Уравнивание сети подземных соединительных ходов при ориентировке через три и более вертикальных шахтных ствола Текст научной статьи по специальности «Математика»

томского

Том 93

УРАВНИВАНИЕ СЕТИ ПОДЗЕМНЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ ХОДОВ ПРИ ОРИЕНТИРОВКЕ ЧЕРЕЗ ТРИ И БОЛЕЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ

ШАХТНЫХ СТВОЛА

Шахтные поля, как известно, могут быть вскрыты двумя или тремя и даже четырьмя вертикальными стволами, поэтому для случая, когда все вертикальные стволы соединены между собой горными выработками, ориентирование подземных съемок может быть выполнено через два, три или четыре вертикальных шахтных ствола. В отдельных случаях, учитывая наличие вспомогательных вертикальных шурфов, ориентирование подземных съемок может быть произведено и более чем через три или четыре вертикальных выработки.

Вопрос уравнивания сети подземных соединительных ходов при ориентировке через три и более вертикальных шахтных ствола не разработан как в маркшейдерской, так и геодезической литературе.

При ориентировании подземных съемок через три вертикальных шахтных ствола сеть подземных соединительных полигонов (рис. 1) замыкается на три отвеса А, В и С, опущенных с поверхности по каждому вертикальному стволу. Пренебрегая линейными ошибками проектирования точек с поверхности в шахту, мы можем рассматривать отвесы, на которые замыкается сеть подземных соединительных ходов, как твердые пункты с координатами, полученными из поверхностных съемок. Следовательно, при ориентировке через три вертикальных шахтных ствола возникает задача уравнивания сети подземных соединительных ходов, замкнутой в координатах на три твердых пункта (отвеса).

При уравнивании сети подземных соединительных ходов (рис. 1) по методу условных наблюдений будет три условных уравнения сторон:

В. И. АКУЛОВ

(Представлено научным семинаром кафедр маркшейдерского дела и геодезии)

Р

(1)

АВ

АВ

2 соз 8ЛС 8/+Д СЛС — 0 ;

(2)

АС

АС

?

2 Х'вс ^ + 2 008 Ьвс *

(3)

ВС

ВС

где Я"АС и /?дС —кратчайшие расстояния от вершины угла ¡3

до линий створа отвесов соответственно АВ АС и ВС;

8дС и овс — угол между стороной и линией створа отвесов соответственно АВ, АС и ВС; Д Сав, д С ас и А Свс — разности расстояний АВ, АС и ВС из подземных соединительных ходов АДВ, АДС и ВДС и поверхностных съемок;

ер, е/ — вероятнейшие поправки к измеренным углам и длинам сторон;

р = 206 265".

б

Кратчайшие расстояния ЯдС у Н"вс определяются графически со схемы сети подземных соединительных полигонов, составленной в масштабе 1 :500 или 1 : 1000, при этом учитывается их знак, который определяется, исходя из следующих положений:

1. Если измерен левый по ходу соединительного полигона угол, то для данного угла будет иметь знак плюс, если вершина угла расположена справа от замыкающей соединительного полигона, и знак минус,—если вершина угла расположена слева от замыкающей.

2. Если измерен правый по ходу соединительного полигона угол, то Т?" для данного угла будет иметь знак плюс, если вершина угла расположена слева от замыкающей соединительного полигона, и знак минус, —если вершина угла расположена справа от замыкающей.

Углы одя, <>вс определяются графически со схемы сети или вычисляются по формулам:

одв = а — (АВ) ;

гАС = а - (АС) ; (4)

°вс — а — (ВС) ,

где {АВ), (АС) и (ВС) — дирекционные углы линий створа отвесов АВ, АС и ВС;

а — дирекционный угол стороны.

