CC BY
44
Радиофизика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 3, с. 80-86
УДК 621.3.013.62
УСИЛИТЕЛЬ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МНОГОКРАТНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ © 2009 г. С.С. Зельманов
Московский технический университет связи и информатики (Волго-Вятский филиал)
zelmanss@yandex.ru
Поступила в редакцию 10.02.2009
Положительная селективная обратная связь в усилителе позволяет значительно уменьшить полосу пропускания резонансной кривой системы по сравнению с резонансной кривой цепи обратной связи за счет увеличения фактора обратной связи. Однако при этом соответственно уменьшается запас устойчивости системы к самовозбуждению. Предлагается и исследуется усилитель с многократной положительной обратной связью п-го порядка (п = 2, 3, ...). Многократная положительная связь является эффективным средством, позволяющим неограниченно уменьшать полосу пропускания резонансной кривой системы при сохранении неизменной устойчивости этой системы к самовозбуждению.
Ключевые слова: резонанс, резонансная кривая, цепь обратной связи, усилитель, запас устойчивости, самовозбуждение, многократная обратная связь, ширина полосы пропускания.
Введение
Рассмотрим функциональную схему усилителя, охваченного положительной обратной связью (рис. 1). На вход системы подается гармоническое напряжение uа5 (t) = Uа5 sin rat.
Напряжение с выхода усилителя с коэффициентом передачи k(ra) подается на его вход с помощью линейного четырехполюсника с передаточной функцией р(ю). Выражение передаточной функции всей системы имеет вид:
k(ra)e=нвмкм (|)
В частном случае, если Р(ю) = 0, то
k (ю)р = k (ra).
Рассмотрим систему, представленную на рис. 2, в которой цепь обратной связи имеет вид RC-CR-звена.
При ко = 2 передаточная функция цепи обратной связи Pi(ra) определяется выражением 2 jrax
Р, (га) = - 2,
(1 + jrax)
(2)
при этом Pl(ra)max = 1
Определим передаточную функцию системы, изображенной на рис. 2, при к (га) =
= k, = const, используя выражения (1) и (2):
к
k (га)р1 =---------j-.-----• (3)
1 -
2 jrax
(1 + jrax)
Модуль функции P1(ra) будет
„ , ч 2rax 2(ra / ra _)
P1(ra) =------------------------------^ ^
1 + (rax) 1 + (ra / ra p)
где ra p = 1/ т .
Учтем что P1 (ra) max = P1(ra p ) = 1 .
Для того чтобы обеспечить устойчивую работу рассматриваемой системы, примем к = 0.9, так как при этом будет выполняться равенство
Р1 (ю )тах к1 = 0-9С помощью тождественных преобразований выражение (3) можно привести к виду:
£(<в)Р1 =
^[1 - (ю/юр) ] + у2^(ю/юр) [1 - (ю / ю р)2] + у 2(1 -к1)(ю / ю р) Модуль этого комплексного выражения
к (ю)Р1 =
кх2[1- (ю/ю )2]2 + 4к2(ю/юр)2
[1 - (ю / ю р )2]2 + 4(1 -кх)2(ю / ю р )2
.(4)
При ю = ю ^ этот модуль достигает максимума: к(юр)р1 = к1/(1 -к1). Например, при к1 = 0.9 к (ю р )р1 = 9, а выражение (4) будет иметь вид:
к (ю)Р1 =
0.81[1 - (ю / ю р )2]2 + 3.24(ю / ю р )2
[1 - (ю / ю р )2]2 + 0.04(ю / ю р )2
. (5)
При отклонении ю от ю р величина к (ю)р1 убывает, и при
1 - (ю / ю р )2 = 0.04(ю / ю р )2 (6)
знаменатель подкоренного выражения в формуле (5) увеличивается в 2 раза, а числитель увеличивается пренебрежимо мало, так как
0.81
1 - (ю / ю р )
= 0.81 • 0.04(ю / ю р )2 =
= 0.0324(ю/ю р)2 <<3.24(ю/юр)2 .
Поэтому при наличии равенства (6)
) 9 = к (ю)р1
(ш)р‘ = 42 '
Следовательно, частоты ю+ и ю-, удовлетворяющие уравнению (6), являются граничными частотами полосы пропускания системы,
отсчитываемой на уровне 1 Л/2.
Решение уравнения (6) позволяет определить ширину этой полосы:
Дю^ =ю+ -ю- = 1.105юр -0.905юр = 0.2юр .(7) Ширину полосы пропускания резонансной кривой передаточной функции РДю) можно определить из уравнения (4):
2(ю± /ю р) 1 + (ю± /ю р)2
1
72'
(8)
Решая его, получим Дю0 = ю+ — ю - = (л/^2 + 1)юр — (л/2 — 1)юр = 2юр. (9) На основании (8) и (9) можно написать Дю1 / Дю0 = 0.1.
