь (сх г. о ^у Г, О *^г. о

Здесь су б г о и сх б.г.о — коэффициент подъемной силы и коэффициент аэродинамического сопротивления самолета без горизонтального оперения; су го, сх г.о — коэффициент подъемной силы и коэффициент аэродинамического сопротивления горизонтального оперения, отнесенные к площади горизонтального оперения; 5Г.0 — относительная площадь горизонтального оперения; 6 — осредненный угол скоса потока в области горизонтального оперения. При этом будем принимать

Сх б.г. о == СхО б. г. о А (Су б. г. о — СуоУ,

Сх г. о = СхО г.о + Вс*у г 0, (2)

2 = Ч + ^ б' Г‘ ° Сч б. г. о,

где А—коэффициент отвала поляры самолета без горизонтального оперения; В — коэффициент отвала поляры горизонтального оперения; 8су б. г. о_ производная угла скоса потока по коэффициенту подъемной силы самолета без горизонтального оперения; ео — угол скоса потока

при су б.г.о = 0; Су о — коэффициент, учитывающий несимметричность по-

ляры-самолета без горизонтального оперения; Сж0б.г.о и сх о г. о — минимальное значение коэффициентов аэродинамического сопротивления самолета без горизонтального оперения и изолированного горизонтального оперения соответственно.

Величина Сх г.о записана для случая неотклоненного руля высоты, 6 = 0. Случай 6=^0 рассматривается в п. 6.

Будем считать, что различным величинам 5Г.0 соответствуют геометрически подобные горизонтальные оперения. Тогда в общем случае величины Сх о г.О) В, Єо иеСу6-г-° будут функциями Яг.о. Учет такой зависимости существенно усложняет анализ. В то же время оценки показывают, например, что при эллиптическом распределении циркуляции по размаху крыла и небольших величинах размаха оперения по сравнению с размахом крыла, характерных для неманевренных самолетов, зависимость єо и г^б г оот 5Г0 в первом приближении можно не учитывать. Аналогичное положение можно высказать и в отношении величин Схот.о и В. Поэтому ниже эти величины считаем независимыми от

5г.о- _

Величины Су г.о, Су 5, г. о и 5Г. о связаны условием балансировки, которое можно представить в виде

Су т. о “Ьг. о == ?Мг о ~Ь Ніг*б. г. о * Су б. г. о» (3)

где

” И2 0 б. Г. О ~Су Хт ХР б. Г. О

0— ~7~ ’ б. г.о —■ =

Г. о х/Т. о

гпхоб.т.о — коэффициент продольного момента самолета без горизонтального оперения при сУб.г.о = 0; Ьг_ о — относительное плечо горизонтального оперения; Хрб. г. о и — безразмерные координаты аэродинамического фокуса самолета без горизонтального оперения и центровки самолета соответственно, отнесенные к средней аэродинамической хорде крыла; к — коэффициент торможения потока в области горизонтального оперения, представляющий собой отношение скоростного напора в районе горизонтального оперения к скоростному напору невозмущенного потока.

Учитывая изложенное, получим, что балансировочное аэродинамическое качество является функцией трех переменных

^бал ^Сбал (Су б. г. о> 5Г. о> •£•]■)• (4)

Внутри области определения необходимыми условиями экстремума

/(бал ЯВЛЯЮТСЯ СООТНОШЄНИЯ

дсу б. г. о

дКбап

дхт

дк ба

- = 0; (5)

= 0; (6)

- = 0. (7)

Достаточные условия максимума величины Лбал (4) заключаются в том, чтобы при значениях су б. г. о, Хт и 5Г. о, удовлетворяющих уравнениям (5) — (7), второй дифференциал й(2/<бал был отрицательно определенной квадратичной формой. В соответствии с критерием Сильвестра

для этого необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные миноры матрицы

«а «12 «18

А = «21 «22 «23

«31 «32 «33

где «и -

д*Кба

дх\

2 В

Кбал Су г< 0 и.2 72

^г. о “г. о

______________д2 А'бал

12 “ <йт д5г. 0

<?2 Кбал

«1 я — '

= -2 В

Кбал Су г. о Су б. г. <

с* * ^г. о ^г. о

Кбал С

у б. г. о

^Т б. г. о

«22 ----- “

д*К

0

25

СХ Х ^т. о ^бзл Су р 0

‘■Л.о ;

25 ^ГСУ I /уб.г.о

=----Шг 6. г. о ~Г £

<Э2/С

ал

л

г. о су б. г. о

#33 :

дс

2 В

Кбал Су г. о _ ““2В ; Кб.

