Научная статья на тему 'Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода'

Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
119
47
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чикина Л. Г., Шабас И. Н.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 03-01-00005 и № 05-01-00096-а), а также Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Ростовской области (№ 04-01-96807) и программы Университеты России (УР.03.01.024). Свойства положительности реальной части и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии зависят от того, какими разностями центральными или противопотоковыми будут аппроксимированы конвективные слагаемые в уравнении конвекции-диффузии, и от формы записи этих слагаемых (симметричной или недивергентной). В работе получены условия положительности реальной части и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Чикина Л. Г., Шабас И. Н.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Conditions of the dissipativity and M-matrix property for the difference operator of the transport equation with combined boundary conditions

Positiveness of the real part and M-matrix property conditions for the convection -diffusion difference operator with boundary conditions of the third type are obtained. Positiveness of the real part and M-matrix properties depend on the central or upwind approximation of the convective terms and on the specific representation of these terms in the symmetric or nondivergent form.

Текст научной работы на тему «Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода»

Вычислительные технологии

Том 10, № 6, 2005

УСЛОВИЯ ДИССИПАТИВНОСТИ И М-МАТРИЧНОСТИ РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО РОДА*

Л. Г. ЧИКИНА, И. Н. ШАБАС ЮГИНФО Ростовского государственного университета, Ростов-на-Дону, Россия e-mail: [email protected], [email protected]

Positiveness of the real part and M-matrix property conditions for the convection — diffusion difference operator with boundary conditions of the third type are obtained. Positiveness of the real part and M-matrix properties depend on the central or upwind approximation of the convective terms and on the specific representation of these terms in the symmetric or nondivergent form.

1. Постановка задачи

В области П х T, П = П U Г, рассматривается система трехмерных уравнений, описывающая процессы переноса вещества в несжимаемой среде:

dS Л д ( dSN Л д , m dS £

St- £ dXi ("'sXj +1 £ aX (v‘s) +(1 - Y) £v'al, + es =1 (1)

t=l 4 7 '=! ,= 1

divv = 0, (2)

где П = {х = (х, у, г)} — трехмерная область расчета (акватория водоема); Б — концентрация вещества; ^,^2,^3 — коэффициенты турбулентной диффузии вещества; vl,v2,v3 — скорости движения среды по направлениям х, у и г соответственно; V = {и, V, /ш} — вектор скорости; в = в(х,у,г,Ь) > 0 описывает консервативность рассматриваемого вещества; 7 £ [0,1] — параметр записи уравнения (1). Условие несжимаемости среды (2) позволяет

записать систему (1) в недивергентном виде (7 = 1), в дивергентном виде (7 = 0) и в

эквивалентной симметричной форме (7 = 1/2).

Система (1) замыкается начальными

Б(х, 0) = Б0(х), х € П, (3)

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 03-01-00005 и № 05-01-00096-а), а также Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Ростовской области (№ 04-01-96807) и программы Университеты России (УР.03.01.024). © Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2005.

и краевыми условиями

Мх)Х(Х)*(Х) = Г(Х)’ Х е Г’ (4)

где ^(х), х(х), г(х) — кусочно-гладкие функции. В зависимости от равенства нулю функций ^(х), х(х), г(х) допускается возможность постановки условий 1, 2 и 3-го рода.

2. Разностная аппроксимация

В области Й вводится равномерная по всем направлениям разностная сетка Йь — и Гь с векторным параметром Н — (Нх, Ну, Н%), где Нх,Ну,Н% — соответствующие шаги сетки. Здесь — множество внутренних узлов сетки; Гь — множество граничных узлов.

При аппроксимации системы необходимо сохранить свойства исходных дифференциальных операторов. Поэтому при пространственной аппроксимации уравнений системы (1), конвективная часть которых записана в симметричной форме, выбрана центрально-разностная схема, а при недивергентной записи конвективных членов - противопотоковая схема.

При аппроксимации первых производных в граничных условиях используются правые либо левые разности в зависимости от того, какая граница рассматривается [1].

