CC BY
110Условия статической устойчивости синхронного двигателя
с постоянными магнитами
Анатолий КОРШУНОВ, д. т. н.
a.i.korshunov@mail.ru
Условия статической устойчивости получены классическим методом в виде простых неравенств. На зависимости электромагнитного момента от угла сдвига оси поля статора от оси поля ротора в стационарном режиме определены статически устойчивая и неустойчивая части.
Введение
Согласно [1] статическая устойчивость синхронного двигателя (СД) с точки зрения математической теории устойчивости [2, 3] означает асимптотическую устойчивость его стационарного режима в малом. Физически асимптотическая устойчивость стационарного режима в малом означает, что достаточно малые отклонения от него, называемые возмущениями, с течением времени затухают до нуля, то есть полностью исчезают. Стационарным будем называть режим работы СД, параметры которого не изменяются с течением времени. Практическое значение имеет стационарный режим вращения с постоянными скоростью и электромагнитным вращающим моментом при синусоидальных токах статора определенной амплитуды и частоты. Термин «стационарный» значительно шире термина «установившийся». Последний подразумевает асимптотически устойчивый стационарный режим, который в общем случае может быть и неустойчивым, и «просто» устойчивым по Ляпунову [3]. При «простой» устойчивости стационарного режима по Ляпунову достаточно малые отклонения от него не затухают с течением времени до нуля, а остаются достаточно малыми.
Давний интерес к проблеме устойчивости синхронных машин вызван наличием «ква-зиупругой электромагнитной связи ротора машины с магнитной осью поля статора» [1], вызывающей резко выраженный колебательный характер переходных процессов при внешних возмущающих воздействиях. Расходящиеся колебания в случае неустойчивости стационарного режима обычно приводят к выпадению СД из синхронизма и возможной аварии. Колебания выходного напряжения синхронного генератора также крайне нежелательны.
Проблема устойчивости синхронной машины исследована в трудах многих отечественных и зарубежных ученых. Перечисление всех работ невозможно и вряд ли уместно.
Выделение же из них основных чревато субъективностью отбора. Поэтому далее указаны только цитируемые работы.
Синхронный двигатель с постоянными магнитами на роторе, статическая устойчивость которого исследуется далее, благодаря своим эксплуатационным характеристикам является «перспективной электрической машиной для приводов малой и средней мощности: от стиральной машины до металлорежущего станка и электровоза» [4]. Быстрое внедрение синхронных двигателей этого типа в промышленности вызвало интерес к исследованию их статической устойчивости [5]. Отсутствие обмотки возбуждения и демпферной обмотки, являющейся успокоителем колебаний [6], делает проблему устойчивости СД с постоянными магнитами весьма острой, поскольку лишает известных возможностей воздействия на статическую устойчивость [1]. Особенно это актуально для СД, применяемых в разомкнутых системах, где свойства двигателя используются для поддержания синхронного вращения большого числа индивидуальных приводов [5].
В работе [5] для исследования статической устойчивости СД с постоянными магнитами использован подход, основанный на момент-ной частотной характеристике синхронной машины [1]. Статическая устойчивость СД исследуется по коэффициентам синхронизирующего и демпферного моментов.
В данной работе приведены результаты исследования устойчивости стационарного режима СД классическим методом теории устойчивости по линеаризованному уравнению возмущенного движения согласно методу А. М. Ляпунова [2, 3]. При этом линеаризованное уравнение возмущенного движения оказывается линейным дифференциальным уравнением, коэффициенты которого периодически изменяются с частотой сети, питающей статор СД. Замена переменных коэффициентов постоянными при получении условий устойчивости не производилась.
Математическая модель СД с постоянными магнитами
Для удобства решения задачи классическим методом использована математическая модель СД с постоянными магнитами, несколько отличная от обычной модели, полученной в [7] при следующих обычных упрощающих допущениях [8, 9]:
• отсутствуют насыщение, гистерезис и вихревые токи в магнитной цепи, а также вытеснение тока в проводниках обмотки;
• обмотки статора обладают полной симметрией;
• магнитная индукция, создаваемая магнитами ротора в воздушном зазоре, распределена по синусоидальному закону и не зависит от токов статора;
• индуктивности и взаимоиндуктивности обмоток статора не зависят от положения ротора;
• питание статора осуществляется от идеального источника симметричного трехфазного напряжения.