у б. г. о

Л + вА,оЕ

(«Хг.о)2

«21 ----- «12) «31 -«13* «32----«23І

= б.г.о + (СХГ. о +Су г. о £) о •

Получаем, что

(іеі

«И «12

«21 «22

(8)

а знак определителя матрицы А <ЗеЫ =•

2^бал4б.г.о4г.о(^б-Г°)2

СХ{*УЧ ^.о^г.о

при любых значениях переменных суб. г. 0, *т и 5Г. 0 противоположен знаку величины а1Ь кроме 5’г.о = 0. Следовательно, второй дифференциал оР/Сбал является неопределенной квадратичной формой, и функция /Сбал (4) в области определения ни при каких сочетаниях параметров

СхОб. г. о, СдгОг. о, Су„, А, В, е0, £СУб.г.0> и г о экстремумов Не

имеет. При 5г.о = 0 характер экстремума функции (4) зависит от знака величины

/Г=/С* о

к*

1 — £* К* I

где К* и е* — максимальное аэродинамическое качество самолета без горизонтального оперения и соответствующий ему угол скоса потока; К г. о — максимальное аэродинамическое качество оперения. При отри-

дательных значениях (что и реализуется на крейсерских режимах неманевренных самолетов обычных КОМПОНОВОК) величина Лбал имеет максимум, а при положительных значениях Р — минимум.

Поскольку практический интерес представляют только значения 5Г. о>0, то проведенный анализ показывает, что задача о максимуме балансировочного качества самолета обычной схемы может иметь смысл лишь как задача на условный экстремум. Ниже дополнительному условию будем подчинять величины хт и 5Г.0) которые определяют продольную устойчивость и возможность продольной балансировки самолета. Для упрощения записи будем использовать обозначения су, сх0, есу, К, 5 и Ь вместо соответственно Су б.г. о, Схоб.г. о, еСу б-ГЛ Кбал, ^г. о И хЕг, 0. Чтобы различать величины, соответствующие различным условным экстремумам, будем приписывать этим величинам нижний индекс, характеризующий рассматриваемое условие, например, лгт<? и Кв — оптимальная центровка и максимальное балансировочное качество при фиксированном значении 5; Кбх ■—максимальное балансировочное

качество при фиксированных значениях 5 и хт и т. д.

2. Рассмотрим максимальное балансировочное качество при заданных величинах 5 и х?. Необходимым условием максимума является уравнение (5), а достаточным — условие а33>0 (8), которое для реальных значений параметров выполняется. Получаем

/. _______________"iz о________ I 1 /______________0 А________Шг0 I с .

У ХТ 1 . V П 12 a 1 , -Cv “г а ’

i+^Ar.o v r.0)2 ai+m/t

б. Г. О

| (9)

где

Xs — + mz6. r.p) cvS.rT + m*° >

T ac2ySxl + bcySx T + c

a — A + тсг\ т огсу + Л (mcA. r.0)2;

__, _ Q _ _

Ь =— £q tflz б. г. о 4" ® ^z 0 2Acy q *-j- 2 tnz q trig б. г. о»

о

2 11 Д ■ 2

с = сх о + Асуо + е0 тг 0 + сх о г. о S Н—— тго.

О

Зависимость Ksx (S, хТ) определяет некоторую поверхность, которая

является огибающей семейства поверхности F(K, S, х?, су)= 0 (4) по параметру су. Расположение линий уровней KsxT = const этой огибающей поверхности позволяет судить об условных максимумах балансировочного качества (4), реализующихся при наложении на величины хт и 5 различных связей. Пример таких линий показан на рис. 1 *. Наи-

* На рис. 1 и ниже приняты следующие значения параметров:

А = 0,06; В = 0.175; сх „ = 0,017; сх0г_о = 0,0075; в0 = 0; L= 2,5; су 0 ==от2 0 6. г.о =0:

су о = 0,25; mzQ6 г 0 = — 0,15; У = 0,08; еСу=0, 12.