Это равенство означает, что за счет селективной положительной обратной связи при к\ = 0.9 ширина полосы резонансной кривой системы, изображенной на рис. 2, уменьшилась по сравнению с шириной полосы резонансной кривой цепи обратной связи в 10 раз (при отсчете ширины на уровне 1^л/2) (рис. 3).
В общем случае, когда 0.9 < к1 < 1, ширину полосы резонансной кривой рассматриваемой системы можно определить из уравнения (4):
1.0 -0.9 -0.8 -0.7 0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2.0 ~Р
Рис. 3. Резонансные кривые цепи обратной связи Р(ю)/ Р(ю р) и системы с обратной связью
к (ю)Р1 / к (ю р )Р1
2
1 - (ю± / ю р )2 ^ = 4(1 - к1)2(ю± / ю р )2, тогда Дю^=ю+-ю_= 2(1 - к)юр. Из этого равенства следует, что чем ближе к\ к единице, тем меньше ширина полосы Дю^ резонансной кривой системы. Однако при этом возрастает вероятность самовозбуждения системы при случайных изменениях к1.
Итак, с помощью селективной положительной обратной связи можно значительно обострить резонансную кривую системы по сравнению с резонансной кривой цепи обратной связи. Однако при уменьшении ширины резонансной кривой величина обратной связи приближается к критическому значению и режим работы системы становится все более неустойчивым. Например, если в выражении (4) втахк1 = 0.99 , то увеличение к] только на 1% приведет к самовозбуждению системы.
Возможность неустойчивой работы системы является большим недостатком описанного способа уменьшения ширины полосы пропускания системы. Недостаток устраняется путем предлагаемого более полного использования принципа обратной связи [1, 2].
Результаты и их обсуждение
Устройство, изображенное на рис. 1, можно рассматривать как преобразователь четырехполюсника с передаточной функцией в(ю) в четырехполюсник с передаточной функцией вида:
к (»)„, =^1^ в1 1 -р(ш)к,(ш)
где через F2 обозначена операция FF, являю-
п
щаяся двукратной операцией F' Функцию F будем называть операцией многократной обратной связи. Затем с помощью многократного применения операции F можем получить четырехполюсник с передаточной функцией вида
к(ю)вп = Епв(ю) = ЕЕ,..., Ев(ю), то есть четырехполюсник с многократной обратной связью п-порядка. На рис. 4 изображена функциональная схема системы с применением двукратной обратной связи.
= FР(ю), где через F
обозначена нелинейная математическая операция над передаточной функцией Р(ю). В результате этой операции ширина резонансной кривой четырехполюсника с передаточной функцией k (ю)р1 уменьшается. При этом не допускается, чтобы выполнялось условие Р(ю)£ і (ю) = 1, то есть система сохраняется достаточно устойчивой. Далее необходимо снова произвести операцию над полученной передаточной функцией FP(ю) , чтобы еще уменьшить ширину резонансной кривой четырехполюсника. В результате этой повторной операции новый четырехполюсник будет иметь передаточную функцию
к (ю)р2 = FF Р(ю) = к 2(ю)
Усилитель с коэффициентом к 1 (ю) и цепью обратной связи с передаточной функцией в(ю)1
образуют систему с положительной обратной связью первого порядка. Контакты аЬ представляют собой вход этой системы, а cd - ее выход. Эта система использована в качестве цепи обратной связи в(ю)2 для усилителя с коэффициентом усиления к2 (ю). В соответствии с (1) передаточная функция цепи обратной связи всей системы будет иметь вид:
к 1(ю)
Р(ю)2 =■
(10)
1 - в(ю)1 к 1(ю)
Система, состоящая из усилителя с коэффициентом усиления к2 (ю) и цепи обратной связи
с передаточной функцией в(ю)2 , имеет общую
передаточную функцию
к (И). = к- 2(ю) .
7в2 1 -в(ю)2 к 2 (ю)
(11)
1 - {к1(ю V [1 - Р(ю)к 1 (ю)]} к 2(ю)
= F2 Р(ю),
Поставим условие сохранения устойчивости системы в(юр)1 к 1 (юр) = 0.9 в системе с двукратной обратной связью на том же уровне, т.е. в(юр)2к2(юр) = 0.9 на резонансной частоте.
Тогда с учетом к2(юр) = 0.1 после подстановки (10) в (11) получим:
к (ю)„ =----------------^-------------------.
^ 'Р2 1 - {^/[1 — в(ю)1 к 1 (ю)]}к2 (ю)
Исследуем теперь систему, изображенную на рис. 5, где в качестве цепи обратной связи использована только что рассмотренная система, то есть исследуем систему с многократной обратной связью второго порядка.