Для простоты положим, что СД имеет одну пару полюсов.
Учитывая симметрию фазовых обмоток и угол сдвига между их осями 2п/3, можно считать их взаимоиндуктивности одинаковыми и отрицательными, то есть равными -М.
Согласно II закону Кирхгофа уравнения электрического равновесия для обмоток статора, соединенных звездой, с учетом предыдущего замечания имеют следующий вид:
Л
^в сіі
- + п.
і / ъ ж
-М—--М—-сіі (к
Ь + гів —М<^-—М'^- = ив—ев, сіі
■ Ліс йі
г СІї 1 , . СІїп
Ь —- + гіг - М —- - М —- -сіі сіі сіі
■иг —е,
С’
(1)
где 1А, 1В, 1С — фазные токи, Ь и г — индуктивность и активное сопротивление фазной
обмотки, uA, uB, uC — фазные напряжения, еА, ев, ec — ЭДС вращения, наводимые магнитным полем ротора и определяемые выражениями:
Єа = -CeЮp sin 0p, ев = -Ce ®p sin (9p -2п/3),
ec = -Ce ®p sin (0p+2п/3), (2)
где Юр — скорость вращения ротора СД, Q — постоянная, 9р — угол поворота ротора, отсчитываемый от оси фазы А в направлении вращения поля ротора (за положительное направление оси фазы А принято направление, совпадающее с направлением оси N-полюса статора при iA = I, iB = iC = I/2, положительное направление ЭДС противоположно положительному направлению фазного тока).
Заметим для определенности, что упомянутые индуктивности и взаимоиндуктивно-сти (L и M) вызваны потокосцеплениями, созданными токами фазных обмоток статора.
С учетом уравнения:
iA + iB + iC = О (3)
записанного для обмотки статора, соединенной звездой, по первому закону Кирхгофа, несложно выполнить декомпозицию системы дифференциальных уравнений (1), представив ее в виде трех автономных уравнений:
(L+M)dij/dt+rij = Uj-ej, j = A, B, C. (4)
Уравнение механического равновесия записывается по II закону Ньютона:
Jd®p /dt = Mm-MH, ®p = d9p/dt, (5)
где J — суммарный момент инерции привода, приведенный к валу двигателя, Мн — момент нагрузки, Мэм — электромагнитный вращающий момент СД, определяемый выражением:
Мэм = -Ce [iA sin9p- iB sin (9p+n/3)--iC sin (9p-3)] = = -Ce [iA sin9p+ iB sin (9p-2n/3)+
+iC sin(9p+2n/3). (6)
Полученная система дифференциальных уравнений СД (4) и (5) с учетом зависимости ЭДС вращения eA, eB, ec и электромагнитного момента Мж от угла поворота ротора 9р имеет четвертый порядок, поскольку, согласно уравнению (3), один из фазных токов выражается через два других.
Стационарный режим работы СД при постоянном моменте нагрузки
Стационарный режим определяется согласно указанному во введении постоянным моментом нагрузки:
Мн = const, (7)
скоростью вращения ротора <$р, равной синхронной скорости ю:
Юр = ю = const, (8)
фазными токами, образующими трехфазную симметричную систему:
iA = Im cos(at),
iB = Im cos (at-2п/3),
ic = Im cos (at+2п/3). (9)
Фазные напряжения uA, uB, uc, очевидно, также образуют симметричную трехфазную систему:
uA = Um cos (at+ф),
uB = Um cos ^+ф-2п/3),
uc = Um cos (юt+ф+ 2п/3), (10)
где ф — сдвиг по фазе фазных тока и напряжения, ф>0 при отставании тока от напряжения.