При этом сочетание варьируемых параметров обозначается соответствующей цифрой и буквой. Например, обозначению 1 а соответствуют значения

су 0 = /яг0 б.г. о = 0; *СУ = 0,08, а обозначению 2 а—су 0 = 0,25; тг0 б г 0=—-0,15;

есу= 0,08.

“a,I 0,2 ' 0,3 0,4- 0,5 0,3 0,4 0,5 0,5 хт

Рис. 1

больший практический интерес при этом представляют следующие условные максимумы балансировочного качества, связанные с ограничениями области допустимых значений S и х?: при 5 = const, при

хт = const, при тс/ = const.

3. Определим значения хТ в и cys, соответствующие максимальной величине Ks при заданной площади горизонтального оперения. В этом случае необходимыми условиями максимума величины К являются уравнения (5) и (6), в которых S — параметр. Используя критерий Сильвестра, аналогичный рассмотренному в п. 1, можно показать, что-достаточные условия максимума функции К{су, Хт) приводятся к не-

С

равенствам 5>0, 4АВ—5 (г у)2>0 и при реальных значениях параметров выполняются. Решая систему (5), (6), получим

где

•*TS — XF б. г.o'

Lz 0 б. г. о

cyS

+

К,

LS

2 Вс

yS

CyS = ■

D% + 1/"iDi Ds -f- Z?o

2D,

2 АВ + В в у — (єсу)2 5

Di = A + (2-А — *у)------------------------- V^r—

D2 — (2Лсу о + в0)

(2В — г у S)2 4АВ — (єсу)2 5

(2В — є у S)2

■S,

D3 — Ас2у о + сх 0 4- J сх о г. о — В

(2Асу о + е0)2

(2В — в°у S)*

Is-

(10)

Величины Кя и получаем при подстановке в (1) и (2) значений Су5 (10) И Су г. О 5

2А (су5 — Су о) —

Су Г. 05= 2В — •

Анализ полученных соотношений показывает следующее. Постоянная составляющая продольного момента тг о б.г.о приводит только к изменению оптимальной центровки и не влияет на величину Ка-

Потери аэродинамического качества на балансировку при Хт = хт5 составляют небольшую долю от максимального качества самолета без горизонтального оперения К*, а величина су8 мало отличается от величины С* — Су (К*). Поэтому величину Хт 8 можно оценивать по следующей приближенной формуле, вытекающей из (10):

х —х тг 0 б. т. о . ! 1 аЛ ££

™ ^б.г.о с* + ^ я* ) 2вс;

где

с; = су5(5=0), К*=К(С*У, 5 = 0), е* = в0 + ^ус;. (И)

Следовательно, оптимальная центровка хт в является почти линейной

функцией величины 5. При этом знак величины ^*Т5 . определяется

(18

знаком величины —в*. Так, при увеличении 5 оптимальная центровка при е*К*<1 смещается назад, а при г*К*> 1 — вперед. Отсюда следует важный практический вывод: при увеличении максимального аэродинамического качества самолета без горизонтального оперения и (или) соответствующего ему угла скоса потока е* (т. е., коэффициента с*) тенденция смещения оптимальной центровки назад при увеличении 5 будет ослабевать, а при больших величинах К* и е*(/С*>20, е*>3°) оптимальная центровка будет более передней, чем центровка самолета без горизонтального оперения (удовлетворяющая условию балансировки). Если в (6) положить К=К*, е = е*, то получим следующее соотношение для оценок величины Су г.о 8

с1х

Видно, что знак величины сут. <>5 такой же как и величины—

т. е. подъемная сила на оперении при хт = л:т5 положительная при г* К* < 1 и отрицательная при е*К*^> 1. Величина коэффициента Су т. 05 практически не зависит от 5.

Пример зависимости хТв(5) и Д/Св(5), где АК8 = Кв—К*, а величина К* определяется соотношением (11), показан на рис. 2: штриховые ЛИНИИ соответствуют приближенному соотношению ДЛЯ Хт.

