CC BY
20
УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССА ОБРАБОТКИ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ОРБИТАХ ТИПА «МОЛНИЯ» ПРИ ВЫСОКИХ ПОГРЕШНОСТЯХ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Доронкин Алексей Валерьевич,
инженер-исследователь 1 категории ОАО «Корпорация «Комета», г. Москва, Россия, bj13@yandex.ru Аннотация
Предложена методика обработки разноточных траекторных измерений космических аппаратов (КА) на орбитах типа «Молния», базирующаяся на анализе свойств линейности многомерной функции связи измеряемых и оцениваемых параметров. Посредством проведенного статистического моделирования установлено, что использование предложенной методики позволяет существенно повысить точность начального приближения, используемого для проведения итерационных расчетов оценивания параметров орбиты КА. Показано, что это обеспечивает значительное снижение числа итераций при неизменных точностных характеристиках получаемой оценки.
Ключевые слова: траекторные измерения; итерационный процесс; обработка измерений; начальное приближение; орбита типа «Молния».
При обработке траекторных измерений с использованием метода наименьших квадратов (МНК), как известно, ми-нимизируетсявыражение [1] вида
где Б — вектор измерений, Ш — весовая матрица ошибок измерений, а X ( X ) — модель связи измеряемых параметров X и оцениваемых X.
Искомым значением вектора ^является такое, при котором правая часть (1) достигает локального минимума. _ Для уменьшения методических погрешностей оценивания модель измерений, описываемая векторной функцией Х_(XX Должна быть задана достаточно точно. Зачастую в некоторой окрестности начального приближения Хо функция X ( X ) аппроксимируется линейной зависимостью, поскольку даже при незначительном усложнении функции аппроксимации минимизация правой части (1) существенно затрудняется. Так, при линейной аппроксимации искомый вектор X определяется [2] как
где А— матрица Якоби функции X ( X ), "Л — вектор невязок измерений, Ж— весовая матрица ошибок измерений.
При использовании метода Ньютона [3], предполагающего учет вторых производных функции измерений, для поиска минимума (1) справедливо
где В — массив матриц Гессе компонент функции X ( X ).
Для учета нелинейных составляющих задача оценивания решается с использованием метода простой итерации. С другой стороны, его использование при высоких погрешностях начального приближения приводит к увеличению числа итераций или даже нарушению сходимости процесса решения.
В основу предложенной методики положен метод простой итерации, как наиболее пригодный для усовершенствований. Новизна методики заключается в структуре расчетов, проводимых на первой итерации, рассмотренной ниже.
Рассмотрим область отклонений начального приближения от истинного значения оцениваемого вектора, в которой целесообразна линейная аппроксимация Z(X ).
На рис. 1 проиллюстрирован случай, когда Z(X) является скалярной функцией скалярного аргумента. Эту функцию можно аппроксимировать линейной зависимостью в некоторой области [Х0 - а; Х0 + а].
Размеры данной области зависят от характера Z(X) и допуска SZ, связанного с погрешностью измерений — при снижении измерительных погрешностей, а также при усилении нелинейного характера Z(X) величина а, как видно из рисунка, будет уменьшаться.
Если начальное приближение имеет погрешность выше этой величины, пренебрежение нелинейной составляющей Z(X) может привести к снижению точности оценки либо к увеличению числа итераций. _ Поскольку при обработке траекгорных измерений функция X ) является векторной, каждая из её компонент имеет различный характер нелинейности. Так, если данные получены в различных измерительных каналах, то и характеристики измерительных погрешностей будут различны. Таким образом, размер области, в которой зависимость Zi( X ) можно принимать линейной, для различных компонент вектора измерений будет различным.
Назовем «областью линейности» М векторной функции измерений X(X ) такую область в пространстве оцениваемых параметров, включающую начальное приближение, что для любого значения вектора X , принадлежащего данной области, разница между линейной аппроксимацией функции X ( X) и ее истинным значением не превышает установленного значения допуска 8Х :
■ ; .V .: ■ ■. ■ ■ (4)
где Т — оператор вида
п — размерность вектора измерений,
т — размерность оцениваемого вектора.
Для снижения влияния нелинейного характера отдельных компонент функции X (X ) стоит разбить измерения на группы и проводить их обработку по нарастающей выборке [3]. Тогда измерения будут включаться в расчеты поэтапно, а на каждом этапе будет обрабатываться группа измерений с наибольшими размерами области линейности. В этом случае погрешность начального приближения, используемого для определения параметров линеаризованной модели измерений с небольшой областью линейности, будет меньше.