Из уравнения механического равновесия (5) с учетом (7), (8) и (9) получены уравнения стационарного режима:
0р (t) = at- 5, (11)
где 5 — угол отставания оси S-полюса ротора от оси N-полюса статора
Мэм = CJm sin5 = Мн, Си = (3/2)С. (12)
Уравнения электрического равновесия (4) в стационарном режиме имеют вид:
-Im a(L+M)sin(at+Wj)+Imr cos (at+Wj) = = Um cos (®t+5+Wj)+Ce sin (®t-5+W-)
или
ImaLs cos (at+Wj+n/2)+Imr cos (®t+Wj)+ +Em cos C®t-5+Tj+n/2) =
= Um cos ^+ф+¥у), (13)
где Ls = L+M, Em = Cea, j = A, B, C, WA = 0, WB = -2п/3, WC = 2п/3.
По уравнению (13) легко построить векторную диаграмму для фазной обмотки статора.
В статье [10] стационарные режимы исследованы при упрощающем допущении о нулевом активном сопротивлении статорной обмотки (г = 0). Это допущение тем более справедливо, чем более сильно неравенство
aL ^ г. (14)
Оно справедливо при достаточно большой мощности СД и номинальной частоте вращения. При частотном управлении СД неравенство (14) может не выполняться при низких скоростях вращения. Поэтому стационарные режимы и условия их статической устойчивости исследованы с учетом активного сопротивления статора.
В реальных условиях, то есть при r > 0, как и при r = 0 [10], характер стационарных режимов существенно зависит от степени возбуждения СД, определяемой величиной
a = Em/Um, (15)
где а >1 соответствует перевозбуждению, а <1 — недовозбуждению СД.
При перевозбуждении стационарные двигательные режимы возможны при:
3®/2^a-5m = 5Х < 5 < п,
5m = arcsin(Em/Um) = arcsin(1/a), (16)
где фа = arctg(roLs/r), a cos фа < 1, астационар-ные тормозные режимы при:
-п < 5 < -(п/2+фa)+5m. (17)
Значение максимального вращающего электромагнитного момента в двигательном режиме и соответствующей амплитуды фазного тока СД как при перевозбуждении, так и при недовозбуждении определяются одними и теми же выражениями:
(Мэм)max = CMUm (1- Яcos фа)/za,
za = Vr 2+(®Ls)2, (18)
(Im )max = (Um ^ 2a cos фа+а )/za.
Максимальное значение вращающий электромагнитный момент СД принимает при:
~ ~ . l-acos(p„
8 = 8rnax=7t-arCSm I------- , •
у] 1-2 a cos фа + а
(19)
Зависимость относительной величины вращающего электромагнитного момента в двигательном режиме m3M = Мэм/(Мэм)тах от угла отставания поля ротора от поля статора 5 при недовозбуждении СД однозначна и имеет вид:
m3M = [-a sin (5+фа)+
+V1- а2cos2(5+фа)] sin 5/(1-а cos фа),
0 < 5 < п, (20)
а при перевозбуждении имеет два значения при одном 5 согласно формуле:
m3M = [-a sin (5+фа)±
±V1- a2cos2(ф+фa)]sin5/(1-a cos фа), 3п/2-фа - 5m < 5 < п. (21)
Влияние относительной величины r, оцениваемой углом фа, на характер зависимости m3M (5) позволяют оценить графики (рис. 1 и 2), построенные для а = 0,8 и а = 1,2 соответственно.
Линеаризованные уравнения возмущенного движения
Для оценки статической устойчивости СД необходимо получить дифференциальные уравнения возмущенного движения, описы-
mj, 8) 1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,
'7\
яЯ-фо _п к/2 у Г W\
0,05 /// 0,1 Я* IV
ОИ
1
S/я ’
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Рис. 1
Рис. 2
:---------------X, +
. г С 2п 1
x2=- — x2+yLx5 sm(xA-—)+—uB,
L-£ L-£ і
• г С ■ ґ 2л 1
*3 = —j~xi + -r-xs ЫП(Х4 + —) + — ис,
L-£ bj- J bj.
x4 = x5,
x5 = sinx4+x2sin(x4 + y) + x3 sin(x4-y)]-yMff =
С 2к 2n 1
= -—^-[х1&тхл+х2Sm(jC4-^-)+JC3 sin(x4+y)]-yMff,
вающие характер изменения отклонении от стационарного режима.
