CC BY
10Условия совместности многоиндексных систем
транспортного типа
Прилуцкий М.Х., Афраймович Л.Г. ([email protected] ) Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Рассматривается задача проверки на совместность для одного класса двусторонних линейных многоиндексных алгебраических систем транспортного типа. Даются достаточные условия сводимости такой задачи к задаче поиска допустимой циркуляции в транспортной сети.
При решении задач распределения ограниченных ресурсов в иерархических системах возникает проблема проверки на совместность систем ограничений, описывающих множество допустимых решений таких задач (см.[1-3]). Содержательно задачи распределения ресурсов ставятся следующим образом. В иерархической системе распределяются ресурсы между элементами трех типов: источниками ресурсов, передающими элементами и потребителями ресурсов. Элементы системы и связи между ними характеризуются ресурсными ограничениями, определяющими объемы ресурсов, которые могут циркулировать в системе. Задачи распределения ресурсов в иерархических системах заключаются в определении таких допустимых объемов ресурсов, при которых принимают экстремальные значения критерии оптимальности, определяющие эффективность функционирования систем. Для таких задач общим является то, что варьируемые параметры математической модели являются многоиндексными, причем число индексов может быть различным, в зависимости от рассматриваемой задачи. Для исследования вопроса о совместности будем пользоваться формализацией, предложенной в [4].
Пусть N(>1) = {1,2,..., я}. Каждому числу I поставим в соответствие параметр ]1, называемый индексом, который может принимать значения из множества Jl = {1,2,...,щ}, I е N(1). Пусть / = {к1,к2,...,к}, / с N(1). Набор значений индексов Р/ = (д,]к ,...,]к ) будем называть ¿-индексом, а множество всех
индексов будем обозначать черезЕу = Jk х Jk х... х Jk , t = 1,> . Каждому набору ^ поставим в соответствие действительное число , ^ е Е/. Совокупность таких чисел для всех возможных значений индексов д, Д,..., Д назовем (как и в [4]) ¿-индексной матрицей и обозначим через ^ ^ } = {2Р/}. Пусть
/ = N (я) \ /. Тогда через Р= Р/Р/ будем обозначать ^-индексный набор (Д,Л2,. .,Д,Лм,- -,Л ). При этом будем считать, что если / = 0, то Е/ состоит из специально выделенного 0-индекса Р0, причем Р = Р0Р. Введем следующие
обозначения Е 2Р/Р- = Е Е ••• Е 2ргр~ , Ру е Еу. Тогда система
ограничений задачи распределения ресурсов может быть описана следующим образом:
% < Е У < ЪР , Ру е Еу, / е М,
Ру еЕ 7
здесь М - заданное множество, М с 2 ); аР_ , ЬР_ - заданные параметры, причем аР_ > 0, Ру е Еу, 7 еМ; {хР} - ¿•-индексная матрица действительных
7
неотрицательных неизвестных. В дальнейшем данную систему ограничений будем обозначать через Б(М).
В общем случае для проверки на совместность системы ограничений О(М) могут быть использованы лишь универсальные методы линейной алгебры ([5]). Однако транспортная специфика линейных ограничений, описывающих множество О(М), позволила для частного класса рассматриваемых систем предложить эффективные алгоритмы проверки на совместность, отличные от общих (достаточно трудоемких) методов.
Нас будут интересовать такие системы ограничений типа О(М), для которых применимы процедуры их сводимости к задаче Ь - поиска допустимых циркуляций в транспортных сетях [6]. Пусть в системе ограничений О(М) аР_ и ЬР_
- целые числа, Ру е Еу, у е М . Будем говорить, что система ограничений О(М)
сводится к задаче Ь, если некоторое подмножество компонент допустимого решения задачи Ь образует допустимое решение системы ограничений О(М) и система ограничений О(М) не совместна, если не имеет допустимого решения задача Ь. Так как система ограничений О(М) определяется заданием множества М, М с 2N(*), будем решать задачу поиска таких множеств М, при которых система О(М) сводится к задаче Ь.
