CC BY
20
ВЕСТНИК 2/2011
УСКОРЕНИЕ ПРОЦЕССА УПЛОТНЕНИЯ ВОДОНАСЫЩЕННЫХ ОСНОВАНИЙ НАСЫПЕЙ И ДАМБ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДРЕНАЖА
FASTENING THE CONTRACTION PROCESS IN WATER-SATURATED FOUNDATIONS OF DAMS USING DRAINAGE
З.Г. Тер-Мартиросян, Олодо Теле Давид
Z.G. Ter-Martirosyan, Olodo Tele David
ГОУ ВПО МГСУ
В статье приводятся постановка и решение задач для количественной оценки скорости уплотнения и величины осадок водонасыщенного слабого слоя грунта под воздействием уплотняющей нагрузки (насыпь, дамба) с учетом дренажа.
In this article the authors consider the problems of numerical estimating of the compaction velocity and settlement of drained water-saturated weak layer of soil under the compacting load (e.g. dam).
1. Основные положения и уравнения.
При проектировании и строительстве слабых водонасыщенных основаниях часто возникает необходимость их предварительного уплотнения для повышения плотности скелета pd, что приводит к повышению деформационных (E, V) и прочностных (^, c) свойств.
Для предварительного уплотнения слабых водонасыщенных глинистых грунтов в настоящее время широко применяются вертикальное и горизонтальное дренирование, которое ускоряет процесс уплотнения в десятки и сотни раз, так как они сокращают путь фильтрации поровой воды к свободной дренирующей поверхности.
Для количественной оценки скорости и величины осадки поверхности уплотняемого слоя толщиной h с учетом горизонтальных и вертикальных дрен (песчаных) в настоящее время используется теория фильтрационной консолидации, которая в общем случае приводит к рассмотрению дифференциального уравнения следующего вида [2]:
ds dsw kr 2 --+ n—w = — V 2uw, (1)
dt dt Yw !
где: uw (x, y, z, t) - поровое давление; £ и £w - объемные деформации
скелета и поровой воды, соответственно; n - пористость; kf - коэффициент фильтра-
2/2П11 ВЕСТНИК _2/201_]_МГСУ
ции; у. - удельный вес поровой воды; V 2 - оператор Лапласа, который в случае осевой симметрии имеет вид:
о 8 2и 1 8и 8 ги V 2и. = —. + - --р + (2)
8т т 8т 81 В случае фильтрационной анизотропии уравнение (1) принимает вид:
8а де„, к„ --+ п-
(82и„, +1 я2
дt дt у. у 8т т 8т J
кг 8 и.
, (3)
К &
где: кг и кт - коэффициенты фильтрации в вертикальном и горизонталь-
ном направлениях, соответственно.
Уравнение (1) получается из условия постоянства массы минеральных частиц в единице объема грунта в процессе фильтрации воды из пор [2].
При отсутствии фильтрации из водонасыщенного слоя, т.е. при к^ = 0 получаем условие закрытой системы, что соответствует начальному моменту нагружения, т.е. при t = 0 имеем
£ = п£. (4)
Для решения основного уравнения (1) необходимо знание закономерностей деформирования скелета а((Г) и поровой газосодержащей воды £. {и. ), а также начальные и граничные условия.
Начальное условие можно определить исходя из (4) полагая, что зависимости
) и £. (и. ) для начального момента времени известны, т.е. имеем:
= ^; «.(0) = ^ <5)
где: и к. - модули объемной деформации скелета и поровой воды, со-
ответственно; и и. - напряжения в скелете и в поровой воде, соответственно, причем:
р + у г
к.о —-—, (6)
1 "
где: ра - атмосферное давление; г - глубина от поверхности земли; у. -
удельный вес поровой воды; Ьт - степень водонасыщения.
Подставляя (5) и (6) в (4) с учетом условия:
а = + и., (7)
где: С - тотальные напряжения в уплотняемом слое, получем:
и.(х,у,г,0) = а(х,у,г,0)-Р., (8)
к
Р. = . " . (9)
пк„ + к„
где:
тл1т -1- /
х.0
В условиях одномерной задачи уплотнения получаем:
u.