Свободные члены условных уравнений равны:

Л Сав — САВ — Сав\

Л С ас — С'АС — С ас] (5)

А Свс — С'вс — Свс,

где Сав, Сас, Свс — расстояния между отвесами соответственно А и В, А и С, В и С, вычисленные из поверхностных съемок;

^ая» С'вс — расстояния, вычисленные из подземных соединительных ходов АДВ, АДС и ВДС соответственно.

Для определения расстояний СГАВ> СГАС и Свс необходимо, исходя из измеренных углов и длин сторон, редуцированных на среднюю уроненную поверхность и плоскость проекции, вычислить всю сеть подземных соединительных ходов в одной условной системе координат, например, в условной системе, в которой условное начало координат совпадает с отвесом А, а условная ось абсцисс—со стороной, примыкающей к отвесу А, т. е. со стороной „А—I".

Решая условные уравнения (1, 2, 3) под условием

IРР + iPt £/] = минимум, получим нормальные уравнения коррелат:

at

Р з

+

а\

Pi

Р?>

CLl bt Pi

к.

2 "Т

4

ар с? Р9

+

4Д Сав — О

Pi

Г Ь2 1 4 Г Щ 1 1 ^ 4 (

Ръ \ L Pi J > 1

; I i

bi Ct

Pi

(6)

Слс=0 ; (7)

Г с2 1 ? [Л

+

L J- L Pi 1

/Гз + А Свс = О,

О" Q" Q"

где аъ — ;

Р Р Р

щ — cos ; bi — COS Оде ; С/ — cos iВС ;

— вес измеренного угла; pi—вес измеренной стороны.

Веса измеренных углов и длин сторон определяются из соотношения

=т]р1 — т\ = 1 . (8)

Оч=—Р=!_ (9)

Отсюда т2

т\

т?

. (Ю)

тл

Из решения уравнений (7) найдем значения коррелат А^, К2 и К%.

Вероятнейшие поправки ^ и е; и уравненные углы и длины сторон вычисляются по формулам:

ч = + + (11) Рз

- а/ + + (12)

Рх Рг Рг

/° = / + е, , (14)

где — измеренное и уравненное значение угла,

/,Г — измеренное и уравненное значение длины стороны.

Для вычисления уравненной сети подземных соединительных ходов в системе координат, принятой на поверхности, необходимо предварительно в этой же системе координат определить уравненный дирек-ционный угол ее правой стороны, т. е. стороны, направление которой было принято за условную ось абсцисс при вычислении сети в условной системе координат, например, стороны „А—I".

Уравненный дирекционный угол в системе координат, принятой на поверхности, первой стороны сети, например, стороны „А— вычислится по формуле:

*° = (АВ)-(АВУ0; (15)

1 , (16) хв

где {АВ)— дирекционный угол линии створа отвесов АВ из поверхностной съемки;

хв> У в ~~ условные координаты отвеса „В", вычисленные исходя из уравненных углов и длин сторон соединительного хода АДВ. Исходя из уравненного дирекционного угла первой стороны и уравненных углов и длин сторон и координат отвеса А, полученных из поверхностной съемки, вычисляются в системе координат, принятой на поверхности, дирекционные углы всех сторон и координаты всех вершин, в том числе и координаты отвесов В и С. - 174

Контролем правильности уравнивания сети подземных соединительных ходов служит равенство координат отвесов В и С из подземной и поверхностной съемок.

Для случая, когда сеть подземных соединительных ходов при ориентировке через три вертикальных шахтных ствола включает в себя замкнутый полигон (рис. 2), то к трем условным уравнениям сторон (1, 2, 3) добавится еще три условных уравнения для замкнутого полигона, а именно: одно—фигуры, одно абсцисс и одно—ординат.

В

При ориентировке через четыре вертикальных шахтных ствола сеть подземных соединительных ходов замыкается на четыре твердых пункта (отвеса) А, В, С и Д (рис. 3,4 и 5).