Обозначив фазовые координаты СД:
;A, x2 = ;B, x3 = ;Г, x4 = 9p,
x5 = ®p = d%p /dt,
ir, x4
его нелинейные дифференциальные уравнения можно представить в форме Коши (22), где
иА = Um cos (at+ф), иВ = Um cos (ю^+ф-2п/3), иС = Um cos (®|:+ф+ 2п/3).
Очевидно, что в стационарном режиме фазовые координаты изменяются следующим образом:
x“ = Imcos at, x2 = Im cos (at-2n/3), x30 = Im cos (at+2n/3), x40 = at-5, x50 = a, MH = 3/2CeIm sin 5. (23)
Подстановка в дифференциальные уравнения (22):
x( = xi°+Axi, i = 1, 2, 3, 4, 5, (24)
где Дх; — отклонения от стационарного режима (возмущения), дает нелинейные дифференциальные уравнения возмущенного движения (из-за сложности здесь не приводится). Для определения характера изменения возмущений во времени необходимо найти решение этой системы нелинейных дифференциальных уравнений. Общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не существует, а большинство из них не имеет аналитического решения [2]. Можно, однако, избежать этих затруднений.
Как показал А. М. Ляпунов [2, 3], при достаточно малых возмущениях о характере решений нелинейных дифференциальных уравнений возмущенного движения можно судить по решению линеаризованного уравнения, оценить свойства которого несравненно проще.
В результате разложения нелинейных членов дифференциальных уравнений возмущенного движения в ряд по степеням Ax;, i = 1, 2, 3, 4, 5 c оставлением только линейных членов разложения и учета того, что выражения (23), описывающие стационарный режим, являются решениями системы нелинейных дифференциальных уравнений (22), получена система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (25).
Условия статической устойчивости стационарного режима
Решения системы линейных дифференциальных уравнении (25) при любых начальных условиях затухают экспоненциально, если характеристические числа этои системы уравне-(22) ний по модулю меньше единицы [2]. Следо-
x
Aij =------Д Xj + cos x°Ax4 + —^ sin x°aAx5 ,
A ♦ f A / 0 ч . С . - 0 ^71» A
Ax2 = -—Ax2 + cos (x4 ——)Ax4+-j*- sin(x4 - — )Ajc5 ,
a • a , n 271 ч . C. • /• о 2jt. .
Ax, =-------Ax, + —cos (xд + —)Ax, + — sm(jc4 + —) Ax,,
3 ij.3^ 4 3 3
Ax4 = Ax5,
С С 7Г 7t
A x5 = —Im cos 8Ax4 + -^[- sin jc4 Axj + sin(x4 - —) Ajc2 + sin(x° + —) Ajc3 ] =
С С 2к 2к
= —cos8Ax4 —x4‘+ sin(x4 - —)Ax2 + sin(x4 + —)Ax3], (25)
вательно, и решения нелинейных дифференциальных уравнений возмущенного движения при достаточно малых возмущениях также затухают до нуля, что означает статическую устойчивость стационарного режима.
К сожалению, общих методов для определения характеристических чисел линейной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами не существует. Поэтому была предпринята попытка найти приближенное решение системы (25) в аналитической форме, используя специфику рассматриваемого случая, а именно значительно более быстрое протекание электромагнитных процессов по сравнению с механическими. Это позволяет считать в первых трех уравнениях системы (25) Дх4 и Дх5 постоянными и легко найти их решения. Их подстановка в последнее уравнение системы (25) с учетом предпоследнего уравнения позволила описать механическую составляющую возмущенного движения дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Qt(p) = Р2+( Cm/J )[Im cos 5 +Em lza sin ф Jp+ + (CeCMIJZa)C0S фа = 0. (26)
Согласно критерию устойчивости Вышнеградского [11] для экспоненциального затухания механической составляющей возмущенного движения необходимо и достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения, то есть выполнения условий:
| (CeCMIJza)C0S Фа > 0 1 (CmIJZa)[ZaIm COS 5+Em sin фа] > 0, (27)
первое из которых в условиях задачи выполняется тождественно. Подстановка экспоненциально затухающих функций Дх4(^ и Дх5(^ в первые три дифференциальные уравнения системы (25) позволяет сделать вывод об экспоненциальном затухании и электромагнитной составляющей возмущенного движения.