0.8281
1 -(в±/в)2 2 = 0.0004(в±/в)2, (1З)
к (в)р2 =-
к ,(в)
к (в)р2 =
0.01[1 - (га/га )2]2 + 0.0004(<в/<в p)2
0.8281[1 - (га/га p )2]2 + 0.0004(<в/<в p )2
выполняется неравенство
0.01
1 - (в±/в)
0.01
0.0004(в±/в)2 << 0.0004(в±/в)2 .
к (в± )р2 =■
Рис. 5. Система с обратной связью второго порядка, использующая RC-звенья
Передаточная функция такой системы будет иметь вид
к 2(в)
/ 2 к 2 1 - [У2ют/(1 + уют) ]
С помощью тождественных преобразований модуль этого выражения можно представить так:
к (ю)р2 = (12)
I к^
\ (1 - к1к2)2[1 - (ю/ю р )2]2 + 4(1 - к1к2 - к1)2(ю/ю р )2 Когда к1 = 0.9, то при ю=юр выражение к2
к (ю р) Р2 = 1-91- •
Для стабильной работы системы величина к2 должна удовлетворять условию 1 - 9к2 > 0.1, то есть к2 < 0.1. При к1 = 0.9 и к2 = 0.1 выражение (12) можно записать в следующем виде:
При отклонении в от в p , когда
0.8281
Поэтому при наличии уравнения (1З) с большой степенью точности справедливо следующее соотношение:
£(<Эр)р2 1
4Ї 4Ї
В связи с этим разность (со+ -со_) определяет собой ширину резонансной кривой системы, если ее отсчитывать на уровне l/V2 . В результате решения уравнения (13) получим со+ / в р = 1 + 0.011;
со_ Iвр = 1 - 0.011;
Асо'2 = со+ - со_ = 0.022со д\
Ав'п / Дсоа = 0.011 = —.
90
Полученное выражение позволяет написать Дв2/Дві = 0.011/0.1 = ^
2 1 9
Переход от системы с обычной обратной связью (рис. 2) к системе с многократной обратной связью второго порядка (рис. 5) еще уменьшил ширину полосы резонансной кривой в 9 раз.
Система с однократной обратной связью обеспечивает сужение полосы пропускания в 10 раз по отношению к ширине полосы цепи обратной связи.
Общий коэффициент сужения полосы
системы с двукратной связью составит величину 90 при том же запасе устойчивости Р(вp)2к2 (вp) = 0.9 .
Соответствующие резонансные кривые
представлены на рис. б.
В общем случае, когда к, и —2 удовлетворяют неравенствам 0.9 < к, < 1; к2 < (1 - к,)/к,, ширина полосы пропускания резонансной кривой системы с положительной обратной связью второго порядка определяется выражением:
Дв2 =[2(1 - —1—2 -к,)/(1 -к,к2)]юд • (14)
Следует заметить, что весьма значительное уменьшение полосы пропускания системы с применением многократной обратной связи удается осуществить при сохранении заранее заданного запаса устойчивости. В наших примерах он составляет величину 0.9, хотя этот
2
СО
Рис. 6. Резонансные кривые RC-цепи обратной связи р(ю)/р(ю р ), систем с обратной связью первого к(ю)р^к(ю р )р1 и второго к(ю)р^к(ю р ^ порядков
запас может быть выбран любым. В этом состоит достоинство и принципиальное отличие системы с многократной обратной связью от традиционной системы с однократной обратной связью.
Тот же эффект сужения полосы может быть получен в системе с однократной обратной связью, но при меньшем запасе устойчивости, то есть при ртахк1 = 0.99 . Однако такое условие делает систему весьма неустойчивой.
Следовательно, многократная положительная обратная связь является эффективным средством получения устойчивой в работе линейной системы с требуемой малой шириной полосы пропускания резонансной кривой.
Вид амплитудно-частотной характеристики цепи обратной связи определенным образом влияет на коэффициент сужения полосы пропускания системы при использовании многократной обратной связи.
Можно показать, что если использовать усредненную модель цепи обратной связи с коэффициентом передачи вида Р(ю) = ртах - а(ю - ю0), где р тах > 0 и а > 0 , то коэффициент сужения полосы в зависимости от кратности обратной связи п будет определяться выражением
Дю п Дю0
и-1
Дю
V
ЧДю0 у
резонансной кривой: Дю п - системы с обрат-
ной связью п-го порядка; Дю 0 - четырехполюсника обратной связи; Дю1 - системы с однократной обратной связью.
Использование многократной положительной обратной связи является средством более эффективным, чем каскадное включение систем с однократной обратной связью.