Рассмотрим, например, разностный аналог на семиточечном шаблоне на оси ШЕ (рис. 1) краевых условий 3-го рода. Он выглядит следующим образом:

------к----------+ 80]к — гш,

Нх

&Ызк — -!зк ,

№е Н + Хе SNjk ,

преобразованный вид этих условий следующий:

(^ш + Нх)

Нх Н

(№е + Хе Нх ) №е

S0jk--------Г~ s1jk —

Ж 5

°х Нх

SNjk------Т~ SN — 1 jk — г

Нх Н

е •

я

'Т(юМ\) У'у Х/У(и+и)

Шг-ЧЮ Е(}+Чк)

О (и, к) X

>Вш,к-г>

Рис. 1. Семиточечный шаблон.

Таким образом, в общем виде аппроксимация 3-го граничного условия будет иметь вид

дв 5 + рв ? = ге,

где —, — — значения концентрации вещества соответственно в некотором граничном и приграничном узле. Для коэффициентов дв ,ре ,те справедливо

— (^е + Хе На)

в Н ’

11а

№е

Ре = — ~ , те — те ,

На

где 0 заменяется на символы Ш,Б,Б,Т,Ы,Е, если граница области приходится соответственно на (г — 1), (] — 1), (к — 1), (к + 1), (] + 1), (г + 1)-й узел семиточечного шаблона,

а — х,у, г.

В результате задаче (1), (3), (4) поставлен в соответствие дифференциально-разностный аналог

д—н

+ Ьнвн — ¡н(х,£), х,г е Пн х П*,

де5 + ре 5 — те, х,г е Гн X П*, (5)

вН — ин(х, 0), х,Ь еПн х {0},

П* — П* и{0},

где Ьн — Ьон + Lcн + Ь^н, Ь^н — разностный оператор диффузионного переноса; Ьсн — разностный оператор конвективного переноса; Ь^н — разностный аналог функции взаимодействия веществ.

Исключив решение в граничных точках области Пн и учитывая разностные краевые условия, перейдем к неявной операторно-разностной схеме:

„п+1 — -п

-------н + ьн(-п)-п+1 — л;, -н — и0, п > о. (6)

т

Здесь Ьн — это оператор Ьн, в который уже включены граничные условия.

Свойства разностного оператора конвекции-диффузии зависят от того, какими разностями — центральными или противопотоковыми — будут аппроксимированы конвективные слагаемые в уравнении конвекции-диффузии. Поэтому нам необходимы соответственно достаточные условия положительной определенности и М -матричности.

Теорема 1. (Таусски) (достаточное условие положительной определенности) [2, 3]. Пусть симметричная матрица А е Мп:

1) неразложима;

2) матрица с диагональным преобладанием, т. е.

п

\аи\ > ^ ] |\; j=i

3) матрица, у которой хотя бы для одного і

П

\аа\ > 'У ] \аіі\;

і=і

4) матрица, все диагональные элементы которой положительны

ац > 0, г,] — 1, 2,..., п.

Тогда все собственные значения матрицы А строго положительны.

Существует несколько эквивалентных определений М-матричности. Для наших исследований необходимо следующее

Определение 1. Невырожденная матрица А называется М-матрицей, если ее вне-диагональные элементы неположительны, а обратная матрица поэлементно неотрицательна [4].

Теорема 2. Пусть матрица А е Мп и

а^ < 0, г — ], ац > 0, г,] — 1, 2,...,п

имеет строгое диагональное преобладание или же А является неразложимой и имеет диагональное преобладание. Тогда матрица А является М-матрицей [3].

В случае граничных условий 1-го рода центрально-разностная пространственная аппроксимация приводит к диссипативному разностному оператору, а противопотоковая аппроксимация обеспечивает ему свойство М-матричности. Наличие граничных условий 3-го рода может нарушать эти свойства операторов.

3. Диссипативность рассматриваемого разностного оператора

Определение 2. Невырожденная матрица А называется диссипативной, если ее реальная часть А0 — ^ (А + АТ) положительно определена [1].