Таким образом, в рамках принятого допущения можно считать неравенство
Em sin фa + Imza cos 5 > 0 (28)
условием асимптотической устойчивости стационарного режима (статической устойчивости СД).
Отсутствие средств демпфирования колебаний и пренебрежение потерями, вызывающими демпфирующий момент СД, приводит к сильно колебательному характеру свободной составляющей решения линеаризованного дифференциального уравнения механической составляющей возмущенного движения, затухающей при выполнении условия устойчивости (28). Записав (26) в виде характеристического уравнения колебательного звена [11]:
Q2(p) = p2+2^(1IT)p + 1IT2 = 0, (29)
где T = 1I{V(Cm IJZa)[Za Im cos 5+Em sin фЛ, E, = (CeCMI2zaJ)Tcos фa — параметр затухания, убеждаемся в очень медленном затухании свободных колебаний, поскольку уже
при небольшой мощности СД и номинальной частоте r ^ фя—nI2 ^ 0 и, следова-
тельно, cos ф11 я 0. При невыполнении условия (28) свободная составляющая решения дифференциального уравнения возрастает экспоненциально, а в граничном случае и не затухает, и не возрастает.
Подстановка в неравенство (28) значений угла 5 и амплитуды тока Im, соответствующих максимальному (Мэм)max электромагнитному моменту (18, 19), обращает его в равенство.
Следовательно, стационарный режим, соответствующий предельному электромагнитному моменту (Мэм)max в двигательном режиме, является граничным между асимптотически устойчивыми в малом (статически устойчивыми) стационарными режимами и неустойчивыми стационарными режимами СД.
Анализ векторных диаграмм, построенных по уравнению (13) для a > 1 и a < 1 показывает, что при увеличении 5 за значение 5max(nI2 < 5 < п) в двигательном режиме значение Im возрастает, как и значение Icos 51 (cos ф < 0). Это означает увеличение IImza cos ф1 (Imza cos ф <0) и невыполнение условия устойчивости стационарного режима (28).
При изменении 5 в противоположном направлении Imza cos ф возрастает, и условие (28) выполняется.
Таким образом, двигательные стационарные режимы, соответствующие углам 51 < 5 < 5max, статически устойчивы, а при углах 5max < 5 < п — статически неустойчивы.
Результат, полученный не вполне строгим математическим методом с учетом как механического, так электромагнитного переходного процессов, хорошо согласуется с резуль-
татом, получаемым на основе традиционных рассуждений, применяемых при анализе устойчивости участков механических характеристик двигателя (падающие — устойчивы, возрастающие — неустойчивы). Однако рассуждения эти не являются строгими, поскольку не учитывают электромагнитные переходные процессы в СД и, следовательно, не могут служить обоснованием корректности, казалось бы, очевидного допущения, использованного при решении дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами (25).
Проверка корректности принятого допущения проведена путем сравнения характера решения системы дифференциальных уравнений (25) в среде MATLAB 6.5, Simulink 5 с его характером, определенным по условию устойчивости (28). Схема решения системы дифференциальных уравнений (25) представлена на рис. 3.
Решались линеаризованные дифференциальные уравнения возмущенного движения не-довозбужденного СД (а — 0,8) при следующих его параметрах: r — 0,05 Ом, Ls — 0,00176 Гн, ю = 2nf f — 108, Um — 340 B, Em — aUm — 272 B, J =2 кгм2. Для выбранного значения S = п/5 рассчитаны параметры СД и стационарного режима:
Се — 272/216п = 0,4008 Вс/рад, См — 1,5х Се = 0,6012 Нм/А, za — 1,195 Ом, cos фа = 0,04182, (фа »п/2), Мм — Мн — 23,15 Нм, Im — 65,51 А, ф = 1,070 рад.