При том же виде коэффициента передачи цепи обратной связи эффект сужения полосы при каскадном включении определяется соот-Дюп 1 Дю1
ношением
Дю0 4п Дю0
где ширина поло-
сы резонансной кривой: Дю'п - системы с каскадным включением; Дю 0 - цепи обратной связи; Дю1- системы с однократной обратной связью; п - количество каскадов.
Система с многократной обратной связью третьего порядка представлена на рис. 7.
Передаточная функция этой системы имеет вид
и ) к 3 1
к(ю)р3 =-
1 - 2/ [1 - р2 (ю)к2 ]}к3
к 2
1 -р3(ю)к 3
где ширина полосы
где В (ю) =
^ ' 1 -р2(ю)к 2
Выигрыш при использовании системы с многократной обратной связью весьма быстро возрастает при увеличении требований к со-
1
Рис. 7. Система с обратной связью третьего порядка
кращению ширины полосы резонансной кривой системы при сохранении высокой степени устойчивости ее работы.
При проведении эксперимента была использована схема ЯС-фильтра с многократной обратной связью второго порядка, представленная на рис. 8.
Частотно-зависимое звено фильтра состоит из двух ЯС-ячеек: и С5Я16, разделен-
ных масштабным усилителем DA 3. Это звено находится в цепи положительной обратной связи усилителя DA2, причем глубина положительной обратной связи выбрана так, чтобы выполнялось равенство: р 0 к1 = 0.9 (к1 - коэффициент усиления усилителя DA2), что обеспечивает устойчивую работу фильтра с однократной обратной связью. Обратная связь системы обеспечивается усилителем DAl с цепью обратной связи, включающей фильтр с однократной обратной связью, которая выбирается с таким расчетом, чтобы рк = 0.9 (к2 = 0.9 ). Такой коэффициент усиления DAl необходим для устойчивой работы всего активного фильтра с двукратной обратной связью. Величины р0 и р1 являются коэффициентами передачи соответственно нижнего частотно-зависимого звена схемы с усилителем DAз и системы с однократной обратной связью, включающей в себя усилители DA2 и DAз с ячейками Я13С4 и
С5Я16 .
Полученные экспериментальные АЧХ фильтра с однократной обратной связью и
БА
R|
1П
С
ин
0-
R4
Rз
I
Я*
R8
Г1
R7
Я
10
Я9
БА3
Я
13
п
С3
Я
11
Я
12
С,
Я
15
Я
16
Я
1 4
Рис. 8. Экспериментальная принципиальная схема полосового фильтра с обратной связью второго порядка при использовании ЯС-звеньев
фильтра с обратной связью второго порядка приведены на рис. 9.
и
Рис. 9. Экспериментальные резонансные кривые ЯС-цепи обратной связи р(юур(юр), систем с обратной связью первого порядка к(ю)р^к(ю р )р и второго порядка к(ю)р^к(ю р )р
Ширина полосы пропускания на уровне 0.7, полученная для этих трех систем, составляет соответственно Д^0 = 1800 Гц, Д^1= 200 Гц, Др2 = 20 Гц. Резонансная частота системы /0 = 930 Гц [1].
Заключение
Исходя из полученных результатов можно заключить, что предложенный способ многократной положительной обратной связи п-го порядка (п = 2, 3, ...) представляет собой весьма эффективное средство для уменьшения ширины полосы пропускания резонансной кривой системы при сохранении неизменной устойчивости этой системы к самовозбуждению.
Результаты эксперимента подтверждают возможность с помощью применения многократной положительной селективной обратной связи во много раз уменьшать полосу пропускания резонансного ЯС-фильтра с сохранением высокой устойчивости его работы.
Список литературы
1. Зельманов С.С. Развитие теории резонанса в линейных стационарных и управляемых системах. Детектирование обобщенных АМ и ЧМ-колебаний / МТУСИ (Волго-Вятский филиал), НГТУ. Нижний Новгород, 2007.
2. Патент 2066920 РФ, 6403Н7/12, 7/46. Активный ЯС-фильтр с многократной обратной связью / Агеев Д.В., Зельманов С.С. - № 4914852; заявлен 27.02.91; опубл. 30.09.91. Бюл. № 26.
AMPLIFIER WITH A MULTIPLE-LOOP POSITIVE FEEDBACK
S. S. Zelmanov
Positive selective feedback in an amplifier allows a considerable reduction of the pass-band of the system resonant curve as compared to the feedback circuit resonant curve due to an increase in the feedback factor. At the same time, however, the system self-excitation stability margin goes down.
An amplifier with an n-degree multiple-loop positive feedback (n = 2, 3 ...) has been proposed and studied. The multiple-loop positive feedback is an effective tool to infinitely reduce the system resonant curve passband while retaining the same system stability to self-excitation.
Keywords: resonance, resonant curve, feedback circuit, amplifier, reserve of resistibility, self-excitation, n-degree feedback, pass-band