,(z,0) = oi -fiw
где:
fiw =■
m„
m+« •
(10) (ii)
где: mv и тк - коэффициенты относительной сжимаемости скелета и по-
ровой воды, соответственно, причем:
m = ■
3
(12)
Решение исходного уравнения (1) существенно зависит от принятой модели деформирования скелета от скорости приложения уплотняющей нагрузки (насыпи) на всем процессе консолидации. Рассмотрим некоторые случаи.
2. Одномерная задача консолидации слабого водонасыщенного грунта.
В этом случае уравнение (1) принимает вид:
de, d£w kf д2u
+ п—^ = 2
dt yw ôzz
Принимаем, что зависимости kf (<г) имеют вид (рис. 1):
¿1 = а(1 - е
s — mu ;
w w w '
k f — ko * е
-mba
(13)
(14)
(15)
(16)
где:
a, b, m - параметры кривых e^c) и kf .
k itfl- t
Mo)
■ u*
Pue. 1. Общий вид нелинейных зависимостей и k f (ст) при уплотнении сильно-
сжимаемого глинистого грунта
Если подставить уравнения (14), (15) и (16) в уравнение (13) полагая, что уплотняющая нагрузка переменная и равна p(t) = (j{t) + Uw (t) , то с учетом (10) получим:
duw dt
d V.
ab
"v Л 2
dp ~'~dt'
где:
c„ -
k о •e"
dz ab + nmwe
m-b-a
V Yw (abe ~ha + nmw) В частном случае, когда mw « a и полагая m ~ 1 получаем:
kn
Ywab
= const;
(17)
(18)
(19)
При постоянстве внешней нагрузки p = const второй член в правой части (17) будет равен нулю. Тогда с учетом (19) получаем однородное дифференциальное уравнение одномерной задачи консолидации в виде
du„, d V,,
• = c„
(20)
dt 'v dz2 '
Решение этого уравнения с начальным uw (z,0) = j3w • p при граничных услови-
ях u
До, t ) =
du,.
dt
— 0 при односторонней фильтрации (вверх) имеет вид:
j=h
u
< \ 4 p п ^ 1 . inz Лz,t) =—Av ь exp
^ i—1,3,51 2h
i .2 2 Л I 71 Cvt
V
4h2
(21)
где: к - толщина уплотняющего слоя.
Для определения осадки слоя 5*) во времени толщиной к воспользуемся пока-
5 [3], представляющим отношение площа-
зателем степени уплотнения U{t) = дейэпюр <Js (z,t) и <Js(z,да), т.е.
jVs (z, t )• dz
и (t ) = h-< 1
(22)
jVs (z, да)- dz 0
причем S(t) = S(go) • U(f). (23)
Так как cr(z, да) = p = const и (r{z, t) = p - uw (z, t) получаем с учетом (20)
U (t ) = 1 "Л Pw I ^exp
f -2 2 Л I 71 c„t
4h2
0
S(да) - Ja(1 - e~bp) dz - a(1 - e ~bp) • h.
(24)
(25)
Cv =
ВЕСТНИК 2/2011
Отсюда следует, что время стабилизации осадки при прочих равных условиях зависит от толщины уплотняемого слоя h , причем для слоев толщиной ^ и h2 время
, Х1 %
стабилизации связаны зависимостью вида — = ——.
Х Ь
12 2
Как показывает расчет при и(х) > 0,25 можно ограничиться одним членом ряда (24) и тогда:
5'(х) = а(1 - е-Ьр )к ■
V
, 8 1--г^хр
я
( 2 я сЛ
к 4Ь2 УУ
(26)
При переменности внешней уплотняющей нагрузки, изменяющейся по закону:
р(Х) = Ро (1 - е-) Дифференциальное уравнение (17) с учетом (19) принимает вид:
ди„, д2 и
(27)
дх
= с
w , -аХ
+ с, • е
" дг2 1
(28)
где: с2 = ар0.
Решение неоднородного уравнения (28) с начальными условиями им1 (0,7) = 0 и
ди.
при граничных условиях и
,(0, Х ) = ■
дх
= 0 будем искать в виде:
1—\
Для нахождения функции ин, (г, Х) необходимо р(г, Х) представить в виде:
p(z, х )=£ р, (х )• вШ — ,
!=1
р>(х) =\ ■ х) ■ б1п "2ЬГ ■ ^.
2Ь
где:
Ь
Подставляя (29) и (30) в (28) получаем:
Е. гяг
Б1П-
^ 2Ь
Л-«Л2
V 2Ь у
с,.