При выборе эксплуатационного диапазона центровок часто бывает необходимо определить потери аэродинамического качества на балансировку ДЛ"5.гт , обусловленные отклонением центровки от оптимальной. Величина определяется из соотношения

■ДК$Т = *Ц.-Я*, ■■

где Кяху — максимальное балансировочное качество при фиксированных величинах 5 и хт (9).

Для оценок величины Д/Csij можно использовать формулу

а ь'(і) _ * д3 К ~ ч2 _^cys — ч2

^А5д(т~— d-2 V*T — — CjcSsl \лт— XTS> '

4. Определим значения Sx и сух , соответствующие максимальной величине К при заданной центровке л:т. Необходимыми условиями максимума величины К в рассматриваемом случае являются уравнения (5) и (7), в которых хт — параметр. Достаточные условия максимума выполняются при S>0 и А + гсу т°2У^>0. Из (7) получаем с учетом (3)

Сх 0 г. о = ВСу г. о лг . (12)

Следовательно, при хт = const максимальное аэродинамическое качество самолета достигается при такой площади горизонтального оперения, при которой реализуется максимальное аэродинамическое качество горизонтального оперения.

Из (3), (5), (7) и (12) получаем

схо~\- АСу о А ес тсу

у * б- г. 0

т

п ■■

2Асу о + Ео — тг о

20 (1 + т° у 2 б. Г. О

1 при

2 при X/р х^2,

г б. г.о

а величины хТ1 и хТ2 удовлетворяют уравнениям

— — тг 0 б. г. о

ХТ1 ~ ХР б. г. о

хТ2— хР б-г_0-

т

г 0 б. г. о

СуХт(ЛГТ2. п — 2)

(14)

В диапазоне центровок хТ1 ^.хТ <л:Т2 решения не существует. Величину Кх получим при подстановке 5*т, и суг. охТ (13)

в 0). Т

Пример зависимостей 5лгт(л:т) и &Кхт (.*т), ДКлгт = — К* по-

казан на рис. 3. Величина Дхт = хГ2 — лТ1 обычно мала, а при выполнении соотношений (14) 5 = 0. Учитывая это, можно полагать

хТ1 — х72 — Хр 6 г 0.

■4 = 4- \/ С В ~~ + XFб.rJYC2yO + -E5r

l^ х 0 г. о

Потери аэродинамического качества на балансировку , обуслов-

ленные отклонением величины 5 от оптимального значения, можно определить по формуле

д тТ=кзхТ-кХт

или приближенно

,04 1 Й2 °х О г- О

=і 4^-<6' - -Ч>!-

Лу Л*

хт т

5. Рассмотрим случай, когда величины хт и 5 связаны соотношением, обеспечивающим заданный запас продольной статической устойчивости самолета т°2у ,

Л хТ = хТи -!- Хр 5, (15)

где ;сТи = х г о тсгУ, тсу = сопэ!, х$ — производная координаты

аэродинамического фокуса по площади горизонтального оперения.

Необходимые условия максимума аэродинамического качества дают следующие уравнения:

1 — 2КА (су — су о) + {тсу + л:|5)[1 — К (2Всуг. 0 + е0 + &су с^)] —

— АГес> г. о 5 = 0, (16)

с х5

^ Р ' [1 — К(2Всу г. о + £0 + ®СУ су)1 ~~ К ірх О г. о — Вс2у г 0) =0.

Если с помощью (3) и (15) исключить из (16) величину 5, то получим систему уравнений для су и суг.0. Каждое из этих уравнений содержит величину Су в четвертой И Су г. о в третьей степени. Эти уравнения можно свести к трансцендентному уравнению 1(су) = 0 и к соотношению суТ.0 = = Ф(су). Пример численного решения уравнений (16) показан на рис. 4, где =Ктс — К*. Видно, что при увеличении запаса продольной

7? г

статической устойчивости самолета тсу оптимальное значение площади горизонтального оперения возрастает. Приближенно величину $тСу

можно определить пб формуле

Рис. 4

При подстановке этого выражения в (15) получим приближенное соотношение для хТтс . Так же как и в случаях, рассмотренных в п. 3

и 4, оптимальное значение суГ,0 не равно нулю.