Введем следующие вспомогательные определения: будем говорить, что
набор значений индексов Р^ т /кт, }кт,-, ]кт ^ включает в себя набор значений индексов Рущ = ^Дщ,_/к21)До) ^ , и обозначать это как Рум р Р^т , если у(1) С у(2) и /к(1) = /к(2» при к® = кг(22). Будем считать, что Р0 р Ру- для любого у' С N(•).
¡1 12
Теорема. Для того, чтобы система ограничений О(М) сводилась к задаче Ь достаточно, чтобы существовало такое разбиение М1 = {/1(1),у2(1),...,уЩЩ? },
М2 = {/1(2),у2(2),...,уЩ?} множества М, для которого у(1) С У®, г = 1,т1 -1 и
у(2) с у?, г=1тт~1.
Доказательство. Приведем конструктивное доказательство, основанное на построении сетевой модели. Не уменьшая общности, будем считать, что если 0 и N(s) е М, то Т1(1) =0 и уЩп) ={1,2,...,•}. Если какое-либо из рассматриваемых
множеств не включено в М, добавим его, приняв соответствующие величины аР^ за нулевые, а ЪР^ за бесконечно большие величины. Будем конструировать сеть, состоящую из:
1. узлов множества V,(.) = —Р-- е Е— >, / = 1, т. , / = 1,2;
^ [ Рг( /) 1) £ /) у 1 ^
2. специального замыкающего узла t;
3. дуг, определяемых множеством М1, ^УР_ | с нижней пропускной способностью аР__ и верхней пропускной способностью ЪР , если
Р7<1) р Р7<1)' где Ро) е ЕТо)' Р7о) е ЕТо)' 1 = 1,т1 -1;
4. дуги, определяемой множеством М1.
t, УР_ V т1 у
с нижней пропускной
способностью аР_ и верхней пропускной способностью ЪР_,
У т\ ? т\
где Рп е Е7ит;
т\ •■' т\
5. дуг, определяемых множеством М2, ^УР ^ .уР + | с нижней пропускной способностью аР__ и верхней пропускной способностью ЪР__, если
У р рш, где У е У е * =1 т2 -1;
J1+1 -'1+1 -'1+1
6. дуг, определяемых множеством М2
( | , t
г (2)
V 2 у
с нижней пропускной
способностью аР_ и верхней пропускной способностью ЪР_, где
Р (2) Р (2)
1 т2 1 т2
РУт е РйУ ;
т2 т2
7. замыкающих дуг I \Р_, \Р_ I с нулевой нижней и неограниченной
V ^ Р1(2) у
верхней пропускными способностями, если Р— р Рущ, где Рущ е Еу^,
У е У'
Очевидно, что любому допустимому решению системы ограничений О(М) соответствует допустимая циркуляция построенной сети и наоборот (здесь каждой переменной хР системы ограничений О(М) соответствует дуга вида (у, ур ), РеЕщ^). Таким образом, предложенная конструкция сводит систему ограничений О(М) к задаче Ь — поиска допустимой циркуляции в транспортной сети.
Если для множества М выполняются условия теоремы, то, используя вышеизложенный алгоритм, строится соответствующая транспортная сеть с двусторонними пропускными способностями дуг, поиск допустимой циркуляции в
которой осуществляется путем построения соответствующей транспортной сети и решения для нее задачи поиска максимального потока, например, модифицированным алгоритмом расстановки пометок (см. [7]). Если допустимый поток в сети с двусторонними пропускными способностями существует, то соответствующая система ограничений О(М) совместна. Так как вычислительная сложность модифицированного алгоритма расстановки пометок имеет порядок 0(|К|3), где V - множество узлов транспортной сети, то вопрос о совместности систем ограничений типа О(М) решается за порядка 0(|^3) арифметических операций.
Пример.
Рассмотрим 3-х индексную систему двусторонних линейных
алгебраических неравенств транспортного типа О(М), образованную с
использованием индексов /, Ц, к, /еТ, Це3, кеК, при заданном множестве М={{/,к},(/',к},{к},0}:
ац <ЕЕХФ < Ьц, Ц е 3 ;
геТ кеК
<ЕЕ Хук < ¿г, / е I;
У к Це3 кеК
<Е Хк < Щ , г е 1, Ц е 3;
кеК
Ц < Хт < к, г е 1, Ц е 3, к е К •
'ук - лЦк - Ц
Существующее разбиение М1={{1,к},{к},0}, М2={{Ц,к}} множества М удовлетворяет условиям теоремы, т.е. система ограничений О(М) сводится к задаче поиска допустимой циркуляции в соответствующей (согласно конструктивной схеме доказательства теоремы) транспортной сети.