Приведены значения параметров с 4 значащими цифрами, хотя вычисления прово-
дились с 16 значащими цифрами. С такой же точностью вводились параметры в схему решения линеаризованного уравнения возмущенного движения (рис. 3).
Нетрудно убедиться путем непосредственной подстановки параметров в условие устойчивости (28) в том, что оно выполнено.
Решение системы уравнений (25) при начальных условиях: Дх4(0) = 1,4, Дх; (0) =0, IФ 4 и рассчитанных параметрах стационарного режима, представленное на рис. 4, говорит
о неустойчивости этого стационарного режима, поскольку амплитуда возмущения хотя и медленно, но возрастает.
Следовательно, допущение, приводящее к изящному и согласующемуся с физическими соображениями результату, некорректно. Это служит еще одним подтверждением известному факту, что «судить о свойствах системы с переменными параметрами по свойствам системы с замороженными коэффициентами нельзя. Это может привести не только к количественным, но и к грубым качественным ошибкам» [12]. Вывод этот, очевидно, распространяется и на использованный нами прием для решения уравнения с периодическими коэффициентами, несколько отличающийся от метода замораживания коэффициентов.
Следовательно, анализ статической устойчивости стационарных режимов СД требует точного решения линеаризованного уравнения возмущенного движения, которое в этом случае удается получить, используя преобразования Лапласа [13] и теорему смещения в комплексной области.
Переход к изображениям по Лапласу в системе дифференциальных уравнений (25) с учетом начальных значений Дх;(0), I = 1, 2,
3, 4, 5 и решение системы алгебраических уравнений относительно изображения Ax4(t) дает после весьма громоздких преобразований искомое изображение, имеющее характеристический полином:
Q4(p) = pi+a3ps+a2f+alp+a0, (30)
где
a3 — 2a,
a2 = а2+ю2+( CMIm/J)cos S+(QCM/JLE), ax — 2a( Cm Im/J)cos S+(CeCM/JLs)a,
O) — (CMEm/JLs)+(CMlm/J)cosS (а2+ю2), a = r/L£.
Для экспоненциального затухания решения системы (25) необходимо и достаточно отрицательности вещественных частей корней характеристического полинома Q4(p). Это условие согласно критерию устойчивости Рауса-Гурвица [11] выполняется при соблюдении системы неравенств:
а{ > 0, i — 0-4, (31)
a302aj a0a3 a4a^ > 0, a4 — 1. (32)
Подстановка в неравенство (32) значений коэффициентов Q4(p) приводит это условие статической устойчивости стационарного режима к виду:
(Cm/J)[Ce/Ls+2Im cosS]-2(®2-a2) > 0. (33)
Из полученного условия (33) следует, что при отсутствии демпфирующего момента у СД и его нагрузки при
ю > a, xL — ®LS, ®Le > r, xl/z2a > 1/2 (34)
и достаточно большом суммарном моменте инерции J рассматриваемые стационарные режимы оказываются статически неустойчивы.
Заметим, что неравенство (34) выполняется для СД при сравнительно небольшой уже мощности и номинальной частоте.
Неравенство (34) имеет противоположный смысл для СД малой мощности во всем диапазоне частот при частотном управлении, а для СД большой мощности — при достаточно низких частотах.
Поскольку коэффициенты а4 — 1 и а3 — 2а положительны, для статической устойчивости стационарного режима достаточно строгой положительности оставшихся трех коэффициентов и выполнения неравенства (33). Нетрудно проверить, что условие положительности свободного члена полинома Q4(p) (а0 > 0) совпадает со вторым из неравенств системы (27) или неравенством (28). Как показано ранее, оно выполняется для стационарных режимов, соответствующих возрастающей части зависимости Мэм(S), на которой
dMM/dS > 0. (35)
Из оставшихся трех неравенств можно исключить неравенство а2 > 0, поскольку оно выполняется при соблюдении условия (33).
Дальнейший анализ показывает, что в случае выполнения неравенства (34) неравенство а1> 0 следует из неравенства (33). Это условие оказывается более жестким, чем второе из неравенств (27).