6. Рассмотрим влияние угла отклонения руля высоты б на балансировочное качество. При небольших величинах 6, |6| <5°-г-10°, для коэффициента сжг. 0 можно записать соотношения

С х г. о == Сх 0 г. о “Ь г0 С-^Су г. о ^ ^*2 (1

где и с2 — коэффициенты, зависящие от геометрических параметров горизонтального оперения и режима полета, при этом с2>0.

Поскольку при заданном значении б заданное значение су г.0 может быть обеспечено за счет угла установки стабилизатора, величины су г. 0 и б можно считать независимыми переменными. Поэтому балансировочное аэродинамическое качество можно представить в виде функции четырех переменных

К=К{су, 5, хт, 8). (18)

Анализ этого соотношения показывает следующее. Функция (18) так же, как и функция (4), безусловных экстремумов не имеет.

Рассмотренные в п. 2—5 условные максимумы балансировочного качества достигаются при значениях б, равных

^ = ' -Су т. о- (19)

Если подставить это значение б в (17), то получим

^х г. о ^0г.о + 5г^г.о-

где

С?

Вь = Б-------------—. (20)

4с2

Поэтому полученные в и. 2—5 соотношения будут справедливы и для случая 6=^0, если в них заменить величину В величиной В0 (20). Так как с2>0, то из (20) получаем, что при сх =£0

В соответствии с (19) оптимальный угол отклонения руля высоты равен нулю только в том случае, когда Ci = 0 (поскольку суг. oopt#0, см. п. 2—5). Знак б при Ci<0 совпадает со знаком сут. 0, а при с4>0 противоположен знаку сут. о. Оптимальный угол отклонения стабилизатора Ф при заданных суг. 00pt и сУб.т. 00pt определяется из условия

Су г. о opt = Су г. о (“opt sopt + ?) ~Ь Су г. о ^opt, (21)

где aopt, eopt — угол атаки и угол скоса потока, соответствующие опти-

мальному балансировочному значению коэффициента подъемной силы самолета без горизонтального оперения, рассмотренному в п. 2—5.

В тех случаях, когда стабилизатор неподвижен, соотношение (21) может быть выполнено за счет выбора угла установки стабилизатора только на каком-либо одном режиме полета. На других режимах величину СуТ. о следует рассматривать как функцию 6 и коэффициента подъемной силы самолета без горизонтального оперения су. Например, при небольших а и б

Сут.о = Су0г.о + СуУ?.оСУ + Су г. о

где су от. о — значение сут. 0 при выбранном угле установки стабилизатора и Су = 6 = 0. Условие балансировки при этом имеет

S = —^------(mz о + Тп/6. г. о су)-^-----(су о г. о + ссуУг' 0 су).

^су г. о су г. о

Пример зависимостей схг.о(суг.о, 8) для случая <p = var при сх0т 0 = 0,0075, В = 0,175, с,= — 0,12, с2 = 0,12 показан на рис. 5.

Рис. 5

В рассматриваемом случае Bs = 0,145, Sopt =—рад. Влияние

такого изменения величины В на оптимальные значения S и лт и на потери балансировочного качества при mczy— const показано

на рис. 4 штриховыми линиями. Видно, например, что при тсгУ=0, 90

т У г

'1тс — 0,39 вместо Д К

1,15

Z

= 0,4 при 3 = 0.

Z Z

Полученные соотношения позволяют на этапе предварительного проектирования оценить оптимальные значения центровки и площади' горизонтального оперения неманевренного самолета, обеспечивающие максимум балансировочного аэродинамического качества с учетом конструктивных ограничений, и провести сравнительный анализ различных аэродинамических компоновок самолета.

1. Lutz е F. Н. Trimmed drag consideration. — J. of Aircraft, 1977, vol. 14, N 6.

2. Sachs G. Optimale Leitwerksauslegung fiir Fliigzeuge kunstlicher Stabilitat, — Zeitschrifi fiir Fliigwissenschaften und Weltraumforschung. Heft 1, 1978.

3. О б p у б о в А. Г., Грязин В. Е. Потери аэродинамического качества при балансировке неманевренного самолета. — Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2039.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 28/1П 1986 г.