■иы (Х ) + (х )- с1Р, (х)
- 0.
Отсюда следует, что выражение в скобках должно равняться нулю, т.е.: гя
V 2Ь у
)+ ииЛХ )= с1 • Рг ).
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Решение этого уравнения с начальным условием им> (0, г) имеет вид:
Ь
г
и
и.М )= 1ехр
0
Подставляя (34) в (29) получаем:
и. t )=Х
1=1
С учетом (27) получаем:
и. &t)=с1 X ■
¿=1,3,...
С
I п
4к2
Су Ц -т)
С1 р. (т)с1г
(34)
4 к
Су (t-т)
' С2Р
глг
Б1П-. (35)
2к
1 - е
Су1
4к2 ^ -«г I 4к2
е - е
V 4к2 ,
V 4к2 ,
гпг
81П-. (36)
2к
В этом случае поровое давление в основании уплотняемого слоя имеет экстремальный характер. Очевидно, что экстремум порового давления зависит от к2, Су,
С2 и СС. Очевидно также, что при t = 0 и t = да и. (г, t) = 0.
Для определения осадки слоя во времени 5) можно и в этом случае использо-
вать функцию степени консолидации
и (' )=5'
т.е.:
\{р(* )- и. (z, t ))• ^ и (* ) = ^-< 1.
(37)
(г, да)- dz
0
Подставляя в это уравнение значения р^ ) из (14) и и. (г, t) из (36) с учетом ст{г, да) = р0, после интегрирования получаем:
и (/ )=
Р0 к
Р0
(1 -е->-С^ £ 1
Ж ;=1 3 I
/=1,3,... '
1 - е
•2 2 Л / ТГ .
-о! I 4к
е - е
22 / ж .
— М
V 4к 2 У
V 4к 2 У
008-
1Ш 1к
2С ™ 1 и (г ) = 1 - е+ ^ £ 1
Щ)0 /=1,3,... ¿'
1 - е
¿у г ¡у
4к2 г' -л I 4к2 С
у е - е у
А -2 2 Л / ;т
V J
22 I п
V у
СУ -«
(38)
■2 2
е
СЛ
С
Су-а
у
к
1
С
Су-а
у
0
С
V
Решение этой задачи имеет важное практическое значение, т.к. в большинстве случаев время возведения насыпей и дамб измеряется месяцами. За это время верхние слои грунта уплотняются и упрочняются, что исключает выпор слабого основания из под дамбы в период её возведения.
3. Осесимметричная задача консолидации.
В этом случае задача сводится к решению уравнения (3) при соответствующих начальном и граничных условий. Принимая, по прежнему, нелинейные зависимости &(s) и kj- (<г), (14) и (15), с учетом (19) получаем при p = const получаем:
dUw dt
- c.
2
d U
dr2
1
r dr
+ c„
d\
dz2
(39)
V ^ ' У
где: сг = сг = сг. (40)
Эту задачу рассматривают по двум схемам: равных деформаций и свободных деформаций (рис. 2). Первая предполагает, что во всех точках имеет место компрессионное сжатие, т.е. все точки уплотняемого массива перемещаются равномерно вертикально. Вторая предполагает, что имеет место свободное перемещение точек.
>1
1>
w
Mr h
mm
Vf II
§§§й
fit}
I ■
Рис. 2. Расчетные схемы осесимметричной консолидации при условии свободных деформаций и при условии равных деформаций (а). Расчетная схема определения эквивалентного радиуса грунтового цилиндра при квадратном и шахматном расположении скважин или дрен (б)
Решение таких задач связано с большим трудностями и чаще всего приводит к рядам, включающим специальные функции Бесселя и экспоненциальные функции. Это несколько осложняет использование таких решений, хотя имеются обширные таблицы для таких функций.
Приведем здесь результаты решения задачи по первой схеме - равных деформаций
для случая только осесимметричной консолидации, т.е. при = 0 . Оно получено Бар-
роном в 1948 году [5]. Отметим, что в этом случае уравнение (39) записывается в виде
duw dt
■ - c.
d U
dr2
1 ^
r dr
(41)
где:
означает среднее значение порового давления по горизонталь-
ному сечению z = const.
Для степени консолидации им было получено следующее простое (без рядов) выражение при устройстве дренажных скважин радиусом r1 и шагом r2 > r1.