При уравнивании сети подземных соединительных ходов, изображенной на рис. 3 или 4, по методу условных наблюдений будет пять условных уравнений сторон вида:

-1- V. R"ab + V cos з; + А САВ = 0 ; (17)

9 JimL JmA

ЛВ АВ

1 ^ квс ч + ^СОЗ 8ВС е/ + д Свс = 0 ;

р вс вс

Я"со еЭ + 2с08 осп е, + д Ссо = 0-,

со со

^Я'ас е?+ 2е08 8лсв;+ДСдс = 0.

ас ас

(19)

(20)

(21)

Рис. 4.

Вместо условного уравнения стороны АС, т. е. уравнения (21), можно взять условное уравнение стороны ВД:

2 $вп ч + ^соз 3во ч +Д Сво = о

ВО ВО

(21а)

Из условных уравнений (21) и (21а) необходимо брать то условное уравнение, которое имеет меньшее количество неизвестных, т. е. поправок в;, и .

При уравнивании по методу условных наблюдений сети подземных соединительных ходов, изображенной на рис. 5, будет восемь условных уравнений, из которых пять уравнений сторон (17—21), одно—фигуры, одно—абсцисс и одно—ординат для замкнутого полигона.

Общее количество условных уравнений в сети подземных соединительных ходов, замкнутой на два и более твердых пункта (отвеса), можно определить по формуле:

(22)

где /V — количество всех измеренных углов и сторон в сети;

Р — количество всех пунктов в сети, включая и твердые пункты (отвесы);

р — количество твердых пунктов (отвесов).

Из общего количества условных уравнений, вычисленных по формуле (22), условных уравнений сторон:

г — 2р — 3 . (23)

Рис. 5

Если в сети подземных соединительных ходов имеется „п" сторон, дирекционные углы которых известны из предыдущих ориентировок, то при уравнивании указанной сети по методу условных наблюдений количество условных уравнений будет:

а) уравнений абсцисс и ординат

г,.у = 2(/> + /я) —2, (24)

б) уравнений дирекционных углов

га = п — 1 , (25)

в) уравнений фигур

Гф—т, (26)

г) общее количество условных уравнений

+ З/ю + л-З (27)

или

Я = N — 2 (Р—р)-\~п, . (27а)

где т—количество замкнутых полигонов в сети.

Дирекционные углы сторон из предыдущих ориентировок необходимо считать как измеренные величины, подлежащие исправлению за счет уравнивания сети.

Веса известных дирекционных углов определяются, исходя из их средних квадратических ошибок, установленных или по результатам двойных независимых ориентировок или по предрасчету.

В качестве примера установим вид условных уравнений для сети, изображенной на рис. 1, в которой дирекционные углы сторон „А—144, „6—7" и „9—10" известны из предыдущих ориентировок.

Для случая, когда указанная сеть подземных соединительных ходов предварительно вычисляется в системе координат, принятой на поверхности, исходя из дирекционного угла стороны „А—1", полученного из предыдущих ориентировок, и координат отвеса А, условные уравнения примут вид:

12-Изв. ТПИ, т. 93.

177

(Ув-Ул) . 1 ,,¡,4-

—-----е.,- 9 2А{УН~УП ^ +

АВ

^СО* л1 е/. 4-/глл - 0 ;

., + -7 К +

ЛЯ

~~ ХА )

— ^а, у

? _

АВ

(Хс —ХА) -

+ ^ зт «<8// = 0 ; (29)

лв

- — \](Ус-у,) «:,,. + ^ СОЗ а, г,. +/,ж; = 0; (30) ^ ас лс

1 ^(Хс—XI вша, в, +ЛЛС = 0; (31)

^ ас лс

б

ч + =° ; (32)

1

+ V гп — 8,и + к,п = О, (33>

¿(1,2, 3, 4, 8. 9)

где /*ав> /у—невязки координат соединительного хода АДВ; /хлс , Ллс — невязки координат соединительного хода АДС; V* и ■— невязки в дирекционных углах сторон соответственно „6—7" и „9—10а; еа — вероятнейшая поправка к дирекционному углу.