Если в обработке участвуют измерения, поступающие из различных каналов, один из вариантов разбиения измерений на поочередно обрабатываемые группы — так, чтобы каждая из групп соответствовала отдельному измерительному каналу. Например, если имеются измерения радиальной скорости КА относительно измерительных средств (О), углового положения КА (а, Р) и разности дальностей от КА до двух измерительных средств (АО), то в этом случае вектор X ( X ) можно представить в следующем виде:
Рассмотрим количественные характеристики, служащие критерием для выбора порядка обработки измерений. Предположим, что порядок обработки целесообразно выбирать исходя из размера области линейности, построенной для каждой группы измерений.
Чтобы получить представление об искомых областях, рассмотрим уравнения поверхностей, ограничивающей область М.для каждого значения г Тогда отклонение линеаризованной функции Ц (X ) от истинного значения Х (X ) совпадает с допуском 5Zi:
Рассматриваемый критерий строится в предположении, что при разложении X (X ) в ряд Тейлора можно ограничиться первыми тремя членами [5]
Ш) Л> /У/\-
Х™-а 57. / у/ /// & ?
Ха+я X
У/У
Рис. 1. Область линейности скалярной функции
Если в качестве порогового значения 5Zi принять СКО погрешности ¿-го измерительного канала, умноженное на некоторый коэффициент к, то уравнение поверхности, ограничивающей область линейности соответствующей функции, примет вид:
|(Х - Х0)Тр|(Х - Х0)| И' ксг;. _ (9)
где Р; — матрица Гессе, содержащая вторые производные компоненты измерений Zi по компонентам вектора X , взятые в точке Хо.
Уравнение (9) описывает [4] семейство поверхностей второго порядка. Примем, что законы распределения ошибок различных измерений одинаковы. Тогда величина к для всех значений I является постоянной, а ее значение не оказывает влияния на выбор порядка обработки. В дальнейшем величина к была принята равной единице и исключена из расчетных зависимостей, что не меняет общности последующих заключений.
Область М; описывается неравенством
а искомая область линейности группы измерений является пересечением областей М;для всех значений 1, которые соответствуют данной группе.
Искомая область имеет сложную форму, а точное определение её размера весьма трудоемко. Наиболее практичным для реализации способом оценить её размер является использование метода прямого перебора. Также можно аппроксимировать данную область фигурой, форма которой удобна для подобных расчетов.
В данной работе рассмотрена аппроксимация каждой области М; т-мерным брусом, грани которого пересекают координатные оси в точках пересечения поверхности (9) с соответствующими осями. При пересечении большого числа таких областей возможно достижение приемлемой точности аппроксимации.
В таблице 1 приведено сравнение результатов расчетов методом прямого перебора и предложенного выше способа аппроксимации. Величина Ь — некоторая линейная характеристика размера областей линейности, полученная методом прямого перебора. Величина Б — половина длины диагонали аппроксимирующих данные области брусов. Все расчеты проводились для трехмерного пространства без учета скоростных составляющих. Таким образом, размерность т рассматриваемой задачи равна трем.
Расчеты проводились по следующим исходным данным [6]:
— КА движется по орбите типа «Молния»;
— измерения содержат информацию о разности дальностей от КА до измерительных средств (РДК-измерения), а также об угловом положении и радиальной скорости КА относительно каждого из них;
— ошибки измерений некоррелированы между собой и распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией;
— измерения проводятся во время прохождения КА рабочего участка (РУ) орбиты продолжительностью 7 часов, симметрично расположенного по времени относительно апогея текущего витка.
Рассмотрены два варианта планирования измерений: на четырех последовательных РУ по 4 измерения на каждом и на двух РУ с перерывом в одни сутки по два измерения на каждом. Общее число измерений составило 16и4 соответственно.
Таблица 1. Сравнение методов аппроксимации брусоми прямого перебора
D, км L, км Отличие, %
а,р 181.0 178.8 0.2
4 РУ по 4 измерения D 64.2 65.1 1.9
AD 46.8 42.8 8.5
а,р 205.9 197.5 4.1
2 РУ по 2 измерения D 70.3 80.7 14.8
AD 52.9 58.2 10.0
Из приведенных данных видно, что при увеличении числа измерений точность аппроксимации повышается, однако и при небольшом их числе точность достаточна для оценки соотношения размеров искомых областей, что и требуется для использования предлагаемого критерия. Визуализация рассматриваемых областей, полученная методом прямого перебора, приведена на рис. 2иЗ.
Рис. 2. Построенные области линейности для измерений на двух РУ
Рис. 3. Построенные области линейности для измерений на четырех РУ
Видно также, что, исходя из предложенного критерия, рекомендуемый порядок включения измерений в обработку имеет вид:
угломерные измерения; радиально-скоростные измерения; разностно-дальномерные измерения.