Для разностных операторов Ьн, получаемых в результате пространственной аппроксимации уравнений системы (1) при центрально-разностной аппроксимации конвективных членов в уравнении конвекции-диффузии (1), (2) с 7 — 1/2 при наличии граничных условий 3-го рода и постоянного коэффициента консервативности рассматриваемого вещества, доказано достаточное условие диссипативности рассматриваемого разностного оператора.

Теорема 3. Пусть в уравнении конвекции-диффузии (1), (2), записанном в симметричной форме (ч — 1/2), с краевыми условиями 3-го рода (5) и в — в(х,у, г,Ь) > 0 конвективные члены аппроксимируются центральными разностями.

Тогда для того чтобы оператор Ьсн — разностный аналог стационарной задачи конвекции-диффузии — был диссипативной матрицей, достаточно выполнение неравенств

в^к — ^ ¿е (1 + Р^) 0С{О)^к > 0, (7)

в=Ш,Я,Б,Т,М,Е ' де '

г — 1, ...,ЫХ — 1, ] — 1,..., Ыу — 1, к — 1, ...,ЫХ — 1,

где хотя бы одно из них является строгим. Здесь 0^к — элементы матрицы А0, симметричной составляющей оператора Ьсн в (6) в приграничном узле для соответствующей границы; 5в — символ Кронекера для соответствующей границы; дв ,рв — коэффициенты из (5), дв = 0.

Доказательство. Оператор Ьсн = Ьон+ЬСн+Ь^н, полученный в результате включения в него граничных условий 3-го рода, сохранил кососимметричность оператора ЬСн. Так как вклады граничных условий 3-го рода вошли в диагональ оператора Ьон, нам достаточно найти условия диссипативности оператора ЬСн + Ь^н ■ Оператору ЬН соответствует матрица Ас = А0 + А1, где кососимметрическая составляющая А\ = ЬСн, а симметричная составляющая А0 = Ьон + Ь^н. Матрица А0 является неразложимой [3, 5]. Так как матрица А0 является неразложимой, по теореме 1 достаточно найти условия, при которых матрица А0 имеет диагональное преобладание, а ее диагональные элементы будут положительными:

1 агг1 ^ 1 ац \ 1

агг > 0.

Сумма норм — это неотрицательная величина, поэтому достаточно найти условия выполнения неравенства

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

агг ^ \ агЦ \1

г=3 агг = 0.

Эти условия обеспечат положительность диагональных элементов. Симметричная матрица А0 имеет вид

\

Ас

Ао

где Шг,Ог,Ег — матрицы размером (Му — 1) х (Му — 1):

(8)

( °1 Е1 0 ■■■ 0

W2 О е2

0 Wз Оз ■■■ 0

■■■ ENx—2

0 0 WNX-1 °^-1

(9)

Wi

Ег

Wгl 0

00

0

0 0 ■■■ WiNv-1

Ег1 0 ■■■

0

Егм.-1

( Ог1 Nil 0 ■■■ 0 \

Бг2 Ог2 N2

0 Бг3 Огз ■■■ 0

■ ■■ -2

0 0 1- гГ г 1- Бг /

А

Здесь Wij, Бц, Оц, N,¿3 ,Ец — матрицы размером — 1) х — 1) Распишем поэлементно матрицы Ог, Wi, Ег:

О

( П^С 0 ■■■ 0 \

Щ2 Щ2 ГПС ■■■

0 Щз Щз ■■■ 0

ГПС 1ijNz -2

0 0 ^^N2 -1 пс DijNz -1 )

Б] 0

0 0

ОС

°г]Мг -1

N

г]

г]

Е

г]

Щ]1 0 ■ ■ 0

0 0 N С ■ ■ ^г]Мг-1

Щг 0 ■ ■ 0

0 0 ■ ■ Щм2-1

С] С Е 0 0

0 0 7 : ^ Е

Коэффициенты матрицы А0 для внутренних точек области имеют следующие значения:

— элементы первой, второй и третьей поддиагоналей соответственно

т0 ■ к =

(0) г] к

а

г]к

кХ

О С0 О(0)]к

г]к

Щ ’