Действительно, представив их в виде:
(Em /Xl)(XL/z2a) + Im cos S > 0, (Em/xL)1/2 + Im cosS-(J/CM)(ю2-a2) > 0
и учтя (34), можно в качестве условия статической устойчивости стационарного режима оставить только неравенство (33).
Подставив параметры СД и его стационарного режима, устойчивость которого исследована ранее по решению линеаризованного дифференциального уравнения возмущенного движения на ПЭВМ, в условие (33), получаем в левой части неравенства -1,529х106, что подтверждает сделанный вывод о неустойчивости.
Из условия (33) следует, что множество статически устойчивых стационарных режимов зависит от величины J и может оказаться, как уже было отмечено, пустым при больших J.
В случае противоположного смысла неравенства (34) из выполнения неравенства а1 >0 следует соблюдение и неравенства (34). Сравнение условий а1 > 0 и второго из неравенств (27) показывает, что последнее оказывается более жестким, и поэтому именно оно определяет множество статически устойчивых стационарных режимов. Следовательно, при противоположном смысле неравенства (34)
(r > юL2) статически устойчивы стационарные режимы, соответствующие возрастающему участку зависимости Мэм (S), при любом значении суммарного момента инерции.
Проверка полученных результатов методом математического моделирования
Проверка производилась на нелинейной модели СД, построенной по его нелинейным дифференциальным уравнениям (22) в среде MATLAB 6.5, Simulink 5 и приведенной на рис. 5.
Исследуем устойчивость СД в двигательном режиме при его недовозбуждении:
(a — Em/Um — 0,8, cos ф0 — 0,28, фа — п/2(1-0,1807)).
О характере зависимости относительного момента m3M (20) от S можно судить по графикам, представленным на рис. 1.
Поскольку в рассматриваемом случае выполняется неравенство (34), условием статической устойчивости стационарного режима является неравенство (33). Подставив в него Im как функцию от S, определяемую выражением:
za Im /Um —
— -a sin(S+фa)+V(1-a2cos2(S+фa)),
полученным аналогично выражению (13) статьи [10] c учетом r Ф 0 и a < 1, в результате несложных преобразований получаем условие устойчивости в виде:
h(S) > J
где
h(S) — 2a/sin ф0+[-о sin(S+фa)+ +V(1-a2sin2(S+фa )cos S, g(J) — -((2ZaЮ3COs2фa)/(3aUm2 sin2 фa))J*
На рис. 6 представлен график зависимости h(S), из которого находим, что при g(J) — 0,5 статически устойчивыми оказываются стационарные двигательные режимы при 0 <S/n < 0,414.
При Um — 220 V2 B, za — 5 Ом, ю — 100 прад/с (50 Гц) получаем значение J — 4,095х10-4 кгм2.
Моделирование переходных процессов при небольших отклонениях от стационарных двигательных режимов, проведенное в системе MATLAB 6.5, Simulink 5 на нелинейной модели (рис. 5), показало устойчивость стационарных режимов, удовлетворяющих условию S < 0,414п и неустойчивость их при S > 0,414п.
Заметим, что использованное значение момента инерции J значительно меньше J реальных СД при использованных значениях электрических параметров.
Незначительное, всего в 1,25 раза, увеличение J делает все стационарные режимы статически неустойчивыми.
Моделирование переходных процессов при тех же параметрах, но измененном значении a (sin ф0 — 0,28, r > xL) показало, что статическая устойчивость стационарных режимов сохраняется в двигательном режиме при 0<S < Smax — 0,7444п и значительных моментах инерции J — 0,4 кгм2 и более. Увеличение J уменьшает затухание переходного процес-
са и его частоту. При 8, близких к 8шах (19), с увеличением / резко сокращается область устойчивости стационарного режима в фазовом пространстве.
Представляет определенный интерес аналитическая оценка предельного случая (г =0), исследованного методом математического моделирования в статье [10].
Тогда характеристический полином (30) имеет два нулевых коэффициента:
аз — $1 — 0.