Рассмотрим результаты использования предложенного критерия при обработке измерений. Выдвинутые на основе теории предположения о рекомендованном порядке были проверены посредством статистического моделирования работы алгоритма оценивания с использованием аналогичных входных данных. Моделируемое СКО начального приближения орбиты КА составило 370 км по положению. Выборка, полученная при моделировании, составила 1000 реализаций. На рис. 4 и 5 представлены экспериментально полученные графики зависимости от I величины Р, определяемой как
где 5Х— погрешность оценки положения КА, полученной на первой итерации, о5хг— СКО погрешности оценки положения КА.
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
Рис. 4. Распределение ошибок оценки положениядля измерений на двух РУ Рис. 5. Распределение ошибок оценки положения для измерений на четырех РУ
Данные графики получены при единовременном, а также раздельном учете измерений в различной последовательности. По оси абсцисс отложена величина i. По оси ординат—вероятность P попадания оценки, отнесенной к её СКО, в интервал (i; +х>).
Синяя кривая, соответствующая рекомендованному порядку обработки, имеет наиболее выраженный спад, что говорит о низкой вероятности получения больших погрешностей оценки. Зеленая и красная кривые, соответствующие обработке в порядке, обратном рекомендованному, и одновременной обработке измерений, имеют худшие показатели, схожие между собой.
Из графиков видно, что для зеленой и красной кривых имеет место высокая вероятность больших погрешностей оценивания на первой итерации. В частности, при обработке измерений на двух РУ вероятность того, что отклонение оценки от истинного значения превысит утроенное СКО, близка к значению 0.4, а при наличии измерений на четырех РУ — к значению 0.65. В то же время при обработке измерений в рекомендованном порядке данная вероятность не превышает 0.05 для измерений на двух РУ и0.2 — на четырех.
При этом общее число итераций за счет использования рекомендованного порядка обработки измерений сократилось в 70% реализаций.
Выводы
Использование предложенного критерия выбора последовательности обработки измерений позволяет:
1. Минимизировать влияние погрешностей начального приближения орбитального вектора на результаты оценивания.
2. Улучшить вероятностные характеристики оценок, получаемых на первой итерации.
В частности, вероятность того, что погрешность оценки, полученной на первой итерации, превысит порог в За, для измерений на двух РУ по сравнению с одновременной обработкой снизилась почти на порядок, а для измерений на четырех РУ — более, чем в три раза.
3. Использование разработанной методики обработки траекторных измерений при формировании начального приближения приводит к ускорению сходимости решения задачи оценивания. При проведении расчетов по использованным исходным данным ускорение сходимости наблюдалось в 70% случаев.
Список литературы
1. ЭльясбергП.Е. Определение движения по результатам измерения. М.: Наука, 1976. 416 с.
2. ЖданюкБ. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М., Советское радио, 1978, 384 с.
3. СамарскийА.А.,ГулинА.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
4. КорнГ., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974, 832 с.
5. ЗоричВ.А. Математический анализ. Ч. 2. М.: Наука, 1981. 544 с.
6. ЧернявскийГ.М.,БартеневВ.А. Орбитыспутниковсвязи. М.: Связь, 1978. 240 с.
ACCELERATION OF CONVERGENCE OF PROCESS OF PROCESSING TRAJECTORY MEASUREMENTS OF SPACECRAFTS IN TYPE "MOLNIYA" ORBITS AT HIGH ERRORS OF INITIAL APPROACH
Doronkin Aleksey Valeryevich,
Moscow, Russia, bj13@yandex.ru
Abstract
A procedure of different-precision spacecraft trajectory measurements processing, based on the analysis of poly-dimensional relation measurand to evaluated parameters function linearity characteristics was offered. Statistical modeling shows that proposed procedure increases accuracy of initial approximation used by spacecraft orbital parameters evaluation iterative process. It provides number of iteration to be substantially smaller without estimate accuracy changes in the same time.
Keywords: trajectory measurements; iterative process; measurement processing; initial approximation; Molniya orbit. References
1. Elyasberg P. E. Opredeleniye dvizheniya po rezultatam izmereniya [Movement definition by results of measurement]. Moscow, Nauka, 1976. 416 p. (In Russian)
2. Zhdanyuk B. F. Osnovy statisticheskoy obrabotki traektornykh izmereniy [Bases of statistical processing of trayektorny measurements]. Moscow, Sovetskoye radio, 1978. 384 p. (In Russian).
3. Samarskiy A.A, Gulin A. V. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Nauka, 1989. 432 p. (In Russian)
4. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Справочник по математике для научных работников и инженеров]. Moscow, Nauka, 1974. 832 p. (In Russian)
5. Zorich V. A. Matematicheskiy analiz [Mathematical analysis]. Pt.2. Moscow, Nauka, 1981. 544 p. (In Russian)
6. Chernyavskiy G. M., Bartenev V. A. Orbity sputnikov svyazi [Orbits of communication satellites]. Moscow, Svyaz, 1978. 240 p. (In Russian) Information about author:
Doronkin A. V., engineer-researcher of 1 category "Cometa" corporation.