в Со

(0)г]к

а

диагональные элементы (без вкладов граничных условий)

ВСо

(0)г]к

ах _|_ ах

иг+1]к ' игщк

+

а

г]+1к

+ а

у ах + а2

г]к . г]к+1 ' гщк . п

+ ——7^-----------— + вг]к;

кХ Щ к2

элементы первой, второй и третьей наддиагоналей соответственно

(10)

Т С0 (о)г]к

а

гщк+1

к2

NСо. к

(0)г]к

1г]+1к

ц

Е Со

(0)г]к

а

г+1]к

кх ■

В этих обозначениях в из (6) будет иметь вид

ЬН8 = тг°к 8г-1]к + Б] 8г]-1к + вЩк $г]к-\ + ОЩк 8гщк

+ТгЩк вг]к+1 + ^^гщ+гк + ЕгЩк вг+1]к,

где

тЩк

(1 - Ъ Кгк вЩ

(1 - бв )в;

(о)г]к;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Щ = (1 - ¿т)Т0щ; $°к = (1 - К )^:щ; ЕС0к = (1 - ¿е)ЕС0щ,

'(0)г]к’

ь0

'г] к

о

(0)г]к;

г]к

(0)гЗк’

Щк = °Со г]к -—тСог]к - 6~—Осо г]к - ¿в—вС0г]к - ¿Т—тСоог]к-

(0)г]к ^ д (0)г]к Б д (0)г]к

'в д (0)г]к Т д (0)г]к

-а ЕкNС0 - а Ее ес0

°м дк 1У(0)г]к °Е дЕ Е(0)г]к ■

0

У

х

У

У

2

С

0

Для выполнения (8) необходимо, чтобы

- 5,^- 5 1Рэ£е°,,, - 5в1РвБс°;,, - Тс°;,,-

Г)Со _ 5 _ - 5 ..

( 0)4'^ ш д ( о)цк э д ( о)цк

'т дт" (0)іік

_ 5 Ек м с° _ 5 — Е с° >

5^ дк < о )іік °Е дЕ Е(°)іік >

Ре

(1 - )w;°iіk + (1 - 53)С

( °)іік

+

+

' ( о )іік

(1 - 5в )в(°)іік + (1 - 5т)Т(°)іік + (1 - 5к)м(°°)іік + (1 - 5е)Е

( о )іік

Так как Щ(°)г]к, , в] Т^к > N0]> ЕС(0)г]к являются отрицательными величинами по

построению, а (1 - ¿©) > 0 по определению символа Кронекера и значения (1 - А©)©^] являются неположительными,

1(1 - 5е)ОІіік| = -(1 - 5©)0

(о)іік

и неравенство (8) в нашем случае имеет вид

Г)со _ 5 РШ шсо _ 5 РЭ ясо

и(Р)іік 0ш дш ш(о)іік °э д С(о)Цк

- 501РвВV,, - 5^рттс°и-

"в дв (о)іік

'т д/ (о)іік

-5»-м1ик - 5ер-Ес:,іік > -(і - к- (і - 5эКі-

Е

дк

-(1 - 5в )В(о)іік _ (1 - 5т)т(°)іік _ (1 - 5кЖ°)іік _ (1 - 5Е)Е2і

■ ( о)іік

о

( о)іік

(о)іік'

(11)

Из (10) видно, что диагональные элементы без вкладов граничных условий можно записать в виде