Ur =1 -expi--^ , (42)
где:
m crt
rp _ r
F (n) = —^— ln(n) -
2 1 n -1
3n2 -1 4n2
2
n = —;
b(1-n
r
Cr =
2
_f 0C
yw [ah + nmw
const.
Еще более простое выражение для и предложил В.Киельман [7], которое имеет
вид:
Ur = 1 - exp
cvt m
где:
m -
RL
2л
г
R
3
ln
v r4n 4
(43)
(44)
У
В случае дренирования воды только в вертикальном направлении получаем одномерную задачу консолидации т.е.:
Эи,„ д V,,
(45)
= c„
Qt z 5z2 '
Решение этого уравнения при p = const с учетом (14) и (15) рассмотрено в первом разделе настоящей статьи и имеет вид (24). Расчеты показывают, что при U{t) > 0,25 можно ограничится одним членом ряда (24) и тогда получим:
U(t) = 1 -4-PwIJ^exp -
71 I ^
22
I 71 c„t
4h2
(46)
J
В 1942 году Н. Карилло [8] доказал важную для инженерной практики теорему о том, что если известны решения одномерной и осесимметричной задач в отдельности,
u
w
r
т.е. если известны Ur и Uz, то среднюю степень консолидации U при трехмерном дренировании можно представить следующим образом:
U = 1 -(l - Ur Xl - Uz). (47)
Это решение позволяет определить осадку уплотненного слоя по формуле:
S(t )= S(oo). üit), (48)
где: S(со) = a(l - ebp )k (49)
На рис. 3 представлены кривые степени консолидации в зависимости от факторов
к„
времени Tr и Tz и коэффициентов консолидации Cr и Cz, причем Cz — ■
v m
1 m v
к c t c
C = r • T =—r— • T =—t
r ' ± r Л r>2 ' Z ,2
Ymmv 4R h
Для вычисления Vг (Тг) даны две кривые (верхняя и нижняя) при ^^ = П — 10
и = п = 100 соответственно для вычисления V2 дана средняя кривая (штрих-пунктирная).
Рис. 3. График степени консолидации при уплотнении грунтов методом вертикального и горизонтального дренирования в зависимости от фактора времени Т и коэффициентов консолидации С2 и Сг (поВ.Корилло ). а - схема песчаной дрены; б - зависимость степени уплотнения
иг и иг от фактора времени Т
Основные выводы
1. Слабые водонасыщенные глинистые грунты широко распространены во всем мире, особенно в прибрежных зонах морей, озер и рек.
2. Освоение этих территорий неизбежно приводит к необходимости их предварительного уплотнения путем устройства насыпей и дамб, что связано с решением сложных научно-технических проблем.
3. Теория фильтрационной консолидации позволяет с достаточной для практики точностью дать количественную оценку процесса уплотнения слабых водонасыщен-ных грунтов под воздействием насыпей и дамб с применением вертикального и горизонтального дренирования, что необходимо для проектирования дамб и насыпей.
2/2П11 ВЕСТНИК _2/20]J_МГСУ
Литература:
1. Зарецкий Ю.К.- Теория консолидации грунтов. Изд. Наука, 1967г.
2. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов, изд.АСВ,М. 2009г.
3. Цытович H.A. Механика грунтов. Стройиздат, м. 1963г., 636с.
Literature:
4. Biot M. A. General theory of three dimensional consolidation. Tour. App. Phys.12,1941,
5. Barron R. A. consolidation offine graineit soils by drain walls.Trans.ASCE, Vol.113,1948
6. Carrillo N.simple two.and tree-dimensional cases in the theory of consolidation soils.Tour.Maths.andphis .Vol.21, W1,1942.
7. Kjellman W. Accelerating consolidation of fine grained soils by means of carol board wicks. Proc. 2nd int. conf. SMFE, Vol.2, 1948
8. Kjellman W. Consolidation of clear clay soils by means of atmospheric pressure.Proc. conference on soil stabilisation.MIT,1952
Ключевые слова: консолидация, слабое основание, дренаж, дамба, насыпь.
Keywords: consolidation, weak base, drainage, dam, embankment.
e-mail автора: mgroif@mail.ru
Соавтор статьи член Редакционного совета «Вестника МГСУ» профессор, д.т.н. Тер-
Мартиросян З.Г.