Решив систему условных уравнений (28—33) под условием

.2 I

(р* £1 "Ь Р? £Ь Р1 £/) ~ минимум,

получим вероятнейшие поправки к измеренным углам и длинам сторон и дирекционным углам, полученным из предыдущих ориентировок, приводящие сеть подземных теодолитных ходов к согласию с данными поверхностных съемок.

Если в сети (рис. 1) из предыдущих ориентировок известны дирекдионные углы сторон Д—3", „6—7" у „9—10" и сеть предварительно вычислена в системе координат, принятой на поверхности, исхол например, из дирекционного угла стороны „2—3", которая непосредственно не примыкает к отвесу „А", то условные уравнения (28—31) примут вид:

(ув-Ул) 1 , 1 V, ч

1 3

+ ^СОБ а, е . +/ХАВ = 0 ; (28а)

АВ

+ -1. У(*в —* )sh 1- V sins,- s7. +fyAB = 0; (29a)

p 3 AB

_ У-) ч _ !_ V <yA -yt ) в, - -1 V (.ус - ) +

Р р ¿шзб Р

1 / (3, 4, 4', 8, 9, 10)

+ ^ cosa. £/. +/,АС = 0; (30а)

ас

{ХС~ХА) ч+1 у - к + -L У (хс - * ) в, +

р р Jnd р ^fled

1 i v3, 4, 4', а 9, 10)

+ VW., +Ллс = 0. (31а)

JatKB

АС

Установление весов измеренных углов и длин сторон

Результаты уравнивания по способу наименьших квадратов сети подземных соединительных ходов, ориентированной через три и более вертикальных шахтных ствола, в основном зависят от точности установления весов измеренных углов и длин сторон.

Если веса измеренных углов и длин сторон установлены неправильно, то уравнивание сети по способу наименьших квадратов будет строгим только формально. Поэтому веса измеренных углов и длин сторон необходимо определять, исходя из результатов измерений углов и длин сторон уравниваемой сети.

Для определения весов измеренных углов и длин сторон по формулам (9) и (10; необходимо знать для каждого угла и для каждой стороны сети средние квадратические ошибки.

Установим средние квадратические ошибки измерений углов и длин сторон исходя из разностей расстояний между отвесами из подземной и поверхностной съемок.

Средняя квадратическая ошибка разности расстояний между отвесами из подземной и поверхностной съемок при ориентировке через два вертикальных ствола, как известно, выражается формулой:

М±сАВ = +1/ (7 (34)

лв лв

Приравнивая ошибку Л/дсЛ5 фактической разног/и A Cab, получим следующее уравнение:

7"-)'+2 COs2K (35)

AB AB

В подземных соединительных ходах, в особенности с короткими сторонами или в которых углы измерены высокоточными теодолитами, основным источником ошибок измерений углов является неточное центрирование теодолита и сигналов. В связи с этим ошибку измерения угла будем определять по формуле:

= ±Уг7ё1 + ~г7ё%; (36)

^-¿чИ'-' + П; <зт)

Г ' а2 + Ь2 — 2аЬсоь$ ) , (38)

2 а-

где а, & —стороны угла;

ее, ет — линейные ошибки центрирования сигналов и теодолита соответственно.

При ет — ес У2 формула (36) примет вид:

+ . (39)

Так как пг\ р-л. ~ш2 рч ,

то 1 гп%

Рь т\к Р?'К

Вес угла ¡3« примем равным единице, тогда:

1 т1

Р* т1

Отсюда

Из формулы (39) имеем:

(40)

(41)

"*1=±Щкл/ — . (42)

V Ръ

(43)

Щк = ± ^ |/ + (44)

Подставляя и щкиз (43) и (44) в (41), получим:

1 +2,

Ошибки измерения длин сторон выразим формулой

ггц = + руТ7 (46)