вСо

( о)Цк

тд/со Ссо Всо Тсо Nсо Есо + в •

_ ( о)цк °(о)цк (о )іік (о)цк (о )іік (о)іік + віік‘

Тогда после приведения подобных предыдущее неравенство (11) примет вид

1 _ 5ш _ 1 _ 5ш 1дШ) Ш(о)Цк + ^ _ 5э _ 1 _ 5эіік+

+ ( 1 _ 5 в _ 1 _ 5 в — } В ,1іИк + ( 1 _ 5т _ 1 _ 5т ~ ) Т,°.іИк +

дв

( о)іік

'т дт ! "( о )іік

+ ( 1 _ 5к _ 1 _ 5к рк) Кііік + _ 5Е _ 1 _ 5е Р^) Е\0))іік + віік > 0

или после элементарных преобразований

Рш

дш

( о)іік

Рэ

_5ш 1 + — ш;оіік _ 5э 1 + ^ хо^к - 5в 1 + — Віік -

дэ

( о)іік

Рв

дв

(о)іік

-5т 0+р£) т^к _ 5~ I1+д,)_ 5е І1+іе) Е°о”к+віік >0

следовательно, в компактной форме записи

Е 5в( 1+Е) 0^к+вик >

« В Т N Е V У в /

©=Ш, Б, В, Т, М, Е

о

о

с

о

Таким образом, имеем (7). Теорема доказана. □

Для операторов нестационарного уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3-го рода в случае неявной схемы при центрально-разностной аппроксимации конвективных членов показана устойчивость используемой разностной схемы при выполнении условий теоремы 3.

Запишем схему (6) в каноническом виде

(Е + тАс)вг + Ас5га = ¡. (13)

В работе [6] для случая несамосопряженного оператора Ас сформулирован критерий устойчивости. Приведем формулировку этой теоремы для неявной схемы (13).

Теорема 4. [6] Если оператор А-1 в схеме

(Е + тА)в1 + Ав = 0

существует, то для устойчивости схемы в гильбертовом пространстве Ь2н, т. е. выполнения оценки

||вга+1|| < М, п > 0, необходимо и достаточно выполнения операторного неравенства

А + 0,5тА*А > 0. (14)

Неравенство (14) означает выполнение условия

(Ах, х) + 0,5т|| Ах||2 > 0.

Поэтому имеет место

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 5. Для устойчивости неявной схемы (6) при центрально-разностной аппроксимации конвективных членов нестационарного уравнения конвекции-диффузии (1),

(2), записанного в симметричной форме ('у = 1/2), с краевыми условиями 3-го рода (5) достаточно выполнения неравенств (7), в котором хотя бы одно из неравенств является строгим.

Доказательство. Если выполнены условия теоремы 4, то для устойчивости схемы (6) достаточно диссипативности оператора Ас.

Теорема доказана. □

4. М-матричность рассматриваемого разностного оператора

Для разностных операторов Ьрн, получаемых в результате пространственной аппроксимации уравнений системы (1) при противопотоковой аппроксимации конвективных членов в уравнении конвекции-диффузии (1), (2) с 7 _ 1 при наличии граничных условий 3-го рода и постоянного коэффициента консервативности рассматриваемого вещества, доказано достаточное условие М-матричности получаемого разностного оператора.

Теорема 6. Пусть в уравнении конвекции-диффузии (1), (2), записанном в недивергентной форме (ч =1), с краевыми условиями 3-го рода (5) и в = в(х,У,г,^) > 0 конвективные члены аппроксимируются разностями “против потока”.

Тогда для того чтобы оператор Ьрн — разностный аналог стационарной задачи конвекции-диффузии — был невырожденной М-матрицей, достаточно выполнение неравенств

в=Ш,Я,Б,Т,М,Е

1 + £.) «и * °

(15)

3

1, ■■■уіїу — 1,

к = 1, ■■■,Ы7 — 1,

в котором хотя бы одно из неравенств (15) является строгим. Здесь ®р0)іцк — элементы матрицы Ар оператора Ьсн в (6) в приграничном узле для соответствующей границы; 8в — символ Кронекера для соответствующей границы; дв ,рв — коэффициенты из (5), 9@ = °.

Доказательство. В случае противопотоковой аппроксимации матрица Ар имеет квадратно-блочно-трехдиагональную структуру вида (9). Такая матрица является неразложимой [3, 5]. Кроме того, внедиагональные элементы матрицы Ар отрицательны. Так как вклады граничных условий 3-го рода вошли в диагональ оператора Ь^н, нам в силу теоремы 2 для доказательства свойства М-матричности достаточно показать выполнение диагонального преобладания матрицы Ар и положительность элементов матрицы, лежащих на главной диагонали. Таким образом, необходимо показать выполнение

|а«| >5] \ац|,

і=і ац > 0-

Сумма норм — это неотрицательная величина, поэтому достаточно найти условия выполнения неравенства

ац > ^ \ац |, і=і аіі = °

(16)

Эти условия обеспечат нам положительность диагональных элементов.