Характеристическое уравнение при этом вырождается в биквадратное. Корни его (р,
I — 1, 2, 3, 4) легко вычисляются. Они имеют при выполнении неравенства (35) чисто мнимые значения:
р1, 2 — ±jп, р3, 4 — ±; О о — ^сМйтС0^5+£т7Х1Т77, ; — V-!.
Это означает, что решения системы линеаризованных дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) содержат два гармонических колебания разной частоты, одно из которых имеет частоту напряжения питания. Вследствие этого они и не затухают, и не расходятся.
При параметрах двигателя, использованных при моделировании возмущенного движения вработе [10], (г — 0 Ом, — 0,00176 Гн, © — 2л/, / — 108 Гц, ит — 340 В, Ет — 272 В, Се — 272/216п — 0,4008 Вс/рад, См — 1,5Се —
— 0,6012 Нм/А, / — 2 кгм2, Мэм — Мн — 91,49 Нм,
1т — — 152,7 А) получаем:
О — 8,505 рад/с или Р — О/2п — 1,354 Гц.
Обработка временных диаграмм, полученных в результате моделирования (рис. 11 [10]), дает значения:
О — 8,54 рад/с или Р — О/2п — 1,34 Гц,
очень хорошо согласующиеся с расчетными.
Заметим, что в случае, когда решение системы линеаризованных дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) не затухает и не расходится, решение системы нелинейных дифференциальных уравнений возмущенного движения (22), даже при малых возмущениях в зависимости от отброшенных нелинейных дифференциальных уравнений, может затухать или расходиться.
Вследствие ограниченного времени наблюдения моделируемого процесса, вызванного необходимостью высокой точности интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и ограниченным объемом памяти ПЭВМ, определить действительный характер процесса не удалось. Это можно установить в результате аналитического исследования влияния отброшенных нелинейных дифференциальных уравнений, что имеет, однако, чисто теоретическое значение.
Выводы
1. Статическая устойчивость стационарного режима СД существенно зависит от соотношения активного иреактивного сопротивления фазных обмоток статора.
2. При активном сопротивлении, большем индуктивного сопротивления, статическая устойчивость не зависит от суммарного момента инерции СД и нагрузки. Устой-
чивыми оказываются стационарные режимы, соответствующие возрастающему участку зависимости электромагнитного момента СД от угла сдвига между осями магнитных полей статора и ротора машины.
3. При индуктивном сопротивлении, большем активного сопротивления, на статическую устойчивость стационарного режима существенно влияет суммарный момент инерции. Устойчивыми стационарные режимы оказываются при нереально малых моментах инерции. При реальных же моментах инерции все стационарные режимы будут неустойчивыми.
4. При незначительных демпфирующих моментах нагрузки разомкнутые приводы с мощными СД, обладающими малым активным сопротивлением статорных обмоток, неработоспособны из-за статической неустойчивости стационарных режимов.
5. Анализ устойчивости стационарных режи-
мов СД с использованием метода «замораживания периодических коэффициентов» уравнения возмущенного движения может привести к качественно неверным результатам. ■
Литература
1. Урусов И. Д. Линейная теория колебаний синхронной машины. М.-Л.: Издательство АН СССР, 1960.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.
3. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. Т. II. М.-Л.: Издательство АН СССР, 1956.
4. Панкратов В. Вентильный электропривод: от стиральной машины до металлорежущего станка и электровоза // Электронные компоненты. 2007. № 2.
5. Шевченко А. Ф. Статическая устойчивость синхронных машин с постоянными магнитами // Электричество. 2007. № 8.
6. Рихтер Р. Электрические машины. Т. II. М.: Издательство НКТП СССР, 1936.
7. Коршунов А. И. Упрощенная математическая модель синхронного двигателя с возбуждением постоянными магнитами // Силовая электроника. 2008. № 2.
8. Сипайлов Г. А., Кононенко Е. В., Хорьков К. А. Электрические машины (специальный курс). М.: Высшая школа, 1987.
9. Лайон В. Анализ переходных процессов в электрических машинах переменного тока. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1958.
10. Коршунов А. И. Стационарные режимы синхронного двигателя с постоянными магнитами // Силовая электроника. 2008. № 3.
11. Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.
12. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.
13. Гарднер М. Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961.