Пусть Т={1,2}, 3={1,2}, К={7,2,3} и система Э(М) задается ограничениями:
14 <ХХ Х1к < 24, 17 <ЕЕх 2к < 25;
г=1 к=1 г=1 к=1
19<ЕЕХ1 Цк <26, 18<ЕЕх2цк <20;
Ц=1 к=1 Ц=1 к=1
9<ЕХ11к < 15, 13 <ЕХ12к < 18, 9<ЕХ21к < 13, 10<ЕХ22к < 14;
к=1 к=1 к=1 к=1
1 < Хш < 5, 0 < Хц2 < 3, 2 < Х113 < 8, 3 < Х121 < 9, 4 < Х122 < 7, 4 < Х123 < 9, 4< Х2П <8, 0< Х212 < 5, 2< Х213 < 7, 6< Х221 < 7, 0<Х222 < 5, 0< Х223 <4. Транспортная сеть, соответствующая системе О(М), представлена на рисунке 1. На рисунке с дугами сети связаны сегменты, соответствующие пропускным способностям. Дуги, у которых сегменты не приведены, имеют нулевую нижнюю и неограниченную верхнюю пропускные способности. Символ А означает, что в соответствующем данному узлу ограничении происходит суммирование по всем значениям данного индекса.
В таблице 1 приведена допустимая циркуляция, определяемая значениями величин потока на дугах. В данной таблице начала и концы дуг обозначены через и и V, соответственно, а величина потока на дуге (и,у) через 0(и,у).
Таблица 1
и (ААА) (ААА) (А1А) (А1А) (А2А) (А2А) (11А) (11А) (11 А) (12А) (12А) (12А)
V (А1А) (А2А) (11А) (21 А) (12 А) (22А) (111) (112) (113) (121) (122) (123)
в(и, V) 18 23 9 9 13 10 5 5 5 3 4 6
и (21 А) (21 А) (21 А) (22А) (22А) (22А) (111) (112) (113) (121) (122) (123)
V (211) (212) (213) (221) (222) (223) (1АА) (1АА) (1АА) (1АА) (1АА) (1АА)
в(и, V) 6 0 3 7 0 3 5 2 2 3 4 6
и (211) (212) (213) (221) (222) (223) (1АА) (2АА) t
V (2АА) (2АА) (2АА) (2АА) (2АА) (2АА) t t (ААА)
в(и, V) 6 0 3 7 0 3 22 19 41
Существование допустимой циркуляции определяет совместность системы В(М), допустимое решение которой приведено в таблице 2.
Таблица 2
Х111 Х112 Х113 Х121 Х122 Х123 Х211 Х212 Х213 Х221 Х222 Х223
5 2 2 3 4 6 6 0 3 7 0 3
Литература
1. Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических системах.// Автоматика и телемеханика. 1996. №2, с. 24-29.
2. Прилуцкий М.Х. Распределение однородного ресурса в иерархических системах древовидной структуры. Труды международной конференции «Идентификация
систем и задачи управления 81СРК0'2000». Москва, 26-28 сентября 2000 г. М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2000, с. 2038-2049.
3. Прилуцкий М.Х., Афраймович Л.Г. Оптимальное распределение однородного ресурса в иерархических системах с доходами.// Вестник ВГАВТ. Межвузовская серия "Моделирование и оптимизация сложных систем". Н.Новгород: Издательство ВГАВТ, вып. 1, 2004, с. 56-63.
4. Раскин Л.Г., Кириченко И.О. Многоиндексные задачи линейного программирования. - М.: Радио и связь, 1982, 240 с.
5. Черников С.Н. Линейные неравенства.- М. : Наука, 1968, 488с.
6. Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. - М.: МИР, 1966, 276с.
7. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. Москва: Мир, 1985, 510 с.