В результате противопотоковой аппроксимации пространственных производных получена разностная схема на семиточечном шаблоне

8і-1Цк + ‘С(0)іЦк вЧ-1к + ВР(0)іік вчк-! + ^(0)іЦк 8цк + Т(0)Цк вцк+1+

+ Що)г]квЧ+1к + Е\о)1]к8г+1]к 1^к, (17)

коэффициенты которой для внутренних точек сеточной области имеют следующий вид:

шр

ш(о)цк

іЦк

ьХ

п.

+

іЦк

К

Ср

(0)іЦк

іік

ьУ

V,

+

Ц к Ьу, :

в р

В(0)іЦк

іі к ч

+ іі к

Ь,

Пр

0)іік

а

і+1Цк

+ аХц

ч

\пЦ к \

Ьх

+

у

1іЦ+1к

ьу

+ аЬк+і + аЬк+

Ы

ьу

ь,

(18)

у

X

,

+

тР _ _ аі]к+ї . 'Ші]к Nр

(0)і]к _ ^2 + Ь ’ (0)іІ&

Для ОРр0)^к имеет место

Що^к = --^{0)Цк - ^(О^к - Б(0)г7к - Т{0)Цк — ^(0)^ - Що^к + А?к• (19)

Аналогично доказательству теоремы 3 для выполнения (16) необходимо, чтобы

имеет место

Используя (19), а также то, что по построению , 5^к, Б^к , Щк ,Е^к являются

отрицательными величинами, а (1 — 5@) > 0 по определению символа Кронекера, имеем по аналогии с выкладками в доказательстве теоремы 3 и, используя определение модуля,

Для операторов нестационарного уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3-го рода в случае неявной схемы при противопотоковой аппроксимации конвективных членов с помощью принципа максимума получены оценки решения задачи через ее правую часть, начальные и граничные условия при выполнении условий теоремы 6.

Теорема 7. Для решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии (1), (2), записанного в недивергентой форме ('у = 1), с краевыми условиями 3-го рода (5) в случае использования разностей “против потока” при выполнении условий (15) для неявной схемы (6) справедливы оценки:

или после элементарных преобразований

значит, в компактной форме записи

а следовательно, получим (15). Теорема доказана.

для консервативного вещества (ß(x,y,z,t) = 0)

◦ + max

C n>0

f n

e 1 1 + I eijk e=W,S,B,T,N,E \ 9&

Pe

E Sei 1 + - e?

+

с *

+

E Ser-eePjk

e=W,S,B,T,N,E ge

e=W,S,B,T,N ,E

£ Se( 1 + pel ej

re

C*

для неконсервативного вещества (ß(x,y,z,t) > 0)

fn

ß

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ max

° n>0

C

fn

ßijk - E 1 + — ) eijk

e=W,S,B,T,N,E

re

+

C*

+

E Sereejk

e=W,S,B,T,N,E ge

ßijk E

e=W,S,B,T,N ,E

Se I 1 + — I e

re

ijk

C*

Доказательство. Приведенные оценки получены с использованием идеи методики [7],

а также при условии выполнения условия M-матричности (15) из теоремы (6).

Теорема доказана. □

Случай гв = 0 рассмотрен в работе [6].

Список литературы

[1] Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

[2] Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. 367 с.

[3] Ортега Дж., РЕйнволдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

[4] РихтМАйЕР Р., МОРТОН К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 420 с.

[5] ХОРН Р., ДЖОНСОН Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

[6] САМАРСКИЙ А.А., Вавищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Изд-во УРСС, 1998. 272 с.

[7] КРУКИЕР Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1979. № 7. С. 41-52.

Поступила в редакцию 30 июня 2005 г., в переработанном виде — 8 августа 2005 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.