где и — коэффициент случайного влияния при измерении длин сторон. Подставляя т?> и /и/ из (42) и (46) в (35), получим:

т\ ^ 1 1 "

'К

J~ÄB " ' "AB

S w [?)+1■1S ■'cos2 -А =0 • (47)

Для сети подземных соединительных ходов, ориентированной через три ствола (рис. 1), может быть написано три уравнения вида (47), а именно:

т\

Jm^ Р

ab ab

J / n" \ 2

V, — f Г V, / cos3 8дс - A C- c ■= 0, (48)

^ ¿3 V Р / ^

АС р А С

5С н лс

Разности А САв, Д Слс и Д Свс определяются по формулам (5). Система уравнений (48) дает возможность определить ошибку измерения угла с весом, равным единице, т. е. угла р/с, и коэффициент ^ формулы (46). Обозначим:

х = /п? , у — и2 ;

■ 'к

1 / Л" \2 1 /' Я" V

„ . 1 i ав \ .. -vi 1 i пас *

л •

AB АС

1 R

_ , 1 I jkbc

а3

л

Р? \ ?

вс

¿1 — ^ I cos2 оав ; bo = ^ I cos2 оас ; = ^ I cos2 ;

Aß АС ЛС

о

В принятых обозначениях системы уравнений (48) примет вид:

ахх + bry — vx = 0

а* х + Ь2 у — Va = 0 (48а)

asx+b3y — v3 = 0.m

Решая несовместную систему уравнений (48а) под условием ^{ах + Ьу — ^)2 = минимум, получим следующие два нормальных уравнения для определения хну:

[а а]х + [а Ь]у — [а V] — 0 ,

(49)

[аЬ]х + [Ь Ь]у — [Ь'о]= 0.

Решив систему нормальных уравнений (49), получим х и у.

Ошибка измерения угла с весом, равным единице, и значение коэффициента р определяются по формулам:

т^ = ±ух ; (50)

Ошибки измерений углов вычисляются по формуле (42), а длин сторон — по формуле (46).

Для сетей, изображенных на рис. 2, 3, 4, система уравнений (48) будет состоять из шести уравнений.

После определения ошибки и коэффициента р., исходя из формул (9) и (10), устанавливаются веса измеренных углов и длин сторон.

За ошибку Шр^х может быть принята ошибка измерения какого-либо угла или ошибка измерения длины стороны в один метр.

Если за ошибку тр = г принята ошибка измерения какого-либо угла, например угла $К9 то веса измеренных углов и длин сторон, исходя из формул (9), (10) и (46), будут равны:

т\

Рн - ; (52)

пи

/я?

(53)

ц.- ¿1

Отсюда:

1 т2

___Ъ

Рч т\К

1 Г1,

рч т\*

(54)

(55)

Если за ошибку тр = \ принята ошибка измерения длины стороны в 1 м9 то веса измеренных углов и длин сторон, исходя из формул <9), (10) и (46), будут равны:

о

Рь = • (56)

" га; ' . ^ '

РЧ =-Г- . (57)

Отсюда:

1 т1

Рн Р 1

~р~17

и . (59)

Если свободные члены условных уравнений сторон (1—3) или абсцисс н ординат (28—31) и проекции Я" или разности абсцисс и ординат выражены в миллиметрах, а длины сторон при подсчете весов по формуле (53) — в метрах, то формулы (53) и (55) примут вид:

а

(53а) (55а)

»-(-гейт)"- <60>

Если одновременно с уравнением сети подземных соединительных ходов производится оценка точности уравненных дирекционных углов или координат, то для удобства вычислений веса измеренных углов и длин сторон необходимо определять по формулам (52) и (53а).

В заключение отметим, что подземные соединительные хода, пройденные и замкнутые в пределах околоствольного двора на три и более твердых пункта (отвеса), должны в обязательном порядке уравниваться по строгому способу.

в

Рь и

1 и

Рч 0

-( т}

- 1000